高中數(shù)學(xué) 教學(xué)教研(名師研討 教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)解題 反思 總結(jié)) 蜜蜂周報(bào) 第9期

1、蜜蜂周報(bào) 第九期蜜 蜂 周 報(bào)第 9 期（2020 年 5 月 11 日-5 月 17 日）蜜蜂周報(bào) 第九期關(guān)于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的幾個(gè)關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個(gè)問題都將成為一個(gè)范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個(gè)解答的理解水平。波利亞l 分類恰當(dāng)?shù)貙︻}目、對解法進(jìn)行分類，能讓你的解題經(jīng)驗(yàn)更加有序，更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里記憶，便于你解題時(shí)進(jìn)行檢索，確定解題方法。沃茲基碩德蜜蜂周報(bào) 第九期2020 年第 9 期目錄1.也許有趣，也許無聊換個(gè)角度看一元

2、二次方程的判別式.12.這個(gè)題等和線不好使-向量系數(shù)和一題（續(xù)）.33.連用兩次三點(diǎn)共線.44.四邊形能創(chuàng)造的向量問題是無窮盡的 .65.不翻折你就不知道啥叫立體幾何！（續(xù)） .66.二次方程根的分布.107.換元，求導(dǎo)這樣看此題不難.118.一個(gè)看似很復(fù)雜的自變量個(gè)數(shù)最值問題 .119.與斯特瓦爾特定理有關(guān)的一道題 .1310.導(dǎo)是王道，算得天下北大自招不等式一題.1411.橢圓內(nèi)部已經(jīng)放不下動(dòng)點(diǎn)了焦點(diǎn)三角形的旁心.1712.從軌跡角度去解決這些問題 .1913.唐山一模的選擇壓軸（極值點(diǎn)與零點(diǎn)） .2414.旋轉(zhuǎn)的燈管，很妙的一個(gè)立體問題情境 .2615.最值也是定值又是三點(diǎn)共線.30蜜蜂

3、周報(bào)1-8 合訂本下載.40附錄：.41蜜蜂周報(bào) 第九期1.也許有趣，也許無聊換個(gè)角度看一元二次方程的判別式題目來自公眾號(hào)“鄒生書數(shù)學(xué)”這個(gè)題的函數(shù)結(jié)構(gòu)看起來非常復(fù)雜，公眾號(hào)給出的嚴(yán)格解法構(gòu)造了 6 個(gè)函數(shù)來求解！我看不懂。估計(jì)能堅(jiān)持看到底的人極少，所以就不再貼解答了，鏈接在這里，大家有興趣可以點(diǎn)開去看：deebec75e3a61c037fec2158310&chksm=fc447a8ccb33f39ad4d2635697420465d42f4801b89218601e155e8519a1a752a2380a11a06d&mpshare=1&scene=1&sr

4、cid=&sharer_sharetime=1589084597191&sharer_shareid=36a227456ade880763ec9ab2d44eba17&key=14ed3836f8067fda40573f093e2aa02abb638f98ce3b07e20e8ff86d84656b02b5bd3eb6eddb2d369b581cd36c1c086d632890886cefd1d5c37f6bb02db01d8f89afebcdcaa04e5bf0ef3c48bee2723b&ascene=1&uin=ODIxNzQ4NjU%3D&

5、;devicetype=Windows+10+x64&version=62090070&lang=zh_CN&exportkey=Ac050HgDBblmu6XGyJm%2Blos%3D&pass_ticket=U2GYIbW61CypEe6yfieUBrUJNz9ViayRu6eF423%2FDrY%3D我比較感興趣的是，在微信群“高中數(shù)學(xué)解題交流二群”，老師們在討論的時(shí)候，深圳的楊俊老師發(fā)的一個(gè)觀點(diǎn)，讓我們從圖形視角來認(rèn)識(shí)這個(gè)問題：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 1 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期把原方程分成左右兩個(gè)函數(shù)，把方程有解問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)問題。這種方

6、法在處理函數(shù)零點(diǎn)時(shí)經(jīng)常使用，本身并不稀奇，不過這個(gè)題有點(diǎn)特殊的地方在于：（1） 兩個(gè)函數(shù)都比較復(fù)雜，尤其函數(shù) g（x）的圖像更復(fù)雜，二次復(fù)合的，比較少見；（2） 兩個(gè)公共點(diǎn)中有一個(gè)是兩個(gè)函數(shù)圖像的切點(diǎn)，在這個(gè)點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)有相同的切線。這個(gè)切點(diǎn)也是公共點(diǎn)的現(xiàn)象，我覺得有點(diǎn)意思。我就聯(lián)想了一下，從最簡單的、最熟悉的問題入手，把我們最熟悉的問題重新用導(dǎo)數(shù)的視角審視一下說了半天其實(shí)說的就是二次方程的判別式問題。ax2 + bx + c = 0(a > 0) ，判別式： D=b2 - 4ac ，這里要忽略二次方程的簡單性、熟悉性，就假設(shè)我們只知道對方是一個(gè)單峰開口向上的曲線，要從導(dǎo)數(shù)角度討論它和直

7、線的公共點(diǎn)問題（即不存在什么聯(lián)立解方程組的方法）。第 9 期 2 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期2.這個(gè)題等和線不好使-向量系數(shù)和一題（續(xù)）第 8 期選的下面這個(gè)題，那期標(biāo)題的含義，是我希望用等和線解法，從圖形上直接確定最值的位置，再稍加計(jì)算來求出最值。但是按此思路，這個(gè)題是不行的。（等和線的優(yōu)勢在于幾何方法，幾何分析為主，計(jì)算為輔。但這個(gè)題動(dòng)態(tài)關(guān)系復(fù)雜，無法直觀確定最值的狀態(tài)）第 8 期發(fā)布后，鄭州劉登成老師提供了一個(gè)解法，比較簡單！當(dāng)然它不算純粹的等和線方法，就是說沒有直接確定最值的位置，屬于部分使用等和線原理。所以，有的時(shí)候，并非是“不存在”，而是我們“沒找到”。多想一點(diǎn)，還是有好處的。蜜蜂周

8、報(bào) 第 9 期 3 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期3.連用兩次三點(diǎn)共線5 月 11 日早上我還在床上的時(shí)候，看到了這個(gè)題：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 4 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期看過文章，我就想，最大值可以用三點(diǎn)共線來解決，最小值能不能呢？試了下，可以。我的解法如下：第一次三點(diǎn)共線，用恒成立來解釋，OC右邊的最大值，連寫不太合適。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 5 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期4.四邊形能創(chuàng)造的向量問題是無窮盡的如題，四邊形，是這么好的一個(gè)載體，總是被命題人翻來覆去的研究使用，創(chuàng)造出?？汲Ｐ碌念}目。答案有誤，應(yīng)該為 3.我的解法如下：5.不翻折你就不知道啥叫立體幾何?。ɡm(xù)）蜜蜂周報(bào) 第 9 期 6 /

9、46蜜蜂周報(bào) 第九期這是第七期 11 題。我在那期做出的是 A，當(dāng)時(shí)認(rèn)為 CD 是錯(cuò)的。本周在群里繼續(xù)研討本題。糾正一下，答案應(yīng)為：ACD。這個(gè)題，我還沒有靜下心來用自己的腦子好好琢磨，先把看到的解答收集。（1）選項(xiàng) A，這個(gè)的解法不變，這樣考慮比較簡單：因?yàn)?SE 始終垂直 SA,所以，只要 SEAB，就可推知 SE平面 SAB，則 SESB。而 SEAB，是肯定可以辦到的，只要 S 在翻折過程中，使 SEAB(S為 S 在平面 ABC 內(nèi)的射影）即可，這個(gè)位置肯定存在（在平面 ABC 內(nèi)過 E 作與 AB 垂直的線，只要 S 的射影在其上即可）。而且在這種思路下，我們還可以得到一個(gè)副產(chǎn)品：

10、只要 E 在 CD 上，不論 E 在什么位置，在翻折過程中，總存在一個(gè)位置滿足 SESB?。?）選項(xiàng) B，顯然錯(cuò)誤；（3）選項(xiàng) C，（4）選項(xiàng) D,下面的解答由山東劉金老師提供：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 7 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 8 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 9 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期6.二次方程根的分布這里，很重要，充分考慮到正整數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步縮小范圍。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 10 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期7.換元，求導(dǎo)這樣看此題不難8.一個(gè)看似很復(fù)雜的自變量個(gè)數(shù)最值問題下面的解法由黑龍江的盧軍老師提供：我的解法和他一樣。這個(gè)題的思路，讓我聯(lián)系到前一

11、陣遇到的那個(gè)?？碱}：出現(xiàn)在第二期：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 11 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期19.下標(biāo)你能否看懂？這是一個(gè)考理解的題這個(gè)題很重要的一個(gè)考查點(diǎn)是對數(shù)學(xué)符號(hào)的理解：當(dāng)直線 y=t 與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線 x=e 左右兩側(cè)，題干中說的那些x x x 是指的在左側(cè)的那些點(diǎn)的橫坐標(biāo)，他們的大小范圍是2,e)1, 2. n蜜蜂周報(bào) 第 9 期 12 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期9.與斯特瓦爾特定理有關(guān)的一道題題目來自南京最近的模擬題。開始看到的時(shí)候，沒有頭緒，主要是不能很好地處理 48那個(gè)式子，后來有老師提供了解法，我一看，咦，這不是和前一陣看到的那個(gè)什么瓦爾特定理有關(guān)嗎？蜜蜂

12、周報(bào) 第 9 期 13 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期10.導(dǎo)是王道，算得天下北大自招不等式一題這是 2018 北大自招的一道題。首先來看葉超杰老師的解答。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 14 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期恰好帥琪也寫了幾個(gè)解答。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 15 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 16 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期我比較贊同帥琪在小結(jié)中的觀點(diǎn)。有些“巧解”是依賴數(shù)據(jù)，依賴結(jié)構(gòu)的，有一定局限性。還是應(yīng)該掌握“通性通法”。11.橢圓內(nèi)部已經(jīng)放不下動(dòng)點(diǎn)了焦點(diǎn)三角形的旁心蜜蜂周報(bào) 第 9 期 17 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 18 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期12.從軌跡角

13、度去解決這些問題有很多問題的解決過程中，會(huì)用到軌跡的思想，比如最近很火的，阿氏圓，但是阿氏圓這個(gè)比較特殊，一般能用阿氏圓解決的問題，標(biāo)志比較明顯，看到所求就知道要用阿氏圓。所以本文所說的“軌跡”，并不包括阿氏圓。那指的是什么呢？我想表達(dá)的是，在問題的解法中，包含的軌跡，是不明顯的，甚至只是多種解法中的一種解法，用到了軌跡，如圓，橢圓，雙曲線等等。正好，從這個(gè)角度，把最近遇到的幾個(gè)問題匯集一下。第一題 軌跡是雙曲線收錄在第六期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 19 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期第二題 軌跡是圓第三題 軌跡是橢圓蜜蜂周報(bào) 第 9 期 20 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 21 / 4

14、6蜜蜂周報(bào) 第九期本題的基本解法，也就是林琳老師的解法如下：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 22 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期第四題 軌跡是圓從這里引申出一個(gè)問題：現(xiàn)在解題技術(shù)里有個(gè)詞叫“隱圓”，對這個(gè)東西，我還在學(xué)習(xí)、收蜜蜂周報(bào) 第 9 期 23 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期集素材中，先把一個(gè)文章放在附錄。13.唐山一模的選擇壓軸（極值點(diǎn)與零點(diǎn)）這個(gè)題不錯(cuò)，有高考題的風(fēng)格：條件簡約，入口寬，解答方法多。嗯，這就是一個(gè)好題的標(biāo)準(zhǔn)了。還沒有進(jìn)行深入的理解，先把看到的幾個(gè)解答記錄下來。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 24 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 25 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期14.旋轉(zhuǎn)的燈管，很妙的一個(gè)

15、立體問題情境蜜蜂周報(bào) 第 9 期 26 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 27 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期這個(gè)小題不錯(cuò)，透著一股靈動(dòng)。立體幾何試題里，好像很久沒遇到這樣的，能和現(xiàn)實(shí)生活場景結(jié)合的如此之好的。我猜是命題人坐在燈下編題，冥思苦想這立體幾何題咋出呢？這時(shí)來了一陣妖風(fēng)，把燈管吹歪了，哈哈，就你了?。ㄎ覀€(gè)人是很喜歡這個(gè)題，不過后來想了想，現(xiàn)在的學(xué)生有多少見過這種“老式”的燈管呢？）原以為這是個(gè)新題，沒想到一搜索，是個(gè)老題，而且很老。題目出處：蜜蜂周報(bào) 第 9 期 28 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期這是我搜到的最早的出處，之后就廣泛見于各種考試題中了，直到 2020 年有些高三模擬題

16、中也有用的。搜題軟件中有類似題蜜蜂周報(bào) 第 9 期 29 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期15.最值也是定值又是三點(diǎn)共線答案 B注意，這個(gè)不是焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓。從結(jié)果來看，是當(dāng) AB 經(jīng)過右焦點(diǎn)的時(shí)候取得最值。此時(shí)，F(xiàn)1P 也是定值 2a。定值即最值。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 30 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期相關(guān)試題蜜蜂周報(bào) 第 9 期 31 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 32 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 33 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期結(jié)論證明中用到了圓的切線的定理，在上面題目中也用到了，這也是處理內(nèi)切圓的常用做法，如果一條過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的同一支交于兩點(diǎn)，那么這個(gè)大的三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)有哪些？蜜蜂周報(bào) 第 9 期 34 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 35 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期上述證明中有三點(diǎn)結(jié)論，第一是內(nèi)切圓與 AB 的切點(diǎn)是右焦點(diǎn)，這在上面第一個(gè)題目中就出現(xiàn)了，證明過程也很簡單，第二是內(nèi)切圓的圓心在準(zhǔn)線上，且可用 AB 傾斜角表示出圓心的橫縱坐標(biāo)，第三，可用 AB 的傾斜角表示出內(nèi)切圓的半徑，證明過程用到了焦點(diǎn)弦的弦長公式。蜜蜂周報(bào) 第 9 期 36 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期蜜蜂周報(bào) 第 9 期 37 / 46蜜蜂周報(bào) 第九期第一問有不同的問法，在高考中曾經(jīng)以此考查過讓求證直線 PA 和直線 PB 的斜率之和為定值，還考查過兩個(gè)內(nèi)