第五章計(jì)算全息

1、 一、計(jì)算全息的定義一、計(jì)算全息的定義 利用光的干涉原理，借助參考光，可以將物光的復(fù)振幅利用光的干涉原理，借助參考光，可以將物光的復(fù)振幅（振幅和相位）以干涉條紋的形式記錄下來。我們可以稱之（振幅和相位）以干涉條紋的形式記錄下來。我們可以稱之為為光學(xué)編碼的方法光學(xué)編碼的方法。 如果我們不用光學(xué)的方法而是用如果我們不用光學(xué)的方法而是用人工的方法人工的方法進(jìn)行編碼制作全進(jìn)行編碼制作全 息圖，這就是息圖，這就是計(jì)算全息圖計(jì)算全息圖（Computer-generated Hologram).Computer-generated Hologram). 計(jì)算全息圖不僅可以全面地記錄光波的振幅和相位，計(jì)算全息

2、圖不僅可以全面地記錄光波的振幅和相位，而且能綜合出復(fù)雜的，或根本不存在的物體的全息圖，而且能綜合出復(fù)雜的，或根本不存在的物體的全息圖，因而具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和極大的靈活性。從光學(xué)發(fā)展的歷因而具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和極大的靈活性。從光學(xué)發(fā)展的歷史來看，計(jì)算全息首次將計(jì)算機(jī)引入光學(xué)處理領(lǐng)域，計(jì)史來看，計(jì)算全息首次將計(jì)算機(jī)引入光學(xué)處理領(lǐng)域，計(jì)算全息圖成為算全息圖成為數(shù)字信息數(shù)字信息和和光學(xué)信息光學(xué)信息之間有效的聯(lián)系環(huán)節(jié)，之間有效的聯(lián)系環(huán)節(jié)，為光學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的全面結(jié)合拉開了序幕。為光學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的全面結(jié)合拉開了序幕。 三、計(jì)算全息圖的制作程序三、計(jì)算全息圖的制作程序一般計(jì)算全息的制作過程分為五步一般計(jì)算全息的

3、制作過程分為五步（1 1）抽樣（）抽樣（2 2）計(jì)算（）計(jì)算（3 3）編碼（）編碼（4 4）繪制和縮?。ǎ├L制和縮?。? 5）再現(xiàn)）再現(xiàn)以下是傅里葉變換全息圖的制作流程以下是傅里葉變換全息圖的制作流程數(shù)學(xué)函數(shù)數(shù)學(xué)函數(shù)抽樣得離散抽樣得離散樣點(diǎn)分布樣點(diǎn)分布離散傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變離散傅里葉變換譜換譜編碼編碼全息透過全息透過率函數(shù)率函數(shù)繪圖繪圖照相縮版照相縮版計(jì)算全息圖計(jì)算全息圖再現(xiàn)再現(xiàn)像像四、抽樣定理四、抽樣定理 光學(xué)圖象信息往往具有連續(xù)分布的特點(diǎn)，但是在實(shí)現(xiàn)信息光學(xué)圖象信息往往具有連續(xù)分布的特點(diǎn)，但是在實(shí)現(xiàn)信息記錄、存貯、發(fā)送和處理時(shí)，由于物理器件有限的信息容量，記錄、存貯、發(fā)送

4、和處理時(shí)，由于物理器件有限的信息容量，一個(gè)連續(xù)函數(shù)常常用它在一個(gè)一個(gè)連續(xù)函數(shù)常常用它在一個(gè)離散點(diǎn)集上離散點(diǎn)集上的函數(shù)值，即的函數(shù)值，即抽樣值抽樣值來表示。已知一個(gè)函數(shù)為來表示。已知一個(gè)函數(shù)為f f (x),(x),則其抽樣值為則其抽樣值為)()(0 xntfnf 1, 1 , 0 Nn式中：式中：0t為抽樣起始點(diǎn)，為抽樣起始點(diǎn)，n n為抽樣點(diǎn)序號，為抽樣點(diǎn)序號，x 是抽樣間隔是抽樣間隔)(nf是是抽樣值抽樣值或抽樣值序列。直觀上，抽樣間隔越小，則抽樣或抽樣值序列。直觀上，抽樣間隔越小，則抽樣序列越準(zhǔn)確反映原來的連續(xù)函數(shù)。序列越準(zhǔn)確反映原來的連續(xù)函數(shù)。 抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處

5、理就會提抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處理就會提出更高的要求。如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到既出更高的要求。如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到既不不 丟失信息，又不對檢測、處理等過程提出過分的要求，并丟失信息，又不對檢測、處理等過程提出過分的要求，并由這樣的值恢復(fù)一個(gè)連續(xù)函數(shù)呢？這些正是抽樣定理所要回由這樣的值恢復(fù)一個(gè)連續(xù)函數(shù)呢？這些正是抽樣定理所要回答的問題。答的問題。 抽樣是制作計(jì)算全息圖的一個(gè)重要的不可缺少的步驟，而抽樣是制作計(jì)算全息圖的一個(gè)重要的不可缺少的步驟，而抽樣定理是計(jì)算全息技術(shù)中的重要理論基礎(chǔ)之一。抽樣定理是計(jì)算全息技術(shù)中的重要理論基礎(chǔ)之一。下面看一看函數(shù)的抽

6、樣和復(fù)原的圖解分析過程。下面看一看函數(shù)的抽樣和復(fù)原的圖解分析過程。x)(xxcomb x)(xfsx x 2x x 2xx 1x 21x 1x 21)( sF x)2(sin2xBcBxx)2/(xBrect )( F x)(xf )()(mxxcomb 梳狀函數(shù)的性質(zhì)梳狀函數(shù)的性質(zhì) )()(xmxxxxcomb )()( combxcomb)()( xxcombxxcomb 利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù)利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù)f(x,y)f(x,y)抽樣，得抽樣函數(shù)抽樣，得抽樣函數(shù))y( ，xfs它是由它是由 函數(shù)的陣列構(gòu)成函數(shù)的陣列構(gòu)成),()()(),(yxfyycombxxcombyxfs n

7、mymyxnxymxnfyx),(),( 利用卷積定理得到抽樣函數(shù)的頻譜利用卷積定理得到抽樣函數(shù)的頻譜),()()( Fycombxycombx ),(),( Fymxnnm nmymxnF),( ),()()(),( FyycombxxcombFs nmSymxnFF),(),(結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜),( F的周期性重復(fù)。的周期性重復(fù)。在頻域在頻域空間域空間域 的抽樣間隔是的抽樣間隔是x 和和y , ,空間頻譜被重復(fù)。其頻譜中空間頻譜被重復(fù)。其頻譜中心間距為心間距為x 1y 1和和x)(xfs)( sF x 1x 21x x 2設(shè)設(shè)f(

8、x,y)f(x,y)是有限帶寬函數(shù)，其頻譜在空間頻域的一個(gè)有限區(qū)域上是有限帶寬函數(shù)，其頻譜在空間頻域的一個(gè)有限區(qū)域上不為零。不為零。,方向上的譜的寬度分別為方向上的譜的寬度分別為xB2yB2由抽樣過程示意圖可知當(dāng)由抽樣過程示意圖可知當(dāng)xBx21 yBy21 xBx21 yBy21 ),( sF中的各個(gè)頻譜就不會出現(xiàn)中的各個(gè)頻譜就不會出現(xiàn)混疊混疊現(xiàn)象，這樣就有可能用現(xiàn)象，這樣就有可能用濾波的方法從濾波的方法從),( sF中分離出原函數(shù)的頻譜中分離出原函數(shù)的頻譜),( F，再由，再由),( F恢復(fù)原函數(shù)?；謴?fù)原函數(shù)。xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB 因而能由抽樣值還原原函數(shù)的條件是因

9、而能由抽樣值還原原函數(shù)的條件是（1 1）),(yxf是帶限函數(shù)是帶限函數(shù)（2 2） 在在x x方向和方向和y y方向抽樣點(diǎn)最大允許方向抽樣點(diǎn)最大允許 間隔為間隔為yB21xB21xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB yB21xB21和和稱為稱為奈魁斯特間隔奈魁斯特間隔。 抽樣定理的另一種表達(dá)為：抽樣定理的另一種表達(dá)為： 一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，它沒有頻率在一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，它沒有頻率在xB2yB2以上的頻譜分量，則該函數(shù)可以由一系列間隔小于以上的頻譜分量，則該函數(shù)可以由一系列間隔小于yB21xB21和和的抽樣值的抽樣值唯一唯一地確定。地確定。函數(shù)的還原函數(shù)的還原將抽樣函數(shù)作為輸入，加到

10、一個(gè)低通濾波器上，只要抽樣函數(shù)將抽樣函數(shù)作為輸入，加到一個(gè)低通濾波器上，只要抽樣函數(shù) 的頻譜不產(chǎn)生混疊，總可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，使的頻譜不產(chǎn)生混疊，總可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，使),( sF中，中，n=0,m=0n=0,m=0的項(xiàng)無畸變地通過，而濾去其它各項(xiàng)，這時(shí)濾波的項(xiàng)無畸變地通過，而濾去其它各項(xiàng)，這時(shí)濾波器的輸出就是復(fù)原的原函數(shù)，這一過程可由下面框圖示意。器的輸出就是復(fù)原的原函數(shù)，這一過程可由下面框圖示意。),(yxf),( F ),(yxfs)()(yycombxxcomb 低通濾波器低通濾波器),(yxh),( H),(),(),(yxhyxfyxfs ),( sF),(),(

11、 sFF ),( H若選矩形函數(shù)為濾波函數(shù)若選矩形函數(shù)為濾波函數(shù))2()2(),(yxBrectBrectH 則則),(),( sFF )2()2(yxBrectBrect 這一頻域的濾波過程，可以等效于空域中的卷積運(yùn)算這一頻域的濾波過程，可以等效于空域中的卷積運(yùn)算),(),(),(yxhyxfyxfs ),(),(),(ymyxnxymxnfyxyxfs ),(yxh )2()2(yxBrectBrect )2(sin)2(sin4yBcxBcBByxyx ),(),(),(yxhyxfyxfs nyxmyxymyBcxnxBcymxnfyxBB)(2sin)(2sin),(4惠特克惠特克香

12、農(nóng)（香農(nóng)（Whittaker-Shannon)Whittaker-Shannon)抽樣定理抽樣定理xBx21 取取yBy21 ),(yxf nyyxxyxmBmyBcBnxBcBmBnf)2(2sin)2(2sin)2,2(它表明了只要抽樣間隔滿足它表明了只要抽樣間隔滿足xBx21 yBy21 則在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)以則在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)以抽樣值為權(quán)重的抽樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)函數(shù) 為內(nèi)插函數(shù)，由這些加權(quán)的為內(nèi)插函數(shù)，由這些加權(quán)的sincsinc函數(shù)的線性組合可復(fù)原原函數(shù)的線性組合可復(fù)原原函數(shù)。函數(shù)。由以上討論可知，由抽樣函數(shù)還原原函數(shù)有兩條途徑由以上討論可知，由抽樣函數(shù)還原原函數(shù)

13、有兩條途徑（1 1）頻域?yàn)V波）頻域?yàn)V波（2 2）空域插值）空域插值嚴(yán)格說來，頻帶有限的函數(shù)在物理上并不存在，一個(gè)有限嚴(yán)格說來，頻帶有限的函數(shù)在物理上并不存在，一個(gè)有限寬度的函數(shù)，其頻譜范圍總是擴(kuò)展到無窮。但表征大多數(shù)寬度的函數(shù)，其頻譜范圍總是擴(kuò)展到無窮。但表征大多數(shù)物理物理量量的函數(shù)，其頻譜在頻率高到一定程度時(shí)總是大大減的函數(shù)，其頻譜在頻率高到一定程度時(shí)總是大大減小，以致于略去高頻分量所引入的誤差是可以允許的。實(shí)小，以致于略去高頻分量所引入的誤差是可以允許的。實(shí)際上，信號的檢測、傳遞過程采用的儀器都是際上，信號的檢測、傳遞過程采用的儀器都是有限通頻帶有限通頻帶寬寬的。所以很多物理量函數(shù)都可視為

14、有限帶寬函數(shù)，從而的。所以很多物理量函數(shù)都可視為有限帶寬函數(shù)，從而可用離散的抽樣序列代替?？捎秒x散的抽樣序列代替。將上述抽樣過程用下面的光學(xué)過程來說明：將上述抽樣過程用下面的光學(xué)過程來說明：xy如圖，物函數(shù)如圖，物函數(shù)f(x,y)f(x,y)是透明片是透明片T T字的透過率函數(shù)，在傅里葉變換字的透過率函數(shù)，在傅里葉變換平面上平面上T T字的譜是一組衍射斑點(diǎn)。對于字的譜是一組衍射斑點(diǎn)。對于f(x,y)f(x,y)抽樣，相當(dāng)于在抽樣，相當(dāng)于在T T字處加一個(gè)光柵，光柵間距應(yīng)滿足抽樣定理。這時(shí)在譜面上出字處加一個(gè)光柵，光柵間距應(yīng)滿足抽樣定理。這時(shí)在譜面上出現(xiàn)許多組的衍射斑點(diǎn)。如果在譜面上加一個(gè)單縫，

15、只允許中間現(xiàn)許多組的衍射斑點(diǎn)。如果在譜面上加一個(gè)單縫，只允許中間一組通過，則像面上的一組通過，則像面上的T T字沒柵格，與原物相同。字沒柵格，與原物相同。五、抽樣點(diǎn)數(shù)與空間帶寬積五、抽樣點(diǎn)數(shù)與空間帶寬積設(shè)平面物體的大小為設(shè)平面物體的大小為yx 在在x,yx,y方向的抽樣間距為方向的抽樣間距為xy根據(jù)抽樣定理根據(jù)抽樣定理 1x 1y取等號，有取等號，有 1x 1yyx 一個(gè)抽樣單元一個(gè)抽樣單元制作一個(gè)全息圖所需的抽樣點(diǎn)數(shù)為制作一個(gè)全息圖所需的抽樣點(diǎn)數(shù)為 yxyyxxSWyxByBx 4 dddxdy稱為空間帶寬積稱為空間帶寬積，利用它可以方便地確定，利用它可以方便地確定制作計(jì)算全息圖時(shí)所需要的抽

16、樣點(diǎn)的總數(shù)。如圖像的尺寸制作計(jì)算全息圖時(shí)所需要的抽樣點(diǎn)的總數(shù)。如圖像的尺寸是是40mm40mm 40mm,40mm,最高空間頻率最高空間頻率mmBmmByx/10,/10線線圖像的空間帶寬積圖像的空間帶寬積yxBByxSW 4 2800101040404 對這樣的圖像制作全息圖時(shí)，其抽樣點(diǎn)數(shù)是對這樣的圖像制作全息圖時(shí)，其抽樣點(diǎn)數(shù)是2800 5.2 計(jì)算全息的編碼方法計(jì)算全息的編碼方法 “編碼編碼”在通信中的意義是指把輸入信息變換為信道上傳在通信中的意義是指把輸入信息變換為信道上傳送的信號的過程。在計(jì)算全息中輸入信息是待記錄的光波的復(fù)送的信號的過程。在計(jì)算全息中輸入信息是待記錄的光波的復(fù)振幅，而

17、中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，振幅，而中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，其信息特征是全息圖上的其信息特征是全息圖上的透過率的變化透過率的變化，因此將二維光場復(fù)振幅分布變換為全息圖的二，因此將二維光場復(fù)振幅分布變換為全息圖的二維透過率函數(shù)分布的過程，稱為維透過率函數(shù)分布的過程，稱為計(jì)算全息的編碼計(jì)算全息的編碼。 由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼問題歸結(jié)為將問題歸結(jié)為將二維離散二維離散復(fù)值函數(shù)變換為二維復(fù)值函數(shù)變換為二維離散實(shí)值非負(fù)函離散實(shí)值非負(fù)函數(shù)數(shù)問題。而且這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，從二問題。而且這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，

18、從二維離散實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。維離散實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。 將復(fù)值函數(shù)變換為實(shí)值非負(fù)函數(shù)的編碼方法可以歸納為兩大將復(fù)值函數(shù)變換為實(shí)值非負(fù)函數(shù)的編碼方法可以歸納為兩大類：類：第第一種方法是把一個(gè)復(fù)值函數(shù)表示為兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)一種方法是把一個(gè)復(fù)值函數(shù)表示為兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)，例如用例如用振幅振幅和和相位相位兩個(gè)實(shí)參數(shù)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，分別對振幅和相兩個(gè)實(shí)參數(shù)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，分別對振幅和相位進(jìn)行編碼。位進(jìn)行編碼。 第二種方法是第二種方法是仿照光學(xué)全息仿照光學(xué)全息的辦法，如引入離軸參考光，的辦法，如引入離軸參考光，通過和物光波的干涉產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度分布，成為實(shí)值非負(fù)通過和物光波的干涉產(chǎn)生干涉條紋的

19、強(qiáng)度分布，成為實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，可以直接用實(shí)參數(shù)來表函數(shù)，因此每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，可以直接用實(shí)參數(shù)來表示。示。1 1、迂回相位編碼方法、迂回相位編碼方法（1 1）羅曼型）羅曼型 對光波的振幅進(jìn)行編碼比較容易，它可以通過控制全對光波的振幅進(jìn)行編碼比較容易，它可以通過控制全息圖上抽樣單元的透過率或開孔面積來實(shí)現(xiàn)。對于光波息圖上抽樣單元的透過率或開孔面積來實(shí)現(xiàn)。對于光波的相位編碼則比較困難，雖然原則上可以使光波通過一的相位編碼則比較困難，雖然原則上可以使光波通過一個(gè)具有二維分布的個(gè)具有二維分布的相位板相位板，但這在技術(shù)上十分困難。羅，但這在技術(shù)上十分困難。羅曼根據(jù)不規(guī)則光

20、柵的衍射效應(yīng)，成功地提出了迂回相位曼根據(jù)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)，成功地提出了迂回相位編碼的方法。編碼的方法。ddk k 方向上相鄰光線的光程差為方向上相鄰光線的光程差為kdsin相位差為相位差為kdsin2k級衍射波級衍射波這時(shí)在這時(shí)在k 方向上方向上觀察光柵的衍射光波，是一個(gè)平面波，觀察光柵的衍射光波，是一個(gè)平面波，可以認(rèn)為波面上各點(diǎn)光波振動的相位相可以認(rèn)為波面上各點(diǎn)光波振動的相位相同同, ,設(shè)為設(shè)為0 問題：如果光柵的柵距有誤差問題：如果光柵的柵距有誤差, ,如在如在某一位置處柵距增大了某一位置處柵距增大了 這時(shí)在這時(shí)在k 方向觀察的衍射波是否方向觀察的衍射波是否還是平面波？還是平面波？相鄰

21、光線的光程差為相鄰光線的光程差為kd sin)( k 方向的衍射光波在該方向的衍射光波在該位置處引入的相應(yīng)相位延遲位置處引入的相應(yīng)相位延遲kkksindsin)d( 22 ksin 2 ddk k級衍射波級衍射波d d ksindk dk2 迂回相位迂回相位迂回相位的值與柵距的偏移量和迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次衍射級次成正比，而與入射光波的波長無關(guān)。成正比，而與入射光波的波長無關(guān)。設(shè)光柵透光位置用標(biāo)號設(shè)光柵透光位置用標(biāo)號i i標(biāo)示，則標(biāo)示，則iidk 20 ddk k級衍射波級衍射波d d迂回相位效應(yīng)給予我們的提示：迂回相位效應(yīng)給予我們的提示：通過通過的辦法的辦法可以在特定的衍射方向

22、得到我可以在特定的衍射方向得到我們所需要的相位調(diào)制。們所需要的相位調(diào)制。不考慮均勻相位延遲不考慮均勻相位延遲0 iidk 2 下面我們對一復(fù)值函數(shù)進(jìn)行振幅下面我們對一復(fù)值函數(shù)進(jìn)行振幅和相位編碼和相位編碼假定全息圖共假定全息圖共MM NN個(gè)抽樣單元，待記錄的復(fù)振幅的樣點(diǎn)值為個(gè)抽樣單元，待記錄的復(fù)振幅的樣點(diǎn)值為)exp(mnmnmnjAf 式中式中10 mnA是歸一化振幅是歸一化振幅，)( xm)( yn01031 2 3 1231 2 3 ),(nm第第單元單元y x xW yLmn 如圖，首先在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)如圖，首先在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)矩形矩形通光孔，通通光孔，通過改

23、變光孔徑的面積來編碼復(fù)數(shù)波面的過改變光孔徑的面積來編碼復(fù)數(shù)波面的振幅振幅，其次改變通光孔，其次改變通光孔徑徑中心中心與抽樣與抽樣單元中心單元中心的位置來編碼相位。設(shè)矩形的寬度的位置來編碼相位。設(shè)矩形的寬度xW 不變，矩形孔徑的高度是不變，矩形孔徑的高度是yLmn xPmn 與歸一化振幅成正比。與歸一化振幅成正比。xPmn 是孔徑中心與抽樣單元中心的距離，與抽樣點(diǎn)的相位成正比是孔徑中心與抽樣單元中心的距離，與抽樣點(diǎn)的相位成正比因此，孔徑參數(shù)與復(fù)值函數(shù)的關(guān)系如下因此，孔徑參數(shù)與復(fù)值函數(shù)的關(guān)系如下mnmnAL mnmndk 2kPmnmn 2 根據(jù)上面方法確定了每個(gè)單元開孔尺寸和位置后，就可根據(jù)上面

24、方法確定了每個(gè)單元開孔尺寸和位置后，就可以用計(jì)算機(jī)控制以用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀繪圖儀產(chǎn)生產(chǎn)生原圖原圖，再經(jīng)過，再經(jīng)過縮版縮版得得到計(jì)算全息到計(jì)算全息圖圖。由于在迂回相位編碼方法中，全息圖的透過率只有。由于在迂回相位編碼方法中，全息圖的透過率只有0 0和和1 1兩個(gè)值，故制作簡單，噪聲低，抗干擾能力強(qiáng)，并可多次復(fù)兩個(gè)值，故制作簡單，噪聲低，抗干擾能力強(qiáng)，并可多次復(fù)制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。繪制全息圖繪制全息圖 計(jì)算全息圖的再現(xiàn)方法計(jì)算全息圖的再現(xiàn)方法與光學(xué)全息相似，僅在某個(gè)特定的衍與光學(xué)全息相似，僅在某個(gè)特定的衍射級次上才能再現(xiàn)我們所期望的波前。下圖是計(jì)算傅里葉變換

25、射級次上才能再現(xiàn)我們所期望的波前。下圖是計(jì)算傅里葉變換全息圖的再現(xiàn)光路，當(dāng)用平行光垂直照明全息圖時(shí)，在透射光全息圖的再現(xiàn)光路，當(dāng)用平行光垂直照明全息圖時(shí)，在透射光場中沿某一特定衍射方向的分量波將再現(xiàn)物光波的場中沿某一特定衍射方向的分量波將再現(xiàn)物光波的傅里葉變換傅里葉變換，而直接透過分量具有平面波前，并且在另一側(cè)的衍射分量將，而直接透過分量具有平面波前，并且在另一側(cè)的衍射分量將再現(xiàn)物譜的共軛光波。于是經(jīng)過透鏡再現(xiàn)物譜的共軛光波。于是經(jīng)過透鏡L L進(jìn)行逆傅里葉變換后，輸進(jìn)行逆傅里葉變換后，輸出平面中心是一個(gè)亮點(diǎn)，兩邊是正、負(fù)一級像和出平面中心是一個(gè)亮點(diǎn)，兩邊是正、負(fù)一級像和高級次的像高級次的像。

26、xy 利用迂回相位編碼的計(jì)算傅里葉變換全息圖利用迂回相位編碼的計(jì)算傅里葉變換全息圖clc;clearA=zeros(128);A(45:50,50:70)=1;A(45:80,50:55)=1;A(75:80,50:70)=1;A(60:65,50:65)=1;b=A;imshow(b,notruesize)%0 1間的隨機(jī)化矩陣間的隨機(jī)化矩陣 a = rand (128, 128) ;aa = exp( i*2*pi*a) ;AA = double (b).*aa;Afft2 = fftshift(fft2(AA) ;% 將變換后的高頻移至中心將變換后的高頻移至中心A1 = abs(Afft

27、2); %物函數(shù)圖的傅立葉變換后的頻譜的幅值物函數(shù)圖的傅立葉變換后的頻譜的幅值B2= angle (Afft2) / (2*pi) ;% 得到歸一化的頻譜的相位得到歸一化的頻譜的相位A1max =max(A1(:) ; %得到了歸一化的頻譜幅值得到了歸一化的頻譜幅值A(chǔ)1 =A1 /A1max;%s=128;N=128; % 繪圖尺寸設(shè)置繪圖尺寸設(shè)置swidth=s/N;sheight=swidth; %設(shè)置抽樣單元的寬度與高度設(shè)置抽樣單元的寬度與高度rwidth=swidth/2; %對每一個(gè)抽樣單元編碼，設(shè)置抽樣單元內(nèi)放置的矩形孔徑的尺寸對每一個(gè)抽樣單元編碼，設(shè)置抽樣單元內(nèi)放置的矩形孔徑的尺

28、寸,rwidth=w*swidth,rheight=A1*sheight, 孔徑中心與單元中心距離為孔徑中心與單元中心距離為dextra=B2*swidth/k,k為衍射級數(shù)，為衍射級數(shù)，取為取為1 %從左上角建立坐標(biāo)系，設(shè)置抽樣單元起始縱橫坐標(biāo)從左上角建立坐標(biāo)系，設(shè)置抽樣單元起始縱橫坐標(biāo)swidth/2;sheight/2;figure;set(gcf,color,w)axis(0 N 0 N);hold on;for j=1:N sy0=sheight/2+(j-1)*sheight;% 抽樣單元縱坐標(biāo)抽樣單元縱坐標(biāo) for i=1:N sx0=swidth/2+(i-1)*swidth;

29、% 抽樣單元橫坐標(biāo)抽樣單元橫坐標(biāo),是以抽樣單元中心為該單是以抽樣單元中心為該單 rheight=A1(j,i)*sheight; dextra=B2(j,i)*swidth; if abs(dextra)1/4*swidth rx0=sx0+dextra-rwidth/2;rx1=sx0+swidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0-swidth/2;rx11=sx0+dextra+rwidth/2-swidth; fill(rx00 rx00 rx11

30、 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); else rx0=sx0-swidth/2;rx1=sx0+dextra+rwidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0+dextra-rwidth/2+swidth;rx11=sx0+swidth/2; fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); end end end end axis equal axis off%saveas(gcf,e.bmp);x=

31、imread(e.bmp);figure,imshow(log(abs(fftshift(fft2(x),)（2 2）四階）四階迂回相位編碼方法迂回相位編碼方法 01jeF22 jeF jeF3234 jeF),(nm第第單元單元)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 如圖將一個(gè)全息圖的單元沿如圖將一個(gè)全息圖的單元沿x x方向分為四等分，各部分的相位方向分為四等分，各部分的相位分別是分別是0 0，2 23 這樣，一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅用四個(gè)子樣點(diǎn)發(fā)出這樣，一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅用四個(gè)子樣點(diǎn)發(fā)出的分量波合成來表示。的分量波合成來表示。)exp(mnmnmnjAf 23432

32、201 jjjjeFeFeFeF 對于一個(gè)樣點(diǎn)，對于一個(gè)樣點(diǎn)，4321FFFF四個(gè)分量中只有兩個(gè)分量為非零值四個(gè)分量中只有兩個(gè)分量為非零值因此，要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開孔因此，要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開孔大小或灰度等級來表示就行了。大小或灰度等級來表示就行了。0je2 je je23 je1F2F2 2、修正離軸參考光的編碼方法、修正離軸參考光的編碼方法 迂回相位編碼方法是用抽樣單元矩形孔的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)分迂回相位編碼方法是用抽樣單元矩形孔的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)分別表示編碼樣點(diǎn)處的振幅和相位。如果別表示編碼樣點(diǎn)處的振幅和相位。如果模擬光學(xué)離軸全息模擬光學(xué)離軸

33、全息的方的方法，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬的離軸參考光疊法，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬的離軸參考光疊加，使全息圖平面上待記錄的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布，就加，使全息圖平面上待記錄的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布，就避免了相位編碼問題。這時(shí)只要在全息圖單元上用避免了相位編碼問題。這時(shí)只要在全息圖單元上用開孔面積開孔面積或或灰度灰度變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，即可完成編碼。變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，即可完成編碼。 設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為f(x,y)f(x,y)，離軸的平面參考光波為，離軸的平面參考光波為 R(x,y)R(x,y)，即：，即：),(exp),

34、(),(yxjyxAyxf 2exp),(0 xjRyxR 2 2、修正離軸參考光的編碼方法、修正離軸參考光的編碼方法 在線性記錄條件下在線性記錄條件下, ,并忽略一些不重要的常數(shù)因子并忽略一些不重要的常數(shù)因子, ,光學(xué)離軸全光學(xué)離軸全息的透過率函數(shù)為息的透過率函數(shù)為2),(),(),(yxRyxfyxh ),(cos),(),(yxxyxARyxAR 220220 在透過率函數(shù)所包含的三項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過對余弦型條紋在透過率函數(shù)所包含的三項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過對余弦型條紋的的振幅和相位振幅和相位調(diào)制，記錄了物光波的全部信息；第一、二項(xiàng)調(diào)制，記錄了物光波的全部信息；第一、二項(xiàng)是這種光學(xué)全息方法不可避免

35、的伴生像。除了其中均勻偏置是這種光學(xué)全息方法不可避免的伴生像。除了其中均勻偏置分量使分量使h(x,y)h(x,y)為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的外，它們只是為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的外，它們只是占用信息占用信息通道通道。從物波信息傳遞的。從物波信息傳遞的角度來說角度來說，完全是多余的。，完全是多余的。 從光學(xué)全息形成的過程來看，第一、二項(xiàng)是不可避免地從光學(xué)全息形成的過程來看，第一、二項(xiàng)是不可避免地伴生的。但是計(jì)算機(jī)制作全息圖的靈活性，使人們在做計(jì)算伴生的。但是計(jì)算機(jī)制作全息圖的靈活性，使人們在做計(jì)算全息時(shí)，可以人為地將它們?nèi)サ舳匦聵?gòu)造全息函數(shù)，即所全息時(shí)，可以人為地將它們?nèi)サ舳匦聵?gòu)造全息函數(shù)，即所謂的謂的

36、修正型離軸全息函數(shù)。修正型離軸全息函數(shù)。 ),(cos),(.),(yxxyxAyxh 2150式中式中A(x,y)A(x,y)是歸一化振幅。是歸一化振幅。下面我們從頻域來理解光學(xué)離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函下面我們從頻域來理解光學(xué)離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)的差別。數(shù)的差別。 yB2xB2xB4 yB4 xB3 a a、物波的空間頻譜、物波的空間頻譜b b、光學(xué)全息圖的空間頻譜、光學(xué)全息圖的空間頻譜 xB8 c c、光學(xué)全息圖抽樣后的頻譜、光學(xué)全息圖抽樣后的頻譜yB4 圖圖b b是光學(xué)離軸全息圖的空間頻譜，中間的大矩形是是光學(xué)離軸全息圖的空間頻譜，中間的大矩形是),(2yxA的自相關(guān)頻

37、率成分。為了避免這些分量在頻率域中的重疊，要求的自相關(guān)頻率成分。為了避免這些分量在頻率域中的重疊，要求載頻載頻xB3 如果直接對光學(xué)全息圖函數(shù)進(jìn)行抽樣制作計(jì)算全息圖，則根如果直接對光學(xué)全息圖函數(shù)進(jìn)行抽樣制作計(jì)算全息圖，則根據(jù)抽樣定理，其抽樣間隔必須為據(jù)抽樣定理，其抽樣間隔必須為xxB81 yyB41 其計(jì)算全息圖的空間頻譜如圖其計(jì)算全息圖的空間頻譜如圖C C, ,它是它是 光學(xué)離軸全息圖光學(xué)離軸全息圖 頻譜的頻譜的 周期性重復(fù)。周期性重復(fù)。 由于修正后的全息函數(shù)已經(jīng)去掉了由于修正后的全息函數(shù)已經(jīng)去掉了),(2yxA項(xiàng)，所以在頻率項(xiàng)，所以在頻率域中自相關(guān)項(xiàng)的頻率成分已不存在，域中自相關(guān)項(xiàng)的頻率成

38、分已不存在， 只有代表物波頻率成分的只有代表物波頻率成分的兩個(gè)矩形和直流項(xiàng)的頻率成分兩個(gè)矩形和直流項(xiàng)的頻率成分 函數(shù)。如圖函數(shù)。如圖d d所示。所示。 xB d d、修正型離軸全息函數(shù)空間頻譜、修正型離軸全息函數(shù)空間頻譜 xB xB yB2 xB4 e e、修正型離軸全息函數(shù)抽樣后的頻譜、修正型離軸全息函數(shù)抽樣后的頻譜 由上圖可知，對修正離軸全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖時(shí)由上圖可知，對修正離軸全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖時(shí)，其抽樣間隔是，其抽樣間隔是: :xxB41 yyB21 于是總的抽樣點(diǎn)數(shù)就降為原來的于是總的抽樣點(diǎn)數(shù)就降為原來的1/41/4，這時(shí)計(jì)算全息圖的頻，這時(shí)計(jì)算全息圖的頻譜如圖譜如圖

39、e. e. 應(yīng)該指出，應(yīng)該指出，載頻在全息圖上的表現(xiàn)形式是余弦型條紋的間載頻在全息圖上的表現(xiàn)形式是余弦型條紋的間距，距，這與光學(xué)全息是相同的，但光學(xué)離軸全息函數(shù)與我們構(gòu)造這與光學(xué)全息是相同的，但光學(xué)離軸全息函數(shù)與我們構(gòu)造的修正離軸全息函數(shù)的頻譜結(jié)構(gòu)不同，因此載頻也不同。選取的修正離軸全息函數(shù)的頻譜結(jié)構(gòu)不同，因此載頻也不同。選取載頻的目的是保證全息函數(shù)在頻域中載頻的目的是保證全息函數(shù)在頻域中各分量不混疊各分量不混疊。對全息函。對全息函數(shù)進(jìn)行抽樣是制作計(jì)算全息圖的要求，抽樣間隔必須保證全息數(shù)進(jìn)行抽樣是制作計(jì)算全息圖的要求，抽樣間隔必須保證全息函數(shù)的函數(shù)的整體頻譜整體頻譜（包括各個(gè)結(jié)構(gòu)分量）（包括各

40、個(gè)結(jié)構(gòu)分量）不混疊不混疊，兩個(gè)概念是不，兩個(gè)概念是不同的。同的。 但是由于加進(jìn)了偏置分量，增加了記錄的全息圖的空間帶但是由于加進(jìn)了偏置分量，增加了記錄的全息圖的空間帶寬積，因此增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。一般來說，物波函數(shù)的信息容量寬積，因此增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。一般來說，物波函數(shù)的信息容量越大，抽樣點(diǎn)數(shù)就越多，對于任一種編碼方法都不能違背抽樣越大，抽樣點(diǎn)數(shù)就越多，對于任一種編碼方法都不能違背抽樣定理的，正如前面所述，避免了對相位的編碼，但又以增加抽定理的，正如前面所述，避免了對相位的編碼，但又以增加抽樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)。樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)。 上述以常量為偏置項(xiàng)的全息圖是博奇上述以常量為偏置項(xiàng)的全息圖是博奇19661966

41、年提出的，稱為年提出的，稱為博奇全息圖博奇全息圖。由于計(jì)算機(jī)處理的靈活性，偏置項(xiàng)還可以采用其。由于計(jì)算機(jī)處理的靈活性，偏置項(xiàng)還可以采用其它形式。加進(jìn)偏置項(xiàng)的目的是使全息函數(shù)變成它形式。加進(jìn)偏置項(xiàng)的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)值實(shí)值非負(fù)函數(shù)，非負(fù)函數(shù)，每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在相位編碼問題，比同時(shí)每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在相位編碼問題，比同時(shí)對振幅和相位編碼的方法簡便。對振幅和相位編碼的方法簡便。 由于每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只需由于每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只需要在每個(gè)單元中用要在每個(gè)單元中用開孔大小開孔大小或或灰度等級灰度等級來表示這個(gè)實(shí)的非負(fù)

42、值來表示這個(gè)實(shí)的非負(fù)值就行了。就行了。 設(shè)平面物體的大小為設(shè)平面物體的大小為yx ，在，在x,yx,y方向的抽樣間距為方向的抽樣間距為x y 抽樣單元分別為抽樣單元分別為J J個(gè)和個(gè)和K K個(gè)。個(gè)。這樣離散的物光波函數(shù)可以寫成這樣離散的物光波函數(shù)可以寫成),(ykxjffjk kj,為單元的序數(shù)為單元的序數(shù))(xj)( yk01231 2 3 1231 2 3 )x( j)y(k01031 2 3 1231 2 3 取取 1 x 1 y xxxJ yyyK yxSWJK 在譜平面上的抽樣情況與物面類似：在 方向的抽樣間隔x1在 方向的抽樣間隔 。頻域的抽樣單元數(shù)MN為：y1yxMN物面抽樣單元

43、數(shù)和全息圖平面上抽樣單元數(shù)相等，即物平面和譜平面具有同樣的空間帶寬積。確定了總抽樣點(diǎn)數(shù)后，物波函數(shù)和物譜函數(shù)的離散化表達(dá)式為：),(j exp),(A),(F)k,(jj exp)k, j (a)kj,(f（2）離散傅里葉變換）離散傅里葉變換 在確定了抽樣數(shù)和抽樣間距以后，需要將在確定了抽樣數(shù)和抽樣間距以后，需要將),(F 計(jì)算出來。為此，我們要將連續(xù)傅里葉變換，變成離散的傅里葉計(jì)算出來。為此，我們要將連續(xù)傅里葉變換，變成離散的傅里葉變換。變換。 dxdyyxjyxfF)(2exp),(),( )(xf jxxx)Bjx(Bcsin)Bj(f222在一維的情況下在一維的情況下 jjxcjf s

44、in)(空域插值空域插值代入上式得代入上式得 dxxjxfF)2exp)()( 12 j dxxjxfF)2exp)()( dxxjjxcjfFj )2exp()(sin)()( 利用利用 )(1)(sincrectccxc 和平移不變定理和平移不變定理dxxjjxc )2exp()(sin )2exp()(1 jjrectdxxjjxc )2exp()(sin 代入上式代入上式 )(F )2exp()()(1 jjrectjfj12 j )(F )2exp()()(1 jjrectjfj)2exp()(1122 jjjfJJj22 在譜平面上的抽樣情況與物面上類似，其抽樣間隔可分別取為在譜平

45、面上的抽樣情況與物面上類似，其抽樣間隔可分別取為x 1 y 1 )(m )(n 01231 2 3 1231 2 3 對于一個(gè)抽樣點(diǎn)來說對于一個(gè)抽樣點(diǎn)來說 m )( F )( mF)xm(F )2exp()(1122 xjmjjfJJj)2exp()(1122JjmjjfJJj )yn,xm(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122對于二維情況對于二維情況 有有 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122不考慮前面的常系數(shù)，則不考慮前面的常系數(shù)，則 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(122122這就是離散傅

46、里葉變換。每作一次變換涉及到大量計(jì)算。這就是離散傅里葉變換。每作一次變換涉及到大量計(jì)算。 1965 1965年庫列年庫列圖基圖基(Cooley-Tukey)(Cooley-Tukey)提出矩陣分解提出矩陣分解 的新算的新算法，也就是法，也就是快速傅里葉快速傅里葉(FFT)(FFT)變換算法變換算法，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，才使二維圖形的離散傅里葉變換在實(shí)際上成為可能，快速傅里才使二維圖形的離散傅里葉變換在實(shí)際上成為可能，快速傅里葉變換算法的程序可以在各種語言版本中找到，使用時(shí)直接調(diào)葉變換算法的程序可以在各種語言版本中找到，使用時(shí)直接調(diào)用相應(yīng)的庫函數(shù)就可以了。用相應(yīng)的庫函數(shù)就可以

47、了。)n,m(F通常是復(fù)數(shù)，可以記為通常是復(fù)數(shù)，可以記為)n,m(jI)n,m(R)n,m(F )n,m(jexp)n,m(A)n,m(F )n,m(I)n,m(R)n,m(A22 )n,m(R)n,m(Iarctg)n,m( 1、模式溢出校正 對相位編碼，當(dāng) 時(shí)，第m單元的矩孔將跨入鄰近的（m+1)單元，因而與相鄰單元孔發(fā)生重疊。這時(shí)候重疊部分本應(yīng)疊加，但是由于二元模板不可能進(jìn)行疊加，致使全息圖再現(xiàn)時(shí)出現(xiàn)失真。解決的辦法是將溢出的部分移至本單元的另一側(cè)。 模式溢出校正的依據(jù)是光柵衍射理論。由于計(jì)算全息圖可以看作是類光柵結(jié)構(gòu)，各抽樣單元中相應(yīng)位置具有相同相位值，而的計(jì)算是取主值范圍，即對模數(shù)2

48、 取的余數(shù)，所以把溢出移至本單元的另一側(cè)，對相位編碼不會產(chǎn)生影響。2)n,m()n,m(2、相位誤差的校正 在迂回相位編碼方法中，孔徑處的相位使用單元中心處的相位來近似的，這相當(dāng)于假設(shè)整個(gè)抽樣單元內(nèi)相位值的變化是相等的。如果在抽樣單元內(nèi)相位 的變化很緩慢，則這一假設(shè)近似成立。但實(shí)際上單元內(nèi)的相位總是有變化，這樣就會引入相位誤差。校正的方法是用孔徑位移處的實(shí)際相位來確定孔徑的位置。即：矩形孔中心的偏移量要正比于矩孔中心處的實(shí)際相位值?？讖降奈恢煤瘮?shù)為： ),(),(mod2m23、降低振幅的動態(tài)范圍 在做離散傅里葉變換前對物函數(shù)的樣點(diǎn)值乘以一個(gè)隨機(jī)相位，用其來平滑傅里葉變換譜，使振幅的動態(tài)范圍有

49、所減小。5.4 5.4 計(jì)算像面全息計(jì)算像面全息 計(jì)算像面全息與傅里葉變換全息不同之處僅在于被記錄的計(jì)算像面全息與傅里葉變換全息不同之處僅在于被記錄的復(fù)數(shù)波面是復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)物波函數(shù)本身，或者是物波的本身，或者是物波的像場分布像場分布，因此只，因此只要對物波函數(shù)進(jìn)行抽樣和編碼。同樣可以采用多種方法對物要對物波函數(shù)進(jìn)行抽樣和編碼。同樣可以采用多種方法對物波函數(shù)進(jìn)行編碼。下圖是像面全息的再現(xiàn)示意圖。波函數(shù)進(jìn)行編碼。下圖是像面全息的再現(xiàn)示意圖。xyxy ffff 5.5 5.5 計(jì)算全息干涉圖計(jì)算全息干涉圖 光學(xué)記錄的全息圖是一種兩束光的干涉條紋光學(xué)記錄的全息圖是一種兩束光的干涉條紋. .如如果

50、用人工的方法把干涉果用人工的方法把干涉( (指亮紋和暗紋指亮紋和暗紋) )的位置計(jì)算出的位置計(jì)算出來來, ,再用繪圖機(jī)繪制再用繪圖機(jī)繪制, ,經(jīng)過精縮以后就是一幅全息圖經(jīng)過精縮以后就是一幅全息圖. .這種黑白條紋這種黑白條紋, ,通過精縮成為透明與不透明相間的條通過精縮成為透明與不透明相間的條紋膠片紋膠片, ,就稱為計(jì)算就稱為計(jì)算二元全息圖二元全息圖. .實(shí)際上這種二元全息實(shí)際上這種二元全息圖與圖與過曝光過曝光非線性記錄的光學(xué)全息圖是非常相似的非線性記錄的光學(xué)全息圖是非常相似的. .5.5 5.5 計(jì)算全息干涉圖計(jì)算全息干涉圖 計(jì)算過程可模擬為一個(gè)非線性限幅器運(yùn)算來完成，其工作原計(jì)算過程可模擬

51、為一個(gè)非線性限幅器運(yùn)算來完成，其工作原理的框圖如下圖所示。理的框圖如下圖所示。Tx 2cos輸入函數(shù)輸入函數(shù) q cos偏置函數(shù)偏置函數(shù)x)(xhqTTT2T T2 輸入輸入輸出輸出10)(xh q cosTx 2cos輸入輸入輸出輸出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xhqTTT2T T2 輸出的是二元函數(shù)，位置由輸入函數(shù)決定，寬度為輸出的是二元函數(shù)，位置由輸入函數(shù)決定，寬度為qTqT。它。它可以展開成傅里葉級數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù) Txjmmqmxhm 2exp)sin()(Txjxh2expqsin)(, 1m輸入輸入輸出輸出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xh

52、qTTT2T T2 如果限幅器的輸入為如果限幅器的輸入為 ),(cosyxTx 2偏置函數(shù)偏置函數(shù) ),(cosyxq 其中其中 /),(arcsin),(yxAyxq ),(yxA),(yx 分別是物光波的振幅和相位函數(shù)分別是物光波的振幅和相位函數(shù)其輸入輸出波形如下圖所示其輸入輸出波形如下圖所示. .這時(shí)輸出脈沖寬度受到這時(shí)輸出脈沖寬度受到q(x,y),q(x,y),即即A(x,y)A(x,y)的調(diào)制的調(diào)制, ,輸出脈沖的位置受到輸出脈沖的位置受到),(yx 的調(diào)制的調(diào)制. .輸入輸入輸出輸出10)(xh ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq 輸出的二元函數(shù)的一般形式是輸出的二元函數(shù)

53、的一般形式是 ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq Tyxq),( ),(2exp),(sin),(yxTxjmmyxqmyxhm 當(dāng)用單位振幅的平面波垂直照射全息圖時(shí)，透過光波就是上式當(dāng)用單位振幅的平面波垂直照射全息圖時(shí)，透過光波就是上式二元全息函數(shù)。我們只對二元全息函數(shù)。我們只對m =1m =1或或m = -1m = -1感興趣，取感興趣，取m = -1,m = -1,于于是有是有 ),(2exp),(sin),(yxTxjyxqyxh TxjyxjyxA 2exp),(exp),(如果限幅器的輸入為如果限幅器的輸入為 ),(cosyxTx 2則透射光波則透射光波+1+1級級衍射項(xiàng)

54、將再現(xiàn)原來的物光波。衍射項(xiàng)將再現(xiàn)原來的物光波。上式表明，透射光波的上式表明，透射光波的-1 -1級衍射項(xiàng)完全再現(xiàn)了物光波級衍射項(xiàng)完全再現(xiàn)了物光波 ),(exp),(yxjyxA 其中線性相位項(xiàng)其中線性相位項(xiàng) Txj 2exp作為載波給出了再現(xiàn)物光波作為載波給出了再現(xiàn)物光波的傳播方向的傳播方向二元全息干涉圖的制作二元全息干涉圖的制作 二元全息函數(shù)的取值為二元全息函數(shù)的取值為0 0或或1 1。為了利用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀。為了利用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀制作全息干涉圖，只需要確定二元全息函數(shù)制作全息干涉圖，只需要確定二元全息函數(shù)h(x,y)h(x,y)由由0 01 1或由或由1 10 0的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)的坐標(biāo)

55、位置。這樣，滿足方程的坐標(biāo)位置。這樣，滿足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 的點(diǎn)就構(gòu)成了二元全息干涉圖的劃線邊界，也即是的點(diǎn)就構(gòu)成了二元全息干涉圖的劃線邊界，也即是),(),(yxqnyxTx 22 210 ,n其中其中“- -”表示表示h(x,y)h(x,y)由由0-10-1的前沿點(diǎn)的前沿點(diǎn), ,”+ +”表示由表示由1-01-0的后沿點(diǎn)的后沿點(diǎn)1 ),(yxh的條紋，其坐標(biāo)應(yīng)滿足方程的條紋，其坐標(biāo)應(yīng)滿足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 222),(),(),(yxqnyxTxyxq 上面兩個(gè)方程確定了計(jì)算全息干涉圖上條紋的位置和形上面兩個(gè)方程確定了計(jì)算全息干

56、涉圖上條紋的位置和形狀。求解基本方程并確定劃線邊界后，就可以用計(jì)算機(jī)狀。求解基本方程并確定劃線邊界后，就可以用計(jì)算機(jī)控制繪圖設(shè)備畫出干涉圖?？刂评L圖設(shè)備畫出干涉圖。當(dāng)要再現(xiàn)的物波函數(shù)只有相位變化，即當(dāng)要再現(xiàn)的物波函數(shù)只有相位變化，即A(x,y)A(x,y)等于常數(shù)等于常數(shù)時(shí)，基本方程可以簡化為如下形式時(shí)，基本方程可以簡化為如下形式, ,設(shè)設(shè)q=0q=0nyxTx 22 ),(此時(shí)，可以用此時(shí)，可以用細(xì)線條繪制全息圖細(xì)線條繪制全息圖，所以計(jì)算全息干涉特別，所以計(jì)算全息干涉特別適合于再現(xiàn)適合于再現(xiàn)純相位純相位的物波。的物波。載波頻率的選擇載波頻率的選擇T1是載波的空間頻率，其選擇與光學(xué)記錄的全息圖

57、相同，要避免在空間是載波的空間頻率，其選擇與光學(xué)記錄的全息圖相同，要避免在空間域第域第一級衍射波一級衍射波和二級以上的衍射波相互重疊，載波頻率和二級以上的衍射波相互重疊，載波頻率xBT31 xB是物光波局部空間最高頻率是物光波局部空間最高頻率實(shí)際中，取實(shí)際中，取xBT41 xBxB2T1T2 例：說明繪制一個(gè)球面波的二元全息干涉圖的制作方法例：說明繪制一個(gè)球面波的二元全息干涉圖的制作方法nyxTxm 2),(2 （1 1）由方程）由方程求局部空間頻率求局部空間頻率nyxTxm 2),(21 n xxyxyx ),(),( xyxTmxx),(2111 yyxmyy ),(211 )(2),(2

58、2yxfkyx fxTxyxTx 1),(211fyyyxy ),(21由上式可知，其最大局部空間頻率位于波面邊沿，設(shè)球面波由上式可知，其最大局部空間頻率位于波面邊沿，設(shè)球面波直徑為直徑為D D，則，則xBxB2T1T2 1m2m1mfDBx 2xBT41 取取fDT 21 因此二元干涉條紋的平均周期和條紋數(shù)為因此二元干涉條紋的平均周期和條紋數(shù)為DfT2 fDTDN 22 設(shè)設(shè)nmmmDmmf8 .632201000 mmDfT016. 02 條紋總數(shù)條紋總數(shù)N=1264N=1264將將T T和和)(2),(22yxfkyx 代入方程代入方程nyxTx 22 ),(可得每一條紋的空間位置。并控

59、制繪圖儀畫出計(jì)算全息干涉可得每一條紋的空間位置。并控制繪圖儀畫出計(jì)算全息干涉圖。由于干涉條紋很密，通常是先按一定的比例放大繪圖，圖。由于干涉條紋很密，通常是先按一定的比例放大繪圖，然后再用光學(xué)縮版方法得到可用的全息圖。然后再用光學(xué)縮版方法得到可用的全息圖。說明：球面波在光學(xué)中可以用透鏡很方便地產(chǎn)生，而另一些說明：球面波在光學(xué)中可以用透鏡很方便地產(chǎn)生，而另一些復(fù)雜的波面，如復(fù)雜的波面，如螺旋形螺旋形波面、波面、非球面非球面等，用光學(xué)技術(shù)是難以等，用光學(xué)技術(shù)是難以得到的。由于計(jì)算機(jī)仿真干涉圖的靈活性很大，得到的。由于計(jì)算機(jī)仿真干涉圖的靈活性很大，使得計(jì)算全使得計(jì)算全息干涉圖很適合產(chǎn)生用單純光學(xué)方法

60、難以實(shí)現(xiàn)的特殊息干涉圖很適合產(chǎn)生用單純光學(xué)方法難以實(shí)現(xiàn)的特殊相位型相位型變化的波面。變化的波面。 微光學(xué)微光學(xué)(Micro Optics)(Micro Optics)這一術(shù)語是這一術(shù)語是19691969年在一家日本雜志年在一家日本雜志上出現(xiàn)的。上出現(xiàn)的。19811981年日本微光學(xué)研究組織及刊物也應(yīng)運(yùn)而生，年日本微光學(xué)研究組織及刊物也應(yīng)運(yùn)而生，微光學(xué)的名稱自此成立。微光學(xué)當(dāng)時(shí)主要指微光學(xué)的名稱自此成立。微光學(xué)當(dāng)時(shí)主要指梯度折射率光纖梯度折射率光纖和和微小物鏡微小物鏡，但目前微光學(xué)的含義就遠(yuǎn)不止這些了。，但目前微光學(xué)的含義就遠(yuǎn)不止這些了。微光學(xué)微光學(xué)是研究微米、納米級尺寸的光學(xué)元器件的設(shè)計(jì)、制作