高中數(shù)學 教學教研(名師研討 教學設計 數(shù)學解題 反思 總結(jié)) 蜜蜂周報 第14期

1、蜜蜂周報第 14 期 1 / 44蜜 蜂 周 報第 14 期（2020 年 6 月 15 日-6 月 21 日）蜜蜂周報第 14 期 2 / 44關(guān)于數(shù)學解題學習的幾個關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題都將成為一個范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類，能讓你的解題經(jīng)驗更加有序，更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里存儲，便于你解題時進行檢索，確定解題思路。蜜蜂周報第 14 期 5 / 442020 年第

2、14 期目錄第 1 題 6 月 15 日 唐山二模 16 題.1第 2 題 6 月 16 日 常數(shù)代換與正弦平方差.7第 3 題 6 月 16 日 有三角參與的恒成立問題.9第 4 題 6 月 17 日 正四棱錐截面問題.13第 5 題 6 月 17 日 雙自變量恒成立武漢六調(diào) 11.15第 6 題 6 月 17 日 構(gòu)造函數(shù)解不等式.16第 7 題 6 月 18 日 正三角形中的動點路程問題.16第 8 題 6 月 18 日 對稱的，就是最省的一個應用題.21第 9 題 6 月 18 日 三角形的一種問題結(jié)構(gòu).24第 10 題 6 月 19 日 導數(shù)證明三角不等式.30第 11 題 6 月

3、19 日 極小值 VS 最小值，概念你搞清楚了嗎？.31第 12 題 6 月 20 日 三次函數(shù)的零點問題.32第 13 題 6 月 20 日 拋物線上的距離比.34蜜蜂周報1-13 合訂本下載.38蜜蜂周報第 14 期 1 / 44第 1 題 6 月 15 日 唐山二模 16 題一、題目呈現(xiàn)6 月 11 日的唐山二模理數(shù)填空壓軸題：二、解法展示蜜蜂周報 第 14 期 1 / 44蜜蜂周報第 14 期 2 / 44我覺得這個題應該有純代數(shù)解法，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，它的代數(shù)問題就是下面這個：蜜蜂周報 第 14 期 2 / 44蜜蜂周報第 14 期 3 / 44高手們給出了幾種解答：蜜蜂周報 第 14 期

4、 3 / 44蜜蜂周報第 14 期 4 / 44（這個方法用到了二次曲線理論，高中是不要求的）蜜蜂周報 第 14 期 4 / 44蜜蜂周報第 14 期 5 / 44下面這個待定系數(shù)的柯西，是我最希望看到的?？礃幼右膊皇呛茈y。但是我沒想出來，看來我的不等式還需要加強。蜜蜂周報 第 14 期 5 / 44蜜蜂周報第 14 期 6 / 44（存在最大值，考慮拉姆達0，后面是利用待定系數(shù)確定，并結(jié)合 c（用 c 的范圍好操作）的取值范圍來控制拉姆達的范圍，以保證最大值的存在）三、聯(lián)系與背景我認為，這個題是“定弦定角”問題的變式，比如：a=1，求 b+c 的最大值（或者周長的最大值）這樣的問題，于是我又

5、習慣性的搜索這個關(guān)鍵詞。一個意外發(fā)現(xiàn)，通過搜索我找到了證明“定弦定角時三角形周長最值”的純平面幾何證明。這個以前沒看過。還不是太難，能看懂。怎 樣 證 明 ： 圓 中 定 弦 定 角 圍 成 的 三 角 形 ， 等 腰 時 周 長 最 大 ？ - 知 乎 &utm_medium=social&utm_oi=602475833575739392四、類似問題蜜蜂周報 第 14 期 6 / 44蜜蜂周報第 14 期 7 / 44第 2 題 6 月 16 日 常數(shù)代換與正弦平方差在一個公眾號看到的：蜜蜂周報 第 14 期 7 / 44蜜蜂周報第 14 期 8 / 44蜜蜂周報 第 14

6、 期 8 / 44蜜蜂周報第 14 期 9 / 44最近我在學習不等式證明，有一種方法叫“常數(shù)的代換”，這個題看到分母有根號 2，于是產(chǎn)生下面的解法：（這個方法得到最大值為 1，要檢驗，確實等號可以取得）第 3 題 6 月 16 日 有三角參與的恒成立問題一、題目呈現(xiàn)蜜蜂周報 第 14 期 9 / 44蜜蜂周報第 14 期 10 / 44二、解法展示這個題看上去是個常規(guī)題，含參的二次不等式恒成立問題：上海陳曉佟老師的解法如下：（后面沒寫完，應該是得到二倍角，解三角不等式獲得范圍）（這種對結(jié)構(gòu)的深刻觀察這下的代數(shù)變形，讓我很詫異，也非常佩服，我看不出這樣做）解釋一個地方：這個解法用到了放縮，用均

7、值不等式獲得一個比較簡潔的不等式。當然不用均值不等式，按部就班按二次不等式恒成立做也是可以的，如下面兩個解法，基本相同。蜜蜂周報 第 14 期 10 / 44蜜蜂周報第 14 期 11 / 44說來也巧，有一個現(xiàn)象很有趣，就是，當你在很多個 QQ 群、微信群逛的時候，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)有些問題是很像的，或者說是彼此的變式，我把這個現(xiàn)象叫做解題研究的“孕婦效應”，孕婦效應本身是一個心理學上的名詞，百度的解釋是：我就經(jīng)常遇到這樣的情況。在 6 月 19 日上午，我就在一個微信群看到了一個題與本題有關(guān)：蜜蜂周報 第 14 期 11 / 44蜜蜂周報第 14 期 12 / 44解答本題，需要先化簡已知，這里用

8、到一個三角函數(shù)的“平方差”公式，具體如下：葉超杰老師的解法：（注意題目中要求是“非等腰”，所以 45°那里要斷開）蜜蜂周報 第 14 期 12 / 44蜜蜂周報第 14 期 13 / 44對比一下本題，發(fā)現(xiàn)二者是類似的：12 題把情境換成了三角形，給了一個 A,B 的關(guān)系式，讓你先推出二者互余，這樣的話，后面那個不等式就和 18 題完全一樣了。而且 12 題對角進行了一個限制：非等腰，這個是容æ p 5p ö易忽視的。不過可惜的是，它的選項里竟然沒有 ， 這個選項，所以也考查不到學ç ÷è12 12 ø生對“非等腰”這個約束

9、條件的理解，有點可惜。如果設置為填空題可能更好些。第 4 題 6 月 17 日 正四棱錐截面問題一、題目呈現(xiàn)表面上看，這個題的考查點、題型，是比較老套與傳統(tǒng)的。二、解法展示蜜蜂周報 第 14 期 13 / 44蜜蜂周報第 14 期 14 / 44下面是我的解法：對立體幾何問題來說，有一個宏觀的，整體的認識比較重要，或者說對幾何體的結(jié)構(gòu)要有一個宏觀的，當然越精確越好的認識，可以是從總體到局部的。比如這個題，首先認識到，底面 ABCD 當然是不垂直 PC 的，那么我們把底面想象一下以 A 為支點翹起來，旋轉(zhuǎn)到一個角度讓它與 PC 垂直，這就產(chǎn)生一個截面了。那應該旋轉(zhuǎn)多少角度呢？這個題給的幾何體棱長

10、關(guān)系比較特殊，PAC 是等邊三角形，所以截面 AMHN 與底面成的二面角是 30°?；蛘哒f H 是 PC 的中點，把四棱錐的高 PO 做出來，二者交點是 O。下面就是對截面 AMHN 的結(jié)構(gòu)認識，這是一個軸對稱的四邊形，對角線互相垂直，所以只要把兩個對角線的長度算出來，面積就可求了。蜜蜂周報 第 14 期 14 / 44蜜蜂周報第 14 期 15 / 44另外這個題，畫圖的時候，把 A 放在“最里面”不太好，像下面這個圖似的，這樣畫對結(jié)構(gòu)看的不清楚。第 5 題 6 月 17 日 雙自變量恒成立武漢六調(diào) 11一、題目呈現(xiàn)二、解法展示這個題是個很套路化的題，把單調(diào)性確定了，在區(qū)間上的最小

11、值，最大值就確定了，那么“極差”（最大與最小的差）就確定了。蜜蜂周報 第 14 期 15 / 44蜜蜂周報第 14 期 16 / 44第 6 題 6 月 17 日 構(gòu)造函數(shù)解不等式其實這個也可以叫“同構(gòu)”：第 7 題 6 月 18 日 正三角形中的動點路程問題題目來自這個公眾號。這里的每日一題質(zhì)量很高，而且很難得是排版也很專業(yè)。蜜蜂周報 第 14 期 16 / 44蜜蜂周報第 14 期 17 / 44蜜蜂周報 第 14 期 17 / 44蜜蜂周報第 14 期 18 / 44蜜蜂周報 第 14 期 18 / 44蜜蜂周報第 14 期 19 / 44蜜蜂周報 第 14 期 19 / 44蜜蜂周報第

12、 14 期 20 / 44就像公眾號評論的，這個題難度并不算大，題型也不新鮮（很久之前就有這種題型了，作為分段函數(shù)學習的必經(jīng)），但考查的東西還是不少的。蜜蜂周報 第 14 期 20 / 44蜜蜂周報第 14 期 21 / 44第 8 題 6 月 18 日 對稱的，就是最省的一個應用題在一個公眾號看到的，單墫老師寫的文章：蜜蜂周報 第 14 期 21 / 44蜜蜂周報第 14 期 22 / 44蜜蜂周報 第 14 期 22 / 44蜜蜂周報第 14 期 23 / 44蜜蜂周報 第 14 期 23 / 44蜜蜂周報第 14 期 24 / 44第 9 題 6 月 18 日 三角形的一種問題結(jié)構(gòu)來自這

13、個公眾號：蜜蜂周報 第 14 期 24 / 44蜜蜂周報第 14 期 25 / 44蜜蜂周報 第 14 期 25 / 44蜜蜂周報第 14 期 26 / 44蜜蜂周報 第 14 期 26 / 44蜜蜂周報第 14 期 27 / 44蜜蜂周報 第 14 期 27 / 44蜜蜂周報第 14 期 28 / 44蜜蜂周報 第 14 期 28 / 44蜜蜂周報第 14 期 29 / 44蜜蜂周報 第 14 期 29 / 44蜜蜂周報第 14 期 30 / 44第 10 題 6 月 19 日 導數(shù)證明三角不等式蜜蜂周報 第 14 期 30 / 44蜜蜂周報第 14 期 31 / 44第 11 題 6 月

14、19 日 極小值 VS 最小值，概念你搞清楚了嗎？一、題目呈現(xiàn)二、解法展示下面的解法來自北京孫丕訓老師。這個題，在理解上存在一個難度，開始我也想錯了。因為函數(shù)在左側(cè)（x 屬于負無窮大時），有極限零，右側(cè)趨于無窮大，開始我覺得有“極小值”就可以保證有“最小值”了。后來發(fā)現(xiàn)不行，因為有左側(cè)極限零的存在，所以必須得讓那個極小值0，也就是孫老師上面的解法。后來，看到孫老師的解答，答案是 a1，正好是讓x2 + 2x + a 這個式子有零點的范圍，于是就想， f (x) = (x2 + 2x + a)ex 有零點是否就能保證有最小值？（這里我使用的方法又是解題研究的基本方法答案就是已知條件）其實是可以的

15、函數(shù)有零點就可以保證有最小值了。甚至都不用求導判斷極值。也不蜜蜂周報 第 14 期 31 / 44蜜蜂周報第 14 期 32 / 44用判斷兩側(cè)的極限。因為我們比較容易可以判斷出兩側(cè)函數(shù)值都為正，用類似“穿根法”來畫函數(shù)草圖，必須有零點才有最小值。所以只要讓前面那個二次函數(shù) x2 + 2x + a 有根，即判別式大于等于零。左邊比它大，右邊也比它大，而且能取到，那它就是最小值。（圖像可以參考孫老師的解法）這是根據(jù)圖像特點來說明極值（最值），不求導！思路和下面這個高考題的解釋類似（圖片來自公眾號“帥琪的數(shù)學筆記”）第 12 題 6 月 20 日 三次函數(shù)的零點問題蜜蜂周報 第 14 期 32 /

16、 44蜜蜂周報第 14 期 33 / 44（楊宏宇）（盧軍）一開始我是這樣做的：從圖形角度考慮，根據(jù)三個自變量的關(guān)系，找到 x0 的位置（實際上下面的草圖是極為不準確的），這樣確定函數(shù) g（x）的零點是 3 個。這個草圖不準確，所以得出的結(jié)論也是錯的。實際上，x 的位置應該滿足0f (x ) = f (x ) ，盧軍老師的解法中進行了證明。0 1也就是這個樣子：蜜蜂周報 第 14 期 33 / 44蜜蜂周報第 14 期 34 / 44第 13 題 6 月 20 日 拋物線上的距離比題目：解法呈現(xiàn)：上圖中解答為楊宏宇老師提供。下面是洪一平老師的解答，可以看出，這兩個解法都用到了均值不等式，解題長度相對比較短。只是他們用于表示線段的代數(shù)式不同，所以最后用的均值形式也不一樣。蜜蜂周報 第 14 期 34 / 44蜜蜂周報第 14 期 35 / 44其他解法：蜜蜂周報 第 14 期 35