第9章能量方法

1、第第9 9章章 能量方法能量方法9- -1 基本概念基本概念9- -2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用9- -3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用9- -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題9- -4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用19 9-1 -1 基本概念基本概念2一、引言一、引言ACBFPFP求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)B的垂直位移。的垂直位移。3求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)A的垂直位移。的垂直位移。FABC幾何法確定結(jié)構(gòu)位移的復(fù)雜性 9- -1 基本概念基本概念4二、彈性體的功能原理二、彈性體的功能原理 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值上等物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力

2、在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，即于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，即WV 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱(chēng)為內(nèi)積蓄的能量，稱(chēng)為應(yīng)變能應(yīng)變能。9- -1 基本概念基本概念5三、變力功與常力功三、變力功與常力功 作用在彈性桿件上的力，其加力點(diǎn)的位移，隨著桿件作用在彈性桿件上的力，其加力點(diǎn)的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為變力功變力功。 彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，

3、這時(shí)，如果某種外界因素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，平衡，這時(shí)，如果某種外界因素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力，由于加力點(diǎn)的位移，也作功，但不作用在彈性體上的力，由于加力點(diǎn)的位移，也作功，但不是變力功，而是是變力功，而是常力功常力功。 9- -1 基本概念基本概念6四、桿件應(yīng)變能的計(jì)算四、桿件應(yīng)變能的計(jì)算1 1、軸向拉壓、軸向拉壓dx+ dxdxFNFNN1dd2VFxEAdxFFNN 21EAdxFN22 lNEAdxxFV22 等直桿，軸力為常量時(shí)：等直桿，軸力為常量時(shí)：EAlFVN22 9- -1 基本概念基本概念7d TT2 2、圓軸扭轉(zhuǎn)、圓軸扭轉(zhuǎn)PGITdxT 21PGIdxT

4、22 lPGIdxxTV22 等直桿，扭矩為常量時(shí)：等直桿，扭矩為常量時(shí)：PGIlTV22 TddV21 9- -1 基本概念基本概念83 3、彎曲、彎曲dxMMd lEIdxxMV22 MddV21 （忽略剪力的影響）（忽略剪力的影響）dxdxdddxd22 ，得：，得：由由 dxEIxMdEIxMdxd ，得：，得：再由再由229- -1 基本概念基本概念94 4、組合變形、組合變形 截面上存在幾種內(nèi)力，各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相截面上存在幾種內(nèi)力，各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相互獨(dú)立，力獨(dú)立作用原理成立，各個(gè)內(nèi)力只對(duì)其相應(yīng)的位互獨(dú)立，力獨(dú)立作用原理成立，各個(gè)內(nèi)力只對(duì)其相應(yīng)的位移做功。移做功。

5、 lllNEIdxxMGIdxxTEAdxxFV2)(2)(2)(222 上述應(yīng)變能表達(dá)式必須在小變形條件下，并且在彈上述應(yīng)變能表達(dá)式必須在小變形條件下，并且在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)才適用。性范圍內(nèi)加載時(shí)才適用。9- -1 基本概念基本概念10線彈性，位移可以疊加線彈性，位移可以疊加l1F1F1+F2lF2l2FlOFlOFlO l2l1l=l1+ l2(1)(1)疊加法的應(yīng)用限制疊加法的應(yīng)用限制9- -1 基本概念基本概念5 5、討論、討論11l1F1F1+F2lF2l2FlOFlOFlO l2l1V1V2VV1V2線彈性線彈性, ,位移可以疊加位移可以疊加, ,但應(yīng)變能不能疊加但應(yīng)變能不能疊加2

6、1 VVV 9- -1 基本概念基本概念？129- -1 基本概念基本概念A(yù)LFEILAFMLAM1 V2 V V21 VVV 139- -1 基本概念基本概念Cl/2AFBl/2Cl/2ABl/2MCl/2AFBl/2M1 V2 V V21 VVV 149- -1 基本概念基本概念FFTTFFTT1 V2 V V21 VVV 15 不同的內(nèi)力分量引起的應(yīng)變能，在什么條件下才能疊加？ 一種載荷在另一種載荷引起的位移上不做功一種載荷在另一種載荷引起的位移上不做功 一種載荷不在另一種載荷方向上引起相應(yīng)位移一種載荷不在另一種載荷方向上引起相應(yīng)位移9- -1 基本概念基本概念16F1+F2lFlO l

7、2l1VF2F1+F2lFlO l1l1VF1(2)(2)應(yīng)變能的數(shù)值與加載次序無(wú)關(guān)。應(yīng)變能的數(shù)值與加載次序無(wú)關(guān)。V2V1V1V22112lFlF9- -1 基本概念基本概念17A AD DF F1 12 211211 1A AD DF F2 22 212221 1ij i 代表位置，代表位置，j 代表載荷代表載荷 同一彈性體的兩種受力狀態(tài)同一彈性體的兩種受力狀態(tài)11121 FW 22221 FW 9- -1 基本概念基本概念五、互等定理五、互等定理18121212 FF 功的互等定理功的互等定理若若F1=F21221 位移互等定理位移互等定理先加先加 F1，后加，后加 F2：A AD DF

8、F2 22 22211F1 1121 1先加先加 F2，后加，后加 F1：1212221112121 FFFW 2121112222121 FFFW A AD DF2 22 22221F1 1111 1考察考察F1,F2 對(duì)彈性體的做功對(duì)彈性體的做功9- -1 基本概念基本概念 功的互等定理功的互等定理：一個(gè)：一個(gè)力系的力在另一個(gè)力系引力系的力在另一個(gè)力系引起的相應(yīng)的位移上所作之起的相應(yīng)的位移上所作之功等于另一個(gè)力系的力在功等于另一個(gè)力系的力在這一個(gè)力系引起的相應(yīng)的這一個(gè)力系引起的相應(yīng)的位移上所作之功。位移上所作之功。 位移互等定理位移互等定理：若一若一個(gè)力與另一個(gè)力數(shù)值相等，個(gè)力與另一個(gè)力數(shù)

9、值相等，則一個(gè)力在另一個(gè)力作用則一個(gè)力在另一個(gè)力作用處引起的位移，數(shù)值上等處引起的位移，數(shù)值上等于另一個(gè)力在這一個(gè)力作于另一個(gè)力在這一個(gè)力作用處引起的位移。用處引起的位移。力是廣義的，位移也是廣義的。力是廣義的，位移也是廣義的。19關(guān)于功的互等定理的說(shuō)明：關(guān)于功的互等定理的說(shuō)明： 成立的成立的前提是對(duì)于前提是對(duì)于線彈性體線彈性體； 兩組外力兩組外力之間，功的互等定理也成立；之間，功的互等定理也成立；A AD DFMA AD DFA AD DFFM 關(guān)鍵在于搞清楚兩個(gè)（組）廣義外力在對(duì)方作用點(diǎn)關(guān)鍵在于搞清楚兩個(gè)（組）廣義外力在對(duì)方作用點(diǎn)處引起的廣義位移。處引起的廣義位移。9- -1 基本概念基本

10、概念209- -1 基本概念基本概念 習(xí)題集P92：10、11； P93：12、13P95：2、3、4、5219- -1 基本概念基本概念例例9-1-19-1-1 用能量法求用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁的彎曲剛度為點(diǎn)的撓度。梁的彎曲剛度為EI。CFWV 21 由功能原理由功能原理 LxEIxMVd2)( 2 )20( ; 2)(lxxFxM 應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性，得應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性，得：EIlFxxFEIVl96d)2(21232202 EIFlC483 得得：Cl/2AFBl/2x解：解： AC段：段：9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用22線彈性梁線彈性梁受多個(gè)廣義力受多個(gè)廣義力F的作的作用，

11、求各廣義力的用，求各廣義力的相應(yīng)位移相應(yīng)位移i。方法一：方法一： 疊加法疊加法方法二：方法二： 能量法能量法A AB B1Fn2F1 1F2 2Fiin),(21nFFFWW ),(21nFFFVViiiFVFW WV 一、卡氏第二定理一、卡氏第二定理構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)于某構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)于某一個(gè)載荷的一階偏導(dǎo)教，等于這一個(gè)載荷的一階偏導(dǎo)教，等于這一載荷的作用點(diǎn)處、沿著這一載一載荷的作用點(diǎn)處、沿著這一載荷作用方向上的位移。荷作用方向上的位移。23卡氏第二定理的證明：卡氏第二定理的證明：多個(gè)多個(gè)F的作用下：的作用下：先加上先加上dFi ，再加上，再加上FiiiiiiiiiiidFWddFd

12、FFddFW 0121 2121),(21nFFFWW 若給若給Fi一個(gè)增量一個(gè)增量dFiiiiFVFW （略去高階小量）（略去高階小量）d dFiA AB B1Fn2F1 1F2 2Fiin),(21niiFFFiiFW 210iidFFWdW 9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用24Fi 為廣義力，為廣義力， i 為相應(yīng)的位移。為相應(yīng)的位移。一個(gè)力一個(gè)力一個(gè)力偶一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力一對(duì)力偶一對(duì)力偶一個(gè)一個(gè)線位移線位移一個(gè)一個(gè)角位移角位移相對(duì)線位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移相對(duì)角位移9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用25 怎樣應(yīng)用卡氏定理確定任意點(diǎn)、沿任意怎樣應(yīng)用

13、卡氏定理確定任意點(diǎn)、沿任意方向的位移？方向的位移？ 附加力法附加力法：當(dāng)應(yīng)用卡氏定理確定沒(méi)有外力作用的點(diǎn)之：當(dāng)應(yīng)用卡氏定理確定沒(méi)有外力作用的點(diǎn)之位移（或所求的位移與加力方向不一致）時(shí)，可在所求位位移（或所求的位移與加力方向不一致）時(shí)，可在所求位移的點(diǎn)、沿著所求位移的方向假設(shè)一個(gè)力（廣義力），寫(xiě)移的點(diǎn)、沿著所求位移的方向假設(shè)一個(gè)力（廣義力），寫(xiě)出所有力（包括載荷和假設(shè)力）作用下的應(yīng)變能的表達(dá)式，出所有力（包括載荷和假設(shè)力）作用下的應(yīng)變能的表達(dá)式，并將其對(duì)假設(shè)力求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令其中的假設(shè)力等于零，并將其對(duì)假設(shè)力求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令其中的假設(shè)力等于零，便得到所要求的位移。便得到所要求的位移。 9 9

14、- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用26二、卡氏第二定理的應(yīng)用二、卡氏第二定理的應(yīng)用拉壓：拉壓： liNNlNiiidxFxFEAxFdxEAxFFFV22 扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)： liPlPiiidxFxTGIxTdxGIxTFFV22 彎曲：彎曲： liliiidxFxMEIxMdxEIxMFFV22 9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用27組合變形：組合變形： llliiPiNNlllPNiiidxFxMEIxMdxFxTGIxTdxFxFEAxFdxEIxMdxGIxTdxEAxFFFV222222 9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用三、典型例題三、典

15、型例題289 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用例題例題9 9- -2 2-1-1 用卡氏定理求圖示懸臂梁用卡氏定理求圖示懸臂梁A點(diǎn)的撓度與轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的撓度與轉(zhuǎn)角。FAlx解：解： 求求A xFxMFxxM , lAdxFxMEIxMFV 根據(jù)卡氏第二定理根據(jù)卡氏第二定理 EIFldxxEIFxl330 求求AM(附加力偶M） 1,- MxMMFxxM29 1, MxMMFxxM lAdxMxMEIxMMV dxEIMFxl10 令令 M = 0，得，得EIFlA22 只有在計(jì)算彎矩的大小與求彎矩的偏導(dǎo)時(shí)需要只有在計(jì)算彎矩的大小與求彎矩的偏導(dǎo)時(shí)需要附加力，積分時(shí)可先令其為零再運(yùn)算。

16、附加力，積分時(shí)可先令其為零再運(yùn)算。9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用30例題例題9 9- -2 2- -2 2 用卡氏定理求用卡氏定理求A點(diǎn)撓度，點(diǎn)撓度，EI為彎曲剛度為彎曲剛度。ABC2FFllxAFBFll解：解： 令FFFFBA ,2 lxxFxMxFxMABAA 0，段：段： lxlxFxMlxFxFxMBCABA2 ，段：段：9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用31根據(jù)卡氏第二定理根據(jù)卡氏第二定理 lAAAdxFxMEIxMFV EIFldxxEIlxFxFdxxEIxFllBAlA637320 若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力的字符相同時(shí)，在利若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力

17、的字符相同時(shí)，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用32等于等于A點(diǎn)撓度的兩倍與點(diǎn)撓度的兩倍與B點(diǎn)撓度之和。點(diǎn)撓度之和。討論：討論： 的幾何意義的幾何意義? ?VF 2ABABABVVVFFFFFFFVVFF ABC2FFllxAFBFll9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用33FV 的意義？的意義？FFABBAFV 代表代表ABAB兩點(diǎn)的相對(duì)位移兩點(diǎn)的相對(duì)位移若兩個(gè)若兩個(gè)F共線反向，共線反向， 為兩載荷對(duì)

18、應(yīng)的相對(duì)線位移為兩載荷對(duì)應(yīng)的相對(duì)線位移FV MV 的意義？的意義？A AB BMMBAMV 若兩個(gè)若兩個(gè)M反向，反向， 為兩載荷對(duì)應(yīng)的相對(duì)角位移為兩載荷對(duì)應(yīng)的相對(duì)角位移MV 9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用34由由A、B 兩節(jié)點(diǎn)平衡兩節(jié)點(diǎn)平衡例題例題9 9- -2 2- -3 3 已知已知EA，求，求A點(diǎn)水平位移及點(diǎn)水平位移及AB轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。FAl12B3Cl （1）計(jì)算）計(jì)算A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 由整體平衡由整體平衡ByFCyFCxF解：解：9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用FFFFCxcyBy 021321 FFFFFFNNN，iNiNiAxlFFE

19、AFFV lFFlEA2221 02321 NNNFFFFF， EAFl22135問(wèn)題問(wèn)題 若由卡氏定理計(jì)算若由卡氏定理計(jì)算 ，附加載荷怎么辦？，附加載荷怎么辦？AB FAl12B3Cl在在A、B 兩點(diǎn)加附加力兩點(diǎn)加附加力eMleMleMl9 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用lMFlMFlMFeNeNeN121321 ，lMFlMFFlMFFeNeNeN 3212，0 eMieNiNieABlMFEAFMV llFllFEA22211 EAF221 36作業(yè)作業(yè)：P973； P986思考思考：P971； P985 ； P9879 9- -2 2 卡氏定理及其應(yīng)用卡氏定理及其應(yīng)用

20、9 9-3 -3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用一、虛功原理（虛位移原理）一、虛功原理（虛位移原理）371 1、回顧剛體虛功原理、回顧剛體虛功原理 處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在任處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在任意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。虛位移：虛位移： 滿足約束條件的微小位移滿足約束條件的微小位移 虛位移是虛構(gòu)的，與剛體上的作用力無(wú)關(guān)虛位移是虛構(gòu)的，與剛體上的作用力無(wú)關(guān)虛功原理同樣適用于變形體虛功原理同樣適用于變形體382、可變形固體、可變形固體 滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假

21、想的任意微小位移意微小位移。 外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力虛位移虛位移 虛位移原理虛位移原理 外力和內(nèi)力對(duì)于虛位移所作的總虛功外力和內(nèi)力對(duì)于虛位移所作的總虛功等于零，即等于零，即We （外力虛功）（外力虛功） Wi（內(nèi)力虛功）（內(nèi)力虛功）0 09 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用實(shí)際位移也是一種虛位移。實(shí)際位移也是一種虛位移。39變形體的外力虛功與內(nèi)力虛功變形體的外力虛功與內(nèi)力虛功：q(x)lA Axdx外力虛功：外力虛功：內(nèi)力虛功：內(nèi)力虛功：外力在虛位移上所作的功外力在虛位移上所作的功eW可能內(nèi)力在微段虛變形上所作的功之和可能內(nèi)

22、力在微段虛變形上所作的功之和iWdxxwqWle )(*iNSdWFdM dT dFddxd *dxd *dxd *dxd *注意：注意：1、外力在虛變形、外力在虛變形上不做功上不做功2、內(nèi)力和外力虛功都沒(méi)、內(nèi)力和外力虛功都沒(méi)有系數(shù)有系數(shù)1/2iidWW虛位移虛位移)(*xw9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用40可能內(nèi)力：可能內(nèi)力：滿足平衡方程與靜力邊界條件的內(nèi)力滿足平衡方程與靜力邊界條件的內(nèi)力 對(duì)于靜定系統(tǒng)，可能內(nèi)力即為真實(shí)內(nèi)力對(duì)于靜定系統(tǒng)，可能內(nèi)力即為真實(shí)內(nèi)力 靜不定系統(tǒng)的可能內(nèi)力不唯一，只有滿足位移邊界靜不定系統(tǒng)的可能內(nèi)力不唯一，只有滿足位移邊界及連續(xù)條件的可能內(nèi)力才是

23、真實(shí)內(nèi)力及連續(xù)條件的可能內(nèi)力才是真實(shí)內(nèi)力變形體的可能內(nèi)力變形體的可能內(nèi)力：q(x)A A9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用41關(guān)于虛功原理：關(guān)于虛功原理： 內(nèi)力與外力平衡；內(nèi)力與外力平衡；外力在虛位移作功外力在虛位移作功= =內(nèi)力在虛變形作功內(nèi)力在虛變形作功 虛位移是任一滿足位移邊界與變形連續(xù)條件的微小位虛位移是任一滿足位移邊界與變形連續(xù)條件的微小位移，移，與外力可以彼此獨(dú)立；與外力可以彼此獨(dú)立； 虛變形是與虛位移相對(duì)應(yīng)的變形虛變形是與虛位移相對(duì)應(yīng)的變形 適用于線彈與非彈性材料，各向同性與各向異性材料。適用于線彈與非彈性材料，各向同性與各向異性材料。9 9- -3 3 莫爾定

24、理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用42二、莫爾定理（單位載荷法）二、莫爾定理（單位載荷法）求任意點(diǎn)求任意點(diǎn)A的位移的位移F1F2AA 通過(guò)建立單位力系統(tǒng)，以真實(shí)的位移（欲求）作為單通過(guò)建立單位力系統(tǒng)，以真實(shí)的位移（欲求）作為單位力系統(tǒng)的位力系統(tǒng)的虛位移虛位移。應(yīng)用虛位移原理，可以得到桿件在彈。應(yīng)用虛位移原理，可以得到桿件在彈性變形內(nèi)性變形內(nèi)任意點(diǎn)沿任意方向任意點(diǎn)沿任意方向的位移。的位移。9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用43 取同樣的梁，只在取同樣的梁，只在A點(diǎn)點(diǎn)沿所求位移方向作用沿所求位移方向作用單單位力位力 考慮考慮(b)梁，將單位力看梁，將單位力看作作真實(shí)載荷真實(shí)載荷，將，將(

25、a)中位中位移作為移作為虛位移虛位移，則：，則：建立單位力系統(tǒng) xMFlAd（a）F1F2AA A（b）1F11vFdM真實(shí)力虛位移 真實(shí)內(nèi)力 虛變形單位力 真實(shí)位移單位力內(nèi)力 真實(shí)變形這里Fs略去，F(xiàn)N和T不存在9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用44 xEIxMdd xEIxMxMlAd（a）F1F2AA A（b）1F在線彈性范圍內(nèi) xMFlAd單位力 真實(shí)位移單位力內(nèi)力 真實(shí)變形1F式中所以莫爾積分莫爾積分9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用45pNNGIdxTTEIdxMMEAdxFF一般地，如果桿件內(nèi)力有多個(gè)，則pNNGIlTTEIdxMMEAlFF軸

26、力和扭矩一般是常量，則單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分TMFN,原有載荷作用下桿件內(nèi)力TMFN,單位載荷作用下桿件內(nèi)力三、莫爾定理的應(yīng)用三、莫爾定理的應(yīng)用9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用46ipiiiiiiNiNiGIdxTTEIdxMMEAdxFF)()()(如果有多個(gè)桿件，則或ipiiiiiiiiNiNiGIlTTEIdxMMEAlFF)()()(使用莫爾定理的注意事項(xiàng)使用莫爾定理的注意事項(xiàng) 所加廣義單位力必須與所求廣義位移對(duì)應(yīng)；所加廣義單位力必須與所求廣義位移對(duì)應(yīng)； 莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理

27、及其應(yīng)用47四、典型例題四、典型例題例題例題9 9- -3 3- -1 1 由三桿組成的剛架，由三桿組成的剛架，B、C為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的抗彎剛度都是抗彎剛度都是EI，試用單位載荷法求，試用單位載荷法求A1、A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移。兩點(diǎn)的相對(duì)位移。A1A2BCllFF9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用48建立單位力系統(tǒng)，在建立單位力系統(tǒng)，在A1，A2 處加一對(duì)水平單位力處加一對(duì)水平單位力 FFxxxA1A2BCll11A1A2BC解：解：真實(shí)載荷與單位載真實(shí)載荷與單位載荷下桿件的彎距必荷下桿件的彎距必須統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。須統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾

28、定理及其應(yīng)用 xxMFxxMBA ：1 lxMFlxMBC ： xxMFxxMCA ：249單位載荷法單位載荷法9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用 xxMFxxMBA ：1 lxMFlxMBC ： xxMFxxMCA ：2 ldxFlxdxxFEIll0021 靠近靠近EIFl353 ldxxMxMEI150根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，莫爾積分：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，莫爾積分：例題例題9 9- -3 3- -2 2 彎曲剛度彎曲剛度EI，求，求C點(diǎn)撓度和點(diǎn)撓度和A點(diǎn)轉(zhuǎn)角。點(diǎn)轉(zhuǎn)角。ADBCqa2a2a （1）求）求 C ，建立單位力系統(tǒng)，建立單位力系統(tǒng)ADBC11x2x8qa2qa1412解：解：AB段

29、段:BC段段: xxMqaxxM418111 xxMqxxM2121121 xdxqxxdxqaxEIaa2121418122200 EIqa384114 C 9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用51根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，莫爾積分：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，莫爾積分：ADBCqa2a2a （2）求）求 A ，建立單位力系統(tǒng)，建立單位力系統(tǒng)ADBC1x2x8qa2qaAB段段:BC段段:11a1 18111 axxMqaxxM 021121 xMqxxMdxaxqaxEIa 18110EIqa483 A 9 9- -3 3 莫爾定理及其應(yīng)用莫爾定理及其應(yīng)用9 9-4 -4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用一

30、、圖乘法一、圖乘法52 lxEIxMxMd)()( xEAxFxFld)()(NN xGIxTxTlpd)()( xxMxMl)d()(53滿足三個(gè)條件1、 、 中至少有一個(gè)是x的線性函數(shù)。2、要積分的桿段是直線。3、所要積分的桿段的EI是常數(shù)。)(xM)(xM可以用圖乘法計(jì)算上述積分xxMxMl)d()(9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用54BxAxM )(xxMxBxxMAxxMBxAxxMxMllll)d()d()d()(d )()(000 xxMl 0)d(其中M圖的面積ClxxxxM0)d(xdxM(x)xx)(xMlxcC形心9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及

31、其應(yīng)用55)()d()d(d )()(00CClllxBAxBAxxMxBxxMAxxMxMCxBA BxAxM)(M(x)xlx)(xMxcC形心CMCM9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用56Cd )()(d )()(1MxxMxMxxMxMEIll EIMC M(x)xlx)(xMxcCCM9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用57Clh頂點(diǎn)二次拋物線85l83llh 32lh頂點(diǎn)c二次拋物線3hl 9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用58折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把積分分成幾段，逐段使用圖乘法，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把積分分成幾段，逐段使用圖乘法，有時(shí)有時(shí)M(x)

32、圖為連續(xù)光滑曲線，而圖為連續(xù)光滑曲線，而為折線，則應(yīng)以為折線，則應(yīng)以M(x)然后求和。然后求和。EIMC EIMiiC 9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用59例題例題9 9- -4 4- -1 1 圖示剛架，兩桿的圖示剛架，兩桿的 EI 相同，試求相同，試求C點(diǎn)的水平位點(diǎn)的水平位移和移和C截面轉(zhuǎn)角（只考慮彎矩）。截面轉(zhuǎn)角（只考慮彎矩）。9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用CFabAB60在在 C點(diǎn)加一水平單位力，分別做出在原有載荷和點(diǎn)加一水平單位力，分別做出在原有載荷和單位力作用下的彎矩圖。單位力作用下的彎矩圖。1abBACFabABCFaFaaa)3(1)322(1

33、322FabFaEIaFaaFabEIC 解：解： （1）求）求 C9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用61 在在 C截面加一單位力偶，分別做出在原有載荷和單截面加一單位力偶，分別做出在原有載荷和單位力作用下的彎矩圖。位力作用下的彎矩圖。FabABCFaFa)2(1)121(122FaFabEIFaFabEIC 1abBAC11（2）求）求 C9 9- -4 4 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用作業(yè)作業(yè)：P9910； P10116思考思考：P9911； P10012 ； P10015629 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題63第一類(lèi)：僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束，

34、即支反力是超 靜定的，稱(chēng)為外力超靜定外力超靜定系統(tǒng)。第二類(lèi)：僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束，即內(nèi)力是超靜 定的，稱(chēng)為內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。第三類(lèi)：在結(jié)構(gòu)外部和內(nèi)部均存在多余約束，即支反 力和內(nèi)力是超靜定的，稱(chēng)為混合超靜定混合超靜定系統(tǒng)。1、超超靜靜定定問(wèn)問(wèn)題題分分類(lèi)類(lèi)一、超靜定問(wèn)題一、超靜定問(wèn)題64第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題652、超靜定次數(shù)的判斷方法、超靜定次數(shù)的判斷方法超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)= =未知量個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)- -獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)例題例題9 9- -5 5- -1 1 判斷結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。判斷結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。9

35、9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題1次次1次次3次次(a)(b)(c)去除約束法去除約束法(d)1次次(e)2次次66(f)jrmn2 超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：桿件數(shù)桿件數(shù)支座鏈支座鏈桿數(shù)桿數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)4次次(g)(h)3次次9次次(i)4次次9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題67 解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到靜定結(jié)構(gòu)，解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到靜定結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為原靜不定結(jié)構(gòu)的稱(chēng)為原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系基本靜定系（簡(jiǎn)稱(chēng)（簡(jiǎn)稱(chēng)靜定基靜定基）。）。 靜定基加上外載荷以及多余約束力的系統(tǒng)稱(chēng)為靜定基加上外載荷以及多余約束力的系統(tǒng)稱(chēng)為靜不定結(jié)構(gòu)的

36、靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)。 2、基本靜定系（靜定基），相當(dāng)系統(tǒng)、基本靜定系（靜定基），相當(dāng)系統(tǒng)9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題68二、超靜定問(wèn)題的求解二、超靜定問(wèn)題的求解1、用卡氏第二定理求解、用卡氏第二定理求解例題例題9 9- -5 5- -2 2 剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a)9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題69解：解： 一次超靜定問(wèn)題。 以鉸鏈C的鉛垂支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖（b ）所示。FCxFAxFAy l(b)XCABql變形協(xié)調(diào)條件：

37、0 CyqlXFAx21 由 ，得0 BM9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題70 xXxM )(xXxM )()0(lx ，2221)21(21)(xqxlqXxqxFxMAx xXxM )()0(lx 02432d)2121(1d143032202 EIlqEIlXxxqxlqxXEIxXxEIll 由 ，得0 XVCy l(b)xFCxxXFAxFAyCABqlBC桿：桿：AB桿：桿：9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題71解得 （）和圖示方向相反。qlX161 qlFAy161 （）qlFAx167 （）qlFCx169 （）由平衡條

38、件得 l(b)FCxXFAxFAyCABql9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題722、用力法求解、用力法求解例題例題9 9- -5 5- -3 3 如圖所示，梁如圖所示，梁EI為常數(shù)。求為常數(shù)。求B支座的反力。支座的反力。解：解： 一次超靜定問(wèn)題。 以可動(dòng)鉸支座為多余約束，基本靜定系如圖（b ）所示。變形協(xié)調(diào)條件：01111 XFC2lFAB2lX1(b)C2lFAB2l(a)用莫爾積分計(jì)算1：9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題73C2lFAB2l(c)xCABX1(d)xCAB(e)1x)(485 d)2(1321 EIFlxxlxFE

39、IllF得：得：，由由 lEIdxxMxM)()(_xMlxllxFMlxMFF 222009 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題74)(3d1310111 EIlXxxxXEIlXC2lFAB2l(c)xCABX1(d)xCAB(e)1xxMxXMX 11得：得：，由由 lEIdxxMxM)()(_04853331 EIFlEIlXFX1651 9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題75 力法正則方程力法正則方程上例中以未知力為未知量的變形協(xié)調(diào)方程可改寫(xiě)成下式01111 FX X1多余未知量；11在基本靜定系上， X1取單位值時(shí)引起的在X1作用

40、點(diǎn)沿 X1方向的位移；1F在基本靜定系上， 由原載荷引起的在X1作用點(diǎn)沿 X1方向的位移。變形協(xié)調(diào)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即所謂的力法正則方程力法正則方程。9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題76對(duì)于有無(wú)數(shù)多余約束反力的靜不定系統(tǒng)的正則方程如下：0 0022112222212111212111 nFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX 由位移互等定理知：jiij ij：影響系數(shù)，表示在基本靜定系上由Xj取單位值時(shí)引起的 在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移； iF：自由項(xiàng)，表示在基本靜定系上， 由原載荷引起的在Xi 作用點(diǎn)沿Xi 方向的位移。9 9-5 -5 用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解超靜定問(wèn)題77例題例題9 9- -5 5- -4 4 試求圖