年全國1卷理科數(shù)學詳解詳析

1、絕密 啟用前2017 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷 5 頁， 23 小題，滿分150 分?？荚囉脮r120 分鐘。注意事項： 1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B 鉛筆將試卷類型（ B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2作答選擇題時， 選出每小題答案后， 用 2B 鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；

2、不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合A= x|x<1，B= x|3x1，則A AB x | x0B ABRCAB x | x1DAB【考點 】：集合的簡單運算，指數(shù)函數(shù)【思路 】：利用指數(shù)函數(shù)的性質可以將集合B 求解出來，之后利用集合的計算求解即可?！窘馕?】：由 3x1x0 ，解得Bx x0，故而ABBx x0 , ABAx x1，選 A 。2如圖，正方形ABCD 內的圖形來自中國古代的太極圖.正

3、方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是1B 1A 8CD 424【考點 】：幾何概型【思路 】：幾何概型的面積問題，P= 基本事件所包含的面積?？偯娣eS11r 222，故而選 B 。【解析】： P=2rS83設有下面四個命題p1 ：若復數(shù) z 滿足1R ，則 zR ；p2 ：若復數(shù) z 滿足 z2R ，則 zR ；zp3 ：若復數(shù) z1 , z2滿足 z1z2 R ，則 z1z2 ；p4：若復數(shù) z R ，則 z R .其中的真命題為A p1 , p3B p1 , p4C p2 , p3D p2 , p4【考點 】：復數(shù)，簡

4、易邏輯【思路 】：將四個命題中的復數(shù)分別用基本形式假設即可。1a aRz1R ，真命題；【解析 】： p1 ：不妨設azp2 ：不妨設 z2a aRzaR a0，假命題；aiR a0p3 ：不妨設 z1a1bi1 , z2a2b2iz1z2a 1a 2bb12a 1b 2a 2b 1 iRa b1 2a b2 10，此時明顯不一定滿足b1b20，假命題。p4 ：不妨設 . zaRz aR ，真命題。故而選 B。4記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項和若 a4a524，S648 ，則 an 的公差為A 1B 2C4D 8【考點 】：等差數(shù)列，難度較小。【思路 】：將求和公式化簡即可得到公差。

5、6 a1a648a1a616a4a5a1a8 24 ，作差 a8a6 82dd4【解析】： S62，故而選 C。5函數(shù) f (x) 在 (,) 單調遞減，且為奇函數(shù)若f (1)1，則滿足 1f ( x2)1的 x 的取值范圍是A 2,2B 1,1C 0,4D 1,3【考點 】：函數(shù)不等式，函數(shù)的單調性?！舅悸?】：奇函數(shù)左右兩側單調性相同，根據(jù)奇函數(shù)的性質求解f ( 1)1，利用單調性代入不等式即可?！窘馕觥浚?fx21f 1fx2f11x211 x3 故而選 D。16展開式中x2的系數(shù)為6 (12 )(1x)xA 15B20C30D 35【考點 】：二項式定理?！舅悸贰浚簩?1x6的通項求解

6、出來即可。【解析】：1rrrrrxr 2 ，r2rr15x24rr 215x2TrC6 x 可得整體的通項 C6 x、 C6C6 x，rC6 x，故而可得 x2的系數(shù)為為30，故選 C。7某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A 10B 12C14D 16【考點 】：立體圖形的三視圖，立體圖形的表面積?！舅悸?】：將三視圖還原即可?！窘馕?】：將三視圖還原可得右圖圖形，故而多面體有兩個面是梯形，1此時可得S 22 4 2 12,故而選 B。28右面程序框圖是為

7、了求出滿足 3n- 2n>1000 的最小偶數(shù) n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入A A>1 000 和 n=n+1B A>1 000 和 n=n+2C A1 000 和 n=n+1D A1 000 和 n=n+2【考點 】：程序框圖。【思路】：此題的難點在于考察點的不同，考察判斷框和循環(huán)系數(shù)。根據(jù)判斷條件可得為當型結構，故而判斷框中應該是A1 000，又題目要求為最小偶數(shù)，故而循環(huán)系數(shù)當為n=n+2?！窘馕觥浚哼x D。9已知曲線 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+2)，則下面結論正確的是3A 把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再

8、把得到的曲線向右平移個單位長度，6得到曲線 C2B把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，12得到曲線 C2C把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，26得到曲線 C2D把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，212得到曲線 C2【考點 】：三角函數(shù)的變換?！舅悸?】：熟悉兩種常見的三角函數(shù)變換，先變周期和先變相位不一致。先變周期： ycosxsinxysin2xy sin 2x2x2sin 222312先變相位： ycos xsinxysinx

9、2y sin26sin x2x2233【解析】：選 D。10已知 F 為拋物線 C： y2=4 x 的焦點，過 F 作兩條互相垂直的直線 l 1， l2 ，直線 l 1 與 C 交于 A、 B 兩點，直線 l2 與 C 交于 D 、 E 兩點，則 |AB |+|DE |的最小值為A 16B14C12D 10【考點 】：拋物線與直線的位置關系?！舅悸?】：由題意可得兩條直線的斜率一定存在且不為0，分別假設為 k 和 1，故而可得 l1 : ykx 1 ，kyk x1k 2x22k24 x k 20，假設 Ax1, y1, Bx2 , y2聯(lián)立4 x，故而根據(jù)韋達定理可y2得 x1 x22k 24

10、24，此時ABx1 x2 p 44，同理可得DE 44k2 ，故而k 2k 2k 2ABDE84k 2488 16 ，當且僅當 4k 24k 21k1 時取等號。k 2k 2【解析】：選 A 。11設 xyz 為正數(shù)，且2x3y5z ，則A 2x<3y<5zB 5z<2 x<3yC3y<5z<2xD 3y<2x<5z【考點 】：指對運算與不等式，計算量較大。xlog 2 m1log m 2【思路 】：將指數(shù)形式化簡即可求出三個變量，不妨設2x3y5zm1ylog 3 m1。將log m 3zlog5 m1log m 5三者代入答案即可解答。【解析

11、 】：分別可求得 2x213151logm 21 ,3 ylog m 31 ,5 z1，分別對分log m 22log m 33log m 5log m 5511母乘以30 可得 30log m 22log m 215 ,30log m 33log m 310 ,30log m 56 ，故而可得m 1log m 310log m 215log m 563 y 2x5z ，故而選 D 。3102155612幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件。為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣， 他們推出了 “解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動 .這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，

12、4， 1，2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， ，其中第一項是20，接下來的兩項是20， 21，再接下來的三項是 20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100 且該數(shù)列的前 N 項和為 2 的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A 440B330C220D 110【考點 】：行列式（楊輝三角）求和問題，計算量較大?！舅悸?】：將已知的數(shù)列列舉成行列式的形式，20第一行， 1 個數(shù)，求和為 2112021第二行， 2 個數(shù)，求和為 221202122第三行， 3 個數(shù)，求和為 23120212223第四行， 4 個數(shù)，求和為 2412021222324第五行，

13、5 個數(shù)，求和為251n 行， n 個數(shù)，求和為nn1n2故而可得，第2n 1 ，因此前 n 行，一共有個數(shù)，求和為 2n 12【解析 】：根據(jù)上面的分析，我們可以類推得到，前 14行，有 105 個數(shù)，求和為 21516，當 N110 時，求和為 21516251215172n前 20行，有 210 個數(shù)，求和為22122，當 N220 時，求和為221222101221210232n前 25行，有 225 個數(shù)，求和為22626，當 N330 時，求和為2262625122625272n前 29 行，有 435 個數(shù)，求和為 23031，當 N440 時，求和為 23031 251230，

14、故而選 A。二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量 a， b 的夾角為 60°， |a|=2， |b|=1，則 | a +2 b |=.【考點 】：向量的模長。【思路 】：牢記求解模長問題利用平方的思路，直接將所求的內容進行平方即可。2221a2b2 3 ?！窘馕?】： a 2ba4b4ab 4 442 112 ，故而模長為2x2 y114設 x，y 滿足約束條件2xy，則 z3x2 y 的最小值為.1xy 0【考點 】：簡單的線性規(guī)劃。【思路 】：根據(jù)約束條件，畫出可行域即可?！窘馕?】：如圖所示， 可行域為陰影部分， 令 z3x2 y 0l0 : y

15、3x 為初始直線， 當 l 0 向上平移時，2z 3x 2 y 逐漸變小，故而在點F1,1 處取到最小值 -5。x2y215已知雙曲線 C： a2b2 1（a>0，b>0）的右頂點為 A，以 A 為圓心，b 為半徑做圓 A，圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于M、N 兩點。若 MAN =60°，則 C 的離心率為 _?！?考點 】：圓錐曲線離心率問題?！?思路 】：利用角度計算可得答案。【解析】：如圖所示，過點A 作漸近線的垂線AB，由MAN60BAN30，又332AMbABb, OAa OBa2b，故而22b3 bb21b2232tanBOA，解得2e21。a2a3a

16、3a23 b216如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC 的中心為 O。 D、 E、 F 為圓O 上的點， DBC ，ECA，F(xiàn)AB 分別是以 BC，CA，AB 為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以 BC，CA，AB 為折痕折起 DBC ，ECA，F(xiàn)AB，使得 D 、E、F 重合，得到三棱錐。當 ABC 的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 _。【考點 】：立體幾何體積計算，函數(shù)與導數(shù)綜合?！舅悸?】：根據(jù)題意可得 DBC ，ECA，F(xiàn)AB 分別全等，故而可得三棱錐是正三棱錐，斜高即為三個三角形的高，即為DG ，高為OD （右圖）。不妨設三角

17、形ABC 的邊長為 a0a5 3 ，此時在左圖中， OG3 a, DGROG53 a,53 a3 a0a53 ，故而正三棱錐的高33332OD 'D 'G2OG 22510 3 a ，此時即可計算體積。3【解析 】：根據(jù)體積公式可得 VD ' ABC13 a225103 a325a4103 a5 ，利用函數(shù)性質343123可得，假設 fa25a4103 a5f ' a 50a33 a2，故而當 a23 時取最大值 15 cm3。33三、解答題：共70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為

18、選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。a217（ 12 分） ABC 的內角 A， B， C 的對邊分別為a， b， c，已知 ABC 的面積為3sin A（ 1）求 sinBsinC;（ 2）若 6cosBcosC=1 ， a=3 ，求 ABC 的周長 .【 考點 】：解三角形。【 思路 】：根據(jù)三角形面積公式可以求得第一問，第二問直接利用余弦定理求解即可。【解析】：（ 1）由題意可得S ABC1 bc sin Aa2，化簡可得2a23bc sin 2 A ，根據(jù)正弦定理化簡23sin A可得： 2sin 2 A 3sin B sinCsin 2 Asin BsinC2。3si

19、n B sinC2312（ 2）由cos Acos ABsin B sinCcosB cosCA，因此可得123cosB cosC6BC ，將之代入 sin BsinC2中可得： sin3Csin C3sin C cosC1sin2 C 0 ，化簡33223C, B，利用正弦定理可得ba313 ，同理可得 c3 ，可得 tan Csin B32366sin A2故而三角形的周長為3 23 。18.（ 12分）如圖，在四棱錐P-ABCD 中， AB/CD ，且BAPCDP90 .（ 1）證明：平面PAB平面 PAD ；（ 2）若 PA=PD =AB=DC，APD90 ，求二面角A-PB -C 的

20、余弦值 .【考點 】：立體幾何，空間向量?！舅悸?】：（1）利用線面垂直的性質即可求得。（2）建立空間直角坐標系即可【解析 】：（1）AB / /CD , CDPDABPD ,又ABPA, PAPDP ,PA、 PD 都在平面 PAD內，故而可得（ 2）不妨設ABPAD 。又 AB 在平面 PAB 內，故而平面 PAB 平面 PAD 。PAPD AB CD 2a ，以 AD 中點 O 為原點， OA 為 x 軸， OP 為 z 軸建立平面直角坐標系。故而可得各點坐標： P 0,0,2a, A2a,0,0, B2a,2 a,0 , C2a,2 a,0，因此可得PA2 a, 0,2a ,PB2a

21、, 2a ,2a,PC2a , 2a ,，2a 假 設 平 面 PAB的法向量n1x, y,1 ，平面 PBC 的法向量 n2m,n,1n1PA2ax2a0x1，故而可得n1PB2ax2ay2a0，y 0n2PC2am2an2a0m00, 2即 n11,0,1 ，同理可得2，即 n2,1。因此法向n2PB2am2an2a0n22量的夾角余弦值：cos n1, n213 。很明顯，這是一個鈍角，故而可得余弦為3。2333219（ 12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位：cm）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生

22、產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N( , 2)（ 1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X 表示一天內抽取的16 個零件中其尺寸在(3,3) 之外的零件數(shù)，求 P( X1) 及 X 的數(shù)學期望；（ 2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查（）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（）下面是檢驗員在一天內抽取的16 個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951161616經(jīng)計算得 xxi 9.97

23、，s1(xix )21 (xi2 16x2 )20.212，其中 xi 為抽取16 i 116 i 116i1的第 i 個零件的尺寸，i1,2,16 用樣本平均數(shù)x 作為的估計值? ，用樣本標準差s 作為的估計值?，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除( ?3?, ?3 ?) 之外的數(shù)據(jù)， 用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到 0.01）附：若隨機變量Z 服從正態(tài)分布N (,2) ，則 P(3Z3) 0.997 4，0.997 4 160.959 2，0.0080.09 【考點 】：統(tǒng)計與概率?！舅悸?】：（ 1）這是典型的二項分布，利用正態(tài)分布的性質計算即可。（ 2）考察正態(tài)分布，代入運

24、算即可?！窘馕觥浚海?）P X 11 PX0 10.9974161 0.9592 0.0408由題意可得， X 滿足二項分布X B 16,0.0016，因此可得 EX 16,0.0016160.0016 0.0256（ 2） 由（ 1）可得PX 10.04085% ，屬于小概率事件，故而如果出現(xiàn)(3 ,3 )的零件，需1要進行檢查。 由題意可得9.97,0.21239.334,310.606，故而在9.334,10.606 范圍外2存在 9.22 這一個數(shù)據(jù)，因此需要進行檢查。此時：9.97169.22x1510.02 ，11515xx0.09 。i 120.（ 12 分）已知橢圓C：x2y2

25、=1（ a>b>0），四點 P1（ 1,1）， P2（ 0,1），P3（ 1，33a2b2）， P4（ 1，）中恰有22三點在橢圓 C 上 .（ 1）求 C 的方程；（ 2）設直線 l 不經(jīng)過 P2 點且與 C 相交于 A， B 兩點。若直線P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1，證明： l過定點 .【考點 】：圓錐曲線?！舅悸?】：（ 1）根據(jù)橢圓的對稱性可以排除P1（ 1,1）。（ 2）聯(lián)立方程即可，此時有兩種方法聯(lián)立，第一種，假設直線 AB 的方程，第二種假設直線P2A 和 P2B?！窘馕觥浚海?1）根據(jù)橢圓對稱性可得，P （1,1）P （1，3 ）不可能同時在橢圓上，P

26、（1，3 ），P （1， 3）1423242一定同時在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過P （ 0,1）， P（ 1，3 ），P （1，3 ），代入橢圓方程可得：2324213a2x2y21 。b 1,21，故而可得橢圓的標準方程為：a44（ 2）由題意可得直線P2A 與直線P2B 的斜率一定存在，不妨設直線P2A 為： ykx1, P2B 為：ykx1y 1kx1.聯(lián)立x24k21 x28kx 0 ，假設 A x1, y1， B x2 , y2此時可得：y2148k, 14k28 1k14 1k2A, B， 此時可求得直線的斜率為：2,24k21 4k214 1 k1 4 1 k11 4 121 4k

27、22ky2y14 1k14k211kABx18 1k8k，化簡可得 kAB2kx214 1k214k212 ，此時滿足 k1。211 當 k212 當 k2當 x 2 時，21.（ 12 分）已知函數(shù)時， AB 兩點重合，不合題意。18k1 4k24k24k 1 x時，直線方程為：yx，即 y，1 2k 24k 214k 211 2k 2y 1 ，因此直線恒過定點 2, 1 。（f x)ae2x+(a 2) ex x.（ 1）討論 f ( x) 的單調性；（ 2）若 f (x) 有兩個零點，求 a 的取值范圍 .【 考點 】：導數(shù)綜合問題?！?思路 】：（ 1）直接進行求導，分類討論（ 2）函

28、數(shù)有兩個零點，故而函數(shù)不單調；根據(jù)函數(shù)單調性判斷函數(shù)圖像即可。【 解析 】：（ 1）對函數(shù)進行求導可得f ' x2ae2 xa2 ex1aex1ex1。10 時， f ' xaex1ex10 恒成立，故而函數(shù)恒遞減 當 a20 時， f ' xaex1ex10x11上單調遞 當 aln，故而可得函數(shù)在,lnaa減，在ln 1 ,上單調遞增。a（ 2）函數(shù)有兩個零點，故而可得a0 ，此時函數(shù)有極小值fln 1ln a11，要使得函數(shù)有兩個aa零點，亦即極小值小于0，故而可得 ln a11 0 a0，令 g aln a1，對函數(shù)進行求導即a1a11a可得到0 ，故而函數(shù)恒遞

29、增，又，g aln a10a 1 ，因此可得g' ag 10aa2函數(shù)有兩個零點的范圍為a0,1。（二）選考題：共10 分。請考生在第22、 23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 選修 44：坐標系與參數(shù)方程（ 10分）在直角坐標系xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為x3cos,（ 為參數(shù)），直線l 的參數(shù)方程為ysin,xa4t ,y1（ t為參數(shù)） .t,（ 1）若 a=-1 ，求 C 與 l 的交點坐標；（ 2）若 C 上的點到 l 的距離的最大值為17 ，求 a.【考點 】：參數(shù)方程。【思路 】：（ 1）將參數(shù)方程化為直角方程后，直接聯(lián)立方程求解即可（2）將

30、參數(shù)方程直接代入距離公式即可。【解析】：將曲線 C 的參數(shù)方程化為直角方程為x2y 21 ，直線化為直角方程為y1 x11 a944（ 1）當 a 1 時，代入可得直線為y13y1 x3x，聯(lián)立曲線方程可得：4444x29 y29x2125 或x3 ，故而交點為21,24 或 3,0，解得24y02525y25x 3 co s ,1113 c o s4 s i n a4（2）點到 直 線 yxa 的 距 離 為 d1717 ，即：y s i n ,443cos4sina4 17，化簡可得17a43cos4sin17a4，根據(jù)輔助角公式可得13 a5sin21a ，又55sin5，解得 a8 或

31、者 a16 。23 選修 45：不等式選講（ 10 分）已知函數(shù)f（ x） =x2+ax+4， g(x)= x+1 +x 1.（ 1）當 a=1 時，求不等式f（x） g（x）的解集；（ 2）若不等式 f（ x）g（ x）的解集包含 1， 1，求 a 的取值范圍 .【 考點 】：不等式選講?！?思路 】：（1）將函數(shù)化簡作圖即可（ 2）將參數(shù)方程直接代入距離公式即可?！?解析 】：2xx1將函數(shù) g xx 1x1 化簡可得 gx21x12xx1（ 1）當 a1 時，作出函數(shù)圖像可得 fxg xy2x可得的范圍在 F 和 G 點中間， 聯(lián)立x2yx 4點 G171, 171 ，因此可得解集為1,171 。22（ 2）即 f xg x 在 1,1 內恒成立，故而可得x2ax 4 2 x22 ax 恒成立，根據(jù)圖像可得：函數(shù) yax 必須在 l1, l2 之間，故而可得 1a 1 。紅塵紫陌， 有轟轟烈烈的昨日，也有平淡如水的今天。在生活平平仄仄的韻腳中，一直都泛著故事的清香，我看到每一寸的光陰都落在我的宣紙上，跌進每一個方方正正的小楷里，沉香、迷醉。秋光靜好，窗外陽光和細微的風都好，我也尚好。不去向秋寒暄，只愿坐在十月的門扉，寫一闕清麗的小詩，送給秋天；在一杯香茗里欣然，讀一抹秋意闌