引領(lǐng)二命題有章——數(shù)學(xué)文化與高考命題

1、引領(lǐng)二命題有章一一數(shù)學(xué)文化與高考命題教育部測試中央函件?關(guān)于2021年普通高考測試大綱修訂內(nèi)容的通知?要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容,積極培育和踐行社會主義核心價(jià)值觀,充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.比方,在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.因此,我們特別籌劃了此專題,將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合,選取典型樣題深度解讀.考|題|統(tǒng)|計(jì)卷別題型題號考查角度2021年全國卷I選擇題10題幾何概型2021年全國卷n選擇題8題古典概型2021年全國卷田選擇題3題三視圖2021年北京局考選擇題4題等比數(shù)列預(yù)測1:古代數(shù)學(xué)書籍?九章算術(shù)?數(shù)書九章?等書為背景的數(shù)學(xué)文化類題目.預(yù)測2:與高等數(shù)學(xué)相銜接

2、的題目,如幾類特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù).預(yù)測3:以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類題目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、進(jìn)位制、割圓術(shù)、阿氏圓等.預(yù)測4:以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題為背景的題目,如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜測等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問題.考向一數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化【例112021安徽模擬中國古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.今欲衰償之,問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬

3、的一半.馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.打算按此比率歸還,他們各應(yīng)歸還多少？牛、馬、羊的主人各應(yīng)歸還粟a升,b升,c升,1斗為10升,那么以下判斷正確的選項(xiàng)是A. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=50C. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50D. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=50一._.,1【解析】由題意可得,a,b,c成公比為1的等比數(shù)列,b1 150=a,c=2b,二者N和為50升,故4c+2c+c=50,解得c=亍.應(yīng)選Do【答案】D得此題以?九章算術(shù)?為背景考查我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化,意在考查考生的閱讀理解水平

4、和解決實(shí)際問題的水平.【美題嘗試112021全國卷n我國古代數(shù)學(xué)名著?算法統(tǒng)宗?中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,那么塔的頂層共有燈A.1盞B.3盞C.5盞D,9盞解析由題意知由上到下各層燈數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列,該數(shù)列前7項(xiàng)和87=381,公比q=2o設(shè)塔頂層的燈的盞數(shù)為a1,那么有87=電一3=381,解得a1=3.應(yīng)選B.1 2答案B考向二三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化【例2】在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作?測地術(shù)?中記載了著名的海倫公式,利用三角形的三邊長求三角形的面積.假設(shè)三角形

5、的三邊分別為a,b,c,那么其面積8=小(paxpbxpc),ab+c這里p=2.在ABC中,BC=6,AB=2AC,那么當(dāng)ABC的面積最大時(shí),sinA=【解析】設(shè)AC=x,AB=2x,那么由海倫公式得6+3x3x-66+x6-x8=2；2.22=TV(x+2Xx-2X6+xX6-x)x2436-x23(x24什(36x2)一;z=12,當(dāng)且僅當(dāng)x24=36x2,即x=2乖,即AC=245,AB=4加時(shí)不等式取等號.所以ABC的面積的最大值為12,此時(shí)由余弦定理得cosA=(2亞+(4加)2624加.八r2；32X275X475=5,故SinA=Wc0sA=5.此題具有一定的綜合性,考查的知識

6、點(diǎn)較多,涉及根本不等式、余弦定理以及同角三角函數(shù)的根本關(guān)系.求解此題的關(guān)鍵是在“設(shè)元的根底上,根據(jù)所給三角形面積的計(jì)算公式寫出4ABC的面積的表達(dá)式,弁利用根本不等式確定最值.【美題嘗試2】2021浙江高考我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)可以估算圓周率兀,理論上能把兀的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承弁開展了“割圓術(shù),將兀的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6=.解析如圖,連接正六邊形的對角線,將正六邊形分成六個(gè)邊長為1的正三角形,從而&=6x2x12xsin60t=答案?考向三算法中的數(shù)學(xué)文化【例312021貴陽監(jiān)測我國明朝數(shù)學(xué)

7、家程大位著的?算法統(tǒng)宗?里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭,小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾丁？如下圖的程序框圖反映了對此題的一個(gè)求解算法,那么輸出的n的值為A.20B.25C.30D.35【解析】解法一執(zhí)行程序框圖,n=20,m=80,S=60+80=862中100;n=21,m=79,S=63+79=891100;n=3333787722,m=78,S=66+可=92*100;n=23,m=77,S=69+r=3394100;n=24,m=76,S=72+y=97,100;n=25,m=75,S=75+7=100,退出循環(huán).所以輸出的n=25o解法二：設(shè)大和尚有x個(gè),小和

8、尚有y個(gè),那么J+尸100'出'曰x=25,口臼._13x4-100解得1y75根據(jù)程序框圖可知'n的值即大和尚的人數(shù),所以n=25o【答案】B得?算法統(tǒng)宗?是我國古代一部數(shù)學(xué)巨著,此題通過“僧人分饅頭表達(dá)了方程思想,也折射出古代人民的智慧,增強(qiáng)了我們的民族自豪感.【美題嘗試3秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州安岳現(xiàn)四川省安岳縣人,他在所著的?數(shù)書九章?中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比擬先進(jìn)的算法,如下圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,假設(shè)輸入n,x的值分別為4,3,那么輸出v的值為A.20B.61C.183D.548解析初始值n,x的值

9、分別為4,3,程序運(yùn)行過程如下：v=1,i=3>0,v=1X3+3=6,i=2>0;v=6X3+2=20,i=1>0;v=20X3+1=61,i=0>0;v=61X3+0=183,i=-1<0,跳出循環(huán),輸出v的值為183o應(yīng)選Co答案C考向四立體幾何中的數(shù)學(xué)文化【例4】2021全國卷田中國古建筑借助椎卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出局部叫椎頭,凹進(jìn)局部叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是椎頭.假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,那么咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是ABC【解析】由題意知,在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中,從俯視方向看,椎頭看不見,所以是虛

10、線,結(jié)合椎頭的位置知選Ao【答案】A此題通過三視圖考查了古代建筑的木件結(jié)構(gòu).如果考生對木件結(jié)構(gòu)沒有一定的熟悉,缺乏常見的生活常識,想象不出木件結(jié)構(gòu)的構(gòu)成就很難答對此題,這也表達(dá)了高考對考生社會實(shí)踐水平不斷提升要求的趨勢.【美題嘗試4】祖晅原理：“窯勢既同,那么積不容異.“窯是截面積,“勢是幾何體的高,意思是兩個(gè)等高的幾何體,假設(shè)在等高處截面的面積恒相等,那么體積相等.某不規(guī)那么幾何體與如下三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足“窯勢同,那么該不規(guī)那么幾何體的體積為正視圖惻視圖俯視圖A.4-2B.8竽C.8兀D.8-2%解析由祖晅原理可知,該不規(guī)那么幾何體的體積與三視圖的幾何體體積相等.根據(jù)題設(shè)所給的三視圖,

11、可知題圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱,正方體的體積為23=8,1半圓柱的體積為2*/12X2=%,因此該不規(guī)那么幾何體的體積為8-兀,應(yīng)選Co答案C考向五概率中的數(shù)學(xué)文化【例5】2021全國卷I如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色局部記為,其余局部記為田.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,n,m的概率分別記為Pl,P2,P3,那么ABA.P1=P2B.P1=P3C.P2=P3D.P1=P2+P3【解析】解法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所S

12、1=2bc,區(qū)域n的面積1-2-&c-21-2+1義-2"=對的邊分別為a,b,c,且a2=b2+,那么區(qū)域I的面積為ccc11兀c2+b2a2)+2bc=jbc,所以S=S2,由幾何概型的知識知R=p2,應(yīng)選Ao解法二：不妨設(shè)ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,那么1BC=2也,所以區(qū)域I的面積為S=2X2X2=2,區(qū)域U的面積&=兀義12產(chǎn)¥2121=2,區(qū)域皿的面積S3=兀義2f2)2=兀,一一,一,一,、,一2兀-22.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,得P1=P2=r,P3=f,兀+2兀+2所以P1*P3,P2*P3,P1*P2+P3,應(yīng)選Ao【答案

13、】A從中國古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問題,豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑.試題插圖的創(chuàng)新是此題的一個(gè)亮點(diǎn),其一,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題的生活化,使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二,有利于考生分析問題和解決問題,這對穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三,探索了數(shù)學(xué)試題插圖的新形式,給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化的范例.【美題嘗試5】一種電子計(jì)時(shí)器顯示時(shí)間的方式如下圖,每一個(gè)數(shù)字都在固定的全等矩形“顯示池中顯示,且每個(gè)數(shù)字都由假設(shè)干個(gè)全等的深色區(qū)域“一組成.在一個(gè)顯示數(shù)字81的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)A,點(diǎn)A落在深色區(qū)域內(nèi)的概率為2,假設(shè)在一個(gè)顯示數(shù)字0的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)B,那么點(diǎn)B落在深

14、色區(qū)域內(nèi)的概率為A.C.B3B-4D-7,1由pa=2,得而數(shù)字0是由解析由于數(shù)字8是由7個(gè)深色區(qū)域組成,整個(gè)矩形顯示池的面積為14個(gè)深色區(qū)域的面積,6個(gè)深色區(qū)域組成,那么PB=14=7.應(yīng)選Co答案C考向六現(xiàn)代科技中的數(shù)學(xué)文化【例6】2021全國卷I幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N&

15、gt;100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)窯.那么該款軟件的激活碼是B.330()A.440C.220D.110【解析】分段考慮數(shù)列1;1,2;1,2,4;；1,2,2k1;該數(shù)列的前1+2+卜=刃3項(xiàng)的和為Skk尸=1+(1+2)+(1+2+2k1)=(20-1)+(21-1)+(2k-1)=2k+1-k-2o要使得力3>100,又kN,那么有k>14,此時(shí)k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比數(shù)列1,2,2k+1的局部和,也即k+2=1+2+2s-1=2s-1,所以k=2s-3>14,滿足題意的最小的s=5,此時(shí)k=253=29,對應(yīng)最小的滿足條件的N為29X302+5=440此題以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)為背景設(shè)計(jì)