人教版初一數(shù)學(xué)上一對(duì)一提優(yōu)講義第1講有理數(shù)與數(shù)軸含答案

1、第一講 有理數(shù)與數(shù)軸模塊一 有理數(shù)基本概念定 義示例剖析正數(shù)：像、等的數(shù)，叫做正數(shù)在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除外都是正數(shù)正數(shù)都大于負(fù)數(shù)：像、等在正數(shù)前加上“”（讀作負(fù)）號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)都小于既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)正數(shù)：1，2.5，負(fù)數(shù)：，一個(gè)數(shù)字前面的“”，“”號(hào)叫做它的符號(hào)正數(shù)前面的“”可以省略，注意與表示是同一個(gè)正數(shù)用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量：如果正數(shù)表示某種意義，那么負(fù)數(shù)表示它的相反的意義，反之亦然“相反意義的量”包括兩個(gè)方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的基礎(chǔ)上要有量譬如：用正數(shù)表示向南，那么向北可以用負(fù)數(shù)表示為有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) 正整數(shù)：1，2，10，負(fù)整數(shù)：，正分?jǐn)?shù)：，1.

2、5，負(fù)分?jǐn)?shù)：，注： 正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)； 負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)； 正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)； 負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)【夯實(shí)基礎(chǔ)】【例1】 下列各組量中，具有相反意義的量是（ ）A節(jié)約汽油10升和浪費(fèi)糧食B向東走8公里和向北走8公里C收入300元和支出100元D身高和身高 規(guī)定向前、收入為正，后退、支出為負(fù)，那么下面四個(gè)語句中錯(cuò)誤的是（ ） A前進(jìn)米的意義是后退米 B萬元的意義是虧損萬元 C收入的相反意義是支出 D后退米的意義是前進(jìn)米 如果零上記作，那么零下記作（ ） A B C D 如果水位升高時(shí)水位變化記作，那么水位下降記作_，水位不升不降時(shí)水位變化記作_. 甲，乙兩地的海拔高度分別為2

3、00米，米，那么甲地比乙地高出（ ）A200米 B50米 C300米 D350米 學(xué)而思飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有“（）”字樣，請(qǐng)問“”是什么含義？質(zhì)檢局對(duì)該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為， ，問抽查產(chǎn)品的容量是否合格？ 在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀啊碧?hào)整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)非負(fù)數(shù)非負(fù)整數(shù)無理數(shù)【解析】 C； B； C； ，0； D； “”表示每瓶飲料容量最小可以是，最大可以是，抽出的5瓶容量均在與之間，因此合格 整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)非負(fù)數(shù)非負(fù)整數(shù)無理數(shù)【能力提升】【例2】 一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是米，表示這種零件加工要求最大不超過 米，最小不小于 米 （北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)） 1

4、是（）A最小的整數(shù)B最小的正整數(shù)C最小的自然數(shù)D最小的有理數(shù) ，以上各數(shù)中 屬于負(fù)數(shù)， 屬于非正數(shù)， 屬于非負(fù)有理數(shù). 在15，0.15，中，負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A1 B2 C3 D4 （人大附中期中） 【解析】 20.05 19.95 B 屬于負(fù)數(shù)的有：，；屬于非正數(shù)的有：，；屬于非負(fù)有理數(shù)：6，0， B.模塊二 數(shù)軸定 義示例剖析數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線 原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可 單位長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位是兩個(gè)不同的概念，前者指所取度量單位的長(zhǎng)度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長(zhǎng)度是一條人為規(guī)定的代表“1”的線段，這條線段可長(zhǎng)可短，按實(shí)際情況來規(guī)定

5、，同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度一旦確定，則不能再改變 數(shù)軸的畫法畫一條水平的直線；在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)：確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致畫數(shù)軸的常見錯(cuò)誤：沒有原點(diǎn) 沒有正方向沒有原點(diǎn)單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一沒有單位長(zhǎng)度有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來注意：數(shù)軸上的點(diǎn)不都代表有理數(shù)，如利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)因此，正數(shù)總大于零，負(fù)數(shù)總小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)【夯實(shí)基礎(chǔ)】【例3】 畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把數(shù)用“”連接（北京1

6、01中學(xué)期中） 和的大小關(guān)系是：_ 數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是_（北京四中期中） 數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，那么與相距個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是_ 數(shù)軸上的點(diǎn)、分別表示數(shù)和，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是_（人大附中單元測(cè)試） 如右圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為 在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .【解析】 先畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)注所有的數(shù)（如圖所示），在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，故. ； 或; ; ，1，2; 2000【能力提升】【例4】 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開始，先向右移動(dòng)了2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左

7、移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)終點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是（ ）A5B1CD 一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上表示的點(diǎn)開始，先向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，則終點(diǎn)表示的數(shù)是_ 數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著數(shù)軸向右以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度爬行至點(diǎn)后，用秒的時(shí)間吃光了點(diǎn)處的蜜糖，又沿原路以原速度返回點(diǎn)，共用去6秒，則螞蟻爬行的路程是幾個(gè)單位長(zhǎng)度？點(diǎn)與點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？【解析】 C； 螞蟻共爬行12個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是5【例5】 已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，它們之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離為3，那么點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為 . 在數(shù)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)的距離是

8、點(diǎn)與30所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的4倍，那么點(diǎn)表示的數(shù)是_. 已知下圖中數(shù)軸上線段MO(O是原點(diǎn))的七等分點(diǎn)A、B、C、D、E、F中，只有兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是整數(shù)，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)，那么m可以取的不同值有 個(gè)，m的最小值為 .【解析】 4或2或或. N點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是N點(diǎn)與30所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的4倍. 若N點(diǎn)在數(shù)0和30之間，設(shè)N點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為x，則5x=30，x=6.所以N=24. 若N點(diǎn)在30右邊，設(shè)N點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為x，那么N點(diǎn)到30所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離即為x，O點(diǎn)到30所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3x，則3x=30，x=10.所以4x=40.N=40.N點(diǎn)表示的數(shù)是24或40. 七等分點(diǎn)A、B、C、D、E、F中

9、，只有兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是整數(shù)，故可分以下幾種情況討論：若點(diǎn)F為整數(shù)，則有點(diǎn)A、B、C、D、E均為整數(shù)，不符合題意；若點(diǎn)E為整數(shù)，則有點(diǎn)A和點(diǎn)C都為整數(shù)，也不符合題意；若點(diǎn)D為整數(shù)，則點(diǎn)A為整數(shù)，符合題意；若點(diǎn)A或點(diǎn)B或點(diǎn)C為整數(shù)，則都只有一點(diǎn)為整數(shù)，不符合題意.通過以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)A和點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為整數(shù).由題意得：對(duì)應(yīng)的數(shù)為整數(shù)的兩點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)D，為整數(shù)，且和都不為整數(shù)，又m，解得：或或.【拓展】如圖，已知數(shù)軸上、四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)都是整數(shù)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，如果對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，且，那么數(shù)軸上的原點(diǎn)應(yīng)該是、中的哪一點(diǎn)？【解析】 從數(shù)軸上可以看出：，且，由于，所以，所以比大

10、5的是原點(diǎn)。模塊三 相反數(shù)、倒數(shù)定 義示例剖析相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在例如：和互為相反數(shù)，或者說是的相反數(shù)，是的相反數(shù)；例如：與互為相反數(shù)，而與雖然符號(hào)不同，但它們不是相反數(shù)求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可一般地，數(shù)的相反數(shù)是；這里以表示任意一個(gè)數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個(gè)代數(shù)式注意不一定是負(fù)數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例如：3的相反數(shù)為的相反數(shù)為0的相反數(shù)為0互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零，即若與互為相反數(shù)，則；反之，若，則與互為相反數(shù)一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等例

11、如：3與互為相反數(shù)，則3+=0多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：一個(gè)正數(shù)前面不管有多少個(gè)“”號(hào)，都可以全部去掉；一個(gè)正數(shù)前面有偶數(shù)個(gè)“”號(hào)，也可以把“”號(hào)全部去掉；一個(gè)正數(shù)前面有奇數(shù)個(gè)“”號(hào)，則化簡(jiǎn)后只保留一個(gè)“”號(hào)，即“奇負(fù)偶正”（其中“奇偶”是指正數(shù)前面的“”號(hào)的個(gè)數(shù)的奇偶數(shù)，“負(fù)正”是指化簡(jiǎn)的最后結(jié)果的符號(hào)）例如：倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，互為倒數(shù)，則；反之亦然負(fù)倒數(shù)：乘積為的兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù)若，互為負(fù)倒數(shù)，則反之亦然例如：，3與互為倒數(shù). 若,則與互為負(fù)倒數(shù).倒數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)；互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定是；0沒有倒數(shù)；求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可.【

12、夯實(shí)基礎(chǔ)】【例6】 7的相反數(shù)（ ）A B7 C D（北京市中考題） 下列正確的是（ ）A一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù) B和互為相反數(shù)C所有的有理數(shù)都有相反數(shù) D和互為相反數(shù) 如果，化簡(jiǎn)下列各數(shù)的符號(hào)，并說出是正數(shù)還是負(fù)數(shù) ； ； ； ； 的倒數(shù)是（ ）A B C D3（北京市中考題）【解析】 D C ，正數(shù)；，負(fù)數(shù)； ，負(fù)數(shù)； ，正數(shù)； ，正數(shù) 選A 【能力提升】【例7】 與 互為相反數(shù)；是 的相反數(shù) 的相反數(shù)是 ；是 的相反數(shù) 與 互為相反數(shù)，與 互為相反數(shù)，與 互為相反數(shù)【解析】 ，； ，； ； 5，【例8】 若與互為相反數(shù)，則 若、都是有理數(shù)，且使得四個(gè)兩兩不相等的數(shù)、能分成兩組，每組的兩

13、個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，則的值等于 【解析】 ；有兩對(duì)相反數(shù)，初看沒法確定4個(gè)數(shù)中誰是誰的相反數(shù)，但是從整體考慮，由于互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，所以這4個(gè)數(shù)的和仍為0，即，得到【例9】 已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示如圖，現(xiàn)比較a、b、的大小，正確的是（ ）ABCD已知為有理數(shù)，且，將四個(gè)數(shù)按由小到大的順序排列是 【解析】 C借助數(shù)軸標(biāo)出的大概位置，知【探索創(chuàng)新】【例10】 探究數(shù)字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)通過一種運(yùn)算，都能被它“吸”進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌比如：任意找一

14、個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定不變量的數(shù)，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，為何具有如此魔力？通過認(rèn)真觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘請(qǐng)問，數(shù)字“黑洞” 【解析】 從一個(gè)具體的數(shù)操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；例如選擇數(shù)字3，進(jìn)行一次運(yùn)算后的結(jié)果是；進(jìn)行第二次運(yùn)算后的結(jié)果是；進(jìn)行第三次運(yùn)算后的結(jié)果是；進(jìn)行第四次運(yùn)算后的結(jié)果是；所以結(jié)果153【例11】 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左跳1個(gè)單位到，第二步由向右跳2個(gè)單位到，第三步由向左跳3個(gè)單位到，第四步由向右跳4個(gè)單位到，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)

15、，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是19.94，試求電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù).【解析】.設(shè)點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則，點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為，由題意得：，解得.【例12】 動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，3秒后，兩點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度已知?jiǎng)狱c(diǎn)，的速度比是，（速度單位：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒） 求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出，兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置 若，兩點(diǎn)從中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，幾秒時(shí)，原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中間？ 若，兩點(diǎn)從中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從點(diǎn)位置出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到點(diǎn)后，立即返回向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)后又立

16、即返回向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如此往返，直到追上時(shí)，點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)一直以20單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？（北京東城區(qū)期末）【解析】 設(shè)的速度為單位長(zhǎng)度/秒，的速度為單位長(zhǎng)度/秒依題意， 即：的速度為1單位長(zhǎng)度/秒，的速度為4單位長(zhǎng)度/秒3秒時(shí)，的位置在，的位置在12 設(shè)秒時(shí)，原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中間？ 設(shè)秒后追上，依題意，點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是100個(gè)單位長(zhǎng)度 課后創(chuàng)新培養(yǎng)【實(shí)戰(zhàn)演練】知識(shí)模塊一 有理數(shù)基本概念 課后演練【演練1】 一天早上的氣溫是，中午上升了，半夜又下降了，那么半夜的氣溫是（ ）ABCD（八中期中） 如果節(jié)約16噸水記作+16噸，則浪費(fèi)6噸水記作 下列說法正確的是（ ）A有最小的負(fù)整數(shù)，沒有最小的正整數(shù)B有最小的負(fù)數(shù)，沒有最大的正數(shù)C有最大的負(fù)數(shù)，沒有最小的正數(shù)D有最大的負(fù)整數(shù)，沒有最大的正整數(shù)（十一學(xué)校期中） 把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)：，3，2.008，0，3.14正有理數(shù)數(shù)集合：非負(fù)整數(shù)集合：負(fù)分?jǐn)?shù)集合：【解析】 A； 噸； D； 正有理數(shù)：3，2.008，3.14非負(fù)整數(shù)：3，0，；負(fù)分?jǐn)?shù)：，【演練2】 檢驗(yàn)5個(gè)排球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)這5個(gè)排球的記數(shù)分別為：1號(hào)球，+5；2號(hào)球，+0.7；3號(hào)球，；4號(hào)球，；5號(hào)球，+2.5從輕重