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文檔簡介

1、1.(2017重慶)對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”,將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后可以得到三個不同的新三位數(shù),把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)例如n=123,對調百位與十位上的數(shù)字得到213,對調百位與個位上的數(shù)字得到321,對調十位與個位上的數(shù)字得到132,這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666111=6,所以F(123)=6(1)計算:F(243),F(xiàn)(617);(2)若s,t都是“相異數(shù)”,其中s=100x+32,t=150+y(1x9,1y9,x,y都是正整數(shù)),規(guī)定:k=,當F(

2、s)+F(t)=18時,求k的最大值2.(2016重慶)我們知道,任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解:n=pq(p,q是正整數(shù),且pq),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱pq是n的最佳分解并規(guī)定:F(n)=例如12可以分解成112,26或34,因為1216243,所有34是12的最佳分解,所以F(12)=(1)如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;(2)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1xy9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差

3、為18,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值3.(2015重慶)如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字,與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同,那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”例如:自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6,4,7,4,6,從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是:6,4,7,4,6,所以64746是“和諧數(shù)”再如:33,181,212,4664,都是“和諧數(shù)”(1)請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”,猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除,并說明理由;(2)已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”,設個位上的數(shù)字為x(

4、1x4,x為自然數(shù)),十位上的數(shù)字為y,求y與x的函數(shù)關系式4(重慶南開2016)如果一個自然數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差,那么我們就稱這個自然數(shù)為“麻辣數(shù)”如:2=13(1)3,26=3313,所以2、26均為“麻辣數(shù)”【立方差公式a3b3=(ab)(a2+ab+b2)】(1)請判斷98和169是否為“麻辣數(shù)”,并說明理由;(2)在小組合作學習中,小明提出新問題:“求出在不超過2016的自然數(shù)中,所有的麻辣數(shù)之和為多少?”小組的成員胡圖圖略加思索后說:“這個難不倒圖圖,我們知道奇數(shù)可以用2k+1表示,再結合立方差公式”,請你順著胡圖圖的思路,寫出完整的求解過程5. (2016春重慶八中月

5、考)如果一個自然數(shù)能表示為兩個自然數(shù)的平方差,那么稱這個自然數(shù)為智慧數(shù),例如:16=5232,16就是一個智慧數(shù),小明和小王對自然數(shù)中的智慧數(shù)進行了如下的探索:小明的方法是一個一個找出來的:0=0202,1=1202,3=2212,4=2202,5=3222,7=4232,8=3212,9=5242,11=6252,小王認為小明的方法太麻煩,他想到:設k是自然數(shù),由于(k+1)2k2=(k+1+k)(k+1k)=2k+1所以,自然數(shù)中所有奇數(shù)都是智慧數(shù)問題:(1)根據(jù)上述方法,自然數(shù)中第12個智慧數(shù)是15(2)他們發(fā)現(xiàn)0,4,8是智慧數(shù),由此猜測4k(k3且k為正整數(shù))都是智慧數(shù),請你參考小王

6、的辦法證明4k(k3且k為正整數(shù))都是智慧數(shù)(3)他們還發(fā)現(xiàn)2,6,10都不是智慧數(shù),由此猜測4k+2(k為自然數(shù))都不是智慧數(shù),請利用所學的知識判斷26是否是智慧數(shù),并說明理由6.(2015春重慶一中月考)我們用x表示不大于x的最大整數(shù),例如1.5=1,2.5=3請解決下列問題:(1)=3,=4(其中為圓周率);(2)已知x、y滿足方程組,求x、y的取值范圍;(3)當1x2時,求函數(shù)y=x22x+3的最大值與最小值7.(2016重慶巴蜀中學期末)我們來定義下面兩種數(shù):平方和數(shù):若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左、中、右三個數(shù)后滿足:中間數(shù)=(左邊數(shù))2+(右邊數(shù))2,我們就稱該整數(shù)為平方和

7、數(shù);例如:對于整數(shù)251它中間的數(shù)字是5,左邊數(shù)是2,右邊數(shù)是122+12=5,251是一個平方和數(shù)又例如:對于整數(shù)3254,它的中間數(shù)是25,左邊數(shù)是3,右邊數(shù)是4,32+42=252,34是一個平方和數(shù)當然152和4253這兩個數(shù)也是平方和數(shù);雙倍積數(shù):若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分拆成左、中、右三個數(shù)后滿足:中間數(shù)=2左邊數(shù)右邊數(shù),我們就稱該整數(shù)為雙倍積數(shù);例如:對于整數(shù)163,它的中間數(shù)是6,左邊數(shù)是1,右邊數(shù)是3,213=6,163是一個雙倍積數(shù),又例如:對于整數(shù)3305,它的中間數(shù)是30,左邊數(shù)是3,右邊數(shù)是5,235=30,3305是一個雙倍積數(shù),當然361和5303這兩個數(shù)也

8、是雙倍積數(shù);注意:在下面的問題中,我們統(tǒng)一用字母a表示一個整數(shù)分出來的左邊數(shù),用字母b表示一個整數(shù)分出來的右邊數(shù),請根據(jù)上述定義完成下面問題:(1)如果一個三位整數(shù)為平方和數(shù),且十位數(shù)為9,則該三位數(shù)為390;如果一個三位整數(shù)為雙倍積數(shù),且十位數(shù)字為4,則該三位數(shù)為241或142;(2)如果一個整數(shù)既為平方和數(shù),又是雙倍積數(shù)則a,b應該滿足什么數(shù)量關系;說明理由;(3)為一個平方和數(shù),為一個雙倍積數(shù),求a2b2重慶中考閱讀答案:(2017重慶)對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”,將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后可以得到三個不同

9、的新三位數(shù),把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)例如n=123,對調百位與十位上的數(shù)字得到213,對調百位與個位上的數(shù)字得到321,對調十位與個位上的數(shù)字得到132,這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666111=6,所以F(123)=6(1)計算:F(243),F(xiàn)(617);(2)若s,t都是“相異數(shù)”,其中s=100x+32,t=150+y(1x9,1y9,x,y都是正整數(shù)),規(guī)定:k=,當F(s)+F(t)=18時,求k的最大值【解答】解:(1)F(243)=(423+342+234)111=9;F(617)=(167+716+671)111=14(2)s,t都

10、是“相異數(shù)”,s=100x+32,t=150+y,F(xiàn)(s)=(302+10x+230+x+100x+23)111=x+5,F(xiàn)(t)=(510+y+100y+51+105+10y)111=y+6F(t)+F(s)=18,x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=71x9,1y9,且x,y都是正整數(shù),或或或或或s是“相異數(shù)”,x2,x3t是“相異數(shù)”,y1,y5或或,或或,或或,k的最大值為(2016重慶)我們知道,任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解:n=pq(p,q是正整數(shù),且pq),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱pq是n的最佳分解并規(guī)定:F(n)=例如12

11、可以分解成112,26或34,因為1216243,所有34是12的最佳分解,所以F(12)=(1)如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;(2)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1xy9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值【解答】解:(1)對任意一個完全平方數(shù)m,設m=n2(n為正整數(shù)),|nn|=0,nn是m的最佳分解,對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;(2)設交換t的個位上的數(shù)與十

12、位上的數(shù)得到的新數(shù)為t,則t=10y+x,t為“吉祥數(shù)”,tt=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=18,y=x+2,1xy9,x,y為自然數(shù),“吉祥數(shù)”有:13,24,35,46,57,68,79,F(xiàn)(13)=,F(xiàn)(24)=,F(xiàn)(35)=,F(xiàn)(46)=,F(xiàn)(57)=,F(xiàn)(68)=,F(xiàn)(79)=,所有“吉祥數(shù)”中,F(xiàn)(t)的最大值是(2015重慶)如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字,與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同,那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”例如:自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6,4,7,4,6,從個位到最高位排出的一串數(shù)字

13、也是:6,4,7,4,6,所以64746是“和諧數(shù)”再如:33,181,212,4664,都是“和諧數(shù)”(1)請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”,猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除,并說明理由;(2)已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”,設個位上的數(shù)字為x(1x4,x為自然數(shù)),十位上的數(shù)字為y,求y與x的函數(shù)關系式解答:解:(1)四位“和諧數(shù)”:1221,1331,1111,6666;任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù),理由如下:設任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為:abba(a、b為自然數(shù)),則a103+b102+b10+a=1001a+110b,=91a+10b四位數(shù)“和諧數(shù)”abba能被

14、11整數(shù);任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除(2)設能被11整除的三位“和諧數(shù)”為:xyx,則x102+y10+x=101x+10y,=9x+y+,1x4,101x+10y能被11整除,2xy=0,y=2x(1x4)4(重慶南開2016)如果一個自然數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差,那么我們就稱這個自然數(shù)為“麻辣數(shù)”如:2=13(1)3,26=3313,所以2、26均為“麻辣數(shù)”【立方差公式a3b3=(ab)(a2+ab+b2)】(1)請判斷98和169是否為“麻辣數(shù)”,并說明理由;(2)在小組合作學習中,小明提出新問題:“求出在不超過2016的自然數(shù)中,所有的麻辣數(shù)之和為多少?”小組的成員

15、胡圖圖略加思索后說:“這個難不倒圖圖,我們知道奇數(shù)可以用2k+1表示,再結合立方差公式”,請你順著胡圖圖的思路,寫出完整的求解過程【解答】解:設k為整數(shù),則2k+1、2k1為兩個連續(xù)奇數(shù),設M為“麻辣數(shù)”,則M=(2k+1)3(2k1)3=24k2+2;(1)98=5333,故98是麻辣數(shù);M=24k2+2是偶數(shù),故169不是麻辣數(shù);(2)令M2016,則24k2+22016,解得k284,故k2=0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,故M的和為24(0+1+4+9+16+25+36+49+64+81)+210=68605.(2016春重慶八中月考)如果一個自然數(shù)能表示為兩個自然

16、數(shù)的平方差,那么稱這個自然數(shù)為智慧數(shù),例如:16=5232,16就是一個智慧數(shù),小明和小王對自然數(shù)中的智慧數(shù)進行了如下的探索:小明的方法是一個一個找出來的:0=0202,1=1202,3=2212,4=2202,5=3222,7=4232,8=3212,9=5242,11=6252,小王認為小明的方法太麻煩,他想到:設k是自然數(shù),由于(k+1)2k2=(k+1+k)(k+1k)=2k+1所以,自然數(shù)中所有奇數(shù)都是智慧數(shù)問題:(1)根據(jù)上述方法,自然數(shù)中第12個智慧數(shù)是15(2)他們發(fā)現(xiàn)0,4,8是智慧數(shù),由此猜測4k(k3且k為正整數(shù))都是智慧數(shù),請你參考小王的辦法證明4k(k3且k為正整數(shù))

17、都是智慧數(shù)(3)他們還發(fā)現(xiàn)2,6,10都不是智慧數(shù),由此猜測4k+2(k為自然數(shù))都不是智慧數(shù),請利用所學的知識判斷26是否是智慧數(shù),并說明理由【解答】解:(1)繼續(xù)小明的方法,12=4222,13=7262,15=8272,即第12個智慧數(shù)是15故答案為:15;(2)設k是自然數(shù),由于(k+2)2k2=(k+2+k)(k+2k)=4k+4=4(k+1)所以,4k(k3且k為正整數(shù))都是智慧數(shù)(3)令4k+2=26,解得:k=6,故26不是智慧數(shù)6. (2015春重慶一中月考)我們用x表示不大于x的最大整數(shù),例如1.5=1,2.5=3請解決下列問題:(1)=3,=4(其中為圓周率);(2)已知

18、x、y滿足方程組,求x、y的取值范圍;(3)當1x2時,求函數(shù)y=x22x+3的最大值與最小值【解答】解:(1)由題意可得:=3,=4;故答案為:3,4;(2)解方程組得:,則1x0,2y3;(3)當1x0時,x=1,此時y=(1)22(1)+3=6;當0x1時,x=0,此時y=3;當1x2時,x=1,此時y=1221+3=2;當x=2時,x=2,此時y=2222+3=3;綜上所述:y最大=6,y最小=27.(2016年重慶巴蜀中學期末)我們來定義下面兩種數(shù):平方和數(shù):若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左、中、右三個數(shù)后滿足:中間數(shù)=(左邊數(shù))2+(右邊數(shù))2,我們就稱該整數(shù)為平方和數(shù);例如:對于整數(shù)251它中間的數(shù)字是5,左邊數(shù)是2,右邊數(shù)是122+12=5,251是一個平方和數(shù)又例如:對于整數(shù)3254,它的中間數(shù)是25,左邊數(shù)是3,右邊數(shù)是4,32+42=252,34是一個平方和數(shù)

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