數(shù)學(xué)與思維能力的培養(yǎng)

1、數(shù)學(xué)與思維能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)是一門語言精確、抽象性、邏輯思維性強的學(xué)科。數(shù)學(xué)的學(xué)科特性決定了數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性、抽象性的最好途徑。數(shù)學(xué)學(xué)科在基礎(chǔ)教育中所處的地位也決定了必須充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在學(xué)生思維能力發(fā)展中的作用。（一）數(shù)學(xué)：數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)恩格斯給數(shù)學(xué)下過一個經(jīng)典性的定義，“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”。恩格斯指出，數(shù)學(xué)的目的是以純粹的形式研究量的關(guān)系和空間形式，所以，數(shù)學(xué)從它的實際內(nèi)容中被抽象了出來。對于數(shù)學(xué)而言，球是用什么材料造成的無關(guān)緊要，重要的是球形幾何體本身；同樣，對于數(shù)學(xué)而言，函數(shù)是由哪種自然過程的變化形成的也無關(guān)緊要，重要的是函數(shù)本身?！盀榱四軌驈募兇獾?/p>

2、狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)緊要的東西放在一邊；這樣，我們就得到?jīng)]有長寬高的點、沒有厚度和寬度的線、a和b與x和y，即常數(shù)和復(fù)數(shù)”。所以，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)中的任何一種數(shù)，自然數(shù)、整數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)，這些數(shù)中的任何一個數(shù)字，自身并沒有什么特定的含義，只是作為一個符號，反映著現(xiàn)實世界中事物之間的數(shù)量關(guān)系。比如一個自然數(shù)9，在數(shù)學(xué)中，它可以代表世界上任何一個數(shù)目為9的東西，而不管這個東西具有什么樣的屬性。9個蘋果、9本書、9個人、9個城市、9個國家，9的含義都是一樣的。“形”也是如此。一個正方體，可以代表一

3、個房子的空間大小，也可以代表一個容器中液體的量的多少。一個數(shù)學(xué)公式，如X=YxZ，可以表示路程、速度和時間之間的關(guān)系，也可以表示長方形的面積與長和寬之間的關(guān)系，還可以表示其他一切具備這種乘積性質(zhì)的事物之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)就是用數(shù)和形，反映著現(xiàn)實世界中事物之間的關(guān)系。作為一門以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對象的科學(xué)，需要一種在“純粹的狀態(tài)中”研究的能力，即撇開研究對象的一切其他特性而只著眼于數(shù)量關(guān)系和空間形式的能力。這種能力，正是在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)和發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)抽象思維能力。（二）數(shù)學(xué)思維的特性：抽象性愛因斯坦說過，為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊的尊重，一個理由是它的命題是絕

4、對可靠和無可爭辯的數(shù)學(xué)之所以獲得高于其他學(xué)科的聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密的自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，那些學(xué)科是達(dá)不到那么高的可靠性的。在數(shù)學(xué)中，哪怕最微小的誤差也不能被忽略，因為最微小的誤差也有可能出現(xiàn)結(jié)果的“謬之千里”。正是數(shù)學(xué)語言和命題的高度可靠、精確的特性，使得數(shù)學(xué)成為訓(xùn)練學(xué)生思維抽象性的最好途徑。也就是加里寧說的，數(shù)學(xué)可以使人的思想“紀(jì)律化”，能教會人們合理地去思維。即數(shù)學(xué)是鍛煉思維的“體操”。體操能夠使人的身體健康，動作靈敏，數(shù)學(xué)能夠使人的思維正確敏捷。在數(shù)學(xué)中，關(guān)注的主要是把現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式抽取出來，事物的其他屬性則不在考慮的范圍內(nèi)，這就是數(shù)學(xué)

5、抽象的過程。數(shù)學(xué)的抽象形成了數(shù)學(xué)中的概念、關(guān)系、定理、方法、符號等思維結(jié)果。抽象性是數(shù)學(xué)本身的特點，抽象思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主要思維形式。我們用下面兩個例題來說明數(shù)學(xué)思維的抽象性。例l.猜帽子星期天，貝貝的爸爸給貝貝和她的兩個好朋友蘇蘇和莉莉做猜帽子的游戲。他拿出五頂帽子，兩頂紅的，三頂白的。然后叫貝貝、蘇蘇、莉莉排成一列縱隊，貝貝在前，蘇蘇居中，莉莉排在最后。先叫她們都閉上眼睛，并分別給他們各戴上一頂帽子，然后把其余兩頂藏了起來。再叫她們睜開眼睛，但規(guī)定只準(zhǔn)朝前看。這樣，莉莉可看到蘇蘇和貝貝戴的帽子，蘇蘇可看到貝貝戴的帽子，而貝貝卻誰的帽子都看不見。爸爸先問蘇蘇：“你頭上戴的帽子是什么顏色？”

6、蘇蘇想了很久，答不出來。爸爸又要莉莉說出頭上所戴帽子的顏色，莉莉也答不出來。最后爸爸問貝貝，貝貝想了一下，馬上就說：“我頭上戴的帽子是白色的！”爸爸說：“好，貝貝答對了！”你能說出貝貝的思考過程嗎？根據(jù)題意，蘇蘇和貝貝所戴帽子的顏色，組合起來只有下表所示的四種可能。如果是第一種情況，那么莉莉應(yīng)立即知道自己頭上戴的帽子是白色的，因為只有兩頂紅帽子。如果是第二種情況，那么蘇蘇也應(yīng)當(dāng)立即根據(jù)莉莉的不能回答自己頭上帽子的顏色而排除了第一種情況，從而可判斷出自己頭上的帽子是白色的。現(xiàn)在蘇蘇也不能回答，這樣又排除了第二種情況。因此，貝貝就可以根據(jù)蘇蘇、莉莉的態(tài)度，排除了自己頭上的帽子是紅色的情況，所以肯定

7、說自己頭上戴的是白色帽子。例2.哥尼斯堡橋問題德國的哥尼斯堡城，位于布雷格耳河的河岸以及這兩條河中的兩個島上。城區(qū)由七座橋聯(lián)結(jié)起來，大體上如下圖所示，周圍景色宜人，旅游的人很多。有人提出是否可由某地出發(fā)，經(jīng)過每座橋一次而不重復(fù)，又能回到原基地。這個尋求最理想的游覽路線問題，當(dāng)時沒有人能夠解決，成為一個難題。后來消息傳到瑞士大數(shù)學(xué)家尤拉那里，他證明了這樣的游覽路線是根本不可能存在的，這一問題才算得以解決。尤拉是怎么證明這樣的游覽路線是不存在的呢？如何添加橋才能找到理想的游覽路線？問題是這樣解決的：尤拉把七橋問題抽象成為了一個“一筆畫”問題。如在下圖中，七橋問題實際上就是從A、B、C、D 四點中某

8、一點出發(fā)，不重復(fù)地經(jīng)過每條邊一次，最后正好返回出發(fā)點。設(shè)城區(qū)的四個部分以A、B、C、D來表示，我們所關(guān)心的只是過橋問題，所以不妨就以這四個點來代表城區(qū)，如下圖所示，圖中兩點間所聯(lián)結(jié)的線就來代表橋，這樣就得到一個網(wǎng)絡(luò)圖，問題就轉(zhuǎn)化為這個網(wǎng)絡(luò)圖是否能用一筆就把它畫出來。人們一般把網(wǎng)絡(luò)聯(lián)結(jié)線的交點分成兩類：一類是有偶數(shù)條線和它相連的點，把它叫做偶點；一類是有奇數(shù)條線與之相連的點，就叫做奇點。顯然，對于偶點來說，有一條線進(jìn)必有一條線出，而對于奇點，則必有一條線只進(jìn)不出或只出不進(jìn)，這種奇點最多只能作為始點或終點。一個網(wǎng)絡(luò)圖中，如果奇點數(shù)只有兩個或沒有奇點時，就可一筆畫成，如奇點數(shù)有三個或三個以上時，則一

9、定有某些奇點不能“通過”。我們由上圖可以看到，A、B、C、D四點都是奇點，因此人們尋找的理想游覽路線是根本不存在的。如果要想找到這種理想的游覽路線，那么還需“架橋”。例如上圖中在B、D和A、C間多架一橋如虛線所示，則四點都變成偶點，這樣的理想游覽路線就可找到了。這兩個例子都是把實際問題抽象成了純數(shù)學(xué)的問題，從而找到了解決的辦法。從中我們可以看出，沒有抽象思維能力，很多數(shù)學(xué)問題根本就無法解決。當(dāng)然，抽象并不是數(shù)學(xué)所獨有的特點，凡是科學(xué)基本上都有抽象，比如物理學(xué)，研究物體的勻速直線運動，經(jīng)由抽象得到三個物理量之間的關(guān)系S=V·T。但物理學(xué)中的抽象不同之處在于不能脫離具體的物理量，而數(shù)學(xué)則

10、是進(jìn)一步撇開具體的量而得出更為抽象的量的關(guān)系，如x=a·b。這個x=a·b就不只可以用來表示勻速直線運動S=V·T的關(guān)系。所以，數(shù)學(xué)的抽象是“撇開對象的其他一切特性”、“完全脫離自己的內(nèi)容”的“極度抽象”，抽象性成為數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)思維的最為突出的特征。這道題，看上去很復(fù)雜，靠猜測是找不到答案的。正確的思考方法是，把數(shù)量關(guān)系抽象出來，用數(shù)學(xué)中排列組合的最基本知識，很快就可以解決了。（三）數(shù)學(xué)課對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)：以問題解決為核心數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，它的產(chǎn)生是從生活當(dāng)中的實際問題開始的。古人結(jié)繩計數(shù)為的是要知道生產(chǎn)與生活用品的數(shù)量。幾何學(xué)在埃及萌芽是為了解決尼羅河流域的土

11、地測量問題。我國秦漢時期的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)和九章算術(shù)，都是當(dāng)時的數(shù)學(xué)家解決生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的成果匯集。因此，數(shù)學(xué)的核心就是問題。數(shù)學(xué)因問題而生，數(shù)學(xué)的目的則是解決問題。數(shù)學(xué)成為學(xué)科之后，仍然有著突出的以問題為核心的特征。在這樣的一門學(xué)科中，學(xué)生思維能力的發(fā)展，最令人信服的就是問題解決能力的提高。所以，數(shù)學(xué)課對學(xué)生的思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，不但要通過解決問題來實現(xiàn)，而且最終以問題的解決為目的。這是數(shù)學(xué)同其他學(xué)科相比，在思維能力培養(yǎng)方面一個最為明顯的特征。所以，重視問題解決能力成為各國數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的一個顯著特點，也是國際數(shù)學(xué)教育改革的一個熱點問題。數(shù)學(xué)課究竟應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力？從學(xué)

12、生的認(rèn)識過程和思維過程看，對于一個問題的解決，一般要經(jīng)過這樣幾個階段：第一，對問題的理解，即“審題”階段；第二，產(chǎn)生一個解決問題的假設(shè)，即“明確思路”階段；第三，將假設(shè)付諸實施，即動手“解題”階段；第四，對解題思路、方法和結(jié)果進(jìn)行檢驗，即“反思”階段。要成功的解決問題，這四個階段都是非常關(guān)鍵的。第一階段的審題即對問題的理解，是解決問題的整個思維活動的開端。能不能正確的理解題意，弄清題目所提出的條件、問題以及條件和問題之間的關(guān)系是問題能否得以解決的先決條件。在這一階段，學(xué)生的思維活動應(yīng)該循著這樣一條路線：問的是什么？已經(jīng)知道了什么？要解決問題，必須具備什么樣的條件和數(shù)據(jù)？題目已經(jīng)提供的條件和數(shù)據(jù)

13、是不是夠用？如果不夠，還需要哪些條件？要讓學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心審題的習(xí)慣。為了更明確理解題意，可以通過畫圖、運用符號和線條等直觀的方式將條件和問題表示出來，以幫助分析和思考。第二階段的明確思路是解決問題的過程中思維活動最為緊張、最為活躍的階段。主要是要在已知和未知之間建立起聯(lián)系，并建構(gòu)一個解決問題的整體計劃。在這一階段，學(xué)生清楚了題意之后，要能夠迅速將問題同已有的知識關(guān)聯(lián)起來，明確這一問題的解決需要用到的是哪個方面、哪一部分的知識，并能夠準(zhǔn)確回憶相關(guān)知識。對于這個階段的思維活動，G波利亞曾經(jīng)在他設(shè)計的一個“怎樣解題”表中有過一段詳盡的描述。你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道

14、與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)

15、導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？波利亞的這段話，用一連串問題和一系列建議，講出了理清解題思路應(yīng)該采取的思維程序。從中可以看出，解題的過程，就是想方設(shè)法將問題進(jìn)行簡化和轉(zhuǎn)化，最終歸結(jié)到先前熟悉的問題或知識那里，借助于已有的知識和經(jīng)驗，使問題獲得解決的過程。第三個階段動手解題階段，就是將已經(jīng)形成的解題設(shè)想用語言或文字等外化的形式表示出來。第四個階段對整個解題過程進(jìn)行驗證和反思?？唇Y(jié)論是否可以逆推

16、，是不是可以用另一種方法得到同樣的結(jié)果。對整個審題、解題思路和解題過程再次進(jìn)行梳理。提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，學(xué)生在以上解題的四個階段中的能力缺一不可。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以“審題”、“明確思路”、“解題”、“反思”這四個方面的思維能力為重心，將這四種能力的提高滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的整個過程當(dāng)中去。以這四種能力的提高為基礎(chǔ)，提高學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)思維能力。四）數(shù)學(xué)教學(xué)改革設(shè)想應(yīng)試教育對我國的數(shù)學(xué)教學(xué)也產(chǎn)生了深刻的影響。它以考試為目的，以分?jǐn)?shù)作為評價學(xué)習(xí)的尺度，教學(xué)內(nèi)容受到考試的牽制，不考的就不教；只重視解題，不注意理論聯(lián)系實際；忽視基本的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)；教學(xué)大搞題海戰(zhàn)術(shù)，死套題型

17、，猜題壓題；致使學(xué)生負(fù)擔(dān)過重，學(xué)習(xí)枯燥無味，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，不利于學(xué)生生動活潑地學(xué)習(xí)，嚴(yán)重影響了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，也束縛了數(shù)學(xué)教學(xué)改革的步伐。早在20世紀(jì)70年代，蘇聯(lián)在制定國家數(shù)學(xué)教學(xué)目的時就提出，“第一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；第二，使學(xué)生獲得繼續(xù)受高等教育和參加實際活動所必需的深刻而鞏固的數(shù)學(xué)科學(xué)初等基礎(chǔ)理論知識，以及把這些理論知識應(yīng)用到各種具體情況的技能和技巧；第三，使學(xué)生理解現(xiàn)代技術(shù)和現(xiàn)代生產(chǎn)的科學(xué)基礎(chǔ)?！睆闹形覀兛梢钥闯?，在數(shù)學(xué)教學(xué)目的中，學(xué)生的思維能力的發(fā)展是被列在首位的。而且，相比高等學(xué)校的數(shù)學(xué)來說，中學(xué)數(shù)學(xué)對于這個目的的實現(xiàn)更是起著舉足輕重的作用。這個數(shù)學(xué)教學(xué)目的對我們

18、國家今天的數(shù)學(xué)教學(xué)改革是有啟示意義的。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)改革正是應(yīng)該把學(xué)生思維能力的發(fā)展放在第一位。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)缺點之一，在于沒有教給學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)方法。只是把書本上的定理、法則讓學(xué)生背會、記牢，將課本上的例題、練習(xí)題讓學(xué)生熟練掌握。為了應(yīng)付考試，還有的甚至不管學(xué)生理解與否，或者根本不要求學(xué)生必須理解，只是通過反復(fù)多遍練習(xí)的方法讓學(xué)生背記題目、解題過程和答案。因而學(xué)過數(shù)學(xué)之后，學(xué)生只是學(xué)到了各種題目的具體解法，并沒有掌握數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維，因而解決問題的水平并沒有得到提高。表現(xiàn)之一就是，如果考學(xué)生曾經(jīng)做過的題目，則可以正確解答，因為答案就在記憶中；而如果問題稍作變換，就不知如何下手了。而之所以會出現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)沒有教給學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)方法，原因之一正在于數(shù)學(xué)教學(xué)法本身的不科學(xué)。所以，為了教會學(xué)生思維，數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破口應(yīng)該定位在探索科學(xué)的教學(xué)方法上。在指導(dǎo)思想上，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把數(shù)學(xué)結(jié)果的教學(xué)變?yōu)閿?shù)學(xué)過程的教學(xué)。應(yīng)該明確，數(shù)學(xué)問題的解決并非數(shù)學(xué)教學(xué)的全部目的，數(shù)學(xué)教學(xué)不是要專門地、孤立地解決數(shù)學(xué)問題，而是在于，