第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

1、1第二章第二章 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 21 系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子子一、微分算子、積分算子與微分算子方程一、微分算子、積分算子與微分算子方程:引入如下算子：引入如下算子： 微分算子微分算子: tp dd 積分算子積分算子: tpp 1 d) (1 )()(dd)( tfptfttf 則：則：)()(dd)( )(tfptfttfnnnn )()(1d )(1 tfptfpft 2對于微分方程對于微分方程 )(4d)(d)(6d)(d5d)(d 22tfttftyttytty 算子形式算子形式)(4)()(6)(5)( 2tftfpty

2、typtyp 微分算子方程：微分算子方程： )() 4()() 65(2tfptypp 它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別分別對變量對變量y(t)和和f(t)進行相應的微分運算進行相應的微分運算。形式上。形式上是代數(shù)方程的表示方法?？捎脕碓跁r域中建立與是代數(shù)方程的表示方法?？捎脕碓跁r域中建立與變換域變換域相一致的分析方法。相一致的分析方法。3微分算子的運算性質(zhì)：微分算子的運算性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 1 以以p的正冪多項式出現(xiàn)的運算式，在形式的正冪多項式出現(xiàn)的運算式，在形式上可以像代數(shù)多項式那樣進行展開和因式分解。上可以像代數(shù)多項式那樣進行展開和因式分

3、解。)()4()()3)(2(tfptypp 性質(zhì)性質(zhì)2 2 設設A(p)和和B(p)是是p的正冪多項式，則的正冪多項式，則 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 如：如：)()4()()2)(3(tfptypp 性質(zhì)性質(zhì)3 3 微分算子方程等號兩邊微分算子方程等號兩邊p的公因式不能的公因式不能 隨便消去隨便消去。 例如：例如：p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c( (c為常數(shù)為常數(shù)) ) y(t)= f(t) 性質(zhì)性質(zhì)4 4 設設A(p)、B(p) 和和D(p)都是都是p的正冪多項式的正冪多項式4)()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD

4、)()()()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA 但是但是 ：)(d)(dd)(1 tffttfppt )()()(d)(dd)(1 tfftfftfppt 例如：例如： 函數(shù)乘、除算子函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，的順序不能隨意顛倒，對函對函數(shù)進行數(shù)進行“先除后乘先除后乘”算子算子p的運算的運算時，分式的分時，分式的分子與分母中子與分母中公共公共p算子算子( (或或p算式算式) )才允許消去才允許消去。5二、二、LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子 電路元件伏安關系電路元件伏安關系( (VAR) )的微分算子形式稱為的微分算子

5、形式稱為 算子模型算子模型，電壓、電流比為，電壓、電流比為算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 元件名稱 電路符號 ui關系(VAR) VAR的算子形式 算子模型 電阻 電感 電容 電路元件的算子模型電路元件的算子模型 i(t) R)(tui(t) R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtu d)(d)( tdiCtu )(1)( )(1)(tipCtu )( )(tiRtu )( )(tiRtu )( )(tipLtu 6電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法: : LpL;C 1/pC畫出算子模型，按照電路理

6、論畫出算子模型，按照電路理論中的列寫方程方法列寫。中的列寫方程方法列寫。例例1 1：電路如圖電路如圖( (a) )所示，激勵為所示，激勵為f(t)，響應為，響應為i2(t)。試列寫其微分算子方程。試列寫其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+ +f(t)- -i15 1 3pi22p4p(b)i1i2解：解：畫出其畫出其算子模型電路算子模型電路如如圖圖( (b) )所示。由所示。由回路回路法法可列出方程為可列出方程為 ：7 0)()5431()(31)()(31)()3121(2121tipptiptftiptipp 化簡微分方程組化簡微分方程組時要時要考察電路的階數(shù)考察

7、電路的階數(shù)以便確定以便確定公共因子是否可消去。公共因子是否可消去。化簡后化簡后所求微分算子方程為：所求微分算子方程為： )()() 27148( 3223tftippp 對于激勵為對于激勵為f(t)，響應為，響應為y(t)的的n階階LTI連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)，其微分算子方程為：其微分算子方程為：)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn 8將其在形式改寫為將其在形式改寫為)()()()(01110111tfpHtfapapapbpbpbpbtynnnmmmm )()()()()( 01110111pDpNapapapbpbpbpbtftypHnnnmmmm

8、式中：式中： 它代表了系統(tǒng)將激勵轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫淖饔?，或它代表了系統(tǒng)將激勵轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫淖饔茫蛳到y(tǒng)對輸入的傳輸作用，故將系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故將H(p)稱為稱為響應響應y y( (t t) )對激勵對激勵f f( (t t) )的傳輸算子的傳輸算子或或系統(tǒng)的傳輸算子系統(tǒng)的傳輸算子 系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對系統(tǒng)系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對系統(tǒng)的等價表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。的等價表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。922 LTI22 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應應 LTILTI的全響應可作如下分解：的全響應可作如下分解： 1、y(t) = 自由響應自由響應 + 強制響應；

9、強制響應； 2、y(t) = 零輸入響應零輸入響應yx(t) + 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應yf (t) 零輸入響應零輸入響應: :是指輸入激勵為零，僅由系統(tǒng)的是指輸入激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應。初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應。零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應: :是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)的輸入激勵單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應。系統(tǒng)的輸入激勵單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應。10二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應零輸入下零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:1110 x()( )0,0nnnpap

10、a p a y tt要使上式成立，需滿足要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）（特征方程） 針對針對特征根特征根兩種情況來求兩種情況來求yx(t) 1特征根為特征根為n個單根個單根p1 , p2 , , pn ( (可為實根、虛可為實根、虛根或復根根或復根) ) 0 , eee)( 2121x tAAAtytptptpnn 將將yx(0-)、yx (0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定代入上式，確定積分常數(shù)積分常數(shù)A1、A2、An 。 共軛復根時歐拉公式共軛復根時歐拉公式cos t = 0.5(ej t + e j t )及及sin t = j0.5(e j t ej t )化簡

11、為三角化簡為三角實函數(shù)實函數(shù) 112 2特征根含有重根特征根含有重根 設特征根設特征根p1為為r重根，其余特征根為單根，重根，其余特征根為單根，, , , , 2 1nrrppp 則則yx(t)的通解表達式為：的通解表達式為：0 ,ee )()( 1111 2321x tAAetAtAtAAtytptptpnrnrrr確定積分常數(shù)的方法同前。確定積分常數(shù)的方法同前。 123求解零輸入響應求解零輸入響應yx(t)的基本步驟：的基本步驟： ( (1) )通過微分算子方程得通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根求系統(tǒng)的特征根; ; ( (2) )寫出寫出yx(t)的通解表達式的通解表達式; ; (

12、 (3) )由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與狀態(tài)值與0-瞬時的零輸入系統(tǒng)求得瞬時的零輸入系統(tǒng)求得初始條件初始條件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。(4) 將將0-初始條件代入初始條件代入yx(t)的通解表達式的通解表達式,求得積分求得積分常數(shù)常數(shù)A1, A2, , An 。( (5) ) 寫出所得的解寫出所得的解yx(t)，畫出，畫出yx(t)的波形。的波形。 13例：已知某線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出方程為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為求系統(tǒng)的零輸入響應。14例例2 電路如圖電路如圖( (a) )所示，已知所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求，求t0時的零輸入響

13、應時的零輸入響應uCx(t)。1H12F CuCi 21R 42RLi CuCi 2 4LiP2P1解解 (1)畫出算子模型電路畫出算子模型電路, ,由節(jié)點法列出方程為由節(jié)點法列出方程為 0)()41212( tuPPcx15uC x (t), V0t, s4130.5 1化簡可得化簡可得 :0)()65(x2 tuppC解得特征根解得特征根: : p1=-2，p2=-3 0 ,ee)( 32 21x tAAtuttCV1A124(2)0-瞬時的等效電路瞬時的等效電路 sV1)0(1)0(21)1(21)0(x x x CCCiCui 343211212121AAAAAA代入初始條件代入初始條

14、件. 0 ,V34)( 3 2x teetuttC16作業(yè)：2-22-3 （3）（4）2-6 （a）（b）1723 LTI23 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 一、一、零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p)(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf )( )()()()(非非齊齊次次微微分分方方程程tfpNtypDf 一般情況下一般情況下零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應可通過將可通過將f(t)分解為分解為更為簡單的單元信號更為簡單的單元信號，將各，將各單元激勵下的響應進單元激勵下的響應進行疊加行疊加來求解。來求解。18 任意信號任意信號f( (t) )用

15、一系列寬度為用一系列寬度為 的矩形窄脈沖近似。的矩形窄脈沖近似。kktGkftf)()()(信號的時域分解：信號的時域分解：19dtfktGkftfk)()( )(1)(lim)(0 任意信號任意信號f( (t) )可以可以分解為不同時刻出現(xiàn)的分解為不同時刻出現(xiàn)的受該時刻受該時刻f( (t) )加權的門信號的無窮級數(shù)和。加權的門信號的無窮級數(shù)和。任意信號可分解為無窮多個不同時刻出現(xiàn)的沖任意信號可分解為無窮多個不同時刻出現(xiàn)的沖激強度為該時刻函數(shù)值的沖激信號之和激強度為該時刻函數(shù)值的沖激信號之和 dtftf)()()(0 20零狀態(tài)響應的求解過程零狀態(tài)響應的求解過程零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)(t )(t

16、h零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)( t)( th零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)()( tf)()( thf零狀態(tài)零狀態(tài)LTI dtftf)()()( dthftyf)()()( 沖激響應沖激響應時不變性時不變性齊次性齊次性疊加性疊加性21二、沖激響應h(t)h(t)定義定義： 零狀態(tài)LTI H(p)(t )(th單位沖激響應：系統(tǒng)在單位沖激函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應，簡稱沖激響應，統(tǒng)一以符號h(t) 表示。22)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHthnnnmmmm 據(jù)據(jù)D D( (p p) )的根的不同有理真分式的根的不同有理真分式H(p)可展開為不可展開為不同的部

17、分分式同的部分分式 1當當D D( (p p) ) 有有n個單特征根個單特征根p1 , p2 , , pn ( (可為實可為實根、虛根或復根根、虛根或復根) ) 23)()()()()()(21npppppppNpDpNpHnnjjppKppKppKppK 2211)()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj ),()(tppKthjjj 令第令第j項為項為 )()()(tKthppjjj )()()(tKthpdttdhjjjj 24)()()(tKethpedttdhjtpjjtpjjj tpje )()(tKethdtdjtpjj tjttpjtKethdtd

18、j 0 0 )()( )()0()()(tKhethethjjtpjtpjjj t0沖激響應h(t)為為)(e)(e)(e)( 2 121tKtKtKthtpntptpn 252當當D D( (p p) )特征根有重根時：特征根有重根時：設設p1為為r重根，其余重根，其余(n-r)個為單根個為單根pj( (j=r+1, r+2, , n) )，則有理真分式，則有理真分式H(p)可展開為：可展開為：)()()()()()()(11nrrpppppppNpDpNpH nnrrrrrppKppKppKppKppK 11111112111)()(26重根相關的部分分式項的沖激響應重根相關的部分分式項的

19、沖激響應 rmttmrKthrmtpmrm , , 2 , 1 , )(e)!()(11 13 3、H H( (p p) )為某個關于為某個關于p pj j多項式時：多項式時：rjtpkthjrjj , , 2 , 1 , )()(1 rjtkthjrjj , , 2 , 1 , )()()(1 27求解單位沖激的步驟：求解單位沖激的步驟：（1）據(jù)算子微分方程求出傳輸算子）據(jù)算子微分方程求出傳輸算子H(p)（2）長除法化為長除法化為多項式與有理真分式之和。多項式與有理真分式之和。（3）有理真分式部分分式展開；）有理真分式部分分式展開；（4）據(jù)）據(jù)D(p)根的不同根的不同確定確定分式中的分式中的

20、系數(shù)；系數(shù)；（5）對照不同情況寫出單位沖激響應。表）對照不同情況寫出單位沖激響應。表2-2282379972)(2234 pppppppH例：求系統(tǒng)的單位沖激響應：例：求系統(tǒng)的單位沖激響應：29三、階躍響應g(t)g(t)定義定義： 零狀態(tài)LTI H(p)(t )(tg根據(jù)根據(jù)LTI系統(tǒng)的積分性，通過對沖激響應系統(tǒng)的積分性，通過對沖激響應h(t)進行積分而求得：進行積分而求得： ttdhtgdt00)()()()( 30作業(yè)：2-7 （2）（3）2-8 （b）31三三 卷積積分卷積積分 (*) )()()( dthfty (*) )()()()()(2121 dtfftftfty 定義定義:卷

21、積積分簡稱卷積積分簡稱卷積卷積. .32卷積積分上下限的確定是關鍵，討論如下：卷積積分上下限的確定是關鍵，討論如下：(1)若若f(t),h(t) 都為因果信號都為因果信號積分上下限積分上下限為為(0-, t)(*) )()()()()( 0 dthfthtftyt (2)若若f(t) 為因果信號為因果信號,h(t) 為無時限信號為無時限信號,積分上下積分上下限限為為(0-, )(*) )()()()()( 0 dthfthtfty (3)若若f(t) 為無時限信號為無時限信號,h(t) 為因果信號為因果信號,積分上下積分上下限限為為(- , t)(*) )()()()()( dthfthtft

22、yt (4)若若f(t), h(t)都為時限信號則都為時限信號則卷積后仍為時限信卷積后仍為時限信號，其號，其左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和右邊界之和 33（1 1）卷積的運算規(guī)律）卷積的運算規(guī)律 據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運算規(guī)律下的運算規(guī)律 :1 1交換律交換律: : )()()()(1221tftftftf* 2 2分配律分配律: : )()()()()()()(3121321tftftftftftftf* 3 3結合律結合律 )()()()()()()()()(231321321

23、tftftftftftftftftf* 34（2）卷積的主要性質(zhì)）卷積的主要性質(zhì)1 1f( (t t) )與奇異信號的卷積與奇異信號的卷積(1)(1) f(t)* *(t)=f(t),即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)本本身身 (2)(2) f(t)* *(t)=f(t) ,即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)導數(shù)。導數(shù)。 (3)(3)()()()(1tfdfttft 2 2卷積的微分和積分：卷積的微分和積分：(1)(1) 積分積分 f1(t)* *f2(t) -1 = f1-1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2-1(t) 35(3)(3) 微分微分- -積分

24、積分: :f1(t)* *f2(t)=f1(t)* *f2-1(t)=f1-1(t)* *f2(t) (2)(2) 微分微分 f1(t)* *f2(t) = f1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2(t) 0)()()()(1221 dttffdttff3 3卷積時移：卷積時移：設設f1(t)* *f2(t)=y(t)，則：，則： f1(t)* *f2(t-t0)=f1(t-t0)* *f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)* *f2(t-t2)=y(t-t1-t2); 推論：推論：f(t-t1)* *(t-t2)=f(t-t1-t2) (t-t1)* *(t-t2)=(t-t

25、1-t2); 利用卷積性質(zhì)求解較復雜的卷積利用卷積性質(zhì)求解較復雜的卷積 （表表2-3）)()()()(212121tttrtttttttt 條件：條件：36例例7:例例3已知已知:)1()( 2)(1 tttf )2()()(2 ttttf 解：解：1.把信號寫成標準的延時信號把信號寫成標準的延時信號2.分配律寫出各項卷積分配律寫出各項卷積3.查查P45表表2-337012313y(t)t38 若若f1(t)，f2(t)收斂，收斂，將被卷積的一個信號盡量將被卷積的一個信號盡量化為化為沖激信號以及其延時沖激信號以及其延時，可使計算簡化。，可使計算簡化。)2()()1(2)(2)()( )()(1

26、2121 ddtttftftftftt )2()221()(21)1(2)(2 22 tttttt )3( 4) 1()2()4()( 222 tttttt 39例例8 8 試計算常數(shù)試計算常數(shù)K K與信號與信號f( (t t) )的卷積積分的卷積積分 解解 直接按卷積定義，可得直接按卷積定義，可得 ：)( )()()( 下下的的凈凈面面積積tfKKdfKtftfK 用微分用微分- -積分性質(zhì)來求解將積分性質(zhì)來求解將導致錯誤結果導致錯誤結果 0)(dd)( tdfKttfK 常數(shù)常數(shù)K 不收斂不收斂且任意信號且任意信號f(t)也并非一定也并非一定收斂。收斂。 40例例9 9 已知某系統(tǒng)的沖激響

27、應已知某系統(tǒng)的沖激響應h(t)=sint (t)，激，激勵勵f(t)的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應應yf(t)。可用微分可用微分- -積分性來求積分性來求)()cos1 ()(sin)( 01ttdtht 解：解： 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應求解f(t)0t24241)()sin()()cos1()( 02tttdtht )4()2(2)()( ttttf)4()2(2)()( ttttf)4()4sin()4( )2()2sin()2(2)()sin( )4()2(2)()()sin( )()( )()( )()()(21 ttttttttt

28、tttttttfthtfthtfthty*f”(t)0t24（1）（2）（1）42+-f(t)i(t)uc(t)+-p1/p例例10:圖示電路圖示電路,激勵激勵求求:零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應uc(t)6()()( tttf)(11)(11)(2tfptfppptuc 解：解：列方程列方程+-f(t)i(t)uc(t)+-1H1F4311)()()(2 ptftupHc)()sin()(ttth )()sin(*)6()( )(*)()(ttttthtftuc ttdttdtt0sin*)6()()(sin*)6()( )6()6cos(1 )()cos1( tttt44圖示電路，其輸入電壓圖示電路

29、，其輸入電壓us(t)波形如圖波形如圖示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應uc(t)0.1M 10Fu uc c( (t t) )u us s( (t t) )11)()()( ptutupHsc)()(tetht 解：解：u us( (t t)(V)(V)t t( (s s) )3210145)(*)3()1()1()()(tettttttutc detttttdtdt)(* )3()1()1()(0 )()1(*)3()1()(tetttt )3(1)()1(*)1()()3( tetetttt 利用卷積的性質(zhì)利用卷積的性質(zhì)46)3(1 )1(11)()1()3()

30、1( tetettetttt )3(1 )1(2)()1()3()1( tetettetttt 47四、系統(tǒng)全響應的求解方法：四、系統(tǒng)全響應的求解方法：（1）求單位沖激響應）求單位沖激響應h(t)（2）求卷積積分）求卷積積分 dthf)()( （3 3）求零輸入響應）求零輸入響應yX (t) 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應yf (t)（4）全響應：）全響應：)()()(xtytytyf 48例例11 圖示電路已知圖示電路已知i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t) = t (t)，f2(t) = (t)- (t-1)，求全響應，求全響應y(t) 。1 i1(t)+ +f1(t)- -+ +f2(t)- -1 1 + +y(t)- -i2(t)1H1H解：使用疊加原理求解解：使用疊加原理求解49211 21pppp