反證法教學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

1、反證法教學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用 摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師對(duì)運(yùn)用反證法的作用認(rèn)識(shí)不夠，教材也沒(méi)有給予足夠的重視。雖然證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的作用，但作為問(wèn)題的另一方面，也應(yīng)清楚反證法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。注重反證法教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、靈活性及注重反證法構(gòu)造培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來(lái)越被人們重視和認(rèn)可。反證法構(gòu)造還是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的很好載體。關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué)；反證法；思維；反例構(gòu)造0 引言數(shù)學(xué)是一門(mén)精確的學(xué)科，主要體現(xiàn)于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要精準(zhǔn)、解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維要嚴(yán)謹(jǐn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要證明一個(gè)命題正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推證，而要否定一個(gè)命題卻只需

2、舉出一個(gè)與結(jié)論相矛盾的例子就行。這種與命題相矛盾的例子稱為反例。反例具有直觀、說(shuō)服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到廣泛運(yùn)用。因此在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地使用反例，并加強(qiáng)對(duì)反例構(gòu)造方法的指導(dǎo)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展是大有裨益的。1 注重反證法教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性1.1 反證法教學(xué)用于強(qiáng)化概念在概念的學(xué)習(xí)中，有些學(xué)生不注意領(lǐng)會(huì)定義中的關(guān)鍵性詞句，不善于抓住概念的本質(zhì)屬性，經(jīng)常出現(xiàn)理解上的混肴。對(duì)此，教師不僅要運(yùn)用正面的例子加以闡述，而且還要善于借助反例的簡(jiǎn)明且具有說(shuō)服力的否定來(lái)澄清學(xué)生的片面認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。例如，對(duì)正三棱錐的概念，學(xué)生往往忽視“頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心”這一條件，

3、誤認(rèn)為“底面是正三角形，各側(cè)面均為等腰三角形的三棱錐就是正三棱錐”。對(duì)此，可舉反例如下：如圖1所示，三棱錐中，。顯然底面為正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，但三棱錐卻不是正三棱錐。因此，當(dāng)學(xué)生對(duì)內(nèi)涵豐富的知識(shí)感知不全時(shí)可通過(guò)數(shù)學(xué)反例，突顯出所學(xué)知識(shí)中易為學(xué)生忽視的本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的全面認(rèn)識(shí)，深刻理解。1.2 反證法教學(xué)用于糾正錯(cuò)解面對(duì)學(xué)生解題中所出現(xiàn)的共性錯(cuò)解，教師一般不要急于點(diǎn)破，而應(yīng)示以反例，曲中窺直，用反例說(shuō)明解法有誤，從而引導(dǎo)學(xué)生去追尋問(wèn)題錯(cuò)誤的根源，并指導(dǎo)學(xué)生糾正錯(cuò)誤，最終讓師生共同品嘗成功的“甘甜”。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式后，在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)往往直接應(yīng)用公

4、式，而不考慮公比是否等于1。對(duì)此，教師可以設(shè)計(jì)這樣一道題，求和：。多數(shù)學(xué)生都能熟練地套用公式，但大多數(shù)學(xué)生都忽略了和這兩種情況應(yīng)另類考慮，經(jīng)教師提醒后，學(xué)生終于認(rèn)識(shí)到時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，雖是等比數(shù)列，但=1，因此求和時(shí)也不能套用上面的公式。這一反例可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列分類條件的重視，使學(xué)生知道對(duì)待每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須仔細(xì)觀察，培養(yǎng)自己敏銳的觀察力和豐富的想象力，提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。2 注重反證法教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性2.1 反證法教學(xué)用于強(qiáng)調(diào)條件學(xué)生在學(xué)習(xí)公式、法則、定理時(shí)，往往側(cè)重于記憶其結(jié)論，不注意它們的使用范圍，以致使用時(shí)生搬硬套、錯(cuò)誤百出的現(xiàn)象極為嚴(yán)重。因此，教師在講授時(shí)，

5、要反復(fù)強(qiáng)調(diào)公式、法則、定理中的限制條件，指出它們的應(yīng)用范圍，并可根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平，適當(dāng)?shù)嘏e出一些反例，以突出“限制條件”的重要性。例如，用均值不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）求最值時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件：其一是必須保證不等式的右邊為常數(shù)；其二是必須能取到等號(hào)。例1：已知且，求的最大值。錯(cuò)解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)時(shí)，的最大值是.但若，時(shí)，=，很明顯，因而并不是的最大值。其錯(cuò)誤的原因就在于式右邊不是常數(shù)。正解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)，的最大值是.2.2 反證法教學(xué)用于暢通思路當(dāng)學(xué)生遇到難題時(shí)，思維非常容易受阻，迫使他們尋求新的解法，從而提高思維的靈活性。例：設(shè)正多面體的每個(gè)面都是

6、正邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有條，棱數(shù)為，面數(shù)為，則它們之間的關(guān)系一定正確的是（）。A、B、C、D、大部分同學(xué)一遇到題目中只有字母，無(wú)數(shù)字時(shí)，就不知從何處下手。實(shí)際上，做這類題時(shí)，最好的方法就是舉例子驗(yàn)證。分析：由歐拉公式知是正確的，且在四個(gè)答案中都有。那么還有哪些是正確的呢？由于正多面體只有5種，可舉幾個(gè)正多面體為例驗(yàn)證一下。有的同學(xué)用的是正四面體，發(fā)現(xiàn)=3，=3，=4，=6，=4，則、也都正確，認(rèn)為全部正確，選(D).其實(shí)在正六面體中，=4，=3，=6，=12，=8，此時(shí)中的=18， =24, ，所以該題的正確答案選(C).又如圖2所示，有一長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)，寬，高，求由頂點(diǎn)沿著表面到對(duì)角頂點(diǎn)

7、的最短路線的長(zhǎng)。開(kāi)始時(shí)，有較多學(xué)生誤認(rèn)為長(zhǎng)、寬和高之和為所求路線之長(zhǎng)。當(dāng)教師舉出自沿棱和右側(cè)面對(duì)角線和所得路線長(zhǎng)為時(shí)，學(xué)生們清醒地意識(shí)到原來(lái)的解答有誤，并興趣盎然地探求新的解題思路。類似地出現(xiàn)：及，教師進(jìn)一步稍加點(diǎn)撥，學(xué)生們受反例的啟發(fā)，思路又自然地被引向展開(kāi)側(cè)面的深層考慮。 由圖3可知，沿著表面到的最短路線的長(zhǎng)為.綜上所述，反例在辨析錯(cuò)誤中具有直觀、說(shuō)服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，所以注重反例教學(xué)不但能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞，而且還可以修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)多角度考慮問(wèn)題，提高思維的靈活性。3 注重反證法教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性反例往往是伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失效后產(chǎn)生的，所以運(yùn)用反例時(shí)不能就

8、事論事，而要把問(wèn)題的產(chǎn)生過(guò)程，如何舉出反例的思維過(guò)程充分展現(xiàn)給學(xué)生，使反例的提出與整個(gè)推理過(guò)程有機(jī)地結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。例：若，成等差數(shù)列，問(wèn)，是否也成等差數(shù)列。這時(shí)，同學(xué)們可能會(huì)立刻用自己學(xué)過(guò)的等差數(shù)列知識(shí)來(lái)求證。比如有位同學(xué)是這樣解：，成等差數(shù)列-=-整理得：(+)(-)=(+)(-)即:再在兩邊同時(shí)除以(+)得:把上式拆成:，也成等差數(shù)列。初看此解的過(guò)程好像是正確的，但你只要仔細(xì)想一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的所在。若=-時(shí)，雖然，還是成等差數(shù)列，但(+)，(+)都等于零，分母是不能為零的，所以結(jié)論是不成立的。再如，學(xué)生學(xué)習(xí)三垂線定理及逆定理時(shí)，往往忽視“平面內(nèi)的一條直線”中“內(nèi)” 的特

9、定條件。教學(xué)中可用如下反例來(lái)啟發(fā)學(xué)生，如圖4所示，在正方體中，因?yàn)?，所以，又是在平面?nèi)的射影，故。事實(shí)上，因?yàn)?，所以與所成的角為45，并不垂直。造成上述錯(cuò)誤的原因是忽視了“不在平面內(nèi)”，用這個(gè)反例來(lái)說(shuō)明定理中“內(nèi)”字的重要性，使學(xué)生的體會(huì)尤為深刻。4 注重反例構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性反例構(gòu)造是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。在反例的探索過(guò)程中，學(xué)生在新的問(wèn)題情景中，能享受到創(chuàng)造的樂(lè)趣，從而能激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。例1：設(shè)，已知當(dāng)|1時(shí)，|1恒成立，證明當(dāng)|2時(shí)，|7恒成

10、立。分析：要證得結(jié)論，只須證在區(qū)間-2，2上的最值在區(qū)間-7，7內(nèi)，二次函數(shù)在某區(qū)間的最值必在區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處（若頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)）取得，故只須證：7 7 7(2) 而這又須從已知條件中推得，的取值范圍再加以證明，學(xué)生很快從已知得到：111 進(jìn)一步又可推得|1和|2由這些條件能否推出所需的三個(gè)結(jié)果呢？先試式，若簡(jiǎn)單地放大4|+2|+|11是無(wú)法推得式的。這時(shí)如果有同學(xué)發(fā)現(xiàn)若能從已知條件推出|1就能證明了。那么這個(gè)發(fā)現(xiàn)有價(jià)值嗎？猜想|1是否正確？其實(shí)存在=2的函數(shù)符合已知條件，通過(guò)反例把這個(gè)猜想否定了，這種批判性的思維非常寶貴，教師在加以肯定的同時(shí)又指出：現(xiàn)在必須對(duì)4+2+進(jìn)行重新組合變形

11、，是否有更有力的條件加以利用？同學(xué)們大多都能發(fā)現(xiàn)|+|1比|2更有用，用它能解決|2無(wú)法解決的矛盾，于是有：=|4(+)-2-3|4|+|+2|+3|9雖有進(jìn)步，但仍無(wú)法證得式，這種變形雖解決了主要矛盾，但和的系數(shù)變得太大，次要矛盾上升為主要矛盾，兩方面兼顧得：=|2(+)+2-|2|+|+2|+|7這樣就圓滿地完成了式，同理可證得式；對(duì)式因?yàn)橛? 所以|+5 注重反例構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性5.1 反證法教學(xué)用于否定謬誤在立體幾何學(xué)習(xí)中，常見(jiàn)學(xué)生通過(guò)類比、推廣等方法得出一些錯(cuò)誤的命題，要否定這些謬誤，反例往往是最強(qiáng)有力的武器。例如，有的學(xué)生把“圓柱過(guò)兩條母線的截面中，以軸截面的面積為最大”

12、的結(jié)論移植到圓錐中，誤認(rèn)為“圓錐過(guò)兩條母線的截面中，亦以軸截面的面積為最大”。此時(shí)，可構(gòu)造反例：一個(gè)圓錐頂角為120，母線長(zhǎng)為2，作一個(gè)過(guò)圓錐兩條母線的截面，其頂角為90，則圓錐軸截面面積；頂角為90的截面面積；顯然。可見(jiàn)，當(dāng)圓錐頂角大于90時(shí)，并非以軸截面面積為最大。又如，梯形的中位線定理，有的學(xué)生盲目地把它類比推廣到空間中的臺(tái)體上，誤認(rèn)為“臺(tái)體的中截面面積等于上、下底面面積之和的一半”。為了否定這一謬誤，可構(gòu)造如下反例：設(shè)圓臺(tái)中，則，,顯然，即。5.2 反證法教學(xué)用于拓展思維例如在講授實(shí)數(shù)一節(jié)內(nèi)容時(shí)，我曾安排了這樣一個(gè)思考題：兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和是否一定是無(wú)理數(shù)？學(xué)生們馬上舉出幾個(gè)反例如：與-，

13、與-，與等，它們的和都等于零。這些反例的共同特征是：互為相反數(shù)的兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和為有理數(shù)。有一個(gè)學(xué)生在思考后給出了這樣的事例：，這里與都是無(wú)理數(shù)，但+=3.3333卻是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)。對(duì)于，這兩個(gè)數(shù)都是無(wú)理數(shù)，同學(xué)們都是清楚的，不難想到的，但是這位學(xué)生在無(wú)理數(shù)的基礎(chǔ)上，能進(jìn)一步深入思考與探索，發(fā)現(xiàn)、之和也是有理數(shù)這一重要特征，從而使問(wèn)題順利解決，其觀察之深刻，聯(lián)想之及時(shí)，想象之豐富，使作為教師的我也驚嘆不已。這一事例說(shuō)明教師在日常教學(xué)中，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，更重要的是要善于引?dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，可經(jīng)常選擇一些發(fā)散性強(qiáng)的典型數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于

14、和善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或提出問(wèn)題，愛(ài)護(hù)、支持和鼓勵(lì)學(xué)生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動(dòng)，又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)造并不是惟一的，這就需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有深刻、透徹的理解，并調(diào)動(dòng)他們?nèi)康臄?shù)學(xué)功底，充分展開(kāi)想象，從而提高學(xué)生思維的發(fā)散性。因此，構(gòu)造反例的過(guò)程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過(guò)程。6 結(jié)束語(yǔ)總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要適時(shí)地引進(jìn)一些簡(jiǎn)明生動(dòng)、擊中要害的反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，注重反證法教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、靈活性及注重反證法構(gòu)造培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性，往往能使學(xué)生的思維從模糊狀態(tài)逐漸上升為豁然開(kāi)朗，長(zhǎng)此下去，可以收到事半功倍的效果，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)密性、靈活性、深刻性、發(fā)散性和創(chuàng)新性。參考文獻(xiàn)：1人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）.北京:人民教育出版社,2004.2高中數(shù)理化用表編寫(xiě)組.高中數(shù)理化用表.北京:中華工商聯(lián)合出版社,2006.3王榮槐.論文寫(xiě)作與編輯出版.武漢:華中師范大學(xué)出版社,1999.4 丁翌平,史鯤.創(chuàng)新與應(yīng)用題演練.長(zhǎng)春:北方婦女兒童出版社,2002.致 謝在論文完成之際，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師的熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo)。