常微分方程在數學建模中的應用

1、 北方民族大學學士學位論文 論文題目: 常微分方程在數學建模中的應用 院(部)名 稱: 信息與計算科學學院 學 生 姓 名: 馬木沙 專 業(yè): 信計 學 號: 20093490 指導教師姓名: 魏波 論文提交時間: 論文答辯時間: 學位授予時間: 北方民族大學教務處制摘 要本文利用常微分方程和數學建模二者之間的聯(lián)系，了解微分方程的一般理論、微分方程解的存在惟一性、微分方程的穩(wěn)定性問題、通過幾個典型的數學模型如：人口模型、減肥的數學模型、化工車間通風模型、傳染病的傳播模型及定性分析等例子來體現(xiàn)微分方程在數學建模中的應用. 用數學理論解決實際生活中的問題.微分方程的出現(xiàn)以及運用微分方程在數學建模中

2、的應用，就是為了更好地使更多的人理解并運用數學理論，更好的解決實際生活中的問題.努力在各個領域利用并滲透數學知識的廣泛運用.關鍵詞：常微分方程，數學建模，數學模型 Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of

3、differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential

4、equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary peop

5、le to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in

6、 various fields.Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.目錄第一章 緒論41.1背景及意義41.2本文研究的主要內容4第二章 微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究62.1 微分方程的一般理論62.1.1微分方程的一般形式6212微分方程解的存在惟一性72.2人口模型10第三章 常微分方程在數學建模中的應用123.1 減肥的數學模型133.2化工車間的通風問題模型15第四章 總結17參考文獻18致 謝19第一章 緒論1.1背景及意義常微分方程的發(fā)展、形成與許

7、多學科都有著密切的聯(lián)系，例如幾何學、物理學、化學、生物學、經濟學甚至電子科技、航天航空等.為數學的分支學科常微分方程的發(fā)展起著深刻而重要的影響，特別是計算機的發(fā)展更為常微分方程的應用及理論研究提供有力的工具.數學若想解決實際的許多問題，就要通過觀察研究實際對象的特征和內在的關系規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數學模型.而在數學模型求解的問題上，常微分方程是最重要的知識工具.因此繼續(xù)探討研究常微分方程在數學建模中的應用依然是有著及其重要的學術價值和及其深刻的現(xiàn)實意義.目前，已有很多學者對此方面進行了研究，例如，朱美玲在太遠城市職業(yè)技術學院報中簡要介紹了常微分方程的發(fā)展和數學建模的過

8、程以及常微分方程在數學建模中的一些應用,并對數學建模在數學教學中的地位和作用作了一些展望；王英霞在才智2011年12期中介紹常微分方程的發(fā)展、數學建模的特點;重點介紹了常微分方程與數學建模相互結合,在不同的領域中的相關的具體例子,總結常微分方程在數學建模中的重要性；趙家林在中國科教創(chuàng)新導刊2009年第1期中描述了客觀是的數量關系的一種重要數學模型.數學領域的中心學科常微分方程至今已有近 300 年的發(fā)展歷史，為了尋求、解決類似自由落體下落過程中下落距離和時間的函數關系；研究火箭在空中飛行時的飛行軌道等這類實際性的問題，往往就要求我們找到滿足某些特定條件的一個或多個未知數方程，為了解決這類實際問

9、題從而產生了微分方程.把含有未知函數及未知函數導數或微分的方程稱之為微分方程.微分方程是在處理實際問題的過程中產生的, 微分方程的研究又促進實際問題的解決,同時也促進其他學科的發(fā)展.1.2本文研究的主要內容本文通過對常微分方程、數學模型、以及常微分方程在數學建模中應用的介紹，如：微分方程的一般理論、微分方程解的存在惟一性、微分方程的穩(wěn)定性問題、人口模型、減肥的數學模型、化工車間的通風問題模型等.發(fā)現(xiàn)應用數學理論研究解決實際過程中的問題.而一切數學模型的建立和求解，都是為了更好的應用數學理論指導實際生活.常微分方程的出現(xiàn)以及常微分方程在數學建模中的廣泛應用，就是為了更好地使普通人理解并利用數學理

10、論，更好的解決實際中的問題.把理論升華為由知識型向能力型轉化，突顯微分方程以及微分方程在數學建模中的應用，努力在各個領域做出突出重大貢獻.本文共分為四個章節(jié)：第一章，對全文進行概述，介紹了常微分方程在數學建模中的應用的背景和意義、國內外的研究現(xiàn)狀以及本文研究的主要內容. 第二章，微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究. 第三章，常微分方程在數學建模中的應用. 第四章，全文綜述、總結.第二章 微分方程的基本理論及穩(wěn)定性研究2.1 微分方程的一般理論 微分方程是研究函數變化規(guī)律的有力工具，有著廣泛的實際應用.針對所研究的對象建立微分方程模型是解決問題的第一步，實際中只有求出微分方程的解才能對所研究的問題進

11、行解釋說明.一般說來，求微分方程的解析解是困難的，大多數的微分方程需要數值方法來求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在唯一性和穩(wěn)定性問題. 2.1.1微分方程的一般形式 一階微分方程 (2.1)其中是和的已知函數，為初始條件，又稱定解條件。一介微分方程組 (2.2)又稱為一階正規(guī)方程組.如果引入向量則方程（2.2）可以寫為簡單的形式 (2.3)即與方程（3、1）的形式相同，當n=1時為方程（2.1）.對于任一高階的微分方程如果記，即可化為一階方程組的形式。一般解法如下：例1.求方程組解 將變量分離得兩邊積分，即得因而，通解為這里c是任意正常數.或者解出y，寫出顯函數形式的解 212微分方程解

12、的存在惟一性正規(guī)方程組（2.3）的解在什么條件下存在，且惟一呢？有下面的定理.定理2.1（Cauchypeano） 如果函數在上連續(xù)，則方程組（2.3）在上有解滿足初值條件，此處 定理3.2 如果函數在 上連續(xù)，且滿足利普希茨（Lipschitz）條件（即存在正常數L使得，其中，則方程組（2.3）滿足初值條件 的解是惟一的。 2.1.3微分方程的穩(wěn)定性問題在實際問題中，微分方程所描述的是物質系統(tǒng)的運到規(guī)律，在用微分方程來研究這個物理過程中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，而不得不忽略一些人為次要的因素，這種次要的因素通常稱為干擾因素，這些干擾因素在實際中可以瞬時的起作用，也可持續(xù)的起作用.從

13、數學上來看，前者會引起初值條件的變化，而后者會影響微分方程本身的變化，在實際問題中，干擾因素是客觀存在的，由此可見，對于它的影響程度的研究的必要的，即初值條件或微分方程的微小變化是否也只是引起對應解的微小變化？這就是微分方程的穩(wěn)定性問題，這里仍以方程組（2.3）為例討論.(1)有限區(qū)間的穩(wěn)定性如果在某個有限的區(qū)域內連續(xù)，且對滿足禮普希茨條件，是方程組（2.3）的一個特解，則當充分接近于時，方程組（2.3）在上滿足初值條件的解 有即對，總存在相應的，當時，對一切有此時稱方程組（2.3）的解在有限區(qū)間上是穩(wěn)定的。(3)漸進穩(wěn)定性如果方程組（2.3）解在無限區(qū)間上是穩(wěn)定的，且存在，當時，有則稱是漸進

14、穩(wěn)定的，或稱局部漸進穩(wěn)定性。如果上述（或給定的一個有限常數），則相應的漸進穩(wěn)定性稱為全局穩(wěn)定性（或大范圍穩(wěn)定性）.(4) 經常擾動下的穩(wěn)定性對于方程組（2.3），考慮相應的方程組(2.4)這里的稱為擾動函數。如果對任意給定的，總存在和，使得當時有則方程組（2.4）有滿足初值條件的解。且當時有就說方程組（2.3）的特解在經常擾動下是穩(wěn)定的。(5) 研究穩(wěn)定性的方法 實際中，要研究方程組(2.3)的解的穩(wěn)定性問題，可以轉化為研究方程零解的穩(wěn)定性問題，事實上：對于方程組（2.3）的任一特解，只要令，則顯然有，故方程組（3.3）變?yōu)?2.5)于是可知方程組（2.3）的解對應于方程組（3.5）為。因此，

15、要研究方程組（3.3）的的穩(wěn)定性問題可轉化為研究方程組（3.5）的平凡解的穩(wěn)定性問題。如果微分方程組的所有解都能簡單的求出來，一個特解的穩(wěn)定性問題并不難解決，然而，實際中這種情況太少了，由此，一般性的穩(wěn)定性問題研究是復雜的，通常的情況下都是針對具體問題做相應研究，下面通過例子作為解釋說明.例.2 考慮一階非線性方程組這里線性近似方程組的特征方程為或由此得赫爾維茨行列式根據定理，特征方程所有根均有負實部，由定理知零解為漸進穩(wěn)定的.2.2人口模型英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯（Malthus）在擔任牧師期間，查看了當地教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料，發(fā)現(xiàn)了這樣一個現(xiàn)象：人口出生率是一個常數.在1978年

16、他發(fā)表了人口原理一書，其中提出了聞名于世的Malthus人口模型.他的基本假設是：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（單位時間內人口的凈增長數與人口總數之比）是常數，計此常數為r（生命系數）.在到這段時間內人口數量的增長量為于是滿足微分方程(2.6)將上式改寫為為于是和變量被分離，兩邊積分得這里為任意常數，由對數的定義，上式變?yōu)?2.7)其中，因亦是方程（2.6）的解，因此可以是任意常數。如設初始條件為時，(2.8)代入上式可得，即方程（2.6）的滿足初值條件（2.8）的解為(2.9) 如果，上式說明人口總數將按指數規(guī)律無限增長.將以年或10年為單位離散化，那么可以說，人口數是以為公比的等比

17、數列增加的.當人口總數不大時，生存空間，資源等及充裕，人口總數指數地增長是可能的，但當人口總數非常大時，指數增長的線性模型則不能反映這樣一個事實：環(huán)境所提供的條件 只能供養(yǎng)一定數量的人口生活，所以Malthus模型在很大時是不合理的.荷蘭生物學家Verhulst引入常數（環(huán)境最大容納量）表示自然資源條件所能容納的最大人口數，并假設凈相對增長率為即相對增長率為，即相對增長率隨的增加而減少，當時，凈增長率。按此假設，人口增長的方程應改為(2.1.0)這就是logistic模型，當與相比很大時，與相比可以忽略，則模型變?yōu)镸althus模型；但當與相比不是很大時，這一項就不能忽略，人口急劇增加的速率要

18、緩慢下來。我們用logistic模型來預測地球未來人數。某些人口學家估計世界人口的自然增長率，而統(tǒng)計得到世界人口在1960年為29.8億。增長率1。85%，由logistic有，可得，即世界人口總量為82.3億，由（2.1.0）式右端為二次多項式，以時為頂點，當時人口增長率增加；當時人口增長率減少，即人口增長到時增長率將逐漸減少，結果相符。第三章 常微分方程在數學建模中的應用常微分方程來源于生產實踐，在解決科學技術的許多問題中發(fā)展并逐步完善，用微分方程解決實際問題一般分為以下幾步：第一，實際問題的分析及提出；第二，根據問題的規(guī)律建立微分方程（稱為建立數學模型）；第三，解此微分方程或對方程進行定

19、性分析；第四，最后再用方程的解（或性質）解釋并預測問題的發(fā)展.數學建模是微分方程解決實際問題的最主要的途徑.下面說明建模方法:微分方程建模是數學建模的重要方法與應用, 許多實際問題的數學描述將導致求解微分方程的定解問題.把形形色色的實際問題化微分方程的定解問題, 大體上可以按以下幾步:(1) 根據實際問題建立對應的數學模型 微分方程(組). (2) 求解與研究這一數學模型, 包括分析解的特征. (3) 利用解得結果, 解的形式和數值, 進行定性研究與分析, 解釋實際問題, 從而預測和描述某些現(xiàn)象, 甚至社會現(xiàn)象中的特定特質. (4)必要時修改模型或對問題作進一步探討.列方程常見的方法有: (1

20、)按規(guī)律列方程，在數學、力學、物理、化學等學科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所掌握, 并直接由微分方程進行描述.我們常利用這些規(guī)律對某些實際問題列出微分方程.(2)微元分析法和任意區(qū)域上取積分的方法自然界中有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關系式來表達的.對于這類問題, 利用微元分析法, 通過已知的規(guī)律建立一些變量( 自變量與未知函數) 的微元之間的關系式, 然后再通過求極限的方法得到微分方程, 或等價地通過任意區(qū)域上求積分的方法來建立微分方程. (3)模擬近似法在生物、經濟等學科中, 許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不清楚，而且相當復雜, 因而需要了解實際資料或大量的實驗數據, 提出各種

21、假設.在一定的假設前提下, 給出實際現(xiàn)象所滿足的客觀規(guī)律, 然后根據適當的數學方法列出微分方程. 在實際的微分方程建模過程中, 也往往是上述方法的綜合應用.不論應用哪種建模方法, 通常要根據實際問題中的情況, 作出一定的假設與簡化,并把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證和比較, 以修改模型使之更準確地描述解決實際問題并進而達到預測預報的目的.3.1 減肥的數學模型1. 問題的提出隨著人們生活水平的提高，普通百姓中減肥健美之風日盛.但是眾多的的減肥手段、食品、飲料幾乎讓人們不知所措，有的達不到預期的效果，甚至產生不良的后果，以致報刊、電視、廣播經常提醒人們：減肥要慎重.問如何建立減肥的數

22、學模型？2. 問題分析各種種族的不同性別人都有它自己體重的標準，但對亞洲人來說，超過標準體重的20%視為肥胖.“肥胖”從某種意義上說就是脂肪過多以致超過標準.如果人吸收含過多熱量的食物，則人體中這些過多的熱量就會轉化為脂肪而使脂肪增加.為了減肥應似乎少吃或不吃，但為了維持生命，就必須消耗一定的能量（熱量）維持最基本的新陳代謝，工作、學習及體育鍛煉也要消耗熱量.因此，減肥應基于對飲食、新陳代謝、工作及體育鍛煉這些關系的正確分析基礎上，選擇適當的方法進行.減肥的數學模型就要由此入手來建立.3. 模型假設（1）設某人每天從食物中攝取的熱量是，其中用于新陳代謝（即自動消耗），而從事工作、生活每天每kg

23、體重必須消耗的熱量，進行體育鍛煉每天每kg體重消耗的熱量；（2）某人以脂肪形式儲存的熱量的百分之白的有效，而1kg脂肪含熱量是42000J；（3）設體重是時間t的連續(xù)的可微函數. 4、模型建立 顯然，某人每天體重的變化等于輸出熱量所產生的體重減去輸出熱量所消耗的體重，這里輸出熱量是指扣除了新陳代謝之外的凈吸收熱量，而輸出熱量就是進行工作、生活以及體育鍛煉的總消耗量.由于1kg脂肪含熱量，故某人每天凈吸收脂肪量，每天每kg體重凈消耗脂肪量，進而知在到的時間內體重的變化為由此得體重變化的數學模型為(3.1)5.模型求解運用分離變量法，解方程（3.1），有利用初始條件得于是得(3.2)注意到（3.2

24、）式兩端同號，指數因式為正，因此與同號，故有解得 (3.3) 下面再作進一步的分析：對（3.3）式求導得(3.4)由式（3.1）、（3.3）及（3.4）可以對減增肥效分析如下：若，即每天凈吸收大于當初總消耗，則體重增加；若，即每天凈吸收小于當初總消耗，則體重減少； 若，即每天凈吸收等于總消耗，則體重不變；上述分析結果表明，只要適當控制(進食),（新陳代謝）,（工作生活），(體育鍛煉)，要是體重控制在某個范圍內是“可能”的，而且從數學上看，衰減很快，一般在有限時間（例如34個月）內體重就近似等于，因此為減肥，要減少，增大，有必要指出，市場上某些減肥藥可能在（新陳代謝）上做文章，從而具有某些速效，

25、然而人們的新陳代謝不能違反人體的生理規(guī)律，所以某些藥物強制性大幅度改變人體的新陳代謝反而給人體的健康造成不良后果.正確的減肥策略最主要是有一個良好的飲食、工作和鍛煉的習慣，即要適當控制及，當然，對于少數肥胖者和運動員來說，研究不傷身體的新陳代謝的改變也是必要的.3.2化工車間的通風問題模型1.問題的提出在化工生產過程中，由于經常要排出一些不利于環(huán)境的物質.為了保持車間內的環(huán)境衛(wèi)生，必須實時通入大量的新鮮空氣，這就是通風問題.設有一個 的車間，其中空氣中含有的,如需要在 分鐘后的含量不超過 .（設新鮮空氣中的含量為），問每分鐘應通入多少的新鮮空氣？2.問題分析化工生產過程中，由于經常要排除一些不

26、利于環(huán)境的物質，保持車間的環(huán)境衛(wèi)生.就要通入大量的新鮮空氣，研究通風的規(guī)律.3.模型建立引入下列符號：時間時的濃度；通入的空氣量；車間的體積 的初濃度；解決這個問題主要依據下列兩個物質平衡式：新鮮空氣的濃度；增量 = 加入量 - 排出量 （1）流進（或排出）量 = 流進（或排出）速度×濃度×時間 （2）現(xiàn)在考慮在時間間隔內的進入量與排出量.由（2）式知的進入量的排出量在瞬間，的總量等于；在瞬間，的總量等于.所以在這段時間內，的增量為.4.模型求解根據上述分析，由（1）式可得或即(3)上述方程是一階變量可分離方程. 顯然初始條件是容易求解得(4)上式就是這個車間中空氣中的濃度與時間的函數關系. 從（4）式可解出，得(5)將下列數值：代入（5）式，得5.模型總結也就是說每分鐘應通入的新鮮空氣，就能在分鐘后，使車間內的 含量不超過 .實際上所需的新鮮空氣量，比上面的數要小.因