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1、Good is good, but better carries it.精益求精,善益求善。【三維設(shè)計(jì)】(江蘇專用)2017屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何課時跟蹤檢測 理【三維設(shè)計(jì)】(江蘇專用)2017屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何課時跟蹤檢測 理第九章 平面解析幾何第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍:直線l傾斜角的取值范圍是0°
2、;<180°.2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°,則斜率ktan_.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0,A2B20平面內(nèi)所有直線都適用小題體驗(yàn)1若直線l的傾斜角為60°,則該直線的斜率為_解析:因?yàn)閠an 60°,所以該直線的斜率為.答案:2過點(diǎn)(0,1),且傾斜角為45°
3、;的直線方程是_解析:因?yàn)橹本€的斜率ktan 45°1,所以由已知及直線的點(diǎn)斜式方程,得y1x0,即yx1.答案:yx13已知直線l:axy2a0在x軸和y軸上的截距相等,則實(shí)數(shù)a_.解析:令x0,則l在y軸的截距為2a;令y0,得直線l在x軸上的截距為1.依題意2a1,解得a1或a2.答案:1或24已知a0,直線axmy5m0過點(diǎn)(2,1),則此直線的斜率為_解析:因?yàn)橹本€axmy5m0過點(diǎn)(2,1),所以2am5m0,得a2m,所以直線方程為2mxmy5m0.又a0,所以m0,所以直線方程2mxmy5m0可化為2xy50,即y2x5,故此直線的斜率為2.答案:21利用兩點(diǎn)式計(jì)算斜
4、率時易忽視x1x2時斜率k不存在的情況2用直線的點(diǎn)斜式求方程時,在斜率k不明確的情況下,注意分k存在與不存在討論,否則會造成失誤3直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件,當(dāng)截距為0時可用點(diǎn)斜式4由一般式AxByC0確定斜率k時易忽視判斷B是否為0,當(dāng)B0時,k不存在;當(dāng)B0時,k.小題糾偏1下列有關(guān)直線l:xmy10的說法:直線l的斜率為m;直線l的斜率為;直線l過定點(diǎn)(0,1);直線l過定點(diǎn)(1,0)其中正確的說法是_(填序號)解析:直線l:xmy10可變?yōu)閙y(x1)當(dāng)m0時,直線l的方程又可變?yōu)閥(x1),其斜率為,過定點(diǎn)(1,0);當(dāng)m0時,直線l的方程又可變?yōu)閤1,其斜率不存在,過
5、點(diǎn)(1,0)所以不正確,正確又將點(diǎn)(0,1)代入直線方程得m10,故只有當(dāng)m1時直線才會過點(diǎn)(0,1),即不正確答案:2過點(diǎn)M(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_解析:若直線過原點(diǎn),則k,所以yx,即4x3y0.若直線不過原點(diǎn)設(shè)1,即xya.則a3(4)1,所以直線的方程為xy10.答案:4x3y0或xy10題組練透1直線x的傾斜角等于_解析:直線x,知傾斜角為.答案:2(2016·南通調(diào)研)關(guān)于直線的傾斜角和斜率,有下列說法:兩直線的傾斜角相等,它們的斜率也相等;平行于x軸的直線的傾斜角為0°或180°;若直線過點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,
6、y2),則該直線的斜率為.其中正確說法的個數(shù)為_解析:若兩直線的傾斜角均為90°,則它們的斜率都不存在,所以不正確直線傾斜角的取值范圍為0°<180°,所以平行于x軸的直線的傾斜角為0°,不可能是180°,所以不正確當(dāng)x1x2時,過點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的直線的斜率不存在;當(dāng)x1x2時,過點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的直線的斜率才為,所以不正確答案:03已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(1,1)和Q(2,2),若直線l:xmym0與線段PQ有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:如圖所示,直線l:xmym0過定點(diǎn)
7、A(0,1),當(dāng)m0時,kQA,kPA2,kl.2或.解得0<m或m<0;當(dāng)m0時,直線l的方程為x0,與線段PQ有交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為m.答案:謹(jǐn)記通法求傾斜角的取值范圍的2個步驟及1個注意點(diǎn)(1)2個步驟:求出斜率ktan 的取值范圍;利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合,確定傾斜角的取值范圍(2)1個注意點(diǎn):求傾斜角時要注意斜率是否存在典例引領(lǐng)(1)求過點(diǎn)A(1,3),斜率是直線y4x的斜率的的直線方程(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程解:(1)設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k4×.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),因此所
8、求直線方程為y3(x1),即4x3y130.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)所求直線方程為1,將(5,2)代入所設(shè)方程,解得a,所以直線方程為x2y10;當(dāng)直線過原點(diǎn)時,設(shè)直線方程為ykx,則5k2,解得k,所以直線方程為yx,即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.由題悟法直線方程求法中2個注意點(diǎn)(1)在求直線方程時,應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件(2)對于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零)即時應(yīng)用已知直線l過(2,1),(m,3)兩點(diǎn),則直線l的方程為_解析:當(dāng)m2時,直線l的方程
9、為x2;當(dāng)m2時,直線l的方程為,即2x(m2)ym60.因?yàn)閙2時,代入方程2x(m2)ym60,即為x2,所以直線l的方程為2x(m2)ym60.答案:2x(m2)ym60命題分析直線方程的綜合應(yīng)用是常考內(nèi)容之一,它與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合,命題多為客觀題常見的命題角度有:(1)與基本不等式相結(jié)合的最值問題;(2)與導(dǎo)數(shù)幾何意義相結(jié)合的問題;(3)與圓相結(jié)合求直線方程問題題點(diǎn)全練角度一:與基本不等式相結(jié)合的最值問題1(2015·福建高考改編)若直線1(a0,b0)過點(diǎn)(1,1),則ab的最小值等于_解析:將(1,1)代入直線1得1,a>0,b>0,故ab(ab)
10、2224,等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時取到,故ab的最小值為4.答案:4角度二:與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題2(2016·蘇州模擬)設(shè)P為曲線C:yx22x3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為_解析:由題意知y2x2,設(shè)P(x0,y0),則k2x02.因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為,則0k1,即02x021,故1x0.答案:角度三:與圓相結(jié)合求直線方程問題3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A是半圓O:x2y22(x0)上一點(diǎn),直線OA的傾斜角為45°,過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為H,過H作OA的平行線交半圓于點(diǎn)B,則直線AB的方程是_解析
11、:直線OA的方程為yx,代入半圓方程得A(1,1),H(1,0),直線HB的方程為yx1,代入半圓方程得B.所以直線AB的方程為,即xy10.答案:xy10方法歸納處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系,即能夠看出“動中有定”(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題,先求出斜率或設(shè)出直線方程,建立目標(biāo)函數(shù),再利用基本不等式求解最值一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快1直線xy10的傾斜角是_解析:由直線的方程得直線的斜率為k,設(shè)傾斜角為,則tan ,所以.答案:2直線l:xsin 30°ycos 150°10的斜率是_解析
12、:設(shè)直線l的斜率為k,則k.答案:3傾斜角為135°,在y軸上的截距為1的直線方程是_解析:直線的斜率為ktan 135°1,所以直線方程為yx1,即xy10.答案:xy104若直線l的斜率為k,傾斜角為,而,則k的取值范圍是_解析:ktan ,k<0或k1.答案:,0)5如果A·C<0,且B·C<0,那么直線AxByC0不經(jīng)過第_象限解析:由題意知A·B·C0,直線方程變形為yx.A·C<0,B·C<0,A·B>0,其斜率k<0,又y軸上的截距b>0.直線
13、過第一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限答案:三二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2016·常州一中月考)已知直線l的斜率為k,傾斜角為,若30°<<90°,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析:因?yàn)?0°<<90°,所以斜率k>0,且斜率k隨著的增大而增大,所以k>.答案:2(2016·南京學(xué)情調(diào)研)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是_解析:依題意,直線的斜率k,因此其傾斜角的取值范圍是.答案:3若kR,直線kxy2k10恒過一個定點(diǎn),則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析:y1k(x2)是直線的點(diǎn)斜式方程,故它所經(jīng)過
14、的定點(diǎn)為(2,1)答案:(2,1)4已知直線l過點(diǎn)(1,0),且傾斜角為直線l0:x2y20的傾斜角的2倍,則直線l的方程為_解析:由題意可設(shè)直線l0,l的傾斜角分別為,2,因?yàn)橹本€l0:x2y20的斜率為,則tan ,所以直線l的斜率ktan 2,所以由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y0(x1),即4x3y40.答案:4x3y405直線l1:(2m25m2)x(m24)y50的斜率與直線l2:xy10的斜率相同,則m等于_解析:由題意知m±2,直線l1的斜率為,直線l2的斜率為1,則1,即m25m60,解得m2或3(m2不合題意,舍去),故m3.答案:36直線l:(a2)x(a1)y60
15、,則直線l恒過定點(diǎn)_解析:直線l的方程變形為a(xy)2xy60,由解得x2,y2,所以直線l恒過定點(diǎn)(2,2)答案:(2,2)7一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,),并且它的傾斜角等于直線yx的傾斜角的2倍,則這條直線的一般式方程是_解析:直線yx的傾斜角為30°,所以所求直線的傾斜角為60°,即斜率ktan 60°.又該直線過點(diǎn)A(2,),故所求直線為y()(x2),即xy30.答案:xy308(2016·鹽城調(diào)研)若直線l:1(a>0,b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是_解析:由直線l:1(a>0,b>
16、0)可知直線在x軸上的截距為a,直線在y軸上的截距為b.求直線在x軸和y軸上的截距之和的最小值,即求ab的最小值由直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)得1.于是ab(ab)×3,因?yàn)?2(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),所以ab32.答案:329已知A(1,2),B(5,6),直線l經(jīng)過AB的中點(diǎn)M,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程解:法一:設(shè)直線l在x軸,y軸上的截距均為a.由題意得M(3,2)若a0,即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2),直線l的方程為yx,即2x3y0.若a0,設(shè)直線l的方程為1,直線l過點(diǎn)(3,2),1,解得a5,此時直線l的方程為1,即xy50.綜上所述,直線l的方程為2x3y0或x
17、y50.法二:由題意知M(3,2),所求直線l的斜率k存在且k0,則直線l的方程為y2k(x3),令y0,得x3;令x0,得y23k.323k,解得k1或k,直線l的方程為y2(x3)或y2(x3),即xy50或2x3y0.10過點(diǎn)A(1,4)引一條直線l,它與x軸,y軸的正半軸的交點(diǎn)分別為(a,0)和(0,b),當(dāng)ab最小時,求直線l的方程解:法一:由題意,設(shè)直線l:y4k(x1),由于k<0,則a1,b4k.ab5549.當(dāng)且僅當(dāng)k2時,取“”故得l的方程為y2x6.法二:設(shè)l:1(a>0,b>0),由于l經(jīng)過點(diǎn)A(1,4),1,ab(ab)·59,當(dāng)且僅當(dāng)時,
18、即b2a時,取“”,即a3,b6.所求直線 l的方程為1,即y2x6.三上臺階,自主選做志在沖刺名校1已知曲線y,則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為_解析:y,因?yàn)閑x>0,所以ex22當(dāng)且僅當(dāng)ex,即x0時取等號,所以ex24,故y(當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號)所以當(dāng)x0時,曲線的切線斜率取得最小值,此時切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的方程為y(x0),即x4y20.該切線在x軸上的截距為2,在y軸上的截距為,所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S×2×.答案:2已知直線l:kxy12k0(kR)(1)證明:直線l過定點(diǎn);(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求
19、k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程解:(1)證明:直線l的方程可化為yk(x2)1,故無論k取何值,直線l總過定點(diǎn)(2,1)(2)直線l的方程為ykx2k1,則直線l在y軸上的截距為2k1,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則解得k的取值范圍是.(3)依題意,直線l在x軸上的截距為,在y軸上的截距為12k,A,B(0,12k)又<0且12k>0,k>0.故S|OA|OB|××(12k)(44)4,當(dāng)且僅當(dāng)4k,即k時,取等號故S的最小值為4,此時直線l的方程為x2y4
20、0.第二節(jié) 兩直線的位置關(guān)系1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行:對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1l2.(2)兩條直線垂直:如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解3距離P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:AxByC0
21、的距離d平行線AxByC10與AxByC20間距離d小題體驗(yàn)1已知過點(diǎn)A(2,m)和B(m,4)的直線與斜率為2的直線平行,則實(shí)數(shù)m的值是_解析:由題意可知kAB2,所以m8.答案:82已知直線l:y3x3,那么直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程為_解析:由得交點(diǎn)坐標(biāo)P.又直線xy20上的點(diǎn)Q(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q,故所求直線(即PQ)的方程為,即7xy220.答案:7xy2203與直線y3x1平行,且在x軸上的截距為3的直線l的方程為_解析:由題意,知直線l的斜率為3,且在x軸上的截距為3,所以直線l的方程為y03x(3),即3xy90 .答案:3xy901在判斷兩條直線的位置關(guān)
22、系時,易忽視斜率是否存在,兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判斷,若無斜率,要單獨(dú)考慮2運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x,y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯小題糾偏1已知p:直線l1:xy10與直線l2:xay20平行,q:a1,則p是q的_條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析:由于直線l1:xy10與直線l2:xay20平行的充要條件是1×a(1)×10,即a1.答案:充要2已知直線l1:(t2)x(1t)y1與l2:(t1)x(2t3)y20互相垂直,則t的值為_解析:若l1的斜率不存在,此時t1,l1的方程為x,l
23、2的方程為y,顯然l1l2,符合條件;若l2的斜率不存在,此時t,易知l1與l2不垂直當(dāng)l1,l2的斜率都存在時,直線l1的斜率k1,直線l2的斜率k2,l1l2,k1·k21,即·1,所以t1.綜上可知t1或t1.答案:1或1(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)題組練透1(2016·金陵中學(xué)模擬)若直線ax2y10與直線xy20互相垂直,那么a的值等于_解析:由a·12·10得a2.答案:22(2016·金華十校模擬)“直線axy0與直線xay1平行”是“a1”成立的_條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析:由
24、直線axy0與xay1平行得a21,即a±1,所以“直線axy0與xay1平行”是“a1”的必要不充分條件答案:必要不充分3(2016·啟東調(diào)研)已知直線l1:(a1)xyb0,l2:axby40,求滿足下列條件的a,b的值(1)l1l2,且l1過點(diǎn)(1,1);(2)l1l2,且l2在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.解:(1)l1l2,a(a1)b0.又l1過點(diǎn)(1,1),ab0.由,解得或當(dāng)a0,b0時不合題意,舍去a2,b2.(2)l1l2,ab(a1)0,由題意,知a>0,b>0,直線l2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,.則××
25、2,得ab4,由,得a2,b2.謹(jǐn)記通法由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1:A1xB1yC10(AB0)l2:A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)在判斷兩直線位置關(guān)系時,比例式與,的關(guān)系容易記住,在解答填空題時,建議多用比例式來解答典例引領(lǐng)已知A(4,3),B(2,1)和直線l:4x3y20,在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P,使|PA|PB|,且點(diǎn)P到直線l的距離為2.解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b)A(4,3),B(2,1),線段AB的中點(diǎn)M的
26、坐標(biāo)為(3,2)而AB的斜率kAB1,線段AB的垂直平分線方程為y2x3,即xy50.點(diǎn)P(a,b)在直線xy50上,ab50.又點(diǎn)P(a,b)到直線l:4x3y20的距離為2,2,即4a3b2±10,由聯(lián)立可得或所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)或.由題悟法處理距離問題的2大策略(1)點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求注意直線方程為一般式(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等,一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理,而是轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)在兩定點(diǎn)所在線段的垂直平分線上,從而計(jì)算簡便,如本例中|PA|PB|這一條件的轉(zhuǎn)化處理即時應(yīng)用(2016·蘇州檢測)已知三條直線2xy30,4x3y50和
27、axy3a10相交于同一點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值;(2)求過點(diǎn)(2,3)且與點(diǎn)P的距離為2的直線方程解:(1)由解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)(2,1)代入直線axy3a10,可得a2.(2)設(shè)所求直線為l,當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x2,此時點(diǎn)P與直線l的距離為4,不合題意當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y3k(x2),即kxy2k30.點(diǎn)P到直線l的距離d2,解得k2,所以直線l的方程為2xy70.命題分析對稱問題是高考常考內(nèi)容之一,也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型常見的命題角度有:(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱;(2)點(diǎn)關(guān)于線對稱;(3)線
28、關(guān)于線對稱;(4)對稱問題的應(yīng)用題點(diǎn)全練角度一:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題1(2016·蘇北四市調(diào)研)點(diǎn)P(3,2)關(guān)于點(diǎn)Q(1,4)的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為_解析:設(shè)M(x,y),則x1,y6,M(1,6)答案:(1,6)角度二:點(diǎn)關(guān)于線的對稱問題2已知直線l:2x3y10,點(diǎn)A(1,2),則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為_解析:設(shè)A(x,y),由已知得解得故A.答案:A角度三:線關(guān)于線的對稱問題3直線2xy30關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是_解析:設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),則P關(guān)于xy20的對稱點(diǎn)為P(x0,y0),由得由點(diǎn)P(x0,y0)在直線2xy30上,2(y2)(x2)30
29、,即x2y30.答案:x2y30角度四:對稱問題的應(yīng)用4(2016·淮安一調(diào))已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(3,4),被直線l:xy30反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線的方程為_解析:設(shè)點(diǎn)M(3,4)關(guān)于直線l:xy30的對稱點(diǎn)為M(a,b),則反射光線所在直線過點(diǎn)M,所以解得a1,b0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),所以所求直線的方程為,即6xy60.答案:6xy60方法歸納1中心對稱問題的2個類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱:若點(diǎn)M(x1,y1)及N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱,主要求解方法是:在已知直線上取兩點(diǎn),利
30、用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程;求出一個對稱點(diǎn),再利用兩對稱直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程2軸對稱問題的2個類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱:若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:AxByC0對稱,由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B0,x1x2)(2)直線關(guān)于直線的對稱:一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快1(2015·鹽城二模)若直線ykx1與直線2xy40垂直,則k_.解析:因?yàn)橹本€2xy40的
31、斜率為2,故由條件得k.答案:2已知點(diǎn)A(3,4),B(6,3)到直線l:axy10的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值為_解析:由題意及點(diǎn)到直線的距離公式得,解得a或.答案:或3已知直線3x4y30與直線6xmy140平行,則它們之間的距離是_解析:因?yàn)橹本€3x4y30與直線6xmy140平行,所以3m240,解得m8,故直線6xmy140可化為3x4y70,所以兩平行直線間的距離是d2.答案:24(2016·宿遷模擬)直線x2y10關(guān)于直線x1對稱的直線方程是_解析:設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于直線x1的對稱點(diǎn)(2x,y)在直線x2y10上,即2x2y10,化簡得x2y30.答案:
32、x2y305已知點(diǎn)P(4,a)到直線4x3y10的距離不大于3,則a的取值范圍是_解析:由題意得,點(diǎn)P到直線的距離為.又3,即|153a|15,解得0a10,所以a的取值范圍是0,10答案:0,10二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2015·蘇州二模)已知直線l1:(3a)x4y53a和直線l2:2x(5a)y8平行,則a_.解析:由題意可得a5,所以,解得a7(a1舍去)答案:72(2016·南京一中檢測)P,Q分別為直線3x4y120與6x8y50上的任意一點(diǎn),則PQ的最小值為_解析:因?yàn)?,所以兩直線平行,根據(jù)平面幾何的知識,得PQ的最小值為這兩條平行直線間的距離在直線
33、3x4y120上取一點(diǎn)(4,0),此點(diǎn)到另一直線6x8y50的距離為,所以PQ的最小值為.答案:3(2015·蘇北四市調(diào)研)已知直線l1:ax(3a)y10,l2:2xy0.若l1l2,則實(shí)數(shù)a的值為_解析:由2×a(3a)×(1)0,解得a1.答案:14(2016·天一中學(xué)檢測)已知直線l:xy10,l1:2xy20.若直線l2與l1關(guān)于l對稱,則l2的方程是_解析:因?yàn)閘1與l2關(guān)于l對稱,所以l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)都在l2上,故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上又易知(0,2)為l1上一點(diǎn),設(shè)它關(guān)于l的對稱點(diǎn)為(x,y),則解得即(1,0),(1
34、,1)為l2上兩點(diǎn),可得l2的方程為x2y10.答案:x2y105已知定點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B在直線xy0上運(yùn)動,當(dāng)線段AB最短時,點(diǎn)B的坐標(biāo)是_解析:因?yàn)槎c(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B在直線xy0上運(yùn)動,所以當(dāng)線段AB最短時,直線AB和直線xy0垂直,AB的方程為yx10,它與xy0聯(lián)立解得x,y,所以B的坐標(biāo)是.答案:6(2016·無錫調(diào)研)已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(2,2),B(4,2)等距離,則直線l的方程為_解析:依題意,設(shè)直線l:y4k(x3),即kxy43k0,則有,因此5k2k6,或5k2(k6),解得k或k2,故直線l的方程為2x3y180或2xy20.答案:2x3
35、y180或2xy207. 設(shè)A,B是x軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,且|PA|PB|,若直線PA的方程為xy10,則直線PB的方程是_解析:由|PA|PB|知點(diǎn)P在AB的垂直平分線上由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,且PA的方程為xy10,得P(3,4)直線PA,PB關(guān)于直線x3對稱,直線PA上的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線x3的對稱點(diǎn)(6,1)在直線PB上,直線PB的方程為xy70.答案:xy708(2016·江蘇五星級學(xué)校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(x,y)到A(0,4)和B(2,0)的距離相等,則2x4y的最小值為_解析:由題意得,點(diǎn)P在線段AB的中垂線上,則易得x2y3,2x4y224,當(dāng)且僅當(dāng)x2y時等號成
36、立,故2x4y的最小值為4.答案:49已知光線從點(diǎn)A(4,2)射出,到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn),又被y軸反射,這時反射光線恰好過點(diǎn)D(1,6),求BC所在的直線方程解:作出草圖,如圖所示,設(shè)A關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)為A,D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D,則易得A(2,4),D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為,即10x3y80.10已知直線l:(2ab)x(ab)yab0及點(diǎn)P(3,4)(1)證明直線l過某定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)(2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時,求直線l的方程解:(1)證明:直線l的方程可化為a(2xy1)b(xy1)0,
37、由得直線l恒過定點(diǎn)(2,3)(2)設(shè)直線l恒過定點(diǎn)A(2,3),當(dāng)直線l垂直于直線PA時,點(diǎn)P到直線l的距離最大又直線PA的斜率kPA,直線l的斜率kl5.故直線l的方程為y35(x2),即5xy70.三上臺階,自主選做志在沖刺名校1(2016·湖北七市三聯(lián))設(shè)兩條直線的方程分別為xya0,xyb0,已知a,b是方程x2xc0的兩個實(shí)根,且0c,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是_解析:依題意得|ab|,當(dāng)0c時,|ab|1.因?yàn)閮蓷l直線間的距離等于,所以兩條直線間的距離的最大值與最小值分別是,.答案:,2(2016·徐州一中檢測)已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直
38、線上存在點(diǎn)P使PM4,則稱該直線為“切割型直線”下列直線中是“切割型直線”的是_(填序號)yx1;y2;yx;y2x1.解析:設(shè)點(diǎn)M到所給直線的距離為d,d3>4,故直線上不存在點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于4,不是“切割型直線”;d2<4,所以在直線上可以找到兩個不同的點(diǎn)P,使之到點(diǎn)M的距離等于4,是“切割型直線”;d4,所以直線上存在一點(diǎn)P,使之到點(diǎn)M的距離等于4,是“切割型直線”;d>4,故直線上不存在點(diǎn)P,使之到點(diǎn)M的距離等于4,不是“切割型直線”故填.答案:3已知直線l1:xa2y10和直線l2:(a21)xby30(a,bR)(1)若l1l2,求b的取值范圍;(2)若l1l
39、2,求|ab|的最小值解:(1)因?yàn)閘1l2,所以b(a21)a20,即ba2(a21)a4a22,因?yàn)閍20,所以b0.又因?yàn)閍213,所以b6.故b的取值范圍是(,6)(6,0(2)因?yàn)閘1l2,所以(a21)a2b0,顯然a0,所以aba,|ab|2,當(dāng)且僅當(dāng)a±1時等號成立,因此|ab|的最小值為2.第三節(jié) 圓的方程1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心:(a,b),半徑:r一般方程x2y2DxEyF0,(D2E24F0)圓心:半徑:2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)
40、系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0a)2(y0b)2r2.小題體驗(yàn)1(教材習(xí)題改編)圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是_解析:由(x2)2(y3)213,知圓心坐標(biāo)為(2,3)答案:(2,3)2圓心在y軸上且通過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是_解析:設(shè)圓心為(0,b),半徑為r,則r|b|,圓的方程為x2(yb)2b2.點(diǎn)(3,1)在圓上,9(1b)2b2,解得b5.圓的方程為x2y210y0.答案:x2y210y03(教材習(xí)題改編)已知圓心為C的
41、圓過點(diǎn)A(1,1),B(2,2)且圓心C在直線l:xy10上,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案:(x3)2(y2)2254若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析:因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部,所以(1a)2(1a)24.即a21,故1a1.答案:(1,1)對于方程x2y2DxEyF0表示圓時易忽視D2E24F0這一成立條件小題糾偏1方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是_解析:由(4m)244×5m0,得m或m1.答案:m(1,)2方程x2y2ax2ay2a23a0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓圓心位于第_象限解
42、析:因?yàn)榉匠蘹2y2ax2ay2a23a0表示的圖形是半徑為r的圓,所以a2(2a)24(2a23a)3a212a>0,即a(a4)<0,所以4<a<0.又該圓圓心坐標(biāo)為,顯然圓心位于第四象限答案:四題組練透1(易錯題)(2015·鎮(zhèn)江調(diào)研)若圓C經(jīng)過(1,0),(3,0)兩點(diǎn),且與y軸相切,則圓C的方程為_解析:由題意知圓C的半徑為2,且圓心坐標(biāo)可設(shè)為(2,b),因此有2,解得b±,從而圓C的方程為(x2)2(y±)24.答案:(x2)2(y±)242(2016·徐州模擬)若圓C的半徑為1,點(diǎn)C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1
43、,0)對稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析:因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0,0),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.答案:x2y213(2015·全國卷改編)已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為_解析:設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0,則解得ABC外接圓的圓心為,故ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 .答案:謹(jǐn)記通法1求圓的方程的2種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b
44、,r的方程組,從而求出a,b,r的值;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值2確定圓心位置的3種方法(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上,如“題組練透”第1題(3)兩圓相切時,切點(diǎn)與兩圓圓心共線提醒解答圓的有關(guān)問題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)命題分析與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容,它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想常見的命題角度有:(1)斜率型最值問題;(2)截距型最值問題;(3)距離型最值問題;(4)建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題題點(diǎn)全練角度一:斜率型最值問題1(2016
45、183;蘇州模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2y24x10,求的最大值和最小值解:原方程可化為(x2)2y23,表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以設(shè)k,即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時(如圖),斜率k取最大值或最小值,此時,解得k±.所以的最大值為,最小值為.角度二:截距型最值問題2在角度一條件下求yx的最大值和最小值解:yx可看作是直線yxb在y軸上的截距,如圖所示,當(dāng)直線yxb與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時,解得b2±.所以yx的最大值為2,最小值為2.角度三:距離型最值問題3在角度一條件下求x2y2的最大值和最小值
46、解:如圖所示,x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2,所以x2y2的最大值是(2)274,x2y2的最小值是(2)274.角度四:建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題4已知圓C:(x3)2(y4)21 和兩點(diǎn)A(m,0), B(m,0)(m0)若圓C上存在點(diǎn)P,使得APB90°,則m的最大值為_解析:由(x3)2(y4)21知圓上點(diǎn)P(x0,y0)可化為APB90°,即·0,(x0m)(x0m)y0,m2xy266cos 8sin 2610sin()36,0m6,即m的最大值為6.答案:
47、6方法歸納求解與圓有關(guān)的最值問題的2大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等,利用基本不等式求最值是比較常用的典例引領(lǐng)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若P點(diǎn)到直線yx的距離為,求圓P的方程解:(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r,則y22r2,x23r2.y22x23,即y2x21.P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.(
48、2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則,即|x0y0|1.y0x0±1,即y0x0±1.當(dāng)y0x01時,由yx1得(x01)2x1,r23,圓P的方程為x2(y1)23;當(dāng)y0x01時,由yx1得(x01)2x1,r23,圓P的方程為x2(y1)23.綜上所述,圓P的方程為x2(y±1)23.由題悟法與圓有關(guān)的軌跡問題的4種求法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程(3)幾何法:利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程(4)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等即時應(yīng)用經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)作圓O:x2y24的割線ABC,求弦BC的中點(diǎn)P的軌跡方程解:法一:(直接法)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),連結(jié)OP.當(dāng)x0時,OP,AP所在直線的斜率均存在,則kOP,kAP.又OPBC,kOP·kAP1,即·1,化簡,得x2y24x0.當(dāng)x0時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0),顯然x0,y0是方程的解弦BC的中點(diǎn)P的軌跡方程為(x2)2y24(0x<1)法二:(定義法)取OA的中點(diǎn)為M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),且PMOA2.由圓的定義,知點(diǎn)P的軌跡方程是(x2)2y24(0x<1)一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快1點(diǎn)(1,2)與圓x
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