同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))第十章重積分

1、第十章重積分一元函數(shù)積分學(xué)中，我們曾經(jīng)用和式的極限來定義一元函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，并已經(jīng)建立了定積分理論，本章將把這一方法推廣到多元函數(shù)的情形，便得到重積5的概念.本章主要講述多重積分的概念、性質(zhì)、計算方法以及應(yīng)用第1節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)1.1 二重積分的概念下面我們通過計算曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量，引出二重積分的定義1.1.1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體是指這樣的立體，它的底是xOy平面上的一個有界閉區(qū)域D,其側(cè)面是以D的邊界為準(zhǔn)線的母線平行于z軸的柱面，其頂部是在區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),且分析這個問題，我們看到它與求曲邊梯形的面積問題是類似的.可以用與定積分

2、類似的方法(即分割、近似代替、求和、取極限的方法)來解決(圖10-2).圖102(1)分割閉區(qū)域D為n個小閉區(qū)域；：二1,"-2,111，、n,同時也用表示第i個小閉區(qū)域的面積，用d(Ao)表示區(qū)域A0的直徑(一個閉區(qū)域的直徑是指閉區(qū)域上任意兩點間距離的最大值)，相應(yīng)地此曲頂柱體被分為n個小曲頂柱體.(2)在每個小閉區(qū)域上任取一點(1，m)，(&，III，(4)對第i個小曲頂柱體的體積，用高為f(W，刈)而底為A9的平頂柱體的體積來近似代替.(3)這n個平頂柱體的體積之和nfi,i)二ii.1就是曲頂柱體體積的近似值.(4)用人表示n個小閉區(qū)域Aq的直徑的最大值，即X=max

3、d(Ap).當(dāng)人t0(可理解為Aq1-：:in收縮為一點)時，上述和式的極限，就是曲頂柱體的體積：nV=呵"f(i，i)：，./.'i31.1.2平面薄片的質(zhì)量設(shè)薄片在xOy平面占有平面閉區(qū)域D,它在點(x,y)處的面密度是p=，x,y).設(shè)Hx,y)a0且在D上連續(xù)，求薄片的質(zhì)量(見圖10-3).圖10-3先分割閉區(qū)域D為n個小閉區(qū)域；：二1,二2，川，二n在每個小閉區(qū)域上任取一點(1,&,。)HI,(己，斗)近似地，以點(匕，胃)處的面密度巳噌代替小閉區(qū)域A甲上各點處的面密度，則得到第i塊小薄片的質(zhì)量的近似值為KW,司)Ab,于是整個薄片質(zhì)量的近似值是nJ(i,i

4、)二ii±用人=maxd(Ai(T族示n個小閉區(qū)域Aq的直徑的最大值，當(dāng)D無限細(xì)分，即當(dāng)10時，1Mn上述和式的疝i就是薄片的質(zhì)量m,即nM=limZK匕，R)Ai.以上兩個具體問題的實際意義雖然不同，但所求量都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限.抽象出來就得到下述二重積分的定義.定義1設(shè)D是xOy平面上的有界閉區(qū)域，二元函數(shù)z=f(x,y)在D上有界.將D分為n個小區(qū)域.','：C1,二。2,川，：；n同時用A甲表示該小區(qū)域的面積，記Aq的直徑為d(Ap),并令人=maxd(AQ.在A0上任取一點(工，“)，(i=1,2,HI,n),作乘積并作和式nSn=Ef(4，"

5、;)A.i3若入t0時，Sn的極限存在(它不依賴于D的分法及點(口腦的取法)，則稱這個極限值為函數(shù)z=f(x,y)在D上的二重積分，記作JJf(x,y)do,即(10-1-1)Dn|f(x,y)do=limiEf(匕月JAq,Di工其中D叫做積分區(qū)域，f(x,y)叫做被積函數(shù)，db叫做面積元素，f(x,y)d叫做被積表達(dá)n式，x與y叫做積分變量，Zf(E,4)A年叫做積分和.i4-x軸和y軸的直線(y =常數(shù)和X =常數(shù))把區(qū)域D分割成 A(r=Ax . Ay ,因此在直角坐標(biāo)系中的面積元素可寫成在直角坐標(biāo)系中，我們常用平行于小矩形，它的邊長是Ax和Ay,從而d仃=dxdy,二重積分也可記作!

6、f(x,y)dxdy=limjf(；,)：;.D有了二重積分的定義，前面的體積和質(zhì)量都可以用二重積分來表示.曲頂柱體的體積V是函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分V=f(x,y)d。；D薄片的質(zhì)量M是面密度p=p(x,y)在區(qū)域D上的二重積分M=P(x,y)d；了.D因為總可以把被積函數(shù)z=f(x,y)看作空間的一曲面，所以當(dāng)f(x,y)為正時，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x,y)為負(fù)時，柱體就在xOy平面下方，二重積分就是曲頂柱體體積的負(fù)值.如果f(x,y)在某部分區(qū)域上是正的，而在其余的部分區(qū)域上是負(fù)的，那么f(x,y)在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)

7、和如果f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分存在(即和式的極限(10-1-1)存在)，則稱f(x,y)在D上可積.什么樣的函數(shù)是可積的呢？與一元函數(shù)定積分的情形一樣，我們只敘述有關(guān)結(jié)論，而不作證明.如果f(x,y)是閉區(qū)域D上連續(xù)，或分塊連續(xù)的函數(shù)，則f(x,y)在D上可積.我們總假定z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的，以后就不再一一加以說明.1.1.3二重積分的性質(zhì)設(shè)二元函數(shù)f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，于是這些函數(shù)的二重積分存在.利用二重積分的定義，可以證明它的若干基本性質(zhì).下面列舉這些性質(zhì).性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號外面.設(shè)k是常數(shù)，則i

8、ikf(x,y)d；-kIIf(x,y)d二.DD性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各函數(shù)的積分的代數(shù)和，即Ilf(x,y)zg(x,y)Id.=f(x,y)du二g(x,y)d。.d'd-d性質(zhì)3設(shè)閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則D上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如D分為區(qū)域Di和D2(見圖10-4),則(10-1-2)|f(x,y)dc-f(x,y)du，Ilf(x,y)d二.DD1D2性質(zhì)3表示二重積分對積分區(qū)域具有可加性.性質(zhì)4設(shè)在閉區(qū)域D上f(x,y)=1,b為D的面積，則iild；:.-=d；-；.-.DD從幾何意義上來看這是很明顯的.因為高為1的平頂

9、柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積.性質(zhì)5設(shè)在閉區(qū)域D上有f(x,y)<g(x,y),則!f(x,y)d".iig(x,y)dc.DD由于f(x,y)Mf(x,y)Ef(x,y)又有口f(x,y)dcr<川f(x,y)da.DD這就是說，函數(shù)二重積分的絕對值必小于或等于該函數(shù)絕對值的二重積分性質(zhì)6設(shè)M、m分別為f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，°為D的面積，則有m一!！f(x,y)d；：_M二.D上述不等式是二重積分估值的不等式.因為mWf(x,y)WM,所以由性質(zhì)5有口md。<口f(x,y)dc<口Md。,DDD即m:-md：_f(x,y

10、)dc-_Md；-M二.DDD性質(zhì)7設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，加D的面積，則在D上至少存在一點(已®使得.f(x,y)d。=f(,)二.D這一性質(zhì)稱為二重積分的中值定理.證顯然00.因f(x,y)在有界I區(qū)域D上連續(xù)，根據(jù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)取到最大值、最小值定理，在D上必存在一點(”,yi)使f(%,yi)等于最大值M,又存在一點(X2,y?)使f(X2,y2)等于最小值m,則對于D上所有點(x,y),有m=fX2,y2<fx,y<fXi,yi=M.由性質(zhì)1和性質(zhì)5,可得m17do'Mfff(x,y)dcr<MJfdcr-d'd'

11、d再由性質(zhì)4得me<Jff(x,y)dcr<Mer,D或1m<ff(x,y)do<M.、二D根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，D上必存在一點(E,使得工口f(x,y)db=f仁n),二D即1f(x,y)dff=f(之“聲,(E力wD.D證畢.二重積分中值定理的幾何意義可敘述如下：當(dāng)Sz=f(x,y)為空間一連續(xù)曲面時，對以S為頂?shù)那斨w，必定存在一個以D為底,以D內(nèi)某點(七的函數(shù)值f(已®為高的平頂柱體，它的體積f(E力，g就等于這個曲頂柱體的體積.習(xí)題1011 .根據(jù)二重積分性質(zhì)，比較fln(x+y)do'與JJhn(x+y)do'的大小，

12、其中DD(1)D表示以(0,1、(1,0)、(1,1為頂點的三角形；2 2)D表示矩形區(qū)域t(x,y)|3<x<5,0<y<2).3 .根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：1 1)H(aJx2+y2d。,D=(x,y)|x2+y2<a2;D-222._2222 2)fja-x-yd。，D=(x,y)|x+y<a.D13 .設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，求1叫一2口f(x,y)d。，t巾DD=(x,y)(x-x.2+(y-y.2<r2.4 .根據(jù)二重積分性質(zhì),估計下列積分的值：(1) I=仃，4+xydb,D=(x,y0<x<2,0<

13、y<2;D22(2) I=ffsinxsinydc,D=(x,y)|0qxe兀0<y<t；d'22_22_(3) I=x4y9d；=，D=x,y|xy_4.d'5 .設(shè)d=hik0,1,證明函數(shù)11,(x,y仍D內(nèi)有理點(即x,y均為有理數(shù)fIx,y二必(x,yWD內(nèi)非有理點在D上不可積.47第2節(jié)二重積分的計算只有少數(shù)二重積分（被積函數(shù)和積分區(qū)域特別簡單）可用定義計算外，一般情況下要用定義計算二重積分相當(dāng)困難.下面我們從二重積分的幾何意義出發(fā)，來介紹計算二重積分的方法，該方法將二重積分的計算問題化為兩次定積分的計算問題.2.1直角坐標(biāo)系下的計算在幾何上，當(dāng)被

14、積函數(shù)f（x,y戶0時，二重積分jjf（x,y）d仃的值等于以D為底，以曲面Dz=f（x,y）為頂?shù)那斨w的體積.下面我們用切片法”來求曲頂柱體的體積V.設(shè)積分區(qū)域D由兩條平行直線x=a,x=b及兩條連續(xù)曲線y=叼（x）y=%（x）（見圖105）所圍成，其中a<b,叼（x）<?。▁則D可表示為圖 10-6由此，我們可以看到這個截面面積是x0的函數(shù).一般地，過區(qū)間用平行于yOz坐標(biāo)面的平面x=x0（aMx。Mb）去截曲頂柱體，得一截面，它是一個以區(qū)間他（劭屯（x。=為底,以z=f（xo,y）為曲邊的曲邊梯形（見圖106）,所以這截面的面積為今（。）A（x。尸JL（xo）f（x0，y

15、）dy.a,b上任一點且平行于yOz坐標(biāo)面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為Mx）a（x）=屋）f（x,y）dy,留（x）A （x ）是x的函數(shù)，應(yīng)用計即得華院）V =LA（x）dx = L （x）f （x,y）dy其中y是積分變量，x在積分時彳持不變.因此在區(qū)間a,b上,算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體的體積為bD(X，y)d："：a或記作b2(x)!f(x,y)d；adx(x)f(x,y)dy.上式右端是一個先對y,后對x積分的二次積分或累次積分.這里應(yīng)當(dāng)注意的是：做第一次積分時，因為是在求x處的截面積A(x>所以x是a,b之間任何一個固定的值，y是積分

16、變量；做第二次積分時，是沿著x軸累加這些薄片的體積A(x卜dx,所以x是積分變量.在上面的討論中，開始假定了f(x,y)>0,而事實上，沒有這個條件，上面的公式仍然正確.這里把此結(jié)論敘述如下：若z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D:aExEb,91(x)yE%(x),則b2(x)!.!.f(x,y)dxdy=：adx沁)f(x,y)dy.(10-2-1)D卡類似地，若z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，積分區(qū)域D由兩條平行直線y=a,y=b及兩條連續(xù)曲線x=9(y)x=%(y)(見圖107)所圍成，其中c<d,%(x)<%(x),則D可表示為D=tx,y|c_y_d,1y_x_

17、2y.則有d：2(x)of(x,y)dxdy=cdy,(x)f(x,y)dx.(10-2-2)圖107以后我們稱圖10-5所示的積分區(qū)域為X型區(qū)域，X型區(qū)域D的特點是：穿過D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.稱圖107所示的積分區(qū)域為Y型區(qū)域，Y型區(qū)域D的特點是：穿過D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.從上述計算公式可以看出將二重積分化為兩次定積分，關(guān)鍵是確定積分限，而確定積分限又依賴于區(qū)域D的幾何形狀.因此，首先必須正確地畫出D的圖形，將D表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域.如果D不能直接表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，則應(yīng)將D劃分成若干個無公共內(nèi)點的小區(qū)域，并使每個小區(qū)域能

18、表示成X型區(qū)域或丫型區(qū)域，再利用二重積分對區(qū)域具有可加性相加，區(qū)域D上的二重積分就是這些小區(qū)域上的二重積分之和(圖108).圖 10-8其中D為直線y =x與拋物線y = x2所包圍的閉區(qū)域2解 回出區(qū)域D的圖形，求出y =x與y=x兩條曲線的交點，它們是D (圖109)可表示為：20 < x < 1, x < y <x.,(LB.OX圖 10-9（0,0 ）及（1,1）.區(qū)域因此由公式(10-2-1)得1x1 x2 J xxyd= 0xdx*2ydy = 0 5y x2dxD411/ 35.1二一 c （x -x ）dx =.2024本題也可以化為先對(10-2-2)

19、得積分后與上面結(jié)果相同x ,后對y的積分，這時區(qū)域 D可表為:1 ，萬iixyd； - - 0ydy y xdx.D0_y_1, y_x_ y .由公式例2計算二重積分|7y?1 +x2 y2dcr,其中D是由直線y=x, x = _1和y =1所圍成的閉 D區(qū)域.解畫出積分區(qū)域D ,易知 D ：<x <1, x <y <1 （圖 10-10）,若利用公式（10-2-1）,得y1x2-y2d；-（xy1x2-y2dy）dxD=-jldS-yfdx L_xY 01（x3-1）dx若利用公式(10-2-2),就有22 113 3y5由此可見，對于這種區(qū)域 D ,如果先對y積

20、分，就需要把區(qū)域 比先對x積分繁瑣多了 .所以，把重積分化為累次積分時，需要根據(jù)區(qū)域y22jjyjl+x_ydo=Jy(jJl+x_ydxpy,D一一也可得同樣的結(jié)果.2例3計算二重積分Hx2do淇中D是直線y=2,y=x和雙曲線xy=1所圍之閉區(qū)域dy解求得三線的三個交點分別是,' -1,2 (1,1)及(2,2).如果先對y積分，那么當(dāng)!<x £1時,2y的下限是雙曲線y=工，而當(dāng)1ExE2時，y的下限是直線y=x,因此需要用直線x=1把區(qū)x域D分為D1和D2兩部分(圖1011).D1:1<x<1,1<y<2-2xD2:1<x<2

21、,xMym2.于是圖 101122，二二勺d二d yD1 y122222de - 1dx 1 3dy - dx dy27 y 1 x y3 x61 26二 81-192_27一64如果先對x積分，那么D：1 <y<2,1 Mx My , y2x .2 dx =2 x31_3/lydyy2764分成幾個區(qū)域來計算.這D和被積函數(shù)的特點，選擇適當(dāng)?shù)拇涡蜻M(jìn)行積分例4設(shè)f(x,y)連續(xù)，求證bxbbadxaf(x,y)dy=dyjyf(x,y)dx.證 上式左端可表為其中 D :a ex <b, a <y <x于是改變積分次序，可得由此可得所要證明的等式.b x£

22、; dx f (x,y)dy = JJD f (x,y)d/(圖 10 12) 區(qū)域 D 也可表為：a <y <t), y <x <b ,圖 1012b bI I f (x, y)dc- = ady y f (x, y)dxD例5計算二重積分HsnXdg其中D是直線y=x與拋物線y=x2所圍成的區(qū)域.D x-bdXX ,一一D1=01-xsinxdx=(cosx+xcosx-sinx)：=1-sin1：0.1585注：如果化為y型區(qū)域即先對x積分，則有sinx<1ysinx.D丁“=0dy.y丁dx.由于sinx的原函數(shù)不能由初等函數(shù)表示，往下計算就困難了，這也說

23、明計算二重積分時，x除了要注意積分區(qū)域D的特點(區(qū)分是x型區(qū)域，還是y型區(qū)域)外，還應(yīng)注意被積函數(shù)的特點，并適當(dāng)選擇積分次序.2.2二重積分的換元法與定積分一樣，二重積分也可用換元法求其值，但比定積分復(fù)雜得多.我們知道，對定積分b、.af(x)dx作變量替換x=(f(t)時，要把f(x戌成f(林dx變成(f/(t)dt，積分限a,b也要變成對應(yīng)t的值.同樣，對二重積分口f(x,y口仃作變量替換產(chǎn)x=xu,v,y=yu,v,時，既要把f(x,y屋成f(x(u，v)y(u，v),還要把xOy面上的積分區(qū)域D變成uOv面上的區(qū)域Duv,并把D中的面積元素d0變成Duv中的面積元素d；.其中最常用的是

24、極坐標(biāo)系的情形.2.2.1 極坐標(biāo)系的情形下面我們討論利用極坐標(biāo)變換，得出在極坐標(biāo)系下二重積分的計算方法.把極點放在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸重合，那么點P的極坐標(biāo)P(r,與該點的直角坐標(biāo)P(x,y)有如下互換公式：x=rcos0y,=rsDn;<r0-HcMQ刃兀；2r=Jx2+y2,0=arctan;-°o<x,y<.x我們知道，有些曲線方程在極坐標(biāo)系下比較簡單，因此，有些二重積分iifx,ydeD用極坐標(biāo)代換后，計算起來比較方便，這里假設(shè)z=f(x,yW區(qū)域D上連續(xù).在直角坐標(biāo)系中，我們是以平行于x軸和y軸的兩族直線分割區(qū)域D為一系列小矩形，從而得到面積元素

25、dFdxdy.在極坐標(biāo)系中，與此類似，我們用r=常數(shù)”的一族同心圓，以及“。=常數(shù)”的一族過極點的射線，將區(qū)域D分成n個小區(qū)域q(i,j=1,2，H|,n),如圖1013所示.圖 1013小區(qū)域面積X1.X2X2Xq=29+如)q-U&q記則有%jJi匕$干曲2,(i,j歸I2I,n,故有d(r=rdrd0.則fjf(x,y)do-=117f(rcosQrsinejrdrd0.DD這就是直角坐標(biāo)二重積分變換到極坐標(biāo)二重積分的公式.在作極坐標(biāo)變換時，只要將被積函數(shù)中的x,y分別換成rcos0,rsin0,并把直角坐標(biāo)的面積元素d(r=dxdy換成極坐標(biāo)的面積元素.下面分三種情況討論:rd

26、rd。即可.但必須指出的是：區(qū)域D必須用極坐標(biāo)系表示在極坐標(biāo)系下的二重積分，同樣也可以化為二次積分計算(1)極點O在區(qū)域D外部，如圖1014所示.圖1014設(shè)區(qū)域D在兩條射線。=%。=3之間，兩射線和區(qū)域邊界的交點分別為A,B,將區(qū)域D的邊界分為兩部分，其方程分別為r=r1(Ojr=r2(。歸均為偽向上的連續(xù)函數(shù).此時D=(r,。)|1(0)<rER9a<0<必于是§2儲ff(rcos0,rsinOrdrdO=Jd:f(rcosQrsinOjrdrD1(2)極點O在區(qū)域D內(nèi)部，如圖1015所示.若區(qū)域D的邊界曲線方程為r=r(0),這時積分區(qū)域D為D=(r,0)|0

27、<r<r(0)0<0<24,且r(。/伺,2兀上連續(xù).r=儂)圖1015于是f(rcos0,rsinOJdrd0=jd或(f(rcosQrsinOJrdr.D(3)極點O在區(qū)域D的邊界上，此時，積分區(qū)域D如圖1016所示.圖 1016D=(r,0Ja<0<00<r<r(以且r（。）在。2兀上連續(xù)，則有了f（rcosQrsin0ydrd9=1d0f（rcosQrsin8ydr.D在計算二重積分時，是否采用極坐標(biāo)變換，應(yīng)根據(jù)積分區(qū)域D與被積函數(shù)的形式來決定一般來說，當(dāng)積分區(qū)域為圓域或部分圓域，及被積函數(shù)可表示為ffx2+y2或f&等形式時,x

28、常采用極坐標(biāo)變換，簡化二重積分的計算.例6計算二重積分'221一x-yI=(Li,2,2dxdy-d.1xy其中D-x,y|x2y2_a20：a：1?.解在極坐標(biāo)系中積分區(qū)域D為D=4r,0）|0<r<a,0<0<24,則有I=id嘰、廳=4舊。令t=2對0復(fù)yt2-1.=兀(arcsint+Jl-t2j=arcsina2+Ji-a20例7計算二重積分fxy2db,其中D是單位圓在第I象限的部分D米用極坐標(biāo)系.D可表本為0W0W2,0<r<1（圖10-17）圖 10-17于是有2-111 xy d；:- 2 d L r cos 二 rD2sin 2

29、rdr工2 cos Osin2 (d 041r dr 一 15例8計算二重積分1x2db,其中D是二圓x2+y2=1和x2+y2=4之間的環(huán)形閉區(qū)域.D解區(qū)域 D ： 0 < e<2 ti,I i x2d cD1+cos29d6f2r3dr=15m2.2.2.直角坐標(biāo)系的情形0214我們先來考慮面積元素的變化情況.設(shè)函數(shù)組x=x(u,v),y=y(u,v)為單值函數(shù)，在Duv上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且其雅可比行列式J=-(x,y)=0,：:(u,v)則由反函數(shù)存在定理，一定存在著D上的單值連續(xù)反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y).這時Duv與D之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，uOv面上平

30、行于坐標(biāo)軸的直線在映射之下成為xOy面上的曲線u(x,y)=u0,v(x,y)=v°.我們用uOv面上平行于坐標(biāo)軸的直線u=ui,v/(i=1,2,|,n;j=1,2川|,m)將區(qū)域Duv分割成若干個小矩形，則映射將uOv面上的直線網(wǎng)變成xOy面上的曲線網(wǎng)(圖1019).(a)(h)圖 1019在Duv中任取一個典型的小區(qū)域ADuv (面積記為記為A(t),如圖10 20所示.A(r)及其在D中對應(yīng)的小區(qū)域 AD (面積圖1020設(shè)AD的四條邊界線的交點為R(x0,y0),P2(x0+Ax1,y0+Ay1),P3(x0+Ax2,y0+Ay2)和_-eTT*-IP4(x0+及31y0+

31、Ay3).當(dāng)Au,加很小時，Axi,®i(i=1,2,3)也很小，3的面積可用PP2與P1P4構(gòu)成的平行四邊形面積近似.即P1P2=(Axi)+(Ayi)j=x(u0+Au,v°)x(uo,v0i+y(u0+Au,v°)y(uo,voj定x'u(uo,v0)Aui十y'u(uo,vo)Auj.同理P1P4定xV(Uo,Vo)Avi+y'v(Uo,Vo)Avj.從而得A(r = RP2MP1P4 =_ c(x,y)：(u，v)jx:u:xvL Au Av| =AuAv過a國的絕對值旦Av&/：:(x,y)：(u，v)*A 0-.因此，

32、二重積分作變量替換x=x(u,v),y=y(u,v)后，面積元素d與d；的關(guān)系為de 二:(x, y) f(u, v)*d二，dxdy =i(x, y)穴u,v)dudv .由此得如下結(jié)論：定理1若f(x,y)在xOy平面上的閉區(qū)域D上連續(xù)，變換T:x=x(u,v),y=y(u,v),將uOv平面上的閉區(qū)域Duv變成xOy平面上的D，且滿足：Duv上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),x(u,v),y(u,v)在(2)在Duv上雅可比式變換T : Duv t DJ等.是一對一的，則有Ilf(x,y)dxdy“flx(u,v),y(u,v)Jdudv.DDuvya例9計算二重積分'ey'dxdy

33、,其中D是由x軸，y軸和直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域解令u=y-x,v=y+x,貝U在此變換下,圖 1021v -uv ux =, y =22雅可比式為則得-:(x,y)F(u,v)1一212-dudv2圖 1022, "y) ：(u,v)雅可比行列式為y_Zxu11eyxdxdy=evDD,2v.u21=-dv!evdu=-i(e-e)vdv2-o-_v2-0'=e-e".例10設(shè)D為xOy平面內(nèi)由以下四條拋物線所圍成的區(qū)域：x2=ay,x2=by,y2=px,2y=qx,其中0vavb,0Xpvq,求D的面積.解由D的構(gòu)造特點，引入兩族拋物線y2=ux,x2=v

34、y,則由u從p變到q,v從a變到b時，這兩族拋物線交織成區(qū)域D'(圖1022).二(u,v)f(x,y)則所求面積12y2y-2xx22xx -2yyS=Jdxdy=!3dudv=g(b_alq-p.習(xí)題1021 .畫出積分區(qū)域，把f(x,y)d?；癁槎畏e分：D一，一一一一，一2-1 1)D=(x,y)x+y<1,y-x<1,y20;(2)D=(x,y)y>x-2,x至y.2 .改變二次積分的積分次序：2 2y(1) dy .2 f (x,y)dx ;2 2x 1dxi f (x,y 或；e ln xdx0 f(x,y)dy;1,iH(4)-1 dx. _ 1 _x

35、2 f (x,y)dy.3 .設(shè)f(x,y)連續(xù)，且f(x,y)=xy+J7f(x,y)d。，其中D是由直線y=0,x=1及曲線y=x2所D圍成的區(qū)域，求f(x,y).4 .計算下列二重積分：(1) 口(x2+y2Jda,D=x,y)|x<1,y<1);D(2) WsinXdb,其中D是直線y=x與拋物線y=nx所圍成的區(qū)域；Dx(3) ffjxdcr,D=«x,y)|x2+y2Ex;D(4) 口x2e-y2dxdy,D是頂點分別為O(0,0),A(1,1),B(0,1)的三角形閉區(qū)域.D(5) 由坐標(biāo)平面及x=2,y=3,x+y+z=4所圍的角柱體的體積.(6) 算由四

36、個平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體的體積.(7) 極坐標(biāo)系下計算二重積分：(1) sinJx2+y2dxdy,D=(x,y)|兀2«x2+y2W4/;D(2) J7(x+y)dxdy,D=«x,y)|x+y2Wx+y);D(3) 口xydxdy,其中D為圓域x2+y2Ea2;D(4) 口ln(1+x2+y2)dxdy,其中D是由圓周x2+y2=1及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉D區(qū)域.8 .將下列積分化為極坐標(biāo)形式：2a2ax222ax2220dx0(xy)dy;(2)0dx0xydy.9 .求球體x2+y2+z2WR2

37、被圓柱面x2+y2=2Rx所割下部分的體積.10 .作適當(dāng)坐標(biāo)變換，計算下列二重積分：x2(1)斤2dxdy,由xy=1,x=2,y=x所圍成的平面閉區(qū)域；dyy2 2)ffex4ydxdy,D=(x,y)|x+y<1,x>0,y>0;d'2222卜1一與+與dxdy,其中D是橢圓與+%=1所圍成的平面閉區(qū)域;Dabab4 4)nix-ysinx-ydxdy,D=x,y|0_xy_-：,0_x-y_-：.D11 .設(shè)閉區(qū)域D由直線x+y=1,x=0,y=0所圍成，求證：dxdy =sin1.12 .求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(1)曲線xy=4,xy=8,xy3

38、=5,xy3=15所圍成的第一象限的平面閉區(qū)域；(2)曲線x+y=a,x+y=b,y=c(x,y=Px所圍的閉區(qū)域(0<a<b,0<口<P).第3節(jié)三重積分3.1 三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，它在物理和力學(xué)中同樣有著重要的應(yīng)用在引入二重積分概念時，我們曾考慮過平面薄片的質(zhì)量，類似地，現(xiàn)在我們考慮求解空間物體的質(zhì)量問題.設(shè)一物體占有空間區(qū)域Q,在Q中每一點（x,y,z）處的體密度為Kx,y,z）,其中p（x,y,z）是Q上的正值連續(xù)函數(shù).試求該物體的質(zhì)量.先將空間區(qū)域Q任意分割成n個小區(qū)域Av1,Av2,HI，Avn（同時也用AVi表示第i個小區(qū)域的體積）.在

39、每個小區(qū)域AVi上任取一點«,砧G,由于x,y,z）是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)區(qū)域AVi充分小時，密度可以近似看成不變的，且等于在點（工,小）處的密度，因此每一小塊AVj的質(zhì)量近似等于匕，rp%）AVi,物體的質(zhì)量就近似等于n工Ka,耳，q）am.i工令小區(qū)域的個數(shù)n無限增加，而且每個小區(qū)域AVi無限地收縮為一點，即小區(qū)域的最大直徑X=max1（加j0時，取極限即得該物體的質(zhì)量1 .土1nM=lim.LhGAVi.由二重積分的定義可類似給出三重積分的定義：定義1設(shè)Q是空間的有界閉區(qū)域，f（x,y,z）是Q上的有界函數(shù)，任意將Q分成n個小區(qū)域AVi,Av2，|,AVn,同時用AVi表示該小區(qū)域的體

40、積，記AVi的直徑為d（AVj）,并令入=嘩卬（加1）,在AVi上任取一點（W,砧G,（i=1,2,川，n）,作乘積f（E,5區(qū)）AVi,把這些11?工nn乘積加起來得和式zMtrbGAVj,若極限limzf（匕，Yj,GAVi存在（它不依賴于區(qū)域Q的分i苴M法及點«,北，G）的取法），則稱這個極限值為函數(shù)f（x,y,z）在空間區(qū)域Q上的三重積分，記作illfx,y,zdV,Qn即fx,y,zdV=叫"f（i,i,）v,i其中f（x,y,z）叫做被積函數(shù)，Q叫做積分區(qū)域，dv叫做體積元素.在直角坐標(biāo)系中，若對區(qū)域Q用平行于三個坐標(biāo)面的平面來分割，于是把區(qū)域分成一些小長方體.

41、和二重積分完全類似，此時三重積分可用符號仃"（x,y,z）dxdydz來表示，即在直角坐標(biāo)系中體積元素dv可記為dxdydz.有了三重積分的定義，物體的質(zhì)量就可用密度函數(shù)p（x,y,z）在區(qū)域Q上的三重積分表示,即MillPx,y,zdv,Q如果在區(qū)域Q上f（x,y,z）=1,并且Q的體積記作V,那么由三重積分定義可知 ildv = dv =V .Q Q這就是說，三重積分JJJdv在數(shù)值上等于區(qū)域Q的體積.三重積分的存在性和基本性質(zhì)，與二重積分相類似，此處不再重述.3.2 三重積分的計算為簡單起見，在直角坐標(biāo)系下，我們采用微元分析法來給出計算三重積分的公式三重積分1jf（x,y,z）

42、dv表示占空間區(qū)域Q的物體的質(zhì)量.設(shè)Q是柱形區(qū)域，其上、下分別直由連續(xù)曲面z=z1（x,y）,z=z2（xy）所圍成，它們在xOy平面上的投影是有界閉區(qū)域D;Q的側(cè)面由柱面所圍成，其母線平行于z軸，準(zhǔn)線是D的邊界線.這時，區(qū)域Q可表示為=；x,y,zIzjx,y）HzMZ2（x,y）,（x,y）D:先在區(qū)域D內(nèi)點（x,y）處取一面積微元d（r=dxdy,對應(yīng)地有Q中的一個小條，再用與xOy面平行的平面去截此小條，得到小薄片（圖1023）.圖1023于是以db為底，以dz為高的小薄片的質(zhì)量為f（x,y,z）dxdydz.把這些小薄片沿z軸方向積分，得小條的質(zhì)量為一z2（x,y）-I|L1（x,y

43、）f（x，y，z）dzdxdy.然后，再在區(qū)域D上積分，就得到物底的質(zhì)量一.，2(x,y)“C(x,y) f(x,y,z)dz dxdy.也就是說，得到了三重積分的計算公式“一/2（x，y）1z2（x,y）用f（x,y,zRv二口4（xy）f（x，y，z）dzdxdy=Wdxdyf（x,y,z）dz.（10-3-1）D1'D,例1計算三重積分Mxdxdydz,其中Q是三個坐標(biāo)面與平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域（圖1024）.解積分區(qū)域Q在xOy平面的投影區(qū)域D是由坐標(biāo)軸與直線x+v=1圍成的區(qū)域:0<x<1,0<y<1-x,所以xdz1_x_y11_x1_x_y

44、!xdxdydz=.dxdy°-xdz=odx0%y。一cD二：0dx0x(1-x-y)dy計算三重積分MzdV ,其中: x 之0, y >0, z >0, x2 +y2+z2 ER2(見圖 1025).Q圖 1025解區(qū)域Q在xOy平面上的投影區(qū)域D:x>0,y>0,x 2 2416:、-0三重積分化為累次積分時，除上面所說的方法外，還可以用先求二重積分再求定積分的方 法計算.若積分區(qū)域Q如圖10-26所示，它在z軸的投影區(qū)間為A,B,對于區(qū)間內(nèi)的任意一點z ,過z作平行于x Oy面的平面，該平面與區(qū)域 相交為一平面區(qū)域，記作 D(z).這時三重積分 可以

45、化為先對區(qū)域 D (z四二重積分，再對 z在A, B 上求定積分，得+y2<R2.對于D中任意一點(x,y),相應(yīng)地豎坐標(biāo)從z=0變到z=Jr2x2y2.因此,由公式(10-3-1),得iiizdv = dxdyDR2 -x2 -y219zdz = J R2 D乙-x2 - y2 dxdyB(10-3-2)/“R=2fd0L(R2-PhdPR2417tle2PP兀c4=R,=R我們可利用公式(10-3-2)重新計算例2中的積分.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為0, R,對于該區(qū)間中任意一點D(z :x >0, y 主0 與 x2+y2 <R2 z2 與之對應(yīng).由公式(10-3-2)

46、,得Riiizdv = ° dz ii zdxdy.z,相應(yīng)地有一平面區(qū)域求內(nèi)層積分時，z可以看作常數(shù)：并且D (z ： x2+y2 WR2z2是1個圓，其面積為 44=(R2 -z2 ),所以例3計算三重積分解我們利用公式Rzdv= ,z .4.R2-z2 dz=AR4.'J 0416222Mz2dv,其中 Qx2 +y2 +z2 <1./ a b c(10-3-2)將三重積分化為累次積分.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為一G C ,對于區(qū)間內(nèi)任意一點z ,相應(yīng)地有一平面區(qū)域D(z ):2x22 za (1 - 2 c2_y 122 z)b2(1 -z2)與之相應(yīng)，該區(qū)域是

47、一橢圓(圖1027),其面積為2 z F C.所以3.3cclllz dv= . .,c34. 3=Tabc .15c 224dzffdxdy=1 71abz . 1 - !dz = TabcD(z)”,C215圖 1027重積分的換元法對于三重積分f(x,y,z)dv作變量替換:x=x(r,s,t)y=y(r,s,t)z=z(r,s,t)它給出了Orst空間到Oxyz空間的一個映射，若x(r,s,ty(r,st),z(r,s,t)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且勺-?#0，則建立了Orst空間中區(qū)域Q*和Oxyz空間中相應(yīng)區(qū)域Q的對應(yīng)，與二二(r,s,t)重積分換元法類似，我們有于是，有換元公式dv

48、=：(x,y,z)f(r,s,t)drdsdt.ill f(x, y,z)dv： hi f11'Jk(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)要drdsdt.c(r,s,t)作為變量替換的實例，我們給出應(yīng)用最為廣泛的兩種變換：柱面坐標(biāo)變換及球面坐標(biāo)變換3.3.1柱面坐標(biāo)變換三重積分在柱面坐標(biāo)系中的計算法如下:變換x=rcosQ<y=rsin0,Iz=z稱為柱面坐標(biāo)變換，空間點”丫")與(，Qz)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，把(r,Qz)稱為點M (x,y,z )的柱面坐標(biāo).不難看出，柱面坐標(biāo)實際是極坐標(biāo)的推廣.這里r,。為點M在xOy面上的柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面為(1)

49、r=常數(shù)，以z為軸的圓柱面；(2)。=常數(shù)，過z軸的半平面；(3)z=常數(shù)，平行于xOy面的平面.cos0-rsin00由于qx,y,z)=$所0cos0。=，則在柱面坐標(biāo)變換下，體積元素之間的關(guān)系式為:ar,0,z)001dxdydz=rdrd(dz.于是，柱面坐標(biāo)變換下三重積分換元公式為：inf(x,y,z)cx(y(z=f(TcosHsinzF,r.)rz(10-3-3)Q&至于變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分計算，則可化為三次積分來進(jìn)行.通常把積分區(qū)域Q向xOy面投影得投影區(qū)域D,以確定r,。的取值范圍，z的范圍確定同直角坐標(biāo)系情形.例4計算三重積分MzY'x2+y2dxdy

50、dz,其中Q是由錐面z="x2+y2與平面z=1所圍成的區(qū)域.解在柱面坐標(biāo)系下，積分區(qū)域Q表不'為rWzEl,0WrWl,0W0£2n(圖1029).圖 1029所以有I222K112JJJzJx+ydxdydz=1d日(drzrdzQ=2兀1r2(1r2)dr=2兀.0215例5計算三重積分jjj(x2+y2dxdydz,其中Q是由曲線y?=2z,*=0繞2軸旋轉(zhuǎn)一周而Q成的曲面與兩平面z=2,z=8所圍之區(qū)域.解曲線y2=2z,x=0繞z旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)面方程為x2+y2=2z.設(shè)由旋轉(zhuǎn)曲面與平面z=2所圍成的區(qū)域為斜，該區(qū)域在xOy平面上的投影為D1,D1=&#

51、171;x,y)x2+y2<4.由旋轉(zhuǎn)曲面與z=8所圍成的區(qū)域為Q,2在xOy平面上的投影為D2,D2=(x,y)|x2+y2W16.則有Q2=aU3,如圖1030所示.圖 103088iiiixydxdydz=Ddrd：，!2rdz.iiDdrd；i2rdz一01.2D22Idr =336 Tt.，兀，23L，2兀,43'r2=1dn6rdr+d0i2r8-3.3.2球面坐標(biāo)變換三重積分在球面坐標(biāo)系中的計算法如下:變換（j）cos Q（j）sin Q建立了一一對應(yīng)關(guān)系，把（r,G0<r< +oo, 0 <（j）<0三仁2 7t.圖 10-31x=rsin

52、y=rsinz=rcos稱為球面坐標(biāo)變換，空間點M（x,y,z）與（r,GM（x,y,z）的球面坐標(biāo)（圖10-31）,其中球面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面為：（1）r=常數(shù)，以原點為中心的球面；（2）常數(shù)，以原點為頂點，z軸為軸，半頂角為6的圓錐面;（3）。=常數(shù)，過z軸的半平面.由于球面坐標(biāo)變換的雅可比行列式為x,y,z）:c（r,（）, 0）sin 忙os 0sin（f）sin 0cos（）r cos（f）cos 0r cos（f）sin 0-r sin （）-r sin （f）sin 0r sin Mos 002 ,=r sin （）,則在球面坐標(biāo)變換下，體積元素之間的關(guān)系式為：dxdydz=r2

53、sin（）drdd（）.于是，球面坐標(biāo)變換下三重積分的換元公式為（10-3-4）z2與球面inf（x,y,z）dxdydz=111f（rsincosrsinsin,rcos）r2sindrdd.ridx2y26計算三重積分|7f（x2+y2+z2）dxdydz其中Q表示圓錐面x2+y2+z2=2Rz所圍的較大部分立體.在球面坐標(biāo)變換下，球面方程變形為r=2Rcos（j）,錐面為>=（圖1032）.這時積分4區(qū)域Q表示為0£。£240£仁工，0ErW2Rcos弧4'圖 1032所以iii(x2，y2z2)dxdydz=111r2r2sindrddi2兀

54、2Rcos(f)9.5G2Rcos3QOc=ddeCdHrsinMrLsinMr)0d75tR.515例7計算三重積分jjj(2y+Jx2+z2)dxdydz,其中Q是由曲面x2+y2+z2=a；f直x2+y2+z2=4a2,Jx2+z2'=y所圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域用球面坐標(biāo)系表示顯然容易，但球面坐標(biāo)變換應(yīng)為x=rsin(jcosQz=rsin帕in0,y=rcos(j),這時dv=r2sin（drd料。，積分區(qū)域Q表示為a<r<2a,0<（）<-,0<叱2兀（圖1033）.4所以Q值得注意的是,iii(2y,、x2 z2)dxdydz=2 sin 中dr =獨 + 15 1a4 仁8 16重積分的計算是選擇直角坐標(biāo)，還是柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三次積分，通常要綜合考慮積分域和被積函數(shù)的特點.一般說來，積分域Q的邊界面中有柱面或圓錐面時，常采用柱面坐標(biāo)系；有球面或圓錐面時，常采用球面坐標(biāo)系.另外，與二重積分類似，三重積分也可利用在對稱區(qū)域上被積函數(shù)關(guān)于變量成奇偶函數(shù)以簡化計算習(xí)題10-31 .化三重積分I=jjff(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中積分區(qū)域Q分別是.(1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+v-