生成式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

1、生成式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)一次“眾數(shù)、中位數(shù)”教學(xué)嘗試上海市恒豐中學(xué) 沈岱曹治安摘要：在“眾數(shù)、中位數(shù)”教學(xué)中，我們的教學(xué)策略是：創(chuàng)設(shè)問題情境，揭示數(shù)學(xué)概念的來源；提供探究任務(wù)，明晰數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵；組織變式訓(xùn)練，深化數(shù)學(xué)概念的理解；回歸問題原型，加強(qiáng)學(xué)生情感體驗(yàn)。關(guān)鍵詞: 比較研究 建構(gòu)主義 一、研究的背景1中美數(shù)學(xué)教學(xué)的一些基本特征20世紀(jì)80年代以來，中國的數(shù)學(xué)教學(xué)基本上以“接受式”為主，后來“啟發(fā)式”有所發(fā)展，近來人們認(rèn)識(shí)到“活動(dòng)式”教學(xué)的重要性。而美國的數(shù)學(xué)教學(xué)一貫重視讓學(xué)生自主探索和自主發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)1。下面，我們以“眾數(shù)、中位數(shù)”教學(xué)為例說明中美兩種不同理念下的教學(xué)設(shè)計(jì)。2“眾數(shù)

2、、中位數(shù)”的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)中國的一種“眾數(shù)、中位數(shù)”2設(shè)計(jì)過程為：（1）創(chuàng)設(shè)情景、提出問題；（2）合作討論、探索新知；（3）理性概括、納入系統(tǒng)；（4）指導(dǎo)應(yīng)用、鼓勵(lì)創(chuàng)新：（5）歸納小結(jié)、反思提高。而美國的一種“眾數(shù)、中位數(shù)”3設(shè)計(jì)為：（1）提供開放性活動(dòng)的任務(wù)工作單；（2）探討“發(fā)現(xiàn)”的方法與規(guī)律；（3）組織探究過程；（4）實(shí)施探究任務(wù)。比較上述兩種設(shè)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)他們之間的一些差異（如表一所示）。表一 中美對(duì)“眾數(shù)、中位數(shù)”的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)之比較中國“課例大家評(píng)眾數(shù)、中位數(shù)”美國“賦予各種集中量數(shù)的意義”優(yōu)點(diǎn)不足優(yōu)點(diǎn)不足1教師通過對(duì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來體現(xiàn)自己的主導(dǎo)作用。進(jìn)行“學(xué)疑結(jié)合

3、”、“學(xué)思結(jié)合”、“學(xué)用結(jié)合”的學(xué)法指導(dǎo)。2其知識(shí)的系統(tǒng)性、教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度都較高，數(shù)學(xué)思想方法有所體現(xiàn)與貫穿。3課堂容量與密度大，“雙基”訓(xùn)練多。1學(xué)生的探究活動(dòng)少，缺少對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程的體驗(yàn)。2課堂中學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、探究知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系等方面的機(jī)會(huì)少。3學(xué)生直面數(shù)學(xué)困惑并挑戰(zhàn)難關(guān)的主動(dòng)性很少能夠被激發(fā)與調(diào)動(dòng)起來。1教師呈現(xiàn)探究任務(wù)，學(xué)生在研究的情境中探究某個(gè)概念的意義。2學(xué)生參與到提出猜想、檢驗(yàn)猜想、推理證明的過程之中。3教師參與到學(xué)生的小組活動(dòng)之中，施以必要的幫助。1教學(xué)組織比較凌亂、課堂容量小，任務(wù)實(shí)施大多數(shù)時(shí)間處于無組織不系統(tǒng)的探究水平之上。2學(xué)生很少能夠清晰而明白地說出猜想

4、的理由，不少學(xué)生的探究處于盲目的狀態(tài)。3學(xué)生難以增進(jìn)對(duì)建立與檢測(cè)猜想過程的理解。3教學(xué)內(nèi)容的考慮教學(xué)目標(biāo)（1）從生活故事中產(chǎn)生問題，在遭遇問題過程中自主發(fā)現(xiàn)疑問，產(chǎn)生渴望建立新概念的要求，借此培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的探索習(xí)慣與質(zhì)疑事件的敏銳性；（2）引導(dǎo)學(xué)生建立新概念，在交流討論中領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵與外延，通過合作探究來建構(gòu)概念，培養(yǎng)學(xué)生的交流表達(dá)能力；（3）回歸生活實(shí)踐，解決實(shí)際問題，把知識(shí)內(nèi)化為一種能力。（4）營造數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中平等對(duì)話、和諧互動(dòng)的氛圍。滲透建構(gòu)主義理念和歸納猜想的數(shù)學(xué)思想方法。幫助學(xué)生樹立全面發(fā)展、學(xué)科相互借鑒和相互促進(jìn)的意識(shí)，養(yǎng)成科學(xué)思維的習(xí)慣。教學(xué)內(nèi)容地位分析與重難點(diǎn)解讀眾數(shù)、

5、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)特征量。面對(duì)描述某個(gè)對(duì)象或某件事情的一組數(shù)據(jù)，可以利用這幾個(gè)基本概念幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說話。平均數(shù)的概念在學(xué)生頭腦中已有較深的印象和基本認(rèn)識(shí)，不再講解，本節(jié)課的重點(diǎn)在于眾數(shù)與中位數(shù)的求法與應(yīng)用；眾數(shù)與中位數(shù)概念的形成與定義既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。如果教師開門見山給出定義，既不利于學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)能力的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，誤解成數(shù)學(xué)概念是天上掉下的餡餅。中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是能夠理解“數(shù)學(xué)源于生活，又反作用于生活”，學(xué)生建構(gòu)概念時(shí)能夠用他們自己的語言表述科學(xué)概念的含義，不求遣詞的生動(dòng)，只求表達(dá)的準(zhǔn)確和易于理解。因此，(1)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知

6、特點(diǎn)，筆者將概念解讀為以下兩個(gè)說法：1眾數(shù)是代表大多數(shù)的數(shù)，即重復(fù)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；2按大小排列后的一組數(shù)據(jù)居正中的一個(gè)數(shù)據(jù)或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)來表示中位數(shù)。二、教學(xué)設(shè)計(jì)我們追求一種有意義的活動(dòng)式學(xué)習(xí)，主動(dòng)建構(gòu)，進(jìn)行必要地變式訓(xùn)練，重過程亦重獲得。我們主張課堂教學(xué)應(yīng)“以學(xué)生為本”，以促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)、自主研究、自主發(fā)展作為出發(fā)點(diǎn)而實(shí)施探究活動(dòng)；以“教師組織教學(xué)是為了有利于學(xué)生有意義的活動(dòng)式學(xué)習(xí)、主動(dòng)積極建構(gòu)”而實(shí)施合作學(xué)習(xí)；以有效提高學(xué)習(xí)質(zhì)量為歸宿點(diǎn)而進(jìn)行變式訓(xùn)練。我們以如下的想法作為我們的設(shè)計(jì)支柱。1、創(chuàng)設(shè)問題情景，揭示數(shù)學(xué)概念來源教師為了激起學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，最有效的方法就是“重視教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活

7、的聯(lián)系”（顧泠沅面向21世紀(jì)上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教育改革行動(dòng)綱領(lǐng)），即創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生引起認(rèn)知沖突，直面數(shù)學(xué)困惑，置身于渴望解決問題的情境之中。為此我們?cè)O(shè)計(jì)了“廣告策劃員的工資該定為多少”的問題情景，問題的解決轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的爭論：學(xué)生用已有的知識(shí)直接解決問題存在爭議，用創(chuàng)造性的知識(shí)解決問題又存在疑問，這激起了他們對(duì)解決矛盾的迫切愿望。我們創(chuàng)設(shè)了小張到某公司應(yīng)聘的如下問題情景： 誠 聘上海安化廣告有限公司由于業(yè)務(wù)發(fā)展需要，現(xiàn)向社會(huì)公開招聘一名廣告策劃員。要求：熟悉平面設(shè)計(jì)與辦公自動(dòng)化軟件、大專以上學(xué)歷、男女不限、待遇從優(yōu)。 2003-5-1小張應(yīng)征而來，向總經(jīng)理詢問一些情況?？偨?jīng)理說：“我們

8、這里經(jīng)濟(jì)效益好，待遇不錯(cuò)，員工月平均工資2500元。只要你干得好，公司不會(huì)虧待你。不過，你得先試用一周”。小張工作幾天后，公司通知小張說他的月薪為2000元。小張很有情緒地找到總經(jīng)理說：“你欺騙了我，你不是說月平均工資為2500元嘛，怎么才給我2000元呢?”總經(jīng)理說：“小張，員工月平均工資就是2500元，不會(huì)錯(cuò)的，我不可能騙你。至于你的工資，公司決定按全體員工的一般工資水平2000元給你。不信，我可以給你看我們的工資統(tǒng)計(jì)表?！边呎f邊拿出一張表格給小張看。上海安化廣告有限公司2003年4月工資發(fā)放統(tǒng)計(jì)表員工總經(jīng)理部門經(jīng)理設(shè)計(jì)員業(yè)務(wù)員文秘總計(jì)人數(shù)（人）141012330月工資（元）7000400

9、0250020001000合計(jì)（元）7000160002500024000300075000討論的問題：小張的工資該定為多少？2、提供探究任務(wù)，明晰數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵為保護(hù)和鼓勵(lì)學(xué)生的個(gè)人能動(dòng)性并提高課堂效率，我們要求學(xué)生自主或小組合作學(xué)習(xí)，利用工作表推導(dǎo)出“眾數(shù)、中位數(shù)”意義。從而在某種程度上利用以前的學(xué)習(xí)，對(duì)新信息進(jìn)行精制，并與其他信息關(guān)聯(lián)起來，以便在保持簡單信息的同時(shí)，理解復(fù)雜信息；學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到了自己的工作目標(biāo)，就可以形成與獲得所希望的成果相應(yīng)的預(yù)期從一組數(shù)集猜想，利用別的數(shù)集驗(yàn)證或糾正猜想，使合作學(xué)習(xí)取得成功。由此讓學(xué)生熟悉歸納猜想的數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)克服困難的興奮與團(tuán)結(jié)協(xié)作的價(jià)值。我

10、們提供的工作單如下：表二 中位數(shù)、眾數(shù)意義根據(jù)下列各組數(shù)據(jù)，推測(cè)眾數(shù)、中位數(shù)的意義。A組：2、3、10、12、17眾數(shù)：無 中位數(shù)：10B組1、2、2、5、6、7、8眾數(shù)：2 中位數(shù)：5C組：1、1、9、6、11眾數(shù)：1 中位數(shù)：6D組：3、6、8、9、10、11眾數(shù)：無 中位數(shù)：8.5E組：2、15、12、2、8眾數(shù)：2 中位數(shù)：8F組：8、2、12、15、2眾數(shù)：2 中位數(shù)：8G組：6、6、1、8、8、7、7、7、4、6眾數(shù)：6、7 中位數(shù)：6.5H組：5、5、5、5、5、5眾數(shù)：5 中位數(shù)：53、回歸問題原型，實(shí)施適度的變式訓(xùn)練為確保授課的完整性，我們?cè)诠膭?lì)學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過

11、探究明白了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)之后，再回到問題情境之中，解決問題。為了鞏固學(xué)習(xí)成果和檢驗(yàn)遷移水平，我們將情境改造，形成“貌似神非”和“貌非神是”的新問題，加強(qiáng)變式訓(xùn)練。訓(xùn)練題如下：1 小張的工資按經(jīng)理的意思該定為多少？2 如果將表格改為下表，銷售員的月銷售改定為多少？并說明理由。上海商場(chǎng)2003年6月電冰箱的試銷售情況統(tǒng)計(jì)表銷售臺(tái)數(shù)3891112 33人數(shù)13115513若為下表，該選誰做班長？并說明理由。班級(jí)班長候選人得票數(shù) 候選人徐聽奉獻(xiàn)張以淼劉錚錚選票數(shù)3161074、嘗試文理互補(bǔ)，深化數(shù)學(xué)概念的理解“二期課改”強(qiáng)調(diào)中學(xué)各學(xué)科要有機(jī)整合。我們用錄像片斷呈現(xiàn)故事情景，結(jié)尾部分通過兩首詩幫助學(xué)生理

12、解兩個(gè)概念，在用數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的同時(shí)，又以詩的語言加深印象。師生合作小結(jié)，既有利于學(xué)生鞏固建構(gòu)成果，又有利于學(xué)生精煉建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)。下面是我們歸納的兩首詩：表三 中位數(shù)、眾數(shù)的描述詩眾 數(shù)中 位 數(shù)三人為眾眾表多，眾數(shù)含義我來說。一群好漢選首領(lǐng)，眾數(shù)當(dāng)然做大哥。大哥大哥該是誰？數(shù)數(shù)誰家兄弟多：沒有大哥別傷心；一個(gè)大哥最好過；幾個(gè)大哥也好說。一群好漢鬧嚷嚷，兄弟依次排成行。中位數(shù)啊中位數(shù)，不當(dāng)尾來不稱王，膽小如鼠站中央。兄弟9個(gè)你老5，前怕狼來后怕虎；10個(gè)兄弟又咋辦，老5老6平均算。5自主評(píng)價(jià)通過自主評(píng)價(jià)，促使學(xué)生反思他們的體驗(yàn)和獲得的知識(shí)等，提高反思性學(xué)習(xí)的能力。三、課堂活動(dòng)的分析（一）課堂教學(xué)行為

13、的變化在課堂教學(xué)實(shí)施過程中，策略型學(xué)習(xí)的建構(gòu)主義思想得到了充分的體現(xiàn)：討論的開放度，平等對(duì)話、和諧互動(dòng)的課堂教學(xué)氛圍，學(xué)生長時(shí)間保持較高的思維水平都給我們留下了深刻的印象。下面我們分兩個(gè)環(huán)節(jié)來說明。1基于問題情境，學(xué)生從不同的角度提供不同的解決方案，多觀點(diǎn)交鋒在學(xué)生各小組仔細(xì)琢磨了錄像情境中的問題后，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽設(shè)想自己的解決方案，并對(duì)學(xué)生的回答作評(píng)價(jià)或總結(jié)。請(qǐng)看片斷：師：小張的工資該定為多少呢？下面我們一起來聽聽大家的意見。生1：我們認(rèn)為經(jīng)理應(yīng)該給小張開2500元的月薪。因?yàn)?500元代表員工工資平均水平，也就是全體員工的一般水平。（有學(xué)生反駁：如果比爾.蓋茨來我們班級(jí)，我們平均就有幾十

14、億美元了，這幾十億美金是我們班級(jí)的一般水平嗎？）（全班學(xué)生大笑）師（笑）：反駁的有道理，舉例也很生動(dòng)。看樣子，一般水平并非就是平均水平生2：我們認(rèn)為小張的月薪可以定為2000元。因?yàn)楣局袠I(yè)務(wù)員最多，有12個(gè)人，他們的工資都是2000元，少數(shù)服從多數(shù)。所以2000元合理。（大家部分贊成，部分反對(duì)，有學(xué)生低聲說設(shè)計(jì)員也有10人呢，不算少數(shù)）師：很有道理，第二小組給出了一個(gè)數(shù)學(xué)概念眾數(shù)，很了不起的，極富創(chuàng)造力。下面我們?cè)僖黄饋砺犅犉渌庖?。?：我們認(rèn)為總經(jīng)理工資太高，不該把他的工資算進(jìn)月平均工資，應(yīng)該扣除。再去掉一個(gè)最低工資，平均工資應(yīng)該是（75000-7000-1000）（30-2）2393（

15、元）這個(gè)工資代表一般水平，更合理些。（許多同學(xué)笑：不對(duì)。你以為是跳水比賽，要去掉最高分，去掉最低分?）師：很好，同學(xué)們，第三小組能夠把運(yùn)動(dòng)員評(píng)分規(guī)則用到這里，說明我們的同學(xué)學(xué)習(xí)很靈活，肯動(dòng)腦筋，我們都要學(xué)習(xí)這種精神數(shù)學(xué)上習(xí)慣稱這種平均數(shù)為截尾平均數(shù),但2393代表工資的一般水平是不是最合理，好像還有不同的意見。生4：我們認(rèn)為一般水平就是中等水平。我們把30個(gè)員工的工資從高到低排列后，中間有兩個(gè)值：第15人為2500元，第16人為2000元。取哪一個(gè)都不好，我們就取它們的平均值：2250元。這種做法是我們討價(jià)還價(jià)的結(jié)果，合不合理請(qǐng)大家批評(píng)指正。（很多學(xué)生很佩服發(fā)言人的創(chuàng)新精神與設(shè)計(jì)能力，頻頻點(diǎn)頭

16、；也有同學(xué)說哪有這么復(fù)雜）師：這種理解有獨(dú)到之處，邏輯合理，不簡單！他們算出的這個(gè)2250就是這30個(gè)工資數(shù)的中位數(shù)。（老師將它寫在黑板中央）我們已經(jīng)有四種意見了，讓我們?cè)俾犅爠e的意見。生5：小張是不是名牌大學(xué)畢業(yè)的，工作能力強(qiáng)不強(qiáng)？找工作最講這個(gè)！我表哥復(fù)旦大學(xué)畢業(yè)的，做廣告，月薪就是5000。我認(rèn)為廣告策劃工作工資可以拿到5000元一個(gè)月，當(dāng)然要看他是那個(gè)大學(xué)畢業(yè)的，是否工作能力強(qiáng)（學(xué)生都笑：這個(gè)問題又不是數(shù)學(xué)問題，他吹牛不打草稿）在上述活動(dòng)中，學(xué)生根據(jù)自己熟悉的知識(shí)以及課堂以外見過的其他類型的知識(shí)，提供解決問題的方案并能夠闡述理由，學(xué)生分別提供了5個(gè)方面的內(nèi)容，開放度較大。2平等對(duì)話，促

17、進(jìn)了學(xué)生元認(rèn)知的發(fā)展；自主探究，始終使學(xué)生處于高認(rèn)知水平的活動(dòng)中。通過師生、生生對(duì)話，對(duì)多種問題解決策略進(jìn)行分析和比較，探索合理的問題解決策略或方案。從如下教學(xué)片斷可見一斑。（1）師：好！我們一起來聽聽大家對(duì)眾數(shù)的理解，希望舉例說明。（2）生6：眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，如B組、C組（3）師：有不同觀點(diǎn)的請(qǐng)發(fā)表意見。（4）學(xué)生7：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多且至少達(dá)兩次的數(shù)，只出現(xiàn)一次的不是眾數(shù)，如A組、D組（5）師：講得很好(板書“眾數(shù)”概念)我們?cè)倏匆豢搓P(guān)于眾數(shù)大家還能夠發(fā)現(xiàn)什么有趣的特點(diǎn)？（6）生8：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有多個(gè)，如G組，我還可以舉個(gè)例子：2，2，3，3，4，4的眾

18、數(shù)是2、3、4。（7）學(xué)生9：幾組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能一樣，如B組、E組與F組。（8）學(xué)生10：一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)交換位置后眾數(shù)不變，如E組與F組。（9）學(xué)生11：同一個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)就是這個(gè)數(shù)，如H組。（10）教師：大家講得都很對(duì)。接下來我們談?wù)剬?duì)中位數(shù)的理解（11）學(xué)生12：中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中最中間的一個(gè)數(shù)或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（12）學(xué)生13：不對(duì)，要先排列(老師示意他講)要將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，再找最中間的一個(gè)數(shù)或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（13）教師（點(diǎn)頭）：能否說得更準(zhǔn)確些？（看到大部分同學(xué)開始沉默，老師作提示）我的意思是說，何時(shí)取最中間一個(gè)數(shù)，何時(shí)取最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)？（14）

19、學(xué)生14：奇數(shù)個(gè)時(shí)取最中間一個(gè)數(shù)，偶數(shù)個(gè)時(shí)取最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。（15）教師：對(duì)了，再請(qǐng)問能不能按從大到小排列？（學(xué)生15立即回答：能。其他同學(xué)也同意。）誰來歸納一下中位數(shù)的含義？（片刻）（16）學(xué)生15：所謂中位數(shù)，就是按大小順序排列后的一組數(shù)據(jù)，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，最中間一個(gè)數(shù)就是中位數(shù)，若有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。（17）教師（板書）：很好。簡單的說，將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列后，最中間一個(gè)數(shù)（奇數(shù)個(gè)）或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個(gè)），就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。請(qǐng)問：從小到大排列后的9個(gè)數(shù)，中位數(shù)是哪一個(gè)？（18）學(xué)生（齊答）：第5個(gè)。（19）教師：從小到大排列后的16個(gè)

20、數(shù)，中位數(shù)是哪一個(gè)？（有學(xué)生說是第8個(gè)，有學(xué)生說是第9個(gè)，有學(xué)生說是第8第9兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）（20）教師（提示）：16是奇數(shù)還是偶數(shù)？（學(xué)生：偶數(shù)）中位數(shù)該是多少？（學(xué)生：第8第9兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）注意：偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，中位數(shù)是按大小排列后的正中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（在概念處劃線）。再問：從小到大排列后的n個(gè)數(shù)，中位數(shù)是哪一個(gè)？想好了請(qǐng)舉手回答。（約兩分鐘后）（21）學(xué)生16：從小到大排列后的n個(gè)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)是第個(gè)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)是第與第+1個(gè)數(shù)的平均數(shù)。（22）教師：很好。（并將學(xué)生17的回答板書在黑板上）大家再看一看關(guān)于中位數(shù)還能夠發(fā)現(xiàn)什么有趣的特點(diǎn)？并舉例來支持你的說法。（2

21、3）學(xué)生17：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，只有一個(gè)值。（其他學(xué)生齊答：同意）（24）學(xué)生18：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)可能相同，如H組。（其他學(xué)生齊答：同意）（25）教師：我也有幾個(gè)講法，大家看對(duì)不對(duì)？（1）兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，則兩組數(shù)據(jù)相同（生答：不對(duì)）（2）中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)最中間的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。（生答：不對(duì)，要先按大小排列）好的，大家對(duì)眾數(shù)與中位數(shù)有了概念性的認(rèn)識(shí)。接下來我們總結(jié)一下（板書）：（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。（2）平均數(shù)反映的是平均水平，中位數(shù)反映的是中等水平（或一般水平），眾數(shù)反映的是最大頻率數(shù)（或最大權(quán)重?cái)?shù)）。因此應(yīng)該根據(jù)

22、不同的場(chǎng)合選用不同的數(shù)據(jù)指標(biāo)。接下來我們看一看上課初提到的問題，相信大家會(huì)作出合理的決策。好，現(xiàn)在再看工作表一，小張的工資按總經(jīng)理的意思應(yīng)該怎么給？（26）學(xué)生：（片刻，基本上是齊答）給中位數(shù)：2250元。（27）教師：好的。我們用掌聲祝賀第四小組的英明決策。同時(shí)感謝其他幾個(gè)小組給我們帶來的好主意，如果不按總經(jīng)理的講法，其他幾組的意見也是可行的。使問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，強(qiáng)調(diào)意義與推理學(xué)生從某個(gè)例子出發(fā)進(jìn)行自主猜想、再選擇另外的例子進(jìn)行主動(dòng)驗(yàn)證。通過師生合作學(xué)習(xí)，學(xué)生從多角度理解了眾數(shù)與中位數(shù)的意義。四、教師授課理念1傳統(tǒng)的教育觀逐步轉(zhuǎn)向建構(gòu)主義的教學(xué)觀教育觀念決定教育方式，教育方式

23、轉(zhuǎn)變的背后就是教育觀念的轉(zhuǎn)變。第一次教學(xué)設(shè)計(jì)更多地沿襲傳統(tǒng)的教育觀“接受式”：問題情景的作用僅僅在于引出新概念，然后就是“邊講邊練”，而第三次設(shè)計(jì)主要應(yīng)用了建構(gòu)主義的教學(xué)策略“活動(dòng)式”：問題情景的作用貫穿首尾，以高思維水平的探究替代模仿性質(zhì)的邊講邊練。建構(gòu)主義的教學(xué)側(cè)略隨處可見：錄像情景接近真實(shí)，問題因素復(fù)雜，體現(xiàn)了“教學(xué)應(yīng)該基于內(nèi)容的真實(shí)性與復(fù)雜性”。教師對(duì)錄像情景的引導(dǎo)：“請(qǐng)大家小組交流，分別站在小張和總經(jīng)理兩人的角度提出和數(shù)學(xué)有關(guān)的問題”體現(xiàn)了方法的導(dǎo)引性與支撐性。針對(duì)錄像情景，教師提要求：“你們小組的問題有幾個(gè)？想問的問題是什么？你們有無該問題的解決方案或自己的觀點(diǎn)”,以及教師啟發(fā)學(xué)生

24、給“截尾平均數(shù)”起名字都體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的豐富性、挑戰(zhàn)性與開放性。教師對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)頗多,評(píng)價(jià)的激勵(lì)功能充分彰顯。整堂課中的師生交流與小組合作學(xué)習(xí)體現(xiàn)了平等、合作和交流學(xué)習(xí)共同體的初步形成。2設(shè)計(jì)思想的轉(zhuǎn)變通過多次反思，教學(xué)設(shè)計(jì)漸趨合理。第一次設(shè)計(jì)基本上是“自起爐灶”，憑借以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教師個(gè)人的喜好或愿望來設(shè)計(jì)，而第三次設(shè)計(jì)是“站在別人的肩膀上”的。下面簡要說明：（1）“中西結(jié)合”：教學(xué)過程充分挖掘了原有兩個(gè)課例的優(yōu)點(diǎn)，批判性地繼承了兩種不同文化背景下的優(yōu)良傳統(tǒng)，既彰顯了扎實(shí)的“雙基”訓(xùn)練的特色，又借鑒了美國教學(xué)“培養(yǎng)學(xué)生的自主探索、自主創(chuàng)新”的長處。（2）“對(duì)話”與“合作”：課堂中兩次

25、典型的小組合作學(xué)習(xí)，一是問題情境的討論，二是探究任務(wù)工作單的小組學(xué)習(xí)。充分體現(xiàn)了“對(duì)話”與“合作”的教學(xué)理念。3課堂關(guān)注點(diǎn)的轉(zhuǎn)變（1）由以往關(guān)注教師對(duì)知識(shí)的傳授轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生探索新知；如，第一次設(shè)計(jì)代表了傳統(tǒng)的教學(xué)處理方式：注重教師如何對(duì)“眾數(shù)、中位數(shù)”概念要點(diǎn)的剖析，而第三次設(shè)計(jì)關(guān)注的是教師如何引導(dǎo)學(xué)生理解“眾數(shù)、中位數(shù)”的來源及如何推測(cè)“眾數(shù)、中位數(shù)”的意義。（2）由第一次設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生對(duì)新知識(shí)的解題應(yīng)用，關(guān)注變式訓(xùn)練的量，而第三次教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生是否積極參與體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，關(guān)注變式訓(xùn)練的質(zhì)，減少了重復(fù)訓(xùn)練。（3）由只關(guān)注結(jié)果是否正確即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度，轉(zhuǎn)變?yōu)橐碴P(guān)注學(xué)生

26、學(xué)習(xí)體會(huì)的發(fā)散性與開放性，關(guān)注學(xué)生思維中的閃光點(diǎn)。本節(jié)課關(guān)注的是學(xué)生答案中的閃光點(diǎn)，關(guān)注的是學(xué)生思維過程中的合理成分。如下面這個(gè)教學(xué)片斷：教師要求學(xué)生給計(jì)算（75000-7000-1000）（30-2）2393時(shí)用到的平均數(shù)起個(gè)名字。（片刻，重復(fù)學(xué)生提到的名稱）：運(yùn)動(dòng)員計(jì)分法去掉頭尾的平均數(shù)折衷平均數(shù)中間平均數(shù)還有嗎？沒了。大家都開動(dòng)了腦筋，講得都很好，我們數(shù)學(xué)上習(xí)慣的提法是截尾平均數(shù)（老師將它寫在黑板右側(cè)），大家講的與這個(gè)名稱很接近。 五、結(jié)論與討論我們把這種通過創(chuàng)設(shè)情境，問題提出及探究來揭示概念的發(fā)生和發(fā)展過程的教學(xué)稱之為“發(fā)生式的數(shù)學(xué)概念”教學(xué)。通過上述分析，我們體會(huì)到通過這種教學(xué)模式，

27、學(xué)生積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)教學(xué)之中。經(jīng)過從情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，自主探索概念，適當(dāng)變式訓(xùn)練，同學(xué)們經(jīng)歷了合作學(xué)習(xí)、反思修正、積極建構(gòu)的過程，展現(xiàn)了“數(shù)學(xué)從生活中來，又還原于生活”的樸實(shí)真理，是實(shí)施二期課改精神的一種積極探索。這種教學(xué)策略在體現(xiàn)新課程理念時(shí)具有如下特點(diǎn)。1促進(jìn)探究活動(dòng)任務(wù)驅(qū)動(dòng)與探究活動(dòng)改善了學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，給學(xué)生提供了一個(gè)體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的機(jī)會(huì)。知識(shí)是自己用心血換來的勞動(dòng)成果，因此學(xué)生在探究過程中獲得的任何經(jīng)驗(yàn)，即使極其細(xì)微也都渴望被肯定、被尊重，老師適時(shí)的鼓勵(lì)與贊許給予了他們極大的強(qiáng)化。學(xué)生經(jīng)歷了探究的艱辛，同時(shí)品嘗到了挑戰(zhàn)成功的愉悅感與成就感。這種心理體驗(yàn)將大大促進(jìn)以后的探究

28、活動(dòng)，甚至對(duì)學(xué)生探究習(xí)慣的養(yǎng)成都有極其重要的影響。在這方面，“發(fā)生式的數(shù)學(xué)概念探究課”展示的情景生動(dòng)，學(xué)生從生活故事中產(chǎn)生問題，在遭遇問題過程中自主發(fā)現(xiàn)疑問，產(chǎn)生渴望建立新概念的要求，老師恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)促進(jìn)了探究活動(dòng)的進(jìn)行。2優(yōu)化知識(shí)建構(gòu)學(xué)生在小組交流討論中要樹立權(quán)威就需要不斷優(yōu)化自己的意見，韋納指出：“自己應(yīng)該在學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用”是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)與情感。這將有利于他們領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵與外延，通過合作探究來建構(gòu)概念，共享探究成果。另一方面教師適時(shí)引入數(shù)學(xué)思想方法無疑有助于優(yōu)化知識(shí)構(gòu)建?！扒榫嘲l(fā)現(xiàn)法的數(shù)學(xué)概念探究課”采用工作單，讓學(xué)生相互合作競(jìng)爭，對(duì)“眾數(shù)”與“中位數(shù)”的意義進(jìn)行推敲，采用歸納

29、猜想的數(shù)學(xué)思想方法，多角度、多層次地加以斟酌，效果很好，學(xué)生體會(huì)很深。師生之間的直接對(duì)話加大了交流的深度。3提高認(rèn)知水平由于“發(fā)生式的數(shù)學(xué)概念探究課”中探究活動(dòng)與小組討論需要學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)要有理性認(rèn)識(shí)，能用自己的語言進(jìn)行敘述與解釋，在某些環(huán)節(jié)甚至要求學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)要有實(shí)質(zhì)性認(rèn)識(shí)并能與已有數(shù)學(xué)知識(shí)建立起聯(lián)系，并在新的情景中靈活應(yīng)用。討論與交流的需要保持了學(xué)生思維的緊張度，拉動(dòng)學(xué)生積極思維，在客觀上提高了學(xué)生的認(rèn)知水平。然而，在設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中，我們也感覺到有些問題需要進(jìn)一步講論。首先，教師在學(xué)生的探究活動(dòng)中應(yīng)該扮演一個(gè)什么樣的角色，應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生施加多大力度的干預(yù)，其分寸較難把握，教師始終惦記著教學(xué)任務(wù)是否能夠及時(shí)完成，操練是否還有足夠的時(shí)間。其次，這種課的普遍實(shí)用性在主要以考試分?jǐn)?shù)衡量教學(xué)質(zhì)量的