浙江工商大學(xué)2011年希望杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

1、浙江工商大學(xué)2011年“希望杯”大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽模擬練習(xí)題一、金融投資方案某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個(gè)問題：1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過多少。2）如果要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。下面是該公司在過去一年255個(gè)交易日的日收益額（單位為萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù), 假定每天結(jié)算一次，保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬元：收益額333231302928272625242322

2、21201918天數(shù)1111121214026347收益額171615141312111098765432天數(shù)58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數(shù)9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數(shù)1000000100100000要求：1） 參考以上數(shù)據(jù)，建立模型來解決前述的兩個(gè)問題；2） 討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個(gè)問題的答案。陳述上述兩個(gè)問題的一般形式（即初始投資額為M, 限定損失額為L(zhǎng), 置信度為 1-,

3、 T 個(gè)周期）及其解決方案。二、郵票面值系統(tǒng)英國皇家郵局將信分為兩類，第一類信件要求在收信后的第二個(gè)工作天投到，第二類信件要求在收信后的第三個(gè)工作天投到，最近一次郵資調(diào)整以后，兩類信件的郵資如下表所示。 英國傳統(tǒng)使用的郵票有以下面值：1便士，2便士，3便士，4便士，5便士，6便士，10便士，19便士，20便士，25便士，29便士，30便士，35便士，36便士，38便士，41便士，50便士，1鎊，1.5鎊,2鎊,5鎊,10鎊。 給出郵資表中每一種郵資所需的最少郵票張數(shù)。能否去掉當(dāng)前銷售的郵票中的任何一張而比增加所需郵票的張數(shù)？你能否建議一種更好的郵票面值系統(tǒng)？重量不超過第一類郵資第二類郵資60g

4、27便士19便士100g41便士33便士150g57便士44便士200g72便士54便士250g84便士66便士300g96便士76便士350g109鎊87便士400g130鎊105鎊450g148鎊119鎊500g166鎊135鎊600g200鎊160鎊700g251鎊183鎊750g269鎊194鎊800g291鎊900g320鎊1000g349鎊每超過250g再加85便士，不到250g按250g算不能超過750g三、牧羊人的希望一個(gè)牧羊人擁有x m2的牧場(chǎng)，牧場(chǎng)中長(zhǎng)著多年生黑麥草。他期望今后幾年通過養(yǎng)羊獲得滿意的收益。請(qǐng)你建立數(shù)學(xué)模型幫助他解決以下問題：1、 他應(yīng)該飼養(yǎng)多少只羊？2、 夏

5、季應(yīng)存儲(chǔ)多少干草用作冬季飼料？3、 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？黑麥草的平均生長(zhǎng)率：季節(jié)冬季春季夏季秋季日生長(zhǎng)率（g）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年產(chǎn)一頭、兩頭或三頭。假定每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售。一只母羊在每個(gè)年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)：年齡（年）0112233445產(chǎn)羊羔（頭）018242018每頭羊日平均所需飼料：日需草量（kg）羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季0135四、電子游戲中的數(shù)學(xué)近年來，隨著電子游戲的日益普及，電子游戲業(yè)已成為橫跨信息技術(shù)和文化的重要產(chǎn)業(yè)。對(duì)電子游戲中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究，成為數(shù)學(xué)界和相關(guān)人士的一個(gè)熱門話題。在某電子游戲中，

6、玩家每次下注一元，由機(jī)器隨機(jī)分配給玩家五張撲克牌，然后允許玩家有一次換牌的機(jī)會(huì)，即可以放棄其中的某幾張牌，放棄的牌留下的空缺由機(jī)器在剩下的47張牌中再次隨機(jī)分配。玩家的獎(jiǎng)金依據(jù)其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的獎(jiǎng)金分配表：牌型獎(jiǎng)金（元）同花大順（10到A）800同花順50四張相同點(diǎn)數(shù)的牌25滿堂紅（三張同點(diǎn)加一對(duì)）8同花5順子4三張相同點(diǎn)數(shù)的牌3兩對(duì)2一對(duì)高分對(duì)（J及以上）1其它0在上表中，玩家的牌型屬于某一類型且不屬于任何更高的類型，則贏得該牌型相應(yīng)的獎(jiǎng)金。1、若某玩家采取以下策略，當(dāng)原始的牌型構(gòu)成一個(gè)順子或更高的牌型時(shí)，則放棄換牌的機(jī)會(huì)；否則，除保留對(duì)子或三張相同點(diǎn)數(shù)的牌外，將手中其

7、余的牌放棄，由機(jī)器再次隨機(jī)分配。根據(jù)上述游戲規(guī)則和策略，分析各類牌型出現(xiàn)的可能性，計(jì)算采取該策略能獲得的期望獎(jiǎng)金金額。2、對(duì)上述策略進(jìn)行評(píng)價(jià)。3、是否存在更好的策略。若有，請(qǐng)與上述策略進(jìn)行比較。五、導(dǎo)彈發(fā)射問題1、我防空指揮部的雷達(dá)發(fā)現(xiàn)有一架來路不明的飛機(jī)，經(jīng)分析確認(rèn)是一架敵機(jī)后，即命令正處在指揮部上空處于同一高度進(jìn)行巡邏的我方戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射I型空對(duì)空追蹤導(dǎo)彈將其擊毀（追蹤導(dǎo)彈可針對(duì)目標(biāo)隨時(shí)自動(dòng)調(diào)節(jié)追蹤方向）。假定雷達(dá)發(fā)現(xiàn)敵機(jī)時(shí)，該機(jī)正位于我防空指揮部正東N公里高空處，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里處的安全區(qū)逃竄（由于電子干擾的作用,敵機(jī)一旦進(jìn)入安全區(qū)后.導(dǎo)彈將失去追蹤目標(biāo)，無法將其擊毀）

8、。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，確定導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的軌跡及發(fā)射I型空對(duì)空導(dǎo)彈擊毀敵機(jī)的條件。2、若當(dāng)時(shí)命令設(shè)在防空指揮部的地面導(dǎo)彈基地發(fā)射II型地對(duì)空追蹤導(dǎo)彈截?fù)魯硻C(jī)，假定敵機(jī)始終距地面高度為h公里飛行，其他假定同情況1中所述，重新確定此時(shí)II型地對(duì)空導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的軌跡及擊毀敵機(jī)的條件。3、若敵機(jī)的飛行速度 v 、其位置 N 和追蹤導(dǎo)彈速度 u 均為給定的常數(shù)；針對(duì)情況1中敵機(jī)被導(dǎo)彈擊中的條件下，給出一個(gè)計(jì)算機(jī)編程的算法及相關(guān)程序，以計(jì)算出敵機(jī)被擊中的時(shí)刻以及當(dāng)時(shí)敵機(jī)的位置。 據(jù)此，在 v = 1 馬赫數(shù) ， N = 100公里 , u = 2馬赫數(shù) 時(shí)，利用上述的程序算出具體敵機(jī)被擊中的時(shí)刻以及當(dāng)時(shí)敵機(jī)被擊

9、毀的位置。 4、若追蹤軌跡確定時(shí)，導(dǎo)彈擊毀敵機(jī)還存在隨機(jī)性，導(dǎo)彈飛行的路程越長(zhǎng)，其擊毀敵機(jī)的概率越小，試重新討論情況1中的問題。六、確定學(xué)術(shù)論文重要性排序AB隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，每年都有大量的學(xué)術(shù)論文發(fā)表。如何衡量學(xué)術(shù)論文的重要性，成為學(xué)術(shù)界和科技部門普遍關(guān)心的一個(gè)問題。有一種確定學(xué)術(shù)論文重要性的方法是考慮論文被引用的狀況，包括被引用的次數(shù)以及引用論文的重要性程度。假如我們用有向圖來表示論文引用關(guān)系，“A引用B”可用下圖表示：ABCD丁EF現(xiàn)在有A、B、C、D、E、F六篇學(xué)術(shù)論文，它們的引用關(guān)系如下：要求：1）設(shè)計(jì)一個(gè)依據(jù)上述引用關(guān)系排出六篇論文重要性順序的算法，并給出用該算法排得的結(jié)果。2）將算法推廣到任意N篇論文的情況。七兩種房貸還款方式有無好壞之分最近，關(guān)于個(gè)人購房按揭貸款的還款方式引起了社會(huì)各界的關(guān)注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人認(rèn)為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認(rèn)為銀行在隱瞞信息，賺消費(fèi)者的錢。所謂等額本息還款法，即每