條件概率公式與全概率公式

1、 鄭 永 冰數(shù) 學(xué) 與 數(shù) 量 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 院條件概率公式與全概率公式條件概率公式與全概率公式v一、條件概率v簡(jiǎn)單地說(shuō)，條件概率就是在一定附加條件之下的事件概率. v從廣義上看，任何概率都是條件概率，因?yàn)槿魏问录籍a(chǎn)生于一定條件下的試驗(yàn)或觀察。v但我們這里所說(shuō)的“附加條件”是指除試驗(yàn)條件之外的附加信息，這種附加信息通常表現(xiàn)為“已知某某事件發(fā)生了” 。例例2 10個(gè)人為兩張球票抽簽，依次抽取，取后不個(gè)人為兩張球票抽簽，依次抽取，取后不放回，若已知第一個(gè)人抽到球票，求第放回，若已知第一個(gè)人抽到球票，求第2個(gè)人也個(gè)人也抽到球票的概率。抽到球票的概率。解解1：設(shè)：設(shè)A=“第第一個(gè)人抽到球票一個(gè)人抽到球

2、票”。B=“第第二個(gè)人抽到球票二個(gè)人抽到球票”。則所求為則所求為91記為記為)(ABP)()()|(APABPABP定義：).0)(,)()()|(BPBPABPBAP類似有類似有).0)(APBA發(fā)生的條件概率已發(fā)生的條件下，事件為在事件性性質(zhì)質(zhì)。因因此此它它具具備備概概率率的的一一切切也也是是概概率率，固固定定，可可證證把把作作為為條條件件的的事事件件)|(ABPA)|()|()|()|(CABPCBPCAPCBAP如).|(1)|(BAPBAP)|(1)|(CAPCAP但是，需要注意，一般地但是，需要注意，一般地1)|()|( BAPBAP)|()|()( | CAPBAPCBAPv例3

3、設(shè)在10個(gè)統(tǒng)一型號(hào)的元件中有7個(gè)一等品，從這些元件中不放回地連續(xù)取兩次，每次取一個(gè)元件，求在第一次取得一等品的條件下，第二次取得的也是一等品的概率。).|(2 , 112AAPiiAi，則所求為次取得的是一等品”，：“第解：設(shè)10721027CC)()(121APAAP)|(12AAP解法一：10791067.96.96)|(12AAP解法二：條件概率的一個(gè)重要應(yīng)用便是下面的乘法公式條件概率的一個(gè)重要應(yīng)用便是下面的乘法公式.v二、乘法公式)|()()|()()(BAPBPABPAPABP)|()()(21321321AAAPAAPAAAP).|()|()()(1112121nnnAAAPAAP

4、APAAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP記甲取到正品為事件A,乙取到正品為事件B,則107)()|(BPABP由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)從問(wèn)題的實(shí)際意義理解，就是說(shuō)事件A和事件B出現(xiàn)的概率彼此不受影響.事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性例如例如 箱中裝有10件產(chǎn)品:7件正品,3件次品,甲買(mǎi)走1件正品,乙要求另開(kāi)一箱,也買(mǎi)走1件正品.定義定義 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立。 推論推論1 A.B為兩個(gè)事件,若P(A)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(A

5、|B)=P(A).證明：證明：A.B獨(dú)立獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)注意注意 從直觀上講,A與B獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受另一個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.證明證明 不妨設(shè)A.B獨(dú)立,則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他類似可證. 推論推論2 在 A 與 B, 與 B,A 與 ， 與 這四對(duì)事件中,若有一對(duì)獨(dú)立,則另外三對(duì)也相互獨(dú)立。AABB注意注意 判斷事件的獨(dú)立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問(wèn)題的性質(zhì)從直觀上去判斷.設(shè)有n個(gè)事件A1,A2,An,若對(duì)

6、任何正整數(shù)m(2mn)以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.若上式僅對(duì)m=2成立,則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.注意注意 從直觀上講,n個(gè)事件相互獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受其余一個(gè)或幾個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.定義定義 (n n個(gè)事件的相互獨(dú)立性）個(gè)事件的相互獨(dú)立性） 它們中的任意一部分事件換成各自事件的對(duì)立事 件后，所得的n個(gè)事件也是相互獨(dú)立的。性質(zhì)性質(zhì) 若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們積事件的概率等于每個(gè)事件概率的積.加法公式的簡(jiǎn)化加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則 P(A1A2 An)1P(

7、A1)P(A2) P(An)例例1.2.3 三個(gè)元件串聯(lián)的電路中,每個(gè)元件發(fā)生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨(dú)立,求電路斷電的概率是多少?解解 設(shè)A1,A2,A3分別表示第1,2,3個(gè)元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨(dú)立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.8321。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,則P(B)=( ).B練習(xí)v三 、全概率公式和貝葉斯(Bayes)公式v例4 設(shè)袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，不放回抽取，每次

8、到一個(gè)，求第三次取出的是白球的概率。黑球一白球”：“前兩次取出的為一3B白球”：“前兩次取出的全為2A黑球”：“前兩次取出的全為1B兩兩互不相容、；則321321)2() 1 (BBBBBB兩兩互不相容、且321321321)(ABABABABABABBBBAAAv解：記 A：“第三次取出的是白球”2522CC)|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP)()()()(321ABPABPABPAP332523CC31251213CCC32101104101.53)|(ABPi為一事件，的一個(gè)劃分，為一般：設(shè)ABBn,1v貝葉斯(Bayes)公式)()(APABPi)

9、()|()(APBAPBPiinkKKiiBAPBPBAPBP1)|()()|()(“原因”nBB,1“結(jié)果”A全概率公式Bayes公式：“任取一件為廢品”解：設(shè)Av例5某工廠由三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例分別為25%、35%、40%；并且它們的廢品率分別是5%、4%、2%，今從該廠產(chǎn)品中任取一件，求是廢品的概率是多少？3 , 2 , 1iiBi個(gè)車間生產(chǎn)”：“產(chǎn)品由第的劃分為則321,BBB31)|()()(kKKBAPBPAP0.03452%40%4%35%5%253 , 2 , 1)|(iABPi需比較v若已知取出的一件產(chǎn)品是廢品，它最大可能是哪個(gè)車間生產(chǎn)的？)|(

10、1ABP)()(1APABP)()|()(11APBAPBP0345. 0%5%253623. 02319. 0)|(4058. 0)|(32BBPABPmax最大可能由第2個(gè)車間生產(chǎn)。課上練習(xí)課上練習(xí) 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位數(shù)數(shù), 故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào)故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 求他至多撥三次求他至多撥三次由乘法公式由乘法公式設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“ “三次撥號(hào)至少一次撥通三次撥號(hào)至少一次撥通” ”AiA3,2, 1i表示表示“ “第第 i 次撥通次撥通” ”則3iiAA)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP)(AP7 . 08

11、798109. 3 . 0)(1)(APAP解解可撥通朋友家的概率?？蓳芡ㄅ笥鸭业母怕?。例例 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位數(shù)數(shù), 他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào)他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 他連撥三次，他連撥三次，由乘法公式設(shè)iA3,2, 1i表示“第 i 次撥通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1 .08198109解一求第三次才撥通的概率求第三次才撥通的概率. 解二125.081)(213AAAP從題目敘述看要求的是無(wú)條件概率從題目敘述看要求的是無(wú)條件概率. .產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題，產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題，未能分清條件概率與無(wú)條件概率的區(qū)別未能分清條件概率與無(wú)條件概率的區(qū)別. .本題若改敘為：本題若改敘為： 他連撥三次，已他連撥三次，已知前兩次都未撥通知前兩次都未撥通, ,求第三次撥通的概率求第三次撥通的概率. .此時(shí)，求的才是條件概率此時(shí)，求的才是條件概率. .例例 10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3 件次品件次品, 從中任取從中任取 2 件件.在所取在所取 2 件中有一件是次品的條件下件中有一件是次品的條件下, 求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解1 1 設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“ “所取所取 2 件中