兩點(diǎn)間距離公式

1、5.3 兩點(diǎn)間距離公式、線段的定比分點(diǎn)與圖形的平移知識(shí)梳理1.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.|=.2.線段的定比分點(diǎn)是研究共線的三點(diǎn)P1，P，P2坐標(biāo)間的關(guān)系.應(yīng)注意：（1）點(diǎn)P是不同于P1，P2的直線P1P2上的點(diǎn)；（2）實(shí)數(shù)是P分有向線段所成的比，即P1P，PP2的順序，不能搞錯(cuò)；（3）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式（1）.3.點(diǎn)的平移公式描述的是平移前、后點(diǎn)的坐標(biāo)與平移向量坐標(biāo)三者之間的關(guān)系，特別提示1.定比分點(diǎn)的定義：點(diǎn)P為所成的比為，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)即為=.當(dāng)0時(shí)，P為內(nèi)分點(diǎn)；0時(shí)，P為外分點(diǎn).2.定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式：P點(diǎn)分成的比為，則=+（O為平面內(nèi)任一點(diǎn)）

2、.3.定比分點(diǎn)的應(yīng)用：利用定比分點(diǎn)可證共線問題.點(diǎn)擊雙基1.（2004年?yáng)|北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為A.y=f（x+1）2B.y=f（x1）2C.y=f（x1）+2D.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線y2=4x沿向量a平移得到拋物線y24y=4x，則向量a為A.（1，2）B.（1，2）C.（4，2）D.（4，2）解析：設(shè)a=（h，k），由平移公式得代入y2=4x得（k）2=4（h），

3、22k=44hk2，即y22ky=4x4hk2，k=2，h=1.a=（1，2）.答案：A思考討論本題不用平移公式代入配方可以嗎?提示：由y24y=4x，配方得（y2）2=4（x+1），h=1，k=2.（知道為什么嗎?）3.設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線，且它們的縱坐標(biāo)分別為2、5、10，則A點(diǎn)分所得的比為A.B.C.D.解析：設(shè)A點(diǎn)分所得的比為，則由2=，得=.答案：C4.若點(diǎn)P分所成的比是（0），則點(diǎn)A分所成的比是_.解析：=，=（+）.（1+）=.=.=.答案：5.（理）若ABC的三邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）、（3，4）、（1，1），則ABC的重心坐標(biāo)為_.解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

4、C（x3，y3），則重心坐標(biāo)為（，）.答案：（，）（文）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段M1M2的交點(diǎn)M分有向線段的比為32，則m的值為_.解析：設(shè)M（x，y），則x=3，y=5，即M（3，5），代入y=mx7得5=3m7，m=4.答案：4典例剖析【例1】 已知點(diǎn)A（1，6）和B（3，0），在直線AB上求一點(diǎn)P，使|=|.剖析：|=|，則=或=.設(shè)出P（x，y），向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），若=，則由（x+1，y6）=（4，6），得解得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）.若=，則由（x+1，y6）=（4，6）得解得P（，8）.綜上所述，P（，4）或（，8）

5、.深化拓展本題亦可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)處理.由=，得=，則P為的定比分點(diǎn)，=，代入公式即可；若=，則=，則P為的定比分點(diǎn)，=.由兩種方法比較不難得出向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，是解決向量問題的一般方法.【例2】 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（3，4），C（1，2），BD是ABC的平分線，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及BD的長(zhǎng).剖析：A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為已知，要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，只要能求出D分所成的比即可.解：|BC|=2，|AB|=，D分所成的比=.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D點(diǎn)坐標(biāo)為（95，）.|BD|=.評(píng)述：本題給出了三點(diǎn)坐標(biāo)，因此三邊長(zhǎng)度易知，由角平分線的性質(zhì)通過定比分點(diǎn)可解出D點(diǎn)坐標(biāo)，適當(dāng)利用平面幾何

6、知識(shí)，可以使有些問題得以簡(jiǎn)化.深化拓展本題也可用如下解法：設(shè)D（x，y），BD是ABC的平分線，=，.，即=.又=（1，3），=（x3，y4），=（4，2），=.（4+）x+（23）y+920=0.又A、D、C三點(diǎn)共線，共線.又=（x4，y1），=（x+1，y2），（x4）（y2）=（x+1）（y1）.由可解得D點(diǎn)坐標(biāo)為（95，），|BD|=.思考討論若BD是AC邊上的高，或BD把ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請(qǐng)讀者思考.【例3】 已知在ABCD中，點(diǎn)A（1，1），B（2，3），CD的中點(diǎn)為E（4，1），將ABCD按向量a平移，使C點(diǎn)移到原點(diǎn)O.（1）求向量a；（2）求平移后的平

7、行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由ABCD可得=，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則又CD的中點(diǎn)為E（4，1），則由得即C（，2），D（，0）.a=（，2）.（2）由平移公式得A（，1），B（，1），C（0，0），D（1，2）.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004年福州質(zhì)量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（，3）平移后的函數(shù)解析式為A.y=sin（x）+3B.y=sin（x）3C.y=sin（x+）+3D.y=sin（x+）3解析：由得3=sin（+）.=sin（+）+3，即y=sin（x+）+3.答案：C2.（2003年河南調(diào)研題）將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)y

8、=2sin（2x+）+1的圖象，則a等于A.（，1）B.（，1）C.（，1）D.（，1）解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，a=（，1）.答案：B3.（2004年?yáng)|城區(qū)模擬題）已知點(diǎn)P是拋物線y=2x2+1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，1），若點(diǎn)M分所成的比為2，則點(diǎn)M的軌跡方程是_，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.解析：設(shè)P（x0，y0），M（x，y）.代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），p=，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.答案：x2=（y+） （0，）4.把函數(shù)y=2x24x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x2的圖象，且ab，c=（1

9、，1），b·c=4，則b=_.解析：a=（0，0）（1，3）=（1，3）.設(shè)b=（x，y），由題意得則b=（3，1）.答案：（3，1）5.已知向量=（3，1），=（1，2），.試求滿足+=的的坐標(biāo).解：設(shè)=（x，y），則=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=（x+3，y+1）（1，2）=（x+4，y1），則所以=（11，6）.6.已知A（2，3），B（1，5），且滿足=，=3，=，求C、D、E的坐標(biāo).解：用向量相等或定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式均可，讀者可自行求解.C（1，），D（7，9），E（，）.培養(yǎng)能力7.（2004年福建，17）設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，其中a=（2co

10、sx，1），b=（cosx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值.解：（1）依題設(shè)f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（xm）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.8.有點(diǎn)難度喲?。?004年廣州綜合測(cè)試）已知曲線x2

11、+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)=，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）原曲線即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線C為x2+2y2=2，即+y2=1.（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則由于點(diǎn)M、N在橢圓x2+2y2=2上，則即消去x22得，22+8y2+8=22+4+2，即y2=.1y21，11.又0，故解得.故的取值范圍為，+）.思考討論本題若設(shè)出直線l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利用韋達(dá)定理能求解嗎?（不要忘記討論斜

12、率不存在的情況）讀者可嘗試一下.探究創(chuàng)新9.甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向做勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東（=arctan）的方向作勻速直線航行，速度為10 n mile/h.（如下圖所示）（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近?最近距離為多少海里?解：以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x1，y1），Q（x2，y2），則由=arctan，可得cos=，sin=，x2=10tsin=10t，y2=10tcos

13、40=20t40.（1）令t=3，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（45，45），（30，20）.|PQ|=5，即兩船出發(fā)后3 h時(shí)，兩船相距5 n mile.（2）由（1）的解法過程易知|PQ|=20.當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)，|PQ|的最小值為20，即兩船出發(fā)4 h時(shí)，相距20 n mile為兩船最近距離.思悟小結(jié)1.理解線段的定比分點(diǎn)公式時(shí)應(yīng)注意以下問題：（1）弄清起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)，并由此決定定比；（2）在計(jì)算點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，首先要確定是內(nèi)分點(diǎn)，還是外分點(diǎn)，然后相應(yīng)地把數(shù)量之比轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度之比.也可直接由定義=獲解.2.線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示，強(qiáng)化了坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，確定的值是公式應(yīng)用的關(guān)鍵.3.關(guān)于

14、平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入法是確定平移向量的重要方法.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.線段的定比分點(diǎn)公式=，該式中已知P1、P2及可求分點(diǎn)P的坐標(biāo)，并且還要注意公式的變式在P1、P2、P、中知三可求第四個(gè)量.2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式要用活不要死記.可設(shè)出坐標(biāo)利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化具有一般性.3.平移前后坐標(biāo)之間的關(guān)系極易出錯(cuò)，要引導(dǎo)學(xué)生弄清知識(shí)的形成過程不要死記硬背.拓展題例【例1】 （2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（A，B）=sin22A+cos22Bsin2Acos2

15、B+2.（1）設(shè)ABC的三內(nèi)角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時(shí)，C的值；（2）當(dāng)A+B=且A、BR時(shí)，y=f（A，B）的圖象按向量p平移后得到函數(shù)y=2cos2A的圖象，求滿足上述條件的一個(gè)向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A）2+（cos2B）2+1，由題意得C=或C=.（2）A+B=，2B=2A，cos2B=cos2A.f（A，B）=cos2Asin2A+3=2cos（2A+）+3=2cos2（A+）+3.從而p=（，3）（只要寫出一個(gè)符合條件的向量p即可）.【例2】 設(shè)曲線C的方程是y=x3x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線C1.（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明：曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.（1）解：C1：ys=（st）3（xt）.（2）分析：要證明曲線C1與C關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱，只需證明曲線C1上任