常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

1、 北方民族大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 論文題目: 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 院(部)名 稱: 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 學(xué) 生 姓 名: 馬木沙 專 業(yè): 信計(jì) 學(xué) 號(hào): 20093490 指導(dǎo)教師姓名: 魏波 論文提交時(shí)間: 論文答辯時(shí)間: 學(xué)位授予時(shí)間: 北方民族大學(xué)教務(wù)處制摘 要本文利用常微分方程和數(shù)學(xué)建模二者之間的聯(lián)系，了解微分方程的一般理論、微分方程解的存在惟一性、微分方程的穩(wěn)定性問題、通過幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型如：人口模型、減肥的數(shù)學(xué)模型、化工車間通風(fēng)模型、傳染病的傳播模型及定性分析等例子來體現(xiàn)微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用. 用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際生活中的問題.微分方程的出現(xiàn)以及運(yùn)用微分方程在數(shù)學(xué)建模中

2、的應(yīng)用，就是為了更好地使更多的人理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)理論，更好的解決實(shí)際生活中的問題.努力在各個(gè)領(lǐng)域利用并滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛運(yùn)用.關(guān)鍵詞：常微分方程，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)模型 Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of

3、differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential

4、equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary peop

5、le to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in

6、 various fields.Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.目錄第一章 緒論41.1背景及意義41.2本文研究的主要內(nèi)容4第二章 微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究62.1 微分方程的一般理論62.1.1微分方程的一般形式6212微分方程解的存在惟一性72.2人口模型10第三章 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用123.1 減肥的數(shù)學(xué)模型133.2化工車間的通風(fēng)問題模型15第四章 總結(jié)17參考文獻(xiàn)18致 謝19第一章 緒論1.1背景及意義常微分方程的發(fā)展、形成與許

7、多學(xué)科都有著密切的聯(lián)系，例如幾何學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)甚至電子科技、航天航空等.為數(shù)學(xué)的分支學(xué)科常微分方程的發(fā)展起著深刻而重要的影響，特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)展更為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供有力的工具.數(shù)學(xué)若想解決實(shí)際的許多問題，就要通過觀察研究實(shí)際對(duì)象的特征和內(nèi)在的關(guān)系規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.而在數(shù)學(xué)模型求解的問題上，常微分方程是最重要的知識(shí)工具.因此繼續(xù)探討研究常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用依然是有著及其重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和及其深刻的現(xiàn)實(shí)意義.目前，已有很多學(xué)者對(duì)此方面進(jìn)行了研究，例如，朱美玲在太遠(yuǎn)城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào)中簡(jiǎn)要介紹了常微分方程的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模的過

8、程以及常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的一些應(yīng)用,并對(duì)數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用作了一些展望；王英霞在才智2011年12期中介紹常微分方程的發(fā)展、數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn);重點(diǎn)介紹了常微分方程與數(shù)學(xué)建模相互結(jié)合,在不同的領(lǐng)域中的相關(guān)的具體例子,總結(jié)常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的重要性；趙家林在中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2009年第1期中描述了客觀是的數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)領(lǐng)域的中心學(xué)科常微分方程至今已有近 300 年的發(fā)展歷史，為了尋求、解決類似自由落體下落過程中下落距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；研究火箭在空中飛行時(shí)的飛行軌道等這類實(shí)際性的問題，往往就要求我們找到滿足某些特定條件的一個(gè)或多個(gè)未知數(shù)方程，為了解決這類實(shí)際問

9、題從而產(chǎn)生了微分方程.把含有未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱之為微分方程.微分方程是在處理實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的, 微分方程的研究又促進(jìn)實(shí)際問題的解決,同時(shí)也促進(jìn)其他學(xué)科的發(fā)展.1.2本文研究的主要內(nèi)容本文通過對(duì)常微分方程、數(shù)學(xué)模型、以及常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用的介紹，如：微分方程的一般理論、微分方程解的存在惟一性、微分方程的穩(wěn)定性問題、人口模型、減肥的數(shù)學(xué)模型、化工車間的通風(fēng)問題模型等.發(fā)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)理論研究解決實(shí)際過程中的問題.而一切數(shù)學(xué)模型的建立和求解，都是為了更好的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)實(shí)際生活.常微分方程的出現(xiàn)以及常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的廣泛應(yīng)用，就是為了更好地使普通人理解并利用數(shù)學(xué)理

10、論，更好的解決實(shí)際中的問題.把理論升華為由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)化，突顯微分方程以及微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，努力在各個(gè)領(lǐng)域做出突出重大貢獻(xiàn).本文共分為四個(gè)章節(jié)：第一章，對(duì)全文進(jìn)行概述，介紹了常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的背景和意義、國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀以及本文研究的主要內(nèi)容. 第二章，微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究. 第三章，常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用. 第四章，全文綜述、總結(jié).第二章 微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究2.1 微分方程的一般理論 微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用.針對(duì)所研究的對(duì)象建立微分方程模型是解決問題的第一步，實(shí)際中只有求出微分方程的解才能對(duì)所研究的問題進(jìn)

11、行解釋說明.一般說來，求微分方程的解析解是困難的，大多數(shù)的微分方程需要數(shù)值方法來求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在唯一性和穩(wěn)定性問題. 2.1.1微分方程的一般形式 一階微分方程 (2.1)其中是和的已知函數(shù)，為初始條件，又稱定解條件。一介微分方程組 (2.2)又稱為一階正規(guī)方程組.如果引入向量則方程（2.2）可以寫為簡(jiǎn)單的形式 (2.3)即與方程（3、1）的形式相同，當(dāng)n=1時(shí)為方程（2.1）.對(duì)于任一高階的微分方程如果記，即可化為一階方程組的形式。一般解法如下：例1.求方程組解 將變量分離得兩邊積分，即得因而，通解為這里c是任意正常數(shù).或者解出y，寫出顯函數(shù)形式的解 212微分方程解

12、的存在惟一性正規(guī)方程組（2.3）的解在什么條件下存在，且惟一呢？有下面的定理.定理2.1（Cauchypeano） 如果函數(shù)在上連續(xù)，則方程組（2.3）在上有解滿足初值條件，此處 定理3.2 如果函數(shù)在 上連續(xù)，且滿足利普希茨（Lipschitz）條件（即存在正常數(shù)L使得，其中，則方程組（2.3）滿足初值條件 的解是惟一的。 2.1.3微分方程的穩(wěn)定性問題在實(shí)際問題中，微分方程所描述的是物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)到規(guī)律，在用微分方程來研究這個(gè)物理過程中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，而不得不忽略一些人為次要的因素，這種次要的因素通常稱為干擾因素，這些干擾因素在實(shí)際中可以瞬時(shí)的起作用，也可持續(xù)的起作用.從

13、數(shù)學(xué)上來看，前者會(huì)引起初值條件的變化，而后者會(huì)影響微分方程本身的變化，在實(shí)際問題中，干擾因素是客觀存在的，由此可見，對(duì)于它的影響程度的研究的必要的，即初值條件或微分方程的微小變化是否也只是引起對(duì)應(yīng)解的微小變化？這就是微分方程的穩(wěn)定性問題，這里仍以方程組（2.3）為例討論.(1)有限區(qū)間的穩(wěn)定性如果在某個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)滿足禮普希茨條件，是方程組（2.3）的一個(gè)特解，則當(dāng)充分接近于時(shí)，方程組（2.3）在上滿足初值條件的解 有即對(duì)，總存在相應(yīng)的，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有此時(shí)稱方程組（2.3）的解在有限區(qū)間上是穩(wěn)定的。(3)漸進(jìn)穩(wěn)定性如果方程組（2.3）解在無限區(qū)間上是穩(wěn)定的，且存在，當(dāng)時(shí)，有則稱是漸進(jìn)

14、穩(wěn)定的，或稱局部漸進(jìn)穩(wěn)定性。如果上述（或給定的一個(gè)有限常數(shù)），則相應(yīng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性稱為全局穩(wěn)定性（或大范圍穩(wěn)定性）.(4) 經(jīng)常擾動(dòng)下的穩(wěn)定性對(duì)于方程組（2.3），考慮相應(yīng)的方程組(2.4)這里的稱為擾動(dòng)函數(shù)。如果對(duì)任意給定的，總存在和，使得當(dāng)時(shí)有則方程組（2.4）有滿足初值條件的解。且當(dāng)時(shí)有就說方程組（2.3）的特解在經(jīng)常擾動(dòng)下是穩(wěn)定的。(5) 研究穩(wěn)定性的方法 實(shí)際中，要研究方程組(2.3)的解的穩(wěn)定性問題，可以轉(zhuǎn)化為研究方程零解的穩(wěn)定性問題，事實(shí)上：對(duì)于方程組（2.3）的任一特解，只要令，則顯然有，故方程組（3.3）變?yōu)?2.5)于是可知方程組（2.3）的解對(duì)應(yīng)于方程組（3.5）為。因此，

15、要研究方程組（3.3）的的穩(wěn)定性問題可轉(zhuǎn)化為研究方程組（3.5）的平凡解的穩(wěn)定性問題。如果微分方程組的所有解都能簡(jiǎn)單的求出來，一個(gè)特解的穩(wěn)定性問題并不難解決，然而，實(shí)際中這種情況太少了，由此，一般性的穩(wěn)定性問題研究是復(fù)雜的，通常的情況下都是針對(duì)具體問題做相應(yīng)研究，下面通過例子作為解釋說明.例.2 考慮一階非線性方程組這里線性近似方程組的特征方程為或由此得赫爾維茨行列式根據(jù)定理，特征方程所有根均有負(fù)實(shí)部，由定理知零解為漸進(jìn)穩(wěn)定的.2.2人口模型英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（Malthus）在擔(dān)任牧師期間，查看了當(dāng)?shù)亟烫?00多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)現(xiàn)象：人口出生率是一個(gè)常數(shù).在1978年

16、他發(fā)表了人口原理一書，其中提出了聞名于世的Malthus人口模型.他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，計(jì)此常數(shù)為r（生命系數(shù)）.在到這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量的增長(zhǎng)量為于是滿足微分方程(2.6)將上式改寫為為于是和變量被分離，兩邊積分得這里為任意常數(shù)，由對(duì)數(shù)的定義，上式變?yōu)?2.7)其中，因亦是方程（2.6）的解，因此可以是任意常數(shù)。如設(shè)初始條件為時(shí)，(2.8)代入上式可得，即方程（2.6）的滿足初值條件（2.8）的解為(2.9) 如果，上式說明人口總數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng).將以年或10年為單位離散化，那么可以說，人口數(shù)是以為公比的等比

17、數(shù)列增加的.當(dāng)人口總數(shù)不大時(shí)，生存空間，資源等及充裕，人口總數(shù)指數(shù)地增長(zhǎng)是可能的，但當(dāng)人口總數(shù)非常大時(shí)，指數(shù)增長(zhǎng)的線性模型則不能反映這樣一個(gè)事實(shí)：環(huán)境所提供的條件 只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以Malthus模型在很大時(shí)是不合理的.荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù)（環(huán)境最大容納量）表示自然資源條件所能容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對(duì)增長(zhǎng)率為即相對(duì)增長(zhǎng)率為，即相對(duì)增長(zhǎng)率隨的增加而減少，當(dāng)時(shí)，凈增長(zhǎng)率。按此假設(shè)，人口增長(zhǎng)的方程應(yīng)改為(2.1.0)這就是logistic模型，當(dāng)與相比很大時(shí)，與相比可以忽略，則模型變?yōu)镸althus模型；但當(dāng)與相比不是很大時(shí)，這一項(xiàng)就不能忽略，人口急劇增加的速率要

18、緩慢下來。我們用logistic模型來預(yù)測(cè)地球未來人數(shù)。某些人口學(xué)家估計(jì)世界人口的自然增長(zhǎng)率，而統(tǒng)計(jì)得到世界人口在1960年為29.8億。增長(zhǎng)率1。85%，由logistic有，可得，即世界人口總量為82.3億，由（2.1.0）式右端為二次多項(xiàng)式，以時(shí)為頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)人口增長(zhǎng)率增加；當(dāng)時(shí)人口增長(zhǎng)率減少，即人口增長(zhǎng)到時(shí)增長(zhǎng)率將逐漸減少，結(jié)果相符。第三章 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用常微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐，在解決科學(xué)技術(shù)的許多問題中發(fā)展并逐步完善，用微分方程解決實(shí)際問題一般分為以下幾步：第一，實(shí)際問題的分析及提出；第二，根據(jù)問題的規(guī)律建立微分方程（稱為建立數(shù)學(xué)模型）；第三，解此微分方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行定

19、性分析；第四，最后再用方程的解（或性質(zhì)）解釋并預(yù)測(cè)問題的發(fā)展.數(shù)學(xué)建模是微分方程解決實(shí)際問題的最主要的途徑.下面說明建模方法:微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法與應(yīng)用, 許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問題.把形形色色的實(shí)際問題化微分方程的定解問題, 大體上可以按以下幾步:(1) 根據(jù)實(shí)際問題建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 微分方程(組). (2) 求解與研究這一數(shù)學(xué)模型, 包括分析解的特征. (3) 利用解得結(jié)果, 解的形式和數(shù)值, 進(jìn)行定性研究與分析, 解釋實(shí)際問題, 從而預(yù)測(cè)和描述某些現(xiàn)象, 甚至社會(huì)現(xiàn)象中的特定特質(zhì). (4)必要時(shí)修改模型或?qū)栴}作進(jìn)一步探討.列方程常見的方法有: (1

20、)按規(guī)律列方程，在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所掌握, 并直接由微分方程進(jìn)行描述.我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問題列出微分方程.(2)微元分析法和任意區(qū)域上取積分的方法自然界中有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關(guān)系式來表達(dá)的.對(duì)于這類問題, 利用微元分析法, 通過已知的規(guī)律建立一些變量( 自變量與未知函數(shù)) 的微元之間的關(guān)系式, 然后再通過求極限的方法得到微分方程, 或等價(jià)地通過任意區(qū)域上求積分的方法來建立微分方程. (3)模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中, 許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不清楚，而且相當(dāng)復(fù)雜, 因而需要了解實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 提出各種

21、假設(shè).在一定的假設(shè)前提下, 給出實(shí)際現(xiàn)象所滿足的客觀規(guī)律, 然后根據(jù)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程. 在實(shí)際的微分方程建模過程中, 也往往是上述方法的綜合應(yīng)用.不論應(yīng)用哪種建模方法, 通常要根據(jù)實(shí)際問題中的情況, 作出一定的假設(shè)與簡(jiǎn)化,并把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)照驗(yàn)證和比較, 以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述解決實(shí)際問題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的目的.3.1 減肥的數(shù)學(xué)模型1. 問題的提出隨著人們生活水平的提高，普通百姓中減肥健美之風(fēng)日盛.但是眾多的的減肥手段、食品、飲料幾乎讓人們不知所措，有的達(dá)不到預(yù)期的效果，甚至產(chǎn)生不良的后果，以致報(bào)刊、電視、廣播經(jīng)常提醒人們：減肥要慎重.問如何建立減肥的數(shù)

22、學(xué)模型？2. 問題分析各種種族的不同性別人都有它自己體重的標(biāo)準(zhǔn)，但對(duì)亞洲人來說，超過標(biāo)準(zhǔn)體重的20%視為肥胖.“肥胖”從某種意義上說就是脂肪過多以致超過標(biāo)準(zhǔn).如果人吸收含過多熱量的食物，則人體中這些過多的熱量就會(huì)轉(zhuǎn)化為脂肪而使脂肪增加.為了減肥應(yīng)似乎少吃或不吃，但為了維持生命，就必須消耗一定的能量（熱量）維持最基本的新陳代謝，工作、學(xué)習(xí)及體育鍛煉也要消耗熱量.因此，減肥應(yīng)基于對(duì)飲食、新陳代謝、工作及體育鍛煉這些關(guān)系的正確分析基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行.減肥的數(shù)學(xué)模型就要由此入手來建立.3. 模型假設(shè)（1）設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是，其中用于新陳代謝（即自動(dòng)消耗），而從事工作、生活每天每kg

23、體重必須消耗的熱量，進(jìn)行體育鍛煉每天每kg體重消耗的熱量；（2）某人以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量的百分之白的有效，而1kg脂肪含熱量是42000J；（3）設(shè)體重是時(shí)間t的連續(xù)的可微函數(shù). 4、模型建立 顯然，某人每天體重的變化等于輸出熱量所產(chǎn)生的體重減去輸出熱量所消耗的體重，這里輸出熱量是指扣除了新陳代謝之外的凈吸收熱量，而輸出熱量就是進(jìn)行工作、生活以及體育鍛煉的總消耗量.由于1kg脂肪含熱量，故某人每天凈吸收脂肪量，每天每kg體重凈消耗脂肪量，進(jìn)而知在到的時(shí)間內(nèi)體重的變化為由此得體重變化的數(shù)學(xué)模型為(3.1)5.模型求解運(yùn)用分離變量法，解方程（3.1），有利用初始條件得于是得(3.2)注意到（3.2

24、）式兩端同號(hào)，指數(shù)因式為正，因此與同號(hào)，故有解得 (3.3) 下面再作進(jìn)一步的分析：對(duì)（3.3）式求導(dǎo)得(3.4)由式（3.1）、（3.3）及（3.4）可以對(duì)減增肥效分析如下：若，即每天凈吸收大于當(dāng)初總消耗，則體重增加；若，即每天凈吸收小于當(dāng)初總消耗，則體重減少； 若，即每天凈吸收等于總消耗，則體重不變；上述分析結(jié)果表明，只要適當(dāng)控制(進(jìn)食),（新陳代謝）,（工作生活），(體育鍛煉)，要是體重控制在某個(gè)范圍內(nèi)是“可能”的，而且從數(shù)學(xué)上看，衰減很快，一般在有限時(shí)間（例如34個(gè)月）內(nèi)體重就近似等于，因此為減肥，要減少，增大，有必要指出，市場(chǎng)上某些減肥藥可能在（新陳代謝）上做文章，從而具有某些速效，

25、然而人們的新陳代謝不能違反人體的生理規(guī)律，所以某些藥物強(qiáng)制性大幅度改變?nèi)梭w的新陳代謝反而給人體的健康造成不良后果.正確的減肥策略最主要是有一個(gè)良好的飲食、工作和鍛煉的習(xí)慣，即要適當(dāng)控制及，當(dāng)然，對(duì)于少數(shù)肥胖者和運(yùn)動(dòng)員來說，研究不傷身體的新陳代謝的改變也是必要的.3.2化工車間的通風(fēng)問題模型1.問題的提出在化工生產(chǎn)過程中，由于經(jīng)常要排出一些不利于環(huán)境的物質(zhì).為了保持車間內(nèi)的環(huán)境衛(wèi)生，必須實(shí)時(shí)通入大量的新鮮空氣，這就是通風(fēng)問題.設(shè)有一個(gè) 的車間，其中空氣中含有的,如需要在 分鐘后的含量不超過 .（設(shè)新鮮空氣中的含量為），問每分鐘應(yīng)通入多少的新鮮空氣？2.問題分析化工生產(chǎn)過程中，由于經(jīng)常要排除一些不

26、利于環(huán)境的物質(zhì)，保持車間的環(huán)境衛(wèi)生.就要通入大量的新鮮空氣，研究通風(fēng)的規(guī)律.3.模型建立引入下列符號(hào)：時(shí)間時(shí)的濃度；通入的空氣量；車間的體積 的初濃度；解決這個(gè)問題主要依據(jù)下列兩個(gè)物質(zhì)平衡式：新鮮空氣的濃度；增量 = 加入量 - 排出量 （1）流進(jìn)（或排出）量 = 流進(jìn)（或排出）速度×濃度×時(shí)間 （2）現(xiàn)在考慮在時(shí)間間隔內(nèi)的進(jìn)入量與排出量.由（2）式知的進(jìn)入量的排出量在瞬間，的總量等于；在瞬間，的總量等于.所以在這段時(shí)間內(nèi)，的增量為.4.模型求解根據(jù)上述分析，由（1）式可得或即(3)上述方程是一階變量可分離方程. 顯然初始條件是容易求解得(4)上式就是這個(gè)車間中空氣中的濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 從（4）式可解出，得(5)將下列數(shù)值：代入（5）式，得5.模型總結(jié)也就是說每分鐘應(yīng)通入的新鮮空氣，就能在分鐘后，使車間內(nèi)的 含量不超過 .實(shí)際上所需的新鮮空氣量，比上面的數(shù)要小.因