赫爾德不等式和閔科夫斯基不等式的證明_第1頁(yè)
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1、Holder不等式與Minkowski不等式的證明赫德(Holder)不等式是通過(guò)Young不等式來(lái)證明的,而閔可夫斯基(Minkowski)不等式是通過(guò)赫德(Holder)不等式來(lái)證明的.Young不等式如果x,y0 ,實(shí)數(shù)p1 以及實(shí)數(shù)q 滿(mǎn)足1p+1q=1 ,那么有1pxp+1qyqxy Young不等式的證明證明: 注意到1p+1q=1 ,所以(xyq1)p=xpyq ,于是原不等式兩邊同時(shí)除以yq ,再令t=xyq1 ,顯然t0 原不等式等價(jià)為1ptp+1qt 令f(t)=1ptp+1qt ,求導(dǎo)得f(t)=tp11 因?yàn)閜1 ,所以f(t)=tp11 在(0,1 上遞減,在(1,+

2、) 上遞增,所以f(t) 的最小值在t=1 時(shí)取到,即f(t)f(1)=1p+1q1=0,t0 于是,Young不等式得證,等號(hào)成立條件x=yq1 .赫德不等式(Holder)如果a1,a2,an,b1,b2,bn 都是非負(fù)實(shí)數(shù),實(shí)數(shù)p1 以及實(shí)數(shù)q 滿(mǎn)足1p+1q=1 ,那么有(i=1napi)1p(i=1nbqi)1qi=1naibi 赫德不等式的證明證明:記S=(i=1napi)1p,T=(i=1nbqi)1q, 那么我們有Sp=i=1napi,Tq=i=1nbqi 由此得i=1napiSp=1,i=1nbqiTq=1 對(duì)于給定的i1,2,n ,利用Young不等式,可得aibiST1p

3、apiSp+1qbqiTq 將i 取遍1,2,n 并求和,得到i=1naibiST1pi=1napiSp+1qi=1nbqiTq=1p+1q=1 即得i=1naibiST=(i=1napi)1p(i=1nbqi)1q 閔可夫斯基不等式(Minkowski)如果a1,a2,an,b1,b2,bn 都是非負(fù)實(shí)數(shù)且實(shí)數(shù)p1 ,那么有(i=1napi)1p+(i=1nbpi)1p(i=1n(ai+bi)p)1p 閔可夫斯基不等式的證明證明:令正實(shí)數(shù)q 滿(mǎn)足1p+1q=1 ,由Holder不等式,我們有i=1nai(ai+bi)p1(i=1napi)1p(i=1n(ai+bi)(p1)q)1q 注意到1p+1q=1 ,可得q(p1)=p ,于是由上面的不等式得i=1nai(ai+bi)p1(i=1napi)1p(i=1n(ai+bi)p)11p 同理可得i=1nbi(ai+bi)p1(i=1nbpi)1p(i=1n(ai+bi)p)11p 兩不等式相加,即得i=1n(ai+bi)p(i=1napi)1p+(i=1nbpi)1p)(i=1n(ai+bi)p)11p 兩邊同時(shí)除以(i=

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