第2章隨機(jī)信號(hào)與噪聲

1、西西 北北 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)2016.3第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通 信 原 理第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-112第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程研究?jī)?nèi)容：研究?jī)?nèi)容： 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 2.6 2.6 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄

2、帶隨機(jī)過(guò)程 2.7 2.7 正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程 2.8 2.8 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1132.12.1 引引 言言通信通信-是在噪聲背景下信號(hào)通過(guò)通信系統(tǒng)的過(guò)程是在噪聲背景下信號(hào)通過(guò)通信系統(tǒng)的過(guò)程，分析與研究通信，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開(kāi)對(duì)信號(hào)和噪聲的分析。系統(tǒng)，總是離不開(kāi)對(duì)信號(hào)和噪聲的分析。隨機(jī)信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號(hào)不可能是單一的、確通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號(hào)不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性。定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性。隨機(jī)

3、噪聲：隨機(jī)噪聲：通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機(jī)的、通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的。不可預(yù)測(cè)的。隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程：盡盡管隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測(cè)的、隨機(jī)的，但管隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測(cè)的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過(guò)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過(guò)程。程。 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。函數(shù)描述。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的理論隨機(jī)過(guò)程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析可以運(yùn)用到隨

4、機(jī)信號(hào)和噪聲分析中來(lái)。中來(lái)。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-114 2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念2.2.1 2.2.1 隨機(jī)過(guò)程的概念隨機(jī)過(guò)程的概念考察：考察： 假設(shè)假設(shè)有有n臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號(hào)測(cè)試臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號(hào)測(cè)試其輸出。（其輸出。（n-足夠大的正整數(shù)）足夠大的正整數(shù)） 得到得到一系列噪聲波形一系列噪聲波形記錄記錄x1(t)、x2(t)、x3(t)、.、xn(t) 。 結(jié)果：結(jié)果：理想時(shí)，波形似乎應(yīng)該一致，但實(shí)際不然。理想時(shí)，波形似乎應(yīng)該一致，但實(shí)際不然。找不到兩個(gè)完全相找不到兩

5、個(gè)完全相同的波形！同的波形！第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-115討論：討論：每一個(gè)記錄每一個(gè)記錄xi(t)都是一個(gè)隨機(jī)都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)起伏的時(shí)間函數(shù)隨機(jī)函數(shù)。隨機(jī)函數(shù)。全部隨機(jī)函數(shù)的集合全部隨機(jī)函數(shù)的集合隨機(jī)隨機(jī)過(guò)程：過(guò)程： X(t) =x1(t), x2(t), , xn(t)每一條曲線每一條曲線xi(t)都是隨機(jī)過(guò)程都是隨機(jī)過(guò)程的的一個(gè)實(shí)現(xiàn)一個(gè)實(shí)現(xiàn)/樣本樣本為確定的時(shí)為確定的時(shí)間函數(shù)。間函數(shù)。在某一特定時(shí)刻在某一特定時(shí)刻t1觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值xi(t1) ，發(fā)現(xiàn)他們，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的的值是不同的 是

6、一個(gè)隨機(jī)量（是一個(gè)隨機(jī)量（隨機(jī)變量隨機(jī)變量）。）。角度角度1 1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)函數(shù)（時(shí)間過(guò)程）的集合。（時(shí)間過(guò)程）的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-116討論：討論：在任一給定時(shí)刻在任一給定時(shí)刻t1，每一樣本函數(shù)，每一樣本函數(shù)xi (t)都有一個(gè)確定的數(shù)值都有一個(gè)確定的數(shù)值xi (t1)。但在同一時(shí)刻，不同樣本的取值但在同一時(shí)刻，不同樣本的取值xi(t1) ，i=1，n卻是一個(gè)隨機(jī)變卻是一個(gè)隨機(jī)變量。量。即，即，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)

7、刻隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻t1的值的值X(t1)是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。因此，又可以把因此，又可以把隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程看作看作是是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨隨機(jī)變量的集合機(jī)變量的集合。角度角度1 1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。的時(shí)間過(guò)程的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-117概括：概括： 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)的含義屬性的含義屬性有三點(diǎn)：有三點(diǎn)： （1）X(t)是是t 的函數(shù)。的函數(shù)。 （2）X(t)在任一時(shí)刻在

8、任一時(shí)刻 t1上的取值上的取值X(t1)不是確定的，是一個(gè)不是確定的，是一個(gè)隨機(jī)變隨機(jī)變量量。 （3） X(t)的任一實(shí)現(xiàn)的任一實(shí)現(xiàn)xi (t)是一個(gè)確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在某一是一個(gè)確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。概率論：隨機(jī)變量分析概率論：隨機(jī)變量分析分布函數(shù)、概率密度分布函數(shù)、概率密度和和數(shù)字特征數(shù)字特征研究?jī)?nèi)容研究?jī)?nèi)容隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)描述：隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)描述： 1. 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù) 2. 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1181. 1. 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的

9、分布函數(shù)設(shè)設(shè)X (t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它在任意時(shí)刻表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它在任意時(shí)刻t1的值的值X (t1)是一個(gè)隨是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識(shí)，隨機(jī)過(guò)程機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識(shí)，隨機(jī)過(guò)程X(t)的的-（1 1）隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維描述的一維描述-反映隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻取反映隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。值的統(tǒng)計(jì)特性。 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)11111( , )( )F x tP X tx 表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量X(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率。的概率。 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)1111111),(),(xtxFtxf若上式中的偏導(dǎo)存在的話。

10、若上式中的偏導(dǎo)存在的話。11( )P X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-119（2 2）隨機(jī)過(guò)程）隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維描述的二維描述-反映隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻取反映隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻取值之間的關(guān)聯(lián)程度。值之間的關(guān)聯(lián)程度。 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 任意給定時(shí)刻任意給定時(shí)刻t1 、t2， 和和 同時(shí)成立的概率：同時(shí)成立的概率：212121122( ,; , ,)( ),( )F x x t tPX tx X tx二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。2121212221212),;,(),;,(xxttxx

11、Fttxxf11( )X tx22( )X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1110（3 3）隨機(jī)過(guò)程）隨機(jī)過(guò)程X (t)的的多多維描述維描述n維分布函數(shù)維分布函數(shù) n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)12121122(,;,)( ),(),()nnnnnFxxxtttPX txX txX tx1212121212()()nnnnnnnnF xxxtttf xxxtttx xx ， ， ； ， ， ， ； ， ，第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1111目的目的/意義：意義： 可以把隨機(jī)過(guò)程可以把隨機(jī)過(guò)程X(t)當(dāng)

12、作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來(lái)看待，當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來(lái)看待，而用這個(gè)多元隨機(jī)變量而用這個(gè)多元隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)的分布函數(shù)或的分布函數(shù)或概率密度來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。概率密度來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。 顯然，顯然，n 越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分。越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立: 對(duì)于任何對(duì)于任何n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn(x1, x2, ., xn；t1, t2, ., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2).f1(xn, tn)則稱這些變量是則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的

13、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，否則就是，否則就是不獨(dú)立的不獨(dú)立的或或相相關(guān)的。關(guān)的。 意義？意義？第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11122.2.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征引言引言 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善 地刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。但地刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際中：難；不必實(shí)際中：難；不必。 措施：措施：用隨機(jī)過(guò)程的用隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征數(shù)字特征來(lái)描繪隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，來(lái)描繪隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單方便。更簡(jiǎn)單方便。 方法：方法：求隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的方法有求隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的方法有

14、“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”和和“時(shí)時(shí)間平均間平均”兩種。兩種。 統(tǒng)計(jì)平均：統(tǒng)計(jì)平均：對(duì)隨機(jī)過(guò)程對(duì)隨機(jī)過(guò)程 X(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值取值X(ti)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，用，用統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。平均。 時(shí)間平均：時(shí)間平均：對(duì)隨機(jī)過(guò)程對(duì)隨機(jī)過(guò)程X(t)的某一的某一特定實(shí)現(xiàn)特定實(shí)現(xiàn)xi(t) ，用數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)分析方法分析方法對(duì)時(shí)間求平均對(duì)時(shí)間求平均得出的種種平均值叫時(shí)間平均。得出的種種平均值叫時(shí)間平均。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11131( )( , )EX txfx t d

15、x111111( )(, )E X tx fx t dx隨機(jī)過(guò)程在任意給定時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程在任意給定時(shí)刻t的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。（1 1）隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意給定時(shí)刻在任意給定時(shí)刻t1的取值的取值X (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，其其數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望為為 式中式中 f1 (x1, t1) X(t1)的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫(xiě)為直接寫(xiě)為t， x1改為改為x，這樣，這樣第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1114a (t

16、 )1( )()( )E X txf xt dxa t 記為，X (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示，它表示隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心擺動(dòng)中心，故又常被稱為統(tǒng)計(jì)平均或，故又常被稱為統(tǒng)計(jì)平均或均均值值。 第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1115（2 2）方差）方差2( )( )( ) D X tEX ta t 2222222212( )2( ) = ( )( ) ( , ) ( )DXtEXta t XtatE Xta t EXtatE Xtatx fx t dxa

17、 t 均方值均方值均值平方均值平方方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫(xiě)成了直接寫(xiě)成了t 。因?yàn)橐驗(yàn)樗?，所以，方差等于均方值與均值平方之差方差等于均方值與均值平方之差，它，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻刻 t 相對(duì)于均值相對(duì)于均值a ( t )的偏離程度的偏離程度。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1116（3 3）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻取值之間的相不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系互關(guān)系假定：假定：X(t1)和和X(t2)分別是在分別是在t1和和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的時(shí)刻觀測(cè)得到

18、的隨機(jī)變量隨機(jī)變量。（A A）自自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)程度同一隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)程度f(wàn)2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)?？梢钥闯觯梢钥闯觯琑(t1, t2)是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。 （B B）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)1212122121212()( )( )(,;)d dR ttE X t X tx x fx x ttx x ,12112211222121212()( )( )( )( )( )( )()d dB ttEX ta tX ta txa txa tfxxttx x ， ； ，=R( t,

19、)第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1117)()(),(),(212121tatattRttB1212( ,)()()XYRttE X tY t相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：1212()( )( )R ttE X tX t,121122( , )( )( )( )( )B t tEX ta tX ta t特別：特別：若若a(t) =0，則，則 B(t1, t2) = R(t1, t2)（C C）互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)不同隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)不同隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)的相關(guān)程度的相關(guān)程度1212121212( , )( )

20、 ( )( ) ( )( , )( ) ( )0XYXYRt tE X t Y tE X tE Y tRt tE X t Y t-統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)-相互正交相互正交相應(yīng)地：相應(yīng)地：R(t1, t2)稱為稱為自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)。特別：特別：第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11181211221212( , )( )( ) ( )( )( , )( )( )XYXYXYXYBt tEX tatY ta tRt tat a t顯然：顯然：若若aX(t)或或aY(t) =0，則，則 BXY(t1, t2) = RXY (t1, t2)（D D）互協(xié)方差函

21、數(shù)互協(xié)方差函數(shù)則稱則稱X(t)和和Y(t)互不相關(guān)互不相關(guān)。特別：若特別：若121122( , )( )( ) ( )( )0XYXYBt tEX tatY ta t統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程是不相關(guān)的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程是不相關(guān)的。問(wèn)：?jiǎn)枺航y(tǒng)計(jì)獨(dú)立、互不相關(guān)、正交的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、互不相關(guān)、正交的關(guān)系。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1119 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.3.1 2.3.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念1.1.定義定義若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，它的任意，它的任意n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間維分布或概

22、率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即對(duì)于任意的正整數(shù)對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)和所有實(shí)數(shù) ，有，有則稱則稱X(t)是是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11202.2.性質(zhì)性質(zhì)該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。特別是：的推移而改變。特別是：一維分布函數(shù)與時(shí)間一維分布函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)：無(wú)關(guān)：3.3.數(shù)字特征數(shù)字特征),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；)(),(

23、11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf1 111( )( )E X tx f x dxa12111221212( , )( )()( ,; )d d( )R t tE X t X tx x fx xx xR 而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：可見(jiàn)可見(jiàn)：（：（1）其均值與其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)，為有關(guān)，為R()。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1121嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征：嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征：

24、（1）其均值與其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。 4.4.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 把同時(shí)滿足（把同時(shí)滿足（1）和（）和（2）的隨機(jī)過(guò)程定義為）的隨機(jī)過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程。意義：意義：具有具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程。有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11

25、222.3.2 2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本。的樣本。 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來(lái)決定平來(lái)決定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征呢穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的回答是肯定的： 平穩(wěn)過(guò)程在平穩(wěn)過(guò)程在滿足一定的條件滿足一定的條件下具有一種十分有用的特性下具有一種十分有用的特性-“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)

26、歷經(jīng)性”（或稱（或稱“遍歷性遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過(guò)）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過(guò)程，其數(shù)字特征（均為程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值時(shí)間平均值來(lái)代替。來(lái)代替。 條件？條件？第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1123各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：設(shè)： xi(t)是平穩(wěn)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程X(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間時(shí)間均值均值和和時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：分別定義為：如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立/2/2/2/21( )

27、lim( )d1( )( ) ()lim( ) ()dTTTTTTax tx ttTRx t x tx t x ttT)()(RRaa則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1124“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義的含義 隨機(jī)過(guò)程中的任何一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀隨機(jī)過(guò)程中的任何一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)信息。態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)信息。 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)好處好處 在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相

28、關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)限多次的考察，限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平時(shí)間平均均”值代替過(guò)程的值代替過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”值即可，值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算從而使測(cè)量和計(jì)算問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。注：注：具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。足各態(tài)歷經(jīng)條件。)()(RRaa第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)

29、與噪聲分析通信原理2022-4-1125 例例2-1、2-2 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論試討論X(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。( )cos()cX tAt202022001( )( )cos()d2(coscossinsin )d2coscos dsinsin d 02ccccca tE X tAtAttAtt 【解解】（1）先求）先求X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值。的統(tǒng)計(jì)平均值。均值：均值：與與t 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪

30、聲分析通信原理2022-4-1126 僅只與時(shí)間間隔僅只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。所以：所以：X(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。是廣義平穩(wěn)過(guò)程。自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：1212122212122221210221( , )( )( ) cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 d222cos()02cccccccR t tE X t X tE AtAtAEttttAAttttAtt)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1 = ，得到，得到第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1127/2/21limcos()d0TcTTaAttT

31、/2/22/2/2/2/221( )limcos()cos()dlimcosdcos(22 )d 2cos2TccTTTTcccTTTcRAtAttTAtttTA( )( )aaRR結(jié)論：結(jié)論：隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。（2）求）求X(t)的時(shí)間平均值的時(shí)間平均值綜上，有綜上，有第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11282.3.3 2.3.3 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)特別重要，因?yàn)椋禾貏e重要，因?yàn)椋浩椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過(guò)相關(guān)函平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過(guò)相關(guān)函數(shù)來(lái)描述。數(shù)

32、來(lái)描述。相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性。相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性。（1）平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：）平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：1212( )( , )( )( )RR t tE X t X t（2）平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)特別：特別：均值為均值為0時(shí)，有：時(shí)，有：平均功率平均功率 R(0) = 22(0)( )RE Xt)()( RR( )(0)RR22( )( )REX ta 2)()0( RR 的的偶函數(shù)偶函數(shù) R( )的的上界上界，R( )在在 = 0有最大值。有最大值。 X(t)的的平均功率平均功率 X(t)的的直流功率直流功率 X(t)的的交流功率

33、交流功率1）2）3）4）5）第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11292） - R() 的的上界。上界。證：證：由于由于 從而從而 222( )() = ( )()2( )()= (0)(0)2 ( )=2 (0)( )0 EX tX tE XtXtX t X tRRRRR2( )() 0 EX tX t( )(0)RR所以，得所以，得( )(0)RR對(duì)性質(zhì)對(duì)性質(zhì)2）、）、4）、）、5）證明如下。）證明如下。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11304） -X(t)的的直流功率直流功率。證：證：注：注：這里利用了當(dāng)

34、這里利用了當(dāng)時(shí)時(shí)X(t)與與X(t+)變得變得沒(méi)有沒(méi)有依賴關(guān)系，依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為X(t)不不含有周期分量。含有周期分量。5） -方差為方差為X(t)的的交流功率交流功率。證：證：由由22( )lim ( )lim ( )()( ) ()( )RRE X t X tE X t E X tEX ta ，平穩(wěn)22( )( )REX ta 222222222( )( )( )( ) ( )2( ) = ( )2 = (0)D X tE X ta tE X taE XtaX taE XtaaRa2(0)( )RR證畢。證畢。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分

35、析通信原理2022-4-11312.3.4 2.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度PX() 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()的又一重要性質(zhì)。的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：設(shè)：X(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，R()絕對(duì)可積絕對(duì)可積( ) dR 則則在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。意義：意義：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。傅里葉關(guān)系。 d1d2jXjXPReRPe簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：

36、( )( )XRP維納維納- -辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1132證明：證明：由信號(hào)與系統(tǒng)課程知道，對(duì)于任意確定功率信號(hào)由信號(hào)與系統(tǒng)課程知道，對(duì)于任意確定功率信號(hào)x(t)，其功率譜密度為其功率譜密度為式中，式中， 是是x(t)的短截函數(shù)的短截函數(shù)xT(t)的的頻譜函數(shù)。對(duì)于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程頻譜函數(shù)。對(duì)于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，它的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也而言，它的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可以由上式確定?？梢杂缮鲜酱_定。2( )( )limTxTXPT( )TX但一般而言，不同實(shí)現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的但一般而言，不同實(shí)現(xiàn)

37、具有不同的譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即看作是對(duì)所有實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即2( )( )( )limTXxTEXPE PT第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1133 1dd2jjXXPReRPe2( )( )limTxTXPT2( )( )( )limTXxTEXPE PT我們還知道，非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功我們還知道，非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平

38、穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立，也就是說(shuō)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度成立，也就是說(shuō)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度PX()與其自與其自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()也是一對(duì)傅里葉變換，即也是一對(duì)傅里葉變換，即( )( )XRP第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1134討論：討論：（1）對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得）對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的平均功率平穩(wěn)過(guò)程的平均功率：(0)( )dXRPff從頻域的角度給出了過(guò)程平均功率的計(jì)算方法。從頻域的角度給出了過(guò)程平均功率的計(jì)算方法。（2）各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度等于過(guò)程的

39、功各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度：率譜密度： 1dd2jjXXPReRPe即，任一實(shí)現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過(guò)程的譜特性。即，任一實(shí)現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過(guò)程的譜特性。( )( )XxPP( )( )RR【證證】對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，有對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，有 兩邊同取傅里葉變換，得兩邊同取傅里葉變換，得 此即此即 ( ) ( )F RF R( )( )XxPP第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1135【解解】由例由例2-1已經(jīng)得知隨相信號(hào)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，且其已經(jīng)得知隨相信號(hào)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，且其相關(guān)相關(guān)函數(shù)函數(shù)為為20( )cos2

40、AR 例例2-3 試求隨相正弦波試求隨相正弦波X(t) = Acos( ct + )的自相關(guān)函數(shù)、功的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和和平均功率。率譜密度和和平均功率。又由又由 ( )( )XRP)()(cosccc2( ) ()()2XccAP 21(0)( )22XASRPd得得 功率譜密度功率譜密度 平均功率平均功率 第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1136 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程 通信中最重要也是最常見(jiàn)的過(guò)程。通信中最重要也是最常見(jiàn)的過(guò)程。2.4.1 2.4.1 高斯過(guò)程的定義高斯過(guò)程的定義若隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意的任意n維

41、分布（維分布（n=1,2,）均服從正態(tài)分布，）均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。 n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式見(jiàn)見(jiàn) 式（式（2.4.1） （2.4.3）特點(diǎn)：特點(diǎn)：高斯過(guò)程的高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值均值、方差方差和和歸一化協(xié)方差歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。特征就可以了。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1137（2.4-1）12121/2/21112()11exp()()2(

42、2 )nnnnnjjkkjknjkjknfxxxtttxaxaBBB ， ， ， ； ， ， ， n維正態(tài)概率密度函數(shù)維正態(tài)概率密度函數(shù)為為121212121 1 1nnnnbbbbBbb( )( )jjkkjkjkEX taX tab 22( )( )kkkkkaE X tE X ta，（2.4-2）（2.4-3）式中，式中， 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式歸一化協(xié)方差矩陣的行列式歸一化協(xié)方差函數(shù)歸一化協(xié)方差函數(shù)-均值、方差均值、方差jkB為行列式為行列式 中元素中元素bjk的代數(shù)余因子。的代數(shù)余因子。 B第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1138特別情況下

43、，當(dāng)特別情況下，當(dāng)n=1時(shí)，式時(shí)，式（2.4-1）簡(jiǎn)單為簡(jiǎn)單為 21111211()1( , )exp22xaf x t此即為高斯過(guò)程此即為高斯過(guò)程X(t)在時(shí)刻在時(shí)刻t1取值所得隨機(jī)變量取值所得隨機(jī)變量X(t1)的一維概率的一維概率密度函數(shù)，顯見(jiàn)其為正態(tài)的。式中，密度函數(shù)，顯見(jiàn)其為正態(tài)的。式中，a1為為X(t1)的均值，的均值， 為為X(t1)的方差。的方差。（2.4-4）一維時(shí)：一維時(shí)：21221()( )exp(2.4.6)22xaf x第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11392.4.2 2.4.2 高斯過(guò)程的高斯過(guò)程的重要重要性質(zhì)性質(zhì)由定義可分

44、析出由定義可分析出（1）高斯過(guò)程）高斯過(guò)程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2）高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量）高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量X(t1)、X(t2)、X(t3)、之間之間若不若不相關(guān)相關(guān)，則它們也必是，則它們也必是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。的。意義：意義：這種情況下，隨機(jī)過(guò)程極其復(fù)雜的這種情況下，隨機(jī)過(guò)程極其復(fù)雜的n維正態(tài)概率密度函數(shù)維正態(tài)概率密度函數(shù)表示轉(zhuǎn)化為表示轉(zhuǎn)化為n個(gè)簡(jiǎn)單的一維分布的乘積。個(gè)簡(jiǎn)單的一維分布的乘積。（3）若干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程。若干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程。從信號(hào)角度。從信號(hào)角度。（4）高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過(guò)程。高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯

45、過(guò)程。從系統(tǒng)角度從系統(tǒng)角度。212122/2112111122121()1()exp2(2 )()1= exp()()22njjnnnnnjjjjnjjnnjjjxafxxxtttxaf xtf xtf xt， ， ， ； ， ， ， )，（2.4.5）（2.4-1）(2.4-2)1B 第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1140221()( )exp(2.4.6)22xafx 則稱則稱x為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量。也稱高斯隨機(jī)變量。 a均值均值， 2方差方差 。3.3.3 3.3.3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量高斯

46、過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)要反復(fù)用到抗噪聲性能時(shí)要反復(fù)用到。1. 1. 定義定義/ /概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成曲線：曲線：第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1141性質(zhì)：性質(zhì)：1）對(duì)稱于直線）對(duì)稱于直線x=a; 2）在）在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點(diǎn)處達(dá)到極大值點(diǎn)處達(dá)到極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf x dxf x dx，3）

47、 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定時(shí)一定時(shí)，。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11422. 2. 正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（1 1）一般表示式）一般表示式22222/21()( )e( )d1()expdddxpd22122d2xxxx atf zzzazazaF xzetztzt，令，則這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入誤差函數(shù)誤差函數(shù)或或Q函數(shù)（可查表）函數(shù)（可查表）來(lái)表來(lái)表述。述。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1143（3 3）用誤差函數(shù)表示）用

48、誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1 1）誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)定義20erf( )d2xzxez22erfc( )1erf( )dzxxxez誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：22/221()1( )expdd222x axtzaF xzet附錄附錄B第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11442 2）誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)： erf()erf( )xxerf( )1 erfc()2erfc( )x

49、xerfc( )0 21erfc( )1xxexx，互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)：202erf( )dxzxez22erfc( )1erf( )dzxxxez 第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11453 3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)22220( )( )d( )d( )d11()expd22211d211erf ()222xaxaxaxatF xf zzf zzf zzzazetxa 20,d2d22erf( )dxzzatztxezerf()1 erf11er1111(

50、)2222fc()c(2)222xaxaF xxa或：或：第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1146（2 2）用）用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù) Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：2/21( )2txQ xedt22( )zxerfc xedzQ函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系： 221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(Q函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：112)()2(xaerfcF xQ函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)

51、與噪聲分析通信原理2022-4-1147 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2.5.1 2.5.1 輸出過(guò)程的表達(dá)式輸出過(guò)程的表達(dá)式線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 設(shè)：設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為 ：h(t)、H() 。周知：周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)線性系統(tǒng)響應(yīng)y(t)等于輸入信號(hào)等于輸入信號(hào)x(t)與沖擊響應(yīng)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，的卷積，即：即：確知信號(hào)通過(guò)確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()dy tx th thx t第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-

52、1148理解：理解： 上式對(duì)于確知信號(hào)是沒(méi)有問(wèn)題的。上式對(duì)于確知信號(hào)是沒(méi)有問(wèn)題的。 當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程X (t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)，也應(yīng)成立的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)，也應(yīng)成立。即，。即，如果把如果把x(t)看作是輸入隨機(jī)過(guò)程看作是輸入隨機(jī)過(guò)程X (t)的某一個(gè)樣本，則的某一個(gè)樣本，則y(t)將將是輸出隨機(jī)過(guò)程是輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)的一個(gè)相應(yīng)的樣本。的一個(gè)相應(yīng)的樣本。 這一關(guān)系這一關(guān)系可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過(guò)程可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過(guò)程。即當(dāng)輸。即當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程入是隨機(jī)過(guò)程X(t)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)。且有：。且有： 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

53、：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()dy tx th thx t( )( )* ( )( ) ()dY tX th thX t第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11492.5.2 2.5.2 輸出隨機(jī)過(guò)程輸出隨機(jī)過(guò)程 Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性任務(wù)：任務(wù)：假設(shè)假設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求Y(t)的的統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性。注：注：考察一個(gè)實(shí)現(xiàn)就夠了?？疾煲粋€(gè)實(shí)現(xiàn)就夠了。假設(shè)：假設(shè)：X(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過(guò)程，且是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過(guò)程，且 均值均值aX ， 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)RX( ) ，

54、功率譜密度功率譜密度 PX( ) ；求求輸出過(guò)程輸出過(guò)程Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及的統(tǒng)計(jì)特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。概率分布。( )( )* ( )( )()dY tX th thX t第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11501.1.Y(t)的均值的均值結(jié)論：結(jié)論：線性系統(tǒng)輸出過(guò)程的均值，是輸入過(guò)程均值與系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸出過(guò)程的均值，是輸入過(guò)程均值與系統(tǒng)直流增益的乘積。直流增益的乘積。 輸出過(guò)程的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)。輸出過(guò)程的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)。 ( )()d( )( )0()d( )dYXXE Y tEhX ta HahE

55、 X tah與與t無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。( )( )()dY thX t對(duì)對(duì)兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11512.2. Y(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義( ,)( ) ()( )()d( )()d( ) ( )d d( ) ( )d()()()d( )YYXR t tE Y t Y tEhX thE XX thhhhRtX tR 僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。綜上綜上: : Y( (t) )平穩(wěn)。平穩(wěn)。( )( )()dY thX t第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2

56、022-4-1152由由進(jìn)行傅里葉變換，得進(jìn)行傅里葉變換，得( )( ) ( )()d dYXRhhR ( )( )( ) ( )()d ddjYYjXPRedhhRe 3.3.Y(t)的功率譜密度的功率譜密度令令 = - + ，代入上式，得到，代入上式，得到即即( )( )d( )d( )djjjYXPheheRe2( )( )( )( )( )( )XYXHHPHPP結(jié)論：結(jié)論：-第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1153由于已假設(shè)由于已假設(shè)X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變

57、量。因此，輸出過(guò)程在任一時(shí)刻刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過(guò)程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和輸上得到的隨機(jī)變量就是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和輸出過(guò)程也為高斯過(guò)程。出過(guò)程也為高斯過(guò)程。注：注：與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。4. 4. Y(t)的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)結(jié)論：結(jié)論：證：證：從積分原理看從積分原理看可以表示為：可以表示為：0( )lim()()kkkkkY thX t( )( ) ()dY thX t第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1154 2.6

58、 2.6 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶過(guò)程窄帶過(guò)程2.6.12.6.1窄帶隨機(jī)過(guò)程的概念窄帶隨機(jī)過(guò)程的概念1.1.什么叫窄帶隨機(jī)過(guò)程？什么叫窄帶隨機(jī)過(guò)程？ 頻譜：頻譜：所占頻帶較窄，滿足所占頻帶較窄，滿足f fc的隨機(jī)過(guò)程叫。的隨機(jī)過(guò)程叫。 時(shí)域：時(shí)域：用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形幅度和相用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-1155221( )= ( )cos( )( )( )= ( )sin( )( )( )( )( )( )( )tg( )cscssca t

59、ttX ta tttX ttatatX tatX ta 同相分量正交分的的量隨機(jī)包絡(luò)的的隨機(jī)相位問(wèn)：?jiǎn)枺赫瓗щS機(jī)過(guò)程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的? ?可以看出：可以看出： X(t)的統(tǒng)計(jì)特性由的統(tǒng)計(jì)特性由(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。的統(tǒng)計(jì)特性確定。 若若X(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則的統(tǒng)計(jì)特性已知，則(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計(jì)特性也的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。隨之確定。( )( )cos(t),( )cos(t)sin( )0cccsctX ttta ttat2. 2. 表達(dá)式表達(dá)式兩種！兩種

60、！( ) t( ) t( )ca t( )sa t圖2-5 窄帶高斯過(guò)程矢量圖第第2 2章章 隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析通信原理2022-4-11562.6.2 2.6.2 已知已知X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求的統(tǒng)計(jì)特性，求ac(t)、as(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見(jiàn)教材。僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見(jiàn)教材。結(jié)論：結(jié)論：若：若：X(t)是是均值為均值為0 0、方差為、方差為2、窄帶、平穩(wěn)、高斯、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程。則：則：（1）ac(t)、as(t)同樣是同樣是平穩(wěn)高斯平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程；隨機(jī)過(guò)程； （2）ac(t)、as(t)的的均值與均值與X(t)的相同，皆為