2005-2012年8年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(江西賽區(qū))預(yù)賽試卷及詳細解答(共41頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2005-2012年8年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(江西賽區(qū))預(yù)賽試卷及詳細解答更多的資料請發(fā)送索取二五年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答2005年9月18日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分。1設(shè)則等于（ ）.（

2、A）（B）（C）（D）答：D.解：.2是不等于1的正數(shù)，若，則成立的是（ ）.（A） （B） （C） （D）答：B.解：由,知3中，則使等式成立的充要條件是（ ）.（A） （B） （C） （D）答：C解：由題設(shè)知，反之也成立。4拋物線頂點在原點,對稱軸為軸，焦點在直線上，則拋物線方程為（ ）.（A）（B）（C）（D）答：D解：由頂點在原點，對稱軸為軸知，拋物線方程為在中令知焦點為（4，0）,5設(shè)則二次曲線與必有（ ）.（A）不同的頂點 （B）不同的準線 （C）相同的焦點 （D）相同的離心率答：C解：當則表實軸為軸的雙曲線，二曲線有相同焦點;當時，且，表焦點在軸上的橢圓。與已知橢圓有相同焦點。6

3、連結(jié)正五邊形的對角線交另一個正五邊形，兩次連結(jié)正五邊形的對角線，又交出一個正五邊形（如圖），以圖中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形( )個。（A）50 （B）75 （C）85 （D）100答：C.解：對于其中任一點P，以P為“頂”（兩腰的公共點）的等腰三角形的個數(shù)記為P則.,由于圖中沒有等邊三角形，則每個等腰三角形恰有一個“頂”。據(jù)對稱性可知。因此等腰三角形共有個。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。7設(shè)適合等式則的值域是 。答：解：由將換為，有,兩式消去得.8若對滿足的任何角,都有，則數(shù)組= 。答：。解：左邊與右邊比較得9等差數(shù)列3，10，17

4、，2005與3，8，13，2003中，值相同的項有 個。答：58。解：將二個數(shù)列的各項皆減3，化為0，7，14，2002與0，5，10，2000，前者為不大于2002的各數(shù)中7的倍數(shù)，后者可看成以上范圍內(nèi)的5的倍數(shù)，故公項為35的倍數(shù).10若對所有正數(shù)不等式都成立，則的最小值是 。答：。解：由當時取等號，故的最小值是。11若為一個平方數(shù)，則正整數(shù) 。答：10。解：，設(shè)有，于是有故12用標有1，2，3，15，40克的法碼各一個，在某架無刻度的天平上稱量重物，如果天平兩端均可放置法碼，那么該天平所能稱出的不同克數(shù)（正整數(shù)的重物）至多有 種。答：55。解：用1，2，3這三只法碼，可稱出區(qū)間中的全部整

5、克數(shù),增加15克的法碼后，量程擴充了區(qū)間，再增加40克的法碼后，量程又擴充了三個區(qū)間：，但區(qū)間與有三個整數(shù)重復(fù)，計算上述各區(qū)間內(nèi)的整數(shù)個數(shù)，則得能稱出的不同克數(shù)共有6+13+（13+13+13）-3=55種。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13直角三角形中，分別是直角邊上的任意點，自向引垂線，垂足分別是。證明：四點共圓.證明：共圓,共圓，又共圓,由共圓，得所以故共圓.14的三條邊長為，證明.證明：由于只要證：注意：故由，只要證，取等號當且僅當此時為正三角形，即15試求最小的正整數(shù)使得對于任何個連續(xù)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).解：首先，我們可以指出12個連續(xù)正整數(shù)，例

6、如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù)，因此，。再證，任何連續(xù)13個正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).對每個非負整數(shù)，稱如下10個數(shù)所構(gòu)成的集合:為一個“基本段”，13個連續(xù)正整數(shù)，要么屬于兩個基本段，要么屬于三個基本段。當13個數(shù)屬于兩個基本段時，據(jù)抽屜原理，其中必有連續(xù)的7個數(shù)，屬于同一個基本段；當13個連續(xù)數(shù)屬于三個基本段時，其中必有連續(xù)10個數(shù)同屬于.現(xiàn)在設(shè) 是屬于同一個基本段的7個數(shù)，它們的各位數(shù)字之和分別是顯然，這7個和數(shù)被7除的余數(shù)互不相同，其中必有一個是7的倍數(shù).因此，所求的最小值為二六年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省

7、預(yù)賽試卷答案及評分標準2006年9月24日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1函數(shù)與的定義域和值域都是，且都有反函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)是（ ） 答：C.解：由依次得 ，互易得 .2集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當時，有 ，對于兩個

8、函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（ ） 答：D.解：，取，則.中，則比式等于 答：解：如圖易知，因此選4拋物線上兩點關(guān)于直線對稱，若，則的值是（ ）.答：解：由以及得 ， 5橢圓的中心，右焦點，右頂點，右準線與軸的交點依次為，則 的最大值為（ ）. 不能確定.答：解： .（時取等號）6函數(shù)的值域為（ ）答：.解：的定義域為則，令，則因，則 .二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7若，則 .答： .解：由條件得，則.8數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，如果這個數(shù)列的通項公式為，則 答：.解：由，即當 時， ，所以 ，于是，9為實數(shù)，滿

9、足，則 的最大值為 .答： .解：設(shè)，則 ，（當時取等號）.10若集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，則集中元素個數(shù)的最大值為 .答：.解：從中每次取一對作乘積，共得個值，但其中有重復(fù)，重復(fù)的情況為，共種，因此集合中至多有 個數(shù) .11作出正四面體每個面的中位線，共得條線段，在這些線段中，相互成異面直線的“線段對”有 個.答：個“線段對”.解：任取一條中位線考慮，所在的側(cè)面沒有與異面的線段；含點的另一個側(cè)面恰有一條中位線與異面；含點的另一個側(cè)面恰有一條中位線與異面；不含的側(cè)面恰有兩條中位線與異面；因此與異面的中位線共有條，即含有線段的異面“線段對”共有個，于是得異面“線段對”個，（其中

10、有重復(fù)）.但每一個異面“線段對”中有兩條線段，故恰被計算了兩次，因此得個異面“線段對”.12用五種不同的顏色給圖中的“五角星”的五個頂點染色，（每點染一色，有的顏色也可以不用）使每條線段上的兩個頂點皆不同色，則不同的染色方法有 種.答：種. 解： 將其轉(zhuǎn)化為具有五個扇形格的圓盤染五色，使鄰格不同色的染色問題。設(shè)有個扇形格的圓盤染五色的方法數(shù)為，則有，于是三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13設(shè)為正數(shù)，證明： 證：對歸納，時顯然成立等號；設(shè)時結(jié)論對于任意個正數(shù)成立，當時，對于任意個正數(shù)，據(jù)假設(shè)有，5分所以 只要證， 平方整理，只要證， 10分由柯西不等式 15分即 所以即成立，因此當時結(jié)

11、論成立.故由歸納法知，所證不等式成立. 20分14三角形中，是的中點，、分別是邊上的點，且的外接 圓 交 線 段于若點滿足：證明：證明：在圓中，由于弦故圓周角，因此， 、與、分別共圓，于是 5分設(shè)點在邊上的射影分別為、，則，故由 得，設(shè)的內(nèi)心為 今證四點共圓：連 因分別共圓，則，又由， 所以因此而所以因為 故得，因此、四點共圓，于是 10分延長AM交的外接圓于則AO為該外接圓的直徑, 于是且因此, 點O是所在圓的圓心, 從而為O的切線. 延長AD交O于T, 則,所以 , 又由,得, 因故 . 15分延長到,使，則為平行四邊形, . 由 得 . 由 、 得 所以，, 即BPM=CPD . 20分

12、15數(shù)列滿足：，（其中表示的整數(shù)部分，），試求的值.解：觀察數(shù)列開初的一些項：01234567891011121314151617181920111122233444556677888123468101316202428333844505764728088我們注意到，數(shù)列嚴格單增，每個正整數(shù)，順次在數(shù)列中出現(xiàn)，并且除了首項之外，每個形如的數(shù)連續(xù)出現(xiàn)三次，其它數(shù)各連續(xù)出現(xiàn)兩次.5 分一般地，我們可證明數(shù)列的以下性質(zhì)：若記，則, 若記則當時，有 10分對歸納.據(jù)上面所列出的項可知，當時結(jié)論成立.設(shè)性質(zhì)對于成立，即在時，則再對滿足的歸納：當時，由于，則，因為，則設(shè)當時，均有，則當時，因為則，即有，所

13、以由于所以故由歸納法，當時，特別是，當時，上式成為 又由，當，有所以由可知，對于當時，亦有，從而性質(zhì)成立. 15分因為，取，則，因此. 20分二七年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試卷2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分

14、.1、為互不相等的正數(shù)，則下列關(guān)系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、設(shè) ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；3、設(shè)為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四棱錐的一個對角截面與一個側(cè)面的面積比為，則其側(cè)面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整數(shù)集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數(shù)列，則并集中的元素個數(shù)為（ ）、 、； 、； 、.二、填空

15、題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數(shù)滿足：，則 .8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 9、計算 .10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小值是 .12、將各位數(shù)碼不大于的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個數(shù)列，則 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數(shù)列滿足：；令；求 14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形15、若四位數(shù)的各位數(shù)碼中，任三個數(shù)碼皆可構(gòu)成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形

16、數(shù)，試求所有四位三角形數(shù)的個數(shù)二七年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1、為互不相等的正數(shù)，則下列關(guān)系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，則，不合條件，

17、排除，又由，故與同號，排除；且當時，有可能成立，例如取，故選2、設(shè) ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，據(jù)此，因為型，故選.3、設(shè)為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：選兩色有種，一色選擇對角有種選法，共計種；選三色有種，其中一色重復(fù)有種選法，該色選擇對角有種選法，另兩色選位有種，共計種；四色全用有種（因為固定位置），合計種.5、正四棱錐的一個對角截面與一個側(cè)面

18、的面積比為，則其側(cè)面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：設(shè)底面正方形邊長為，棱錐的高為，側(cè)面三角形的高為，則 ，則，.6、正整數(shù)集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數(shù)列，則并集中的元素個數(shù)為（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素個數(shù)，設(shè)，由，得，于是，；從而二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數(shù)滿足：，則 .答案：； 解：據(jù)條件，是關(guān)于的方程的兩個根，即的兩個根，所以；8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 答案：；解：設(shè)拋物線方程為，則頂點及焦點坐

19、標為，若設(shè)點坐標為，則，故（當或時取等號）9、計算 .答案：. 解：10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .答案：；解：設(shè)直線上的點為，取關(guān)于直線的對稱點，據(jù)橢圓定義， ，當且僅當共線，即，也即時，上述不等式取等號，此時，點坐標為，據(jù)得，橢圓的方程為.11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小值是 .答案：；解：據(jù)等價性，只須考慮單位正方體的切割情況，先說明個不夠，若為個，因四面體的面皆為三角形，且互不平行，則正方體的上底至少要切割成兩個三角形，下底也至少要切割成兩個三角形，每個三角形的面積，且這四個三角形要屬于四個不同的四面體，以這種三角形為底的四面體，其高

20、，故四個不同的四面體的體積之和，不合；所以，另一方面，可將單位正方體切割成個四面體； 例如從正方體中間挖出一個四面體，剩下四個角上的四面體，合計個四面體.12、將各位數(shù)碼不大于的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個數(shù)列，則 答案：； 解：簡稱這種數(shù)為“好數(shù)”，則一位好數(shù)有個；兩位好數(shù)有個；三位好數(shù)有個；，位好數(shù)有個；，記，因，即第個好數(shù)為第個六位好數(shù)；而六位好數(shù)中，首位為的共有個，前兩位為的各有個，因此第個好數(shù)的前兩位數(shù)為，且是前兩位數(shù)為的第個數(shù)；而前三位為的各個，則的前三位為，且是前三位數(shù)為的第個數(shù)；而前四位為的各個，則的前四位為，且是前四位數(shù)為的第個數(shù)；則的前五位為，且是前五位數(shù)為的第個數(shù)，

21、則三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數(shù)列滿足：；令；求 解：改寫條件式為，則，所以，；14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.證：由于點皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內(nèi)心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形15、若四位數(shù)

22、的各位數(shù)碼中，任三個數(shù)碼皆可構(gòu)成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形數(shù)，試求所有四位三角形數(shù)的個數(shù) 解：稱為的數(shù)碼組，則；一、當數(shù)碼組只含一個值，為，共得個值；二、當數(shù)碼組恰含二個值，、數(shù)碼組為型，則任取三個數(shù)碼皆可構(gòu)成三角形，對于每個，可取個值，則數(shù)碼組個數(shù)為，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，的取值123456789中的個數(shù)共得個數(shù)碼組，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，同上得個數(shù)碼組，對于每組，兩個有種占位方式，于是這種有個以上共計個三、當數(shù)碼組恰含三個值，、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，則有，這種有組，每組中

23、有種占位方式，于是這種有個、數(shù)碼組為型，此條件等價于中取三個不同的數(shù)構(gòu)成三角形的方法數(shù)，有組，每組中有種占位方式，于是這種有個、數(shù)碼組為型，同情況，有個值以上共計個值四、互不相同，則有，這種有組，每組有個排法，共得個值綜上，全部四位三角形數(shù)的個數(shù)為個2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、設(shè)，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.、四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、若對所有實數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)

24、；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.二、填空題（每小題分，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 、 .、數(shù)列滿足：，且對每個，是方程的兩根，則 .、從前個正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 三、解答題：、（分）是直角三角形斜

25、邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負實數(shù)，滿足，證明：、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等和劃分”2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域為，當使真數(shù)可取到一切正數(shù)，故或者；或者且，解得、設(shè)，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.答：解：將代入橢圓方程并整理得，因直線和橢圓有公共點，則判別式，利用，化簡得，所以即、四面體的

26、六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長的棱與相鄰，不妨設(shè)，據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面體可作出，例如取.故選 、若對所有實數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、答： .解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿足題意、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)答：解：令，則，是方程的兩根，則，所以當時，令，則當時，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與

27、皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.答案:解：設(shè)，為正整數(shù)；則，由此知，為正整數(shù)，且，因為若，則，即，則，記，得不為平方數(shù)，矛盾！所以，故由得，為合數(shù)；又因為，故選.（例如是上述之一）.二、填空題（每小題分，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .答案：解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)其兩根為，則， 即，所以直線的方程為，即、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .答案：.解：如圖，取為數(shù)軸原點，再作垂線，使，在數(shù)軸上取點，使 ，則，當共

28、線時，值最小，此時.、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設(shè)面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、數(shù)列滿足：，且對每個，是方程的兩根，則 .答：解：對每個， ， ，將寫作，因此是一個公比為的等比數(shù)列，故 ，即，；于是；、從前個正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 答案：.解：首先，我們可以取元集，中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：從中任取個數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.三、解

29、答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心證：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)直徑交于，并簡記的三內(nèi)角為，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心證二：如圖，因為，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點共圓，所以，又因，因此點在上，即為與的交點設(shè)與交于另一點，而由，可知，分別為的中點，所以，因此，點分別為的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負實數(shù)，滿足，證明：簡證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則，對正數(shù)作調(diào)整，由于

30、，取等號當且僅當，此時條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號當且僅當，故命題得證詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則；、當時，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當、再證，對所有滿足的非負實數(shù)，皆有顯然，三數(shù)中至多有一個為，據(jù)對稱性，仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形下面采用調(diào)整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，今證明，即 即要證 先證 ，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然由于在中，則；而在中，因此式成

31、為 ，只要證， ，即證 ，注意式以及，只要證，即，也即由于最大角滿足：，而，則，所以，故成立，因此得證，由及得成立，從而成立，即，因此本題得證、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等和劃分”解一：不妨設(shè)，由于當集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個奇數(shù)、若中有個奇數(shù)，因中的六個奇數(shù)之和為，而，則，這時得到唯一的；、若中有個奇數(shù)、兩個偶數(shù)；用表示中這兩個偶數(shù)之和；表示中這三個奇數(shù)之和，則，于是共得的種情形其中，、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，可

32、搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形、若中有一個奇數(shù)、四個偶數(shù)，由于中除外，其余的五個偶數(shù)和，從中去掉一個偶數(shù)，補加一個奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個情形：綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分” 解二：元素交換法，顯然，恒設(shè)；、首先注意極端情況的一個分劃：，顯然數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中；以下考慮兩數(shù)至少一個不在中的情況，為此，考慮中個數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換：、；共得到個對換；、；共得到個對換；、；共得到個對換每個對換都得到一個新的劃分，因此，本題共得種等和劃

33、分2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽    09年江西省預(yù)賽于2009年9月20日在江西省11個設(shè)區(qū)市進行，全省約1萬名學生參加了這次選拔賽，按照全國聯(lián)賽所規(guī)定的模式，江西省預(yù)賽試題結(jié)構(gòu)也相應(yīng)作出了調(diào)整；省各地按10：1的比例，選出約1千人集中到南昌市參加10月11日的全國高中數(shù)學聯(lián)賽。試 題一、填空題（ 每小題10分，共分）1. 某人在將中間的兩個數(shù)碼分別換成兩位數(shù)與時，恰好都得到完全平方數(shù)：，則數(shù)組 2. 若一個橢圓的焦點和頂點分別是雙曲線的頂點和焦點，則橢圓的方程為： 3. 實數(shù)滿足，則的最大值是 4. 四面體中，平面與平面成的二面角，則點到平面的距離為 5. 從集

34、合中，去掉所有的倍數(shù)以及的倍數(shù)后，則中剩下的元素個數(shù)為 . 函數(shù)的值域是 . . 九個連續(xù)正整數(shù)自小到大排成一個數(shù)列，若的值為一平方數(shù)，的值為一立方數(shù)，則這九個正整數(shù)之和的最小值是 二、解答題（ 共分）. （20分）給定軸上的一點（），對于曲線上的動點，試求兩點之間距離的最小值（用表示）. （分）如圖，、是一個圓中三條互不相交的弦，以其中每兩條弦為一組對邊，各得到一個凸四邊形，設(shè)這三個四邊形的對角線的交點分別為；證明：三點共線. （25分）項正整數(shù)列的各項之和為，如果這個數(shù)既可分為和相等的個組，又可分為和相等的個組，求的最小值解 答1. 提示： 注意到，對于整數(shù)，若的末位數(shù)為，則的末位數(shù)必為或

35、，易知，（），因此，于是，若要滿足條件，只可能是，由于，所以，2. 提示：雙曲線的兩頂點為，兩焦點為，故由條件，橢圓的兩焦點為，兩頂點為，因此，則橢圓的方程為3. 提示：令，則，由，得，因為實數(shù)，則判別式，得4. 提示：，作平面，垂足為，連，由三垂線逆定理，所以，故，又因為正方形，則，因此正三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由，得5. 提示：集合中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，則剩下的元素個數(shù)為個. 提示：，令，則，由此，當時兩邊分別取得等號. 提示：（注：由，則，即）. 提示：設(shè)這九數(shù)為 ，則有，則，得 令，得，所以 ，再取，化為 ，取，可使左式成立，這時，. 如圖，易求得曲線上諸點

36、的坐標為：，當，即時，曲線方程為 ；而當時，曲線方程為 ，對于情形，即時，顯然當位于頂點處時，距離取得最小值；對于情形，即在或時，設(shè)點，由于，因，則，于是，當時，取得最小值；再比較與：令，則當時，即最小值為；而當時，則最小值. 如圖，設(shè)為三條不相交的弦，其中，又設(shè)，點截的三邊，據(jù)梅涅勞斯逆定理，只要證 ，用記號表示三角形面積，則由 由此得，因此只要證， 注意 ， ，則所以 ，即成立，從而成立，故結(jié)論得證. 設(shè)分成的個組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱這種組為類組；而分成的個組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱這種組為類組顯然，每個項恰好屬于一個類組和一個類組，即同類組之間沒有公共項，如果兩個組中有兩個公共項

37、，則可以將這兩個數(shù)合并為一個項，這樣可使值減少，故不妨設(shè)，每對至多有一個公共項今用點分別表示，而點表示組，如果組有公共項，則在相應(yīng)的點之間連一條邊，于是得二部圖，它恰有條邊和個頂點下面證明是連通圖如果圖的最大連通分支為，其頂點數(shù)少于，設(shè)在分支中，有個類頂點和個類頂點，其中，則在相應(yīng)的類組和類組中，類組中的每個數(shù)都要在某個類組中出現(xiàn)；而類組中的每個數(shù)也都要在某個類組中出現(xiàn)，（否則將有邊與分支外的頂點連接，發(fā)生矛盾），因此個類組中各數(shù)的和應(yīng)等于個類組中各數(shù)的和，即有，由此得，所以，矛盾！因此是連通圖于是圖至少有條邊，即；另一方面，我們可實際構(gòu)造一個具有項的數(shù)列，滿足本題條件例如取，（該數(shù)列有個取值

38、為的項；個取值為的項；另將其余七個拆成七對，其中四對，兩對，一對，又得到個項），于是，每個類組可由一個，一個，或者由一個，添加一對和為的項組成；這樣共得個類組，每組各數(shù)的和皆為；為了獲得和為的個類組，可使各成一組，其余的數(shù)可以拼成八個類組：的組四個，的組兩個，的組一個，的組一個故的最小值為 2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題（考試時間：9月24日上午8:30-11:00）一填空題（共2題，每題10分，合計80分）1設(shè)多項式滿足：對于任意，都有則的最小值是.2數(shù)列滿足：已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和.3函數(shù)的值域是.4過拋物線的焦點,作一條斜率為的直線，若交拋物線于兩點，則的面積是.5

39、.若為銳角三角形，滿足，則的最大值為.6.若正三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則其體積的最小值為.7.將隨機填入右圖正方形的九個格子中，則其每行三數(shù)，每列三數(shù)自上而下、自左而右順次成等差數(shù)列的概率.8.將集合的元素分成不相交的三個子集：，其中，且，則集合為：.二解答題（共2題，合計70分）9.（20分）如圖，是圓的一條弦，它將圓分成兩部分，分別是兩段弧的中點，以點為旋轉(zhuǎn)中心，將弓形順時針旋轉(zhuǎn)一個角度成弓形，的中點為，的中點為.求證：. 10.（25分）給定橢圓以及圓，自橢圓上異于其頂點的任意一點，做的兩條切線，切點為，若直線在軸上的截距分別為；證明：.11.（25分）對于個素數(shù)組成的集合，將其元素兩兩搭

40、配成個乘積，得到一個元集，如果與是由此得到的兩個元集，其中=，且，就稱集合對是由炮制成的一副“對聯(lián)”.(例如當時，由四元集可炮制成三副“對聯(lián)”：，).(1).當時，求元素集所能炮制成的“對聯(lián)”數(shù)；（2）對于一般的，求由元素集所能炮制成的“對聯(lián)”數(shù).2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題答案1.-22.3.4.5.6.7.8.9.思路：取AB中點E，中點F，可證PEBF為菱形； 證明角MFP=角PEN； 再證角PNE=角MPF； 然后證角MPN為直角10.關(guān)鍵步驟：設(shè)P點坐標，易的OMPN四點共圓，此圓方程減圓O方程得直線MN方程11.（1）60;(2) (其中=)2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江

41、西省預(yù)賽試題解答一、填空題（共題，每題10分，計分）1、是這樣的一個四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為；像這樣各位數(shù)字之和為的四位數(shù)總共有 個答案：解：這種四位數(shù)的個數(shù)，就是不定方程滿足條件，的整解的個數(shù)；即的非負整解個數(shù)，其中，易知這種解有個，即總共有個這樣的四位數(shù)2、設(shè)數(shù)列滿足:,且對于其中任意三個連續(xù)項,都有:.則通項 答案： 解：由條件得，所以，故，而；于是；由此得，.、以拋物線上的一點為直角頂點，作拋物線的兩個內(nèi)接直角三角形與，則線段與的交點的坐標為 答案：解：設(shè)，則，直線方程為，即，因為，則，即，代人方程得，于是點在直線上；同理，若設(shè)，則方程為，即點也在直線上，因此交點的坐標為4、設(shè)，則函

42、數(shù)的最大值是 答案：解：由，所以， ，即，當，即時取得等號5、 答案：解： 6、滿足的一組正整數(shù) 答案：解：由于是形狀的數(shù)，所以必為奇數(shù)，而為偶數(shù)， 設(shè)，代人得，即 而為偶數(shù)，則為奇數(shù)，設(shè)，則，由得， ，則為奇數(shù)，且中恰有一個是的倍數(shù)，當，為使為奇數(shù)，且，只有，成為，即，于是；若，為使為奇數(shù)，且，只有，成為，即，它無整解；于是是唯一解：（另外，也可由為偶數(shù)出發(fā)，使為的倍數(shù)，那么是的倍數(shù)，故是形狀的偶數(shù)，依次取，檢驗相應(yīng)的六個數(shù)即可）7、正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，過點作與側(cè)棱都相交的截面，那么，周長的最小值是 答案：解1：作三棱錐側(cè)面展開圖，當共線且時，周長最小，于是等腰，即，所以，由，則

43、解2：作三棱錐側(cè)面展開圖，易知當共線時，周長最小，設(shè),則、用表示正整數(shù)的各位數(shù)字之和，則 答案：解：添加自然數(shù)，這樣并不改變問題性質(zhì)；先考慮由到這一千個數(shù)，將它們?nèi)坑萌粩?shù)表示，得到集，易知對于每個，首位為的“三位數(shù)”恰有個：，這樣，所有三位數(shù)的首位數(shù)字和為；再將中的每個數(shù)的前兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個數(shù)的集合仍是，又將中的每個數(shù)的首末兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個數(shù)的集合也是，由此知，今考慮四位數(shù)：在中，首位（千位）上，共有一千個，而在中，首位（千位）上，共有一千個，因此，；其次，易算出，。所以，二、解答題（共題，合計分）、（20分）、已知,，求的值解：由，即，平方得（10分）所以

44、（15分）因為，即，所以（20分）、（分）如圖，的內(nèi)心為，分別是的中點，內(nèi)切圓分別與邊相切于；證明：三線共點證：如圖，設(shè)交于點，連，由于中位線，以及平分，則，所以，因，得共圓（10分）所以；又注意是的內(nèi)心，則，(15分)連，在中，由于切線，所以，因此三點共線，即有三線共點（25分）、（分）在電腦屏幕上給出一個正邊形，它的頂點分別被涂成黑、白兩色；某程序執(zhí)行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的個頂點（其中是小于的一個固定的正整數(shù)），一按鼠標鍵，將會使這個頂點“黑白顛倒”，即黑點變白，而白點變黑；、證明：如果為奇數(shù)，則可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得

45、所有頂點都變成黑色；、當為偶數(shù)時，是否也能經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結(jié)論證明：由于為質(zhì)數(shù)，而，則，據(jù)裴蜀定理，存在正整數(shù)，使 ，如果為奇數(shù)，則中的一奇一偶，如果為偶數(shù)，為奇數(shù)，將改寫成：，令，上式成為，其中為奇數(shù)，為偶數(shù)總之存在奇數(shù)和偶數(shù)，使式成立；據(jù)， ，現(xiàn)進行這樣的操作：選取一個點，自開始，按順時針方向操作個頂點，再順時針方向操作接下來的個頂點，當這樣的操作進行次后，據(jù)知，點的顏色被改變了奇數(shù)次（次），從而改變了顏色，而其余所有頂點都改變了偶數(shù)次（次）狀態(tài)，其顏色不變；因此，可以經(jīng)過有限多次這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以

46、經(jīng)過有限多次這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色（10分）：當為偶數(shù)時，將有如下結(jié)論：如果開初給定的正多邊形有奇數(shù)個黑點、偶數(shù)個白點，則經(jīng)過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果開初給定的正多邊形有奇數(shù)個白點、偶數(shù)個黑點，則經(jīng)過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；（15分）為此，采用賦值法：將白點改記為“”，而黑點記為“”，改變一次顏色，相當于將其賦值乘以，而改變個點的顏色，即相當于乘了個（偶數(shù)個），由于；因此當多邊形所有頂點賦值之積為，即總共有奇數(shù)個黑點，偶數(shù)個白點時，每次操作后，其賦值之積仍為，因此無論操作多少次

47、，都不能將全部頂點變白但此時可以變成全黑，這是由于，對于偶數(shù)，則中的為奇數(shù)，設(shè)是多邊形的兩個相鄰頂點，自點開始，按順時針方向操作個頂點，再順時針方向操作接下來的個頂點，當這樣的操作進行次后，據(jù)知，點的顏色被改變了偶數(shù)次（次），從而顏色不變，而其余所有個頂點都改變了奇數(shù)次（次）狀態(tài)，即都改變了顏色；再自點開始，按同樣的方法操作次后，點的顏色不變，其余所有個頂點都改變了顏色；于是，經(jīng)過上述次操作后，多邊形恰有兩個相鄰頂點都改變了顏色，其余所有個點的顏色不變 現(xiàn)將這樣的次操作合并，稱為“一輪操作”；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經(jīng)過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續(xù)頂點；于是當總共有偶數(shù)個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作后，多邊形所有頂點都成為黑色同理得，如果開初給定的正多邊形有奇數(shù)個白點、偶數(shù)個黑點，經(jīng)過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為“”，白點賦值為“”，證法便完全相同）（25分）二六年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預(yù)賽試卷答案及評分標準2006年9月24日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器二、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，