20058年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)預(yù)賽試卷及詳細(xì)解答

1、2005-2012年8年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(江西賽區(qū))預(yù)賽試卷及詳細(xì)解答更多的資料請(qǐng)發(fā)送索取二五年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答2005年9月18日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿(mǎn)分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線4、不能使用計(jì)算器一、選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分。1設(shè)則等于（ ）.（A）（B）（C）（D）答：

2、D.解：.2是不等于1的正數(shù)，若，則成立的是（ ）.（A） （B） （C） （D）答：B.解：由,知3中，則使等式成立的充要條件是（ ）.（A） （B） （C） （D）答：C解：由題設(shè)知，反之也成立。4拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為軸，焦點(diǎn)在直線上，則拋物線方程為（ ）.（A）（B）（C）（D）答：D解：由頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸知，拋物線方程為在中令知焦點(diǎn)為（4，0）,5設(shè)則二次曲線與必有（ ）.（A）不同的頂點(diǎn) （B）不同的準(zhǔn)線 （C）相同的焦點(diǎn) （D）相同的離心率答：C解：當(dāng)則表實(shí)軸為軸的雙曲線，二曲線有相同焦點(diǎn);當(dāng)時(shí)，且，表焦點(diǎn)在軸上的橢圓。與已知橢圓有相同焦點(diǎn)。6連結(jié)正五邊形的對(duì)角線交另一

3、個(gè)正五邊形，兩次連結(jié)正五邊形的對(duì)角線，又交出一個(gè)正五邊形（如圖），以圖中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形( )個(gè)。（A）50 （B）75 （C）85 （D）100答：C.解：對(duì)于其中任一點(diǎn)P，以P為“頂”（兩腰的公共點(diǎn)）的等腰三角形的個(gè)數(shù)記為P則.,由于圖中沒(méi)有等邊三角形，則每個(gè)等腰三角形恰有一個(gè)“頂”。據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知。因此等腰三角形共有個(gè)。二、填空題（本題滿(mǎn)分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上。7設(shè)適合等式則的值域是 。答：解：由將換為，有,兩式消去得.8若對(duì)滿(mǎn)足的任何角,都有，則數(shù)組= 。答：。解：左邊與右邊比較得9等差數(shù)列3，10，17，2005與3，8，13，

4、2003中，值相同的項(xiàng)有 個(gè)。答：58。解：將二個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)皆減3，化為0，7，14，2002與0，5，10，2000，前者為不大于2002的各數(shù)中7的倍數(shù)，后者可看成以上范圍內(nèi)的5的倍數(shù)，故公項(xiàng)為35的倍數(shù).10若對(duì)所有正數(shù)不等式都成立，則的最小值是 。答：。解：由當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是。11若為一個(gè)平方數(shù)，則正整數(shù) 。答：10。解：，設(shè)有，于是有故12用標(biāo)有1，2，3，15，40克的法碼各一個(gè)，在某架無(wú)刻度的天平上稱(chēng)量重物，如果天平兩端均可放置法碼，那么該天平所能稱(chēng)出的不同克數(shù)（正整數(shù)的重物）至多有 種。答：55。解：用1，2，3這三只法碼，可稱(chēng)出區(qū)間中的全部整克數(shù),增加15克的法碼后，

5、量程擴(kuò)充了區(qū)間，再增加40克的法碼后，量程又?jǐn)U充了三個(gè)區(qū)間：，但區(qū)間與有三個(gè)整數(shù)重復(fù)，計(jì)算上述各區(qū)間內(nèi)的整數(shù)個(gè)數(shù)，則得能稱(chēng)出的不同克數(shù)共有6+13+（13+13+13）-3=55種。三、解答題（本題滿(mǎn)分60分，每小題20分）13直角三角形中，分別是直角邊上的任意點(diǎn)，自向引垂線，垂足分別是。證明：四點(diǎn)共圓.證明：共圓,共圓，又共圓,由共圓，得所以故共圓.14的三條邊長(zhǎng)為，證明.證明：由于只要證：注意：故由，只要證，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)為正三角形，即15試求最小的正整數(shù)使得對(duì)于任何個(gè)連續(xù)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).解：首先，我們可以指出12個(gè)連續(xù)正整數(shù)，例如994，995，999，

6、1000，1001，1005，其中任一數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù)，因此，。再證，任何連續(xù)13個(gè)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù)，稱(chēng)如下10個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合:為一個(gè)“基本段”，13個(gè)連續(xù)正整數(shù)，要么屬于兩個(gè)基本段，要么屬于三個(gè)基本段。當(dāng)13個(gè)數(shù)屬于兩個(gè)基本段時(shí)，據(jù)抽屜原理，其中必有連續(xù)的7個(gè)數(shù)，屬于同一個(gè)基本段；當(dāng)13個(gè)連續(xù)數(shù)屬于三個(gè)基本段時(shí)，其中必有連續(xù)10個(gè)數(shù)同屬于.現(xiàn)在設(shè) 是屬于同一個(gè)基本段的7個(gè)數(shù)，它們的各位數(shù)字之和分別是顯然，這7個(gè)和數(shù)被7除的余數(shù)互不相同，其中必有一個(gè)是7的倍數(shù).因此，所求的最小值為二六年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)20

7、06年9月24日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿(mǎn)分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線4、不能使用計(jì)算器一、 選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1函數(shù)與的定義域和值域都是，且都有反函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)是（ ） 答：C.解：由依次得 ，互易得 .2集合由滿(mǎn)足如下條件的函數(shù)組成：當(dāng)時(shí)，有 ，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（

8、 ） 答：D.解：，取，則.中，則比式等于 答：解：如圖易知，因此選4拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若，則的值是（ ）.答：解：由以及得 ， 5橢圓的中心，右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)依次為，則 的最大值為（ ）. 不能確定.答：解： .（時(shí)取等號(hào)）6函數(shù)的值域?yàn)椋?）答：.解：的定義域?yàn)閯t，令，則因，則 .二、填空題（本題滿(mǎn)分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上.7若，則 .答： .解：由條件得，則.8數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個(gè)奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，如果這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則 答：.解：由，即當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，于是，9為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則 的最大值為 .答：

9、 .解：設(shè)，則 ，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.10若集合中的每個(gè)元素都可表為中兩個(gè)不同的數(shù)之積，則集中元素個(gè)數(shù)的最大值為 .答：.解：從中每次取一對(duì)作乘積，共得個(gè)值，但其中有重復(fù)，重復(fù)的情況為，共種，因此集合中至多有 個(gè)數(shù) .11作出正四面體每個(gè)面的中位線，共得條線段，在這些線段中，相互成異面直線的“線段對(duì)”有 個(gè).答：個(gè)“線段對(duì)”.解：任取一條中位線考慮，所在的側(cè)面沒(méi)有與異面的線段；含點(diǎn)的另一個(gè)側(cè)面恰有一條中位線與異面；含點(diǎn)的另一個(gè)側(cè)面恰有一條中位線與異面；不含的側(cè)面恰有兩條中位線與異面；因此與異面的中位線共有條，即含有線段的異面“線段對(duì)”共有個(gè)，于是得異面“線段對(duì)”個(gè)，（其中有重復(fù)）.但每一個(gè)異面“線

10、段對(duì)”中有兩條線段，故恰被計(jì)算了兩次，因此得個(gè)異面“線段對(duì)”.12用五種不同的顏色給圖中的“五角星”的五個(gè)頂點(diǎn)染色，（每點(diǎn)染一色，有的顏色也可以不用）使每條線段上的兩個(gè)頂點(diǎn)皆不同色，則不同的染色方法有 種.答：種. 解： 將其轉(zhuǎn)化為具有五個(gè)扇形格的圓盤(pán)染五色，使鄰格不同色的染色問(wèn)題。設(shè)有個(gè)扇形格的圓盤(pán)染五色的方法數(shù)為，則有，于是三、解答題（本題滿(mǎn)分60分，每小題20分）13設(shè)為正數(shù)，證明： 證：對(duì)歸納，時(shí)顯然成立等號(hào)；設(shè)時(shí)結(jié)論對(duì)于任意個(gè)正數(shù)成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意個(gè)正數(shù)，據(jù)假設(shè)有，5分所以 只要證， 平方整理，只要證， 10分由柯西不等式 15分即 所以即成立，因此當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.故由歸納法知，所證

11、不等式成立. 20分14三角形中，是的中點(diǎn)，、分別是邊上的點(diǎn)，且的外接 圓 交 線 段于若點(diǎn)滿(mǎn)足：證明：證明：在圓中，由于弦故圓周角，因此， 、與、分別共圓，于是 5分設(shè)點(diǎn)在邊上的射影分別為、，則，故由 得，設(shè)的內(nèi)心為 今證四點(diǎn)共圓：連 因分別共圓，則，又由， 所以因此而所以因?yàn)?故得，因此、四點(diǎn)共圓，于是 10分延長(zhǎng)AM交的外接圓于則AO為該外接圓的直徑, 于是且因此, 點(diǎn)O是所在圓的圓心, 從而為O的切線. 延長(zhǎng)AD交O于T, 則,所以 , 又由,得, 因故 . 15分延長(zhǎng)到,使，則為平行四邊形, . 由 得 . 由 、 得 所以，, 即BPM=CPD . 20分15數(shù)列滿(mǎn)足：，（其中表示

12、的整數(shù)部分，），試求的值.解：觀察數(shù)列開(kāi)初的一些項(xiàng)：01234567891011121314151617181920111122233444556677888123468101316202428333844505764728088我們注意到，數(shù)列嚴(yán)格單增，每個(gè)正整數(shù)，順次在數(shù)列中出現(xiàn)，并且除了首項(xiàng)之外，每個(gè)形如的數(shù)連續(xù)出現(xiàn)三次，其它數(shù)各連續(xù)出現(xiàn)兩次.5 分一般地，我們可證明數(shù)列的以下性質(zhì)：若記，則, 若記則當(dāng)時(shí)，有 10分對(duì)歸納.據(jù)上面所列出的項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.設(shè)性質(zhì)對(duì)于成立，即在時(shí)，則再對(duì)滿(mǎn)足的歸納：當(dāng)時(shí)，由于，則，因?yàn)?，則設(shè)當(dāng)時(shí)，均有，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)閯t，即有，所以由于所以故由歸納法，當(dāng)時(shí)

13、，特別是，當(dāng)時(shí)，上式成為 又由，當(dāng)，有所以由可知，對(duì)于當(dāng)時(shí)，亦有，從而性質(zhì)成立. 15分因?yàn)椋?，則，因此. 20分二七年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試卷2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿(mǎn)分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線4、不能使用計(jì)算器一、選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1、為互不相等的正數(shù)，則

14、下列關(guān)系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、設(shè) ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；3、設(shè)為銳角，則的大小順序?yàn)椋?）、； 、 ； 、； 、；4、用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四棱錐的一個(gè)對(duì)角截面與一個(gè)側(cè)面的面積比為，則其側(cè)面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整數(shù)集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則并集中的元素個(gè)數(shù)為（ ）、 、； 、； 、.二、填空題（本題滿(mǎn)分54分，每小題

15、9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上.7、若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：，則 .8、拋物線頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 9、計(jì)算 .10、過(guò)直線：上的一點(diǎn)作一個(gè)長(zhǎng)軸最短的橢圓，使其焦點(diǎn)為，則橢圓的方程為 .11、把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成個(gè)四面體，則的最小值是 .12、將各位數(shù)碼不大于的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則 三、解答題（本題滿(mǎn)分60分，每小題20分）13、數(shù)列滿(mǎn)足：；令；求 14、 如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形15、若四位數(shù)的各位數(shù)碼中，任三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱(chēng)為四位三角形數(shù)，試求所有四位三角形數(shù)的

16、個(gè)數(shù)二七年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿(mǎn)分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線4、不能使用計(jì)算器一、選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1、為互不相等的正數(shù)，則下列關(guān)系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，則，不合條件，排除，又由，故與同號(hào)，排除

17、；且當(dāng)時(shí)，有可能成立，例如取，故選2、設(shè) ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，據(jù)此，因?yàn)樾停蔬x.3、設(shè)為銳角，則的大小順序?yàn)椋?）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：選兩色有種，一色選擇對(duì)角有種選法，共計(jì)種；選三色有種，其中一色重復(fù)有種選法，該色選擇對(duì)角有種選法，另兩色選位有種，共計(jì)種；四色全用有種（因?yàn)楣潭ㄎ恢茫?，合?jì)種.5、正四棱錐的一個(gè)對(duì)角截面與一個(gè)側(cè)面的面積比為，則其側(cè)面與底面

18、的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，棱錐的高為，側(cè)面三角形的高為，則 ，則，.6、正整數(shù)集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則并集中的元素個(gè)數(shù)為（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素個(gè)數(shù)，設(shè)，由，得，于是，；從而二、填空題（本題滿(mǎn)分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上.7、若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：，則 .答案：； 解：據(jù)條件，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，即的兩個(gè)根，所以；8、拋物線頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 答案：；解：設(shè)拋物線方程為，則頂點(diǎn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故

19、（當(dāng)或時(shí)取等號(hào)）9、計(jì)算 .答案：. 解：10、過(guò)直線：上的一點(diǎn)作一個(gè)長(zhǎng)軸最短的橢圓，使其焦點(diǎn)為，則橢圓的方程為 .答案：；解：設(shè)直線上的點(diǎn)為，取關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，據(jù)橢圓定義， ，當(dāng)且僅當(dāng)共線，即，也即時(shí)，上述不等式取等號(hào)，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)得，橢圓的方程為.11、把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成個(gè)四面體，則的最小值是 .答案：；解：據(jù)等價(jià)性，只須考慮單位正方體的切割情況，先說(shuō)明個(gè)不夠，若為個(gè)，因四面體的面皆為三角形，且互不平行，則正方體的上底至少要切割成兩個(gè)三角形，下底也至少要切割成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形的面積，且這四個(gè)三角形要屬于四個(gè)不同的四面體，以這種三角形為底的四面體，其高，故四個(gè)不同的四面體的體積

20、之和，不合；所以，另一方面，可將單位正方體切割成個(gè)四面體； 例如從正方體中間挖出一個(gè)四面體，剩下四個(gè)角上的四面體，合計(jì)個(gè)四面體.12、將各位數(shù)碼不大于的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則 答案：； 解：簡(jiǎn)稱(chēng)這種數(shù)為“好數(shù)”，則一位好數(shù)有個(gè)；兩位好數(shù)有個(gè)；三位好數(shù)有個(gè)；，位好數(shù)有個(gè)；，記，因，即第個(gè)好數(shù)為第個(gè)六位好數(shù)；而六位好數(shù)中，首位為的共有個(gè)，前兩位為的各有個(gè)，因此第個(gè)好數(shù)的前兩位數(shù)為，且是前兩位數(shù)為的第個(gè)數(shù)；而前三位為的各個(gè)，則的前三位為，且是前三位數(shù)為的第個(gè)數(shù)；而前四位為的各個(gè)，則的前四位為，且是前四位數(shù)為的第個(gè)數(shù)；則的前五位為，且是前五位數(shù)為的第個(gè)數(shù)，則三、解答題（本題滿(mǎn)分60

21、分，每小題20分）13、數(shù)列滿(mǎn)足：；令；求 解：改寫(xiě)條件式為，則，所以，；14、 如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.證：由于點(diǎn)皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn); 因是的內(nèi)心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長(zhǎng)交于，并記，則，對(duì)圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點(diǎn)，而為外心，所以，故為直角三角形15、若四位數(shù)的各位數(shù)碼中，任三個(gè)數(shù)碼皆

22、可構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱(chēng)為四位三角形數(shù)，試求所有四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù) 解：稱(chēng)為的數(shù)碼組，則；一、當(dāng)數(shù)碼組只含一個(gè)值，為，共得個(gè)值；二、當(dāng)數(shù)碼組恰含二個(gè)值，、數(shù)碼組為型，則任取三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成三角形，對(duì)于每個(gè)，可取個(gè)值，則數(shù)碼組個(gè)數(shù)為，對(duì)于每組，有種占位方式，于是這種有個(gè)、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，的取值123456789中的個(gè)數(shù)共得個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，有種占位方式，于是這種有個(gè)、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，同上得個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，兩個(gè)有種占位方式，于是這種有個(gè)以上共計(jì)個(gè)三、當(dāng)數(shù)碼組恰含三個(gè)值，、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，則有，這種有組，每組中有種占位方式，于是這種有個(gè)

23、、數(shù)碼組為型，此條件等價(jià)于中取三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成三角形的方法數(shù)，有組，每組中有種占位方式，于是這種有個(gè)、數(shù)碼組為型，同情況，有個(gè)值以上共計(jì)個(gè)值四、互不相同，則有，這種有組，每組有個(gè)排法，共得個(gè)值綜上，全部四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、設(shè)，若直線和橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.、四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、若對(duì)所有實(shí)數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）、必為無(wú)理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；

24、、可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個(gè)平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對(duì)乙錯(cuò)； B. 甲錯(cuò)乙對(duì)； C.甲乙都對(duì)； D.甲乙都不一定對(duì).二、填空題（每小題分，共分）、過(guò)點(diǎn)作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點(diǎn)恰為，則直線的方程為 .、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .、四面體中，面與面成的二面角，頂點(diǎn)在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 、 .、數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)每個(gè)，是方程的兩根，則 .、從前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個(gè)元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)

25、心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：、（分）對(duì)于元集合，若元集，滿(mǎn)足：，且，則稱(chēng)是集的一個(gè)“等和劃分”（與算是同一個(gè)劃分）試確定集共有多少個(gè)“等和劃分”2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域?yàn)?，?dāng)使真數(shù)可取到一切正數(shù)，故或者；或者且，解得、設(shè)，若直線和橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.答：解：將代入橢圓方程并整理得，因直線和橢圓有公共點(diǎn)，則判別式，利用，化簡(jiǎn)得，所以即、四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，且知，則

26、.、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長(zhǎng)的棱與相鄰，不妨設(shè)，據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面體可作出，例如取.故選 、若對(duì)所有實(shí)數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、答： .解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿(mǎn)足題意、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）、必為無(wú)理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)答：解：令，則，是方程的兩根，則，所以當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩

27、個(gè)命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個(gè)平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對(duì)乙錯(cuò)； B. 甲錯(cuò)乙對(duì)； C.甲乙都對(duì)； D.甲乙都不一定對(duì).答案:解：設(shè)，為正整數(shù)；則，由此知，為正整數(shù)，且，因?yàn)槿?，則，即，則，記，得不為平方數(shù)，矛盾！所以，故由得，為合數(shù)；又因?yàn)?，故選.（例如是上述之一）.二、填空題（每小題分，共分）、過(guò)點(diǎn)作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點(diǎn)恰為，則直線的方程為 .答案：解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)其兩根為，則， 即，所以直線的方程為，即、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .答案：.解：如圖，取為數(shù)軸原點(diǎn)，再作垂線，使，在數(shù)軸上取點(diǎn)，使 ，則，當(dāng)共線時(shí)，值最小，此時(shí).、四面

28、體中，面與面成的二面角，頂點(diǎn)在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設(shè)面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)每個(gè)，是方程的兩根，則 .答：解：對(duì)每個(gè)， ， ，將寫(xiě)作，因此是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，故 ，即，；于是；、從前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個(gè)元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 答案：.解：首先，我們可以取元集，中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：從中任取個(gè)數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.三、解答題：、（分）是直角三角形

29、斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心證：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)直徑交于，并簡(jiǎn)記的三內(nèi)角為，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心證二：如圖，因?yàn)?，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點(diǎn)共圓，所以，又因，因此點(diǎn)在上，即為與的交點(diǎn)設(shè)與交于另一點(diǎn)，而由，可知，分別為的中點(diǎn)，所以，因此，點(diǎn)分別為的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：簡(jiǎn)證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則，對(duì)正數(shù)作調(diào)整，由于 ，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)條件

30、式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，故命題得證詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則；、當(dāng)時(shí)，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)、再證，對(duì)所有滿(mǎn)足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有顯然，三數(shù)中至多有一個(gè)為，據(jù)對(duì)稱(chēng)性，仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個(gè)非鈍角三角形下面采用調(diào)整法，對(duì)于任一個(gè)以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，今證明，即 即要證 先證 ，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然由于在中，則；而在中，因此式成為 ，只要證， ，即證 ，

31、注意式以及，只要證，即，也即由于最大角滿(mǎn)足：，而，則，所以，故成立，因此得證，由及得成立，從而成立，即，因此本題得證、（分）對(duì)于元集合，若元集，滿(mǎn)足：，且，則稱(chēng)是集的一個(gè)“等和劃分”（與算是同一個(gè)劃分）試確定集共有多少個(gè)“等和劃分”解一：不妨設(shè)，由于當(dāng)集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個(gè)數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)、若中有個(gè)奇數(shù)，因中的六個(gè)奇數(shù)之和為，而，則，這時(shí)得到唯一的；、若中有個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)；用表示中這兩個(gè)偶數(shù)之和；表示中這三個(gè)奇數(shù)之和，則，于是共得的種情形其中，、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，

32、可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形、若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除外，其余的五個(gè)偶數(shù)和，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個(gè)情形：綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分” 解二：元素交換法，顯然，恒設(shè)；、首先注意極端情況的一個(gè)分劃：，顯然數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中；以下考慮兩數(shù)至少一個(gè)不在中的情況，為此，考慮中個(gè)數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換：、；共得到個(gè)對(duì)換；、；共得到個(gè)對(duì)換；、；共得到個(gè)對(duì)換每個(gè)對(duì)換都得到一個(gè)新的劃分，因此，本題共得種等和劃分2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)

33、賽江西省預(yù)賽 09年江西省預(yù)賽于2009年9月20日在江西省11個(gè)設(shè)區(qū)市進(jìn)行，全省約1萬(wàn)名學(xué)生參加了這次選拔賽，按照全國(guó)聯(lián)賽所規(guī)定的模式，江西省預(yù)賽試題結(jié)構(gòu)也相應(yīng)作出了調(diào)整；省各地按10：1的比例，選出約1千人集中到南昌市參加10月11日的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。試 題一、填空題（ 每小題10分，共分）1. 某人在將中間的兩個(gè)數(shù)碼分別換成兩位數(shù)與時(shí)，恰好都得到完全平方數(shù)：，則數(shù)組 2. 若一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別是雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，則橢圓的方程為： 3. 實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是 4. 四面體中，平面與平面成的二面角，則點(diǎn)到平面的距離為 5. 從集合中，去掉所有的倍數(shù)以及的倍數(shù)后，則中剩下的元素個(gè)數(shù)

34、為 . 函數(shù)的值域是 . . 九個(gè)連續(xù)正整數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列，若的值為一平方數(shù)，的值為一立方數(shù)，則這九個(gè)正整數(shù)之和的最小值是 二、解答題（ 共分）. （20分）給定軸上的一點(diǎn)（），對(duì)于曲線上的動(dòng)點(diǎn)，試求兩點(diǎn)之間距離的最小值（用表示）. （分）如圖，、是一個(gè)圓中三條互不相交的弦，以其中每?jī)蓷l弦為一組對(duì)邊，各得到一個(gè)凸四邊形，設(shè)這三個(gè)四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)分別為；證明：三點(diǎn)共線. （25分）項(xiàng)正整數(shù)列的各項(xiàng)之和為，如果這個(gè)數(shù)既可分為和相等的個(gè)組，又可分為和相等的個(gè)組，求的最小值解 答1. 提示： 注意到，對(duì)于整數(shù)，若的末位數(shù)為，則的末位數(shù)必為或，易知，（），因此，于是，若要滿(mǎn)足條件，只可能是，由

35、于，所以，2. 提示：雙曲線的兩頂點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，故由條件，橢圓的兩焦點(diǎn)為，兩頂點(diǎn)為，因此，則橢圓的方程為3. 提示：令，則，由，得，因?yàn)閷?shí)數(shù)，則判別式，得4. 提示：，作平面，垂足為，連，由三垂線逆定理，所以，故，又因?yàn)檎叫?，則，因此正三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由，得5. 提示：集合中，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，則剩下的元素個(gè)數(shù)為個(gè). 提示：，令，則，由此，當(dāng)時(shí)兩邊分別取得等號(hào). 提示：（注：由，則，即）. 提示：設(shè)這九數(shù)為 ，則有，則，得 令，得，所以 ，再取，化為 ，取，可使左式成立，這時(shí)，. 如圖，易求得曲線上諸點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)，即時(shí)，曲線方程為 ；而當(dāng)時(shí)，曲線方程

36、為 ，對(duì)于情形，即時(shí)，顯然當(dāng)位于頂點(diǎn)處時(shí)，距離取得最小值；對(duì)于情形，即在或時(shí)，設(shè)點(diǎn)，由于，因，則，于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值；再比較與：令，則當(dāng)時(shí)，即最小值為；而當(dāng)時(shí)，則最小值. 如圖，設(shè)為三條不相交的弦，其中，又設(shè)，點(diǎn)截的三邊，據(jù)梅涅勞斯逆定理，只要證 ，用記號(hào)表示三角形面積，則由 由此得，因此只要證， 注意 ， ，則所以 ，即成立，從而成立，故結(jié)論得證. 設(shè)分成的個(gè)組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱(chēng)這種組為類(lèi)組；而分成的個(gè)組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱(chēng)這種組為類(lèi)組顯然，每個(gè)項(xiàng)恰好屬于一個(gè)類(lèi)組和一個(gè)類(lèi)組，即同類(lèi)組之間沒(méi)有公共項(xiàng)，如果兩個(gè)組中有兩個(gè)公共項(xiàng)，則可以將這兩個(gè)數(shù)合并為一個(gè)項(xiàng)，這樣可使值減少，故不

37、妨設(shè)，每對(duì)至多有一個(gè)公共項(xiàng)今用點(diǎn)分別表示，而點(diǎn)表示組，如果組有公共項(xiàng)，則在相應(yīng)的點(diǎn)之間連一條邊，于是得二部圖，它恰有條邊和個(gè)頂點(diǎn)下面證明是連通圖如果圖的最大連通分支為，其頂點(diǎn)數(shù)少于，設(shè)在分支中，有個(gè)類(lèi)頂點(diǎn)和個(gè)類(lèi)頂點(diǎn)，其中，則在相應(yīng)的類(lèi)組和類(lèi)組中，類(lèi)組中的每個(gè)數(shù)都要在某個(gè)類(lèi)組中出現(xiàn)；而類(lèi)組中的每個(gè)數(shù)也都要在某個(gè)類(lèi)組中出現(xiàn)，（否則將有邊與分支外的頂點(diǎn)連接，發(fā)生矛盾），因此個(gè)類(lèi)組中各數(shù)的和應(yīng)等于個(gè)類(lèi)組中各數(shù)的和，即有，由此得，所以，矛盾！因此是連通圖于是圖至少有條邊，即；另一方面，我們可實(shí)際構(gòu)造一個(gè)具有項(xiàng)的數(shù)列，滿(mǎn)足本題條件例如取，（該數(shù)列有個(gè)取值為的項(xiàng)；個(gè)取值為的項(xiàng)；另將其余七個(gè)拆成七對(duì)，其中四對(duì)

38、，兩對(duì)，一對(duì)，又得到個(gè)項(xiàng)），于是，每個(gè)類(lèi)組可由一個(gè)，一個(gè)，或者由一個(gè)，添加一對(duì)和為的項(xiàng)組成；這樣共得個(gè)類(lèi)組，每組各數(shù)的和皆為；為了獲得和為的個(gè)類(lèi)組，可使各成一組，其余的數(shù)可以拼成八個(gè)類(lèi)組：的組四個(gè)，的組兩個(gè)，的組一個(gè)，的組一個(gè)故的最小值為 2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題（考試時(shí)間：9月24日上午8:30-11:00）一填空題（共2題，每題10分，合計(jì)80分）1設(shè)多項(xiàng)式滿(mǎn)足：對(duì)于任意，都有則的最小值是.2數(shù)列滿(mǎn)足：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和.3函數(shù)的值域是.4過(guò)拋物線的焦點(diǎn),作一條斜率為的直線，若交拋物線于兩點(diǎn)，則的面積是.5.若為銳角三角形，滿(mǎn)足，則的最大值為.6.若正三棱錐

39、的內(nèi)切球半徑為，則其體積的最小值為.7.將隨機(jī)填入右圖正方形的九個(gè)格子中，則其每行三數(shù)，每列三數(shù)自上而下、自左而右順次成等差數(shù)列的概率.8.將集合的元素分成不相交的三個(gè)子集：，其中，且，則集合為：.二解答題（共2題，合計(jì)70分）9.（20分）如圖，是圓的一條弦，它將圓分成兩部分，分別是兩段弧的中點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將弓形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度成弓形，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.求證：. 10.（25分）給定橢圓以及圓，自橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，做的兩條切線，切點(diǎn)為，若直線在軸上的截距分別為；證明：.11.（25分）對(duì)于個(gè)素?cái)?shù)組成的集合，將其元素兩兩搭配成個(gè)乘積，得到一個(gè)元集，如果與是由此得到的兩個(gè)元集

40、，其中=，且，就稱(chēng)集合對(duì)是由炮制成的一副“對(duì)聯(lián)”.(例如當(dāng)時(shí)，由四元集可炮制成三副“對(duì)聯(lián)”：，).(1).當(dāng)時(shí)，求元素集所能炮制成的“對(duì)聯(lián)”數(shù)；（2）對(duì)于一般的，求由元素集所能炮制成的“對(duì)聯(lián)”數(shù).2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題答案1.-22.3.4.5.6.7.8.9.思路：取AB中點(diǎn)E，中點(diǎn)F，可證PEBF為菱形； 證明角MFP=角PEN； 再證角PNE=角MPF； 然后證角MPN為直角10.關(guān)鍵步驟：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，易的OMPN四點(diǎn)共圓，此圓方程減圓O方程得直線MN方程11.（1）60;(2) (其中=)2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、填空題（共題，每題10分，計(jì)分）

41、1、是這樣的一個(gè)四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為；像這樣各位數(shù)字之和為的四位數(shù)總共有 個(gè)答案：解：這種四位數(shù)的個(gè)數(shù)，就是不定方程滿(mǎn)足條件，的整解的個(gè)數(shù)；即的非負(fù)整解個(gè)數(shù)，其中，易知這種解有個(gè)，即總共有個(gè)這樣的四位數(shù)2、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足:,且對(duì)于其中任意三個(gè)連續(xù)項(xiàng),都有:.則通項(xiàng) 答案： 解：由條件得，所以，故，而；于是；由此得，.、以拋物線上的一點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作拋物線的兩個(gè)內(nèi)接直角三角形與，則線段與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 答案：解：設(shè)，則，直線方程為，即，因?yàn)椋瑒t，即，代人方程得，于是點(diǎn)在直線上；同理，若設(shè)，則方程為，即點(diǎn)也在直線上，因此交點(diǎn)的坐標(biāo)為4、設(shè)，則函數(shù)的最大值是 答案：解：由，所以， ，即，當(dāng)，即時(shí)取

42、得等號(hào)5、 答案：解： 6、滿(mǎn)足的一組正整數(shù) 答案：解：由于是形狀的數(shù)，所以必為奇數(shù)，而為偶數(shù)， 設(shè)，代人得，即 而為偶數(shù)，則為奇數(shù)，設(shè)，則，由得， ，則為奇數(shù)，且中恰有一個(gè)是的倍數(shù)，當(dāng)，為使為奇數(shù)，且，只有，成為，即，于是；若，為使為奇數(shù)，且，只有，成為，即，它無(wú)整解；于是是唯一解：（另外，也可由為偶數(shù)出發(fā)，使為的倍數(shù)，那么是的倍數(shù)，故是形狀的偶數(shù)，依次取，檢驗(yàn)相應(yīng)的六個(gè)數(shù)即可）7、正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作與側(cè)棱都相交的截面，那么，周長(zhǎng)的最小值是 答案：解1：作三棱錐側(cè)面展開(kāi)圖，當(dāng)共線且時(shí)，周長(zhǎng)最小，于是等腰，即，所以，由，則解2：作三棱錐側(cè)面展開(kāi)圖，易知當(dāng)共線時(shí)，周長(zhǎng)最小，設(shè)

43、,則、用表示正整數(shù)的各位數(shù)字之和，則 答案：解：添加自然數(shù)，這樣并不改變問(wèn)題性質(zhì)；先考慮由到這一千個(gè)數(shù)，將它們?nèi)坑萌粩?shù)表示，得到集，易知對(duì)于每個(gè)，首位為的“三位數(shù)”恰有個(gè)：，這樣，所有三位數(shù)的首位數(shù)字和為；再將中的每個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個(gè)數(shù)的集合仍是，又將中的每個(gè)數(shù)的首末兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個(gè)數(shù)的集合也是，由此知，今考慮四位數(shù)：在中，首位（千位）上，共有一千個(gè)，而在中，首位（千位）上，共有一千個(gè)，因此，；其次，易算出，。所以，二、解答題（共題，合計(jì)分）、（20分）、已知,，求的值解：由，即，平方得（10分）所以（15分）因?yàn)?，即，所以?0分）、（分）如圖，的內(nèi)

44、心為，分別是的中點(diǎn)，內(nèi)切圓分別與邊相切于；證明：三線共點(diǎn)證：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連，由于中位線，以及平分，則，所以，因，得共圓（10分）所以；又注意是的內(nèi)心，則，(15分)連，在中，由于切線，所以，因此三點(diǎn)共線，即有三線共點(diǎn)（25分）、（分）在電腦屏幕上給出一個(gè)正邊形，它的頂點(diǎn)分別被涂成黑、白兩色；某程序執(zhí)行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的個(gè)頂點(diǎn)（其中是小于的一個(gè)固定的正整數(shù)），一按鼠標(biāo)鍵，將會(huì)使這個(gè)頂點(diǎn)“黑白顛倒”，即黑點(diǎn)變白，而白點(diǎn)變黑；、證明：如果為奇數(shù)，則可以經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成白色，也可以經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成黑色；、當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是否也能經(jīng)過(guò)有限次

45、這樣的操作，使得所有的頂點(diǎn)都變成一色？證明你的結(jié)論證明：由于為質(zhì)數(shù)，而，則，據(jù)裴蜀定理，存在正整數(shù)，使 ，如果為奇數(shù)，則中的一奇一偶，如果為偶數(shù)，為奇數(shù)，將改寫(xiě)成：，令，上式成為，其中為奇數(shù)，為偶數(shù)總之存在奇數(shù)和偶數(shù)，使式成立；據(jù)， ，現(xiàn)進(jìn)行這樣的操作：選取一個(gè)點(diǎn)，自開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虿僮鱾€(gè)頂點(diǎn)，再順時(shí)針?lè)较虿僮鹘酉聛?lái)的個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)這樣的操作進(jìn)行次后，據(jù)知，點(diǎn)的顏色被改變了奇數(shù)次（次），從而改變了顏色，而其余所有頂點(diǎn)都改變了偶數(shù)次（次）狀態(tài)，其顏色不變；因此，可以經(jīng)過(guò)有限多次這樣的操作，使所有黑點(diǎn)都變成白點(diǎn)，從而多邊形所有頂點(diǎn)都成為白色；也可以經(jīng)過(guò)有限多次這樣的操作，使所有白點(diǎn)都變成黑點(diǎn)，從而多

46、邊形所有頂點(diǎn)都成為黑色（10分）：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，將有如下結(jié)論：如果開(kāi)初給定的正多邊形有奇數(shù)個(gè)黑點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)有限次操作，可以將多邊形所有頂點(diǎn)變成全黑，而不能變成全白；反之，如果開(kāi)初給定的正多邊形有奇數(shù)個(gè)白點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)有限次操作，可以將多邊形所有頂點(diǎn)變成全白，而不能變成全黑；（15分）為此，采用賦值法：將白點(diǎn)改記為“”，而黑點(diǎn)記為“”，改變一次顏色，相當(dāng)于將其賦值乘以，而改變個(gè)點(diǎn)的顏色，即相當(dāng)于乘了個(gè)（偶數(shù)個(gè)），由于；因此當(dāng)多邊形所有頂點(diǎn)賦值之積為，即總共有奇數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)時(shí)，每次操作后，其賦值之積仍為，因此無(wú)論操作多少次，都不能將全部頂點(diǎn)變白但此時(shí)可以變成全黑，這是由于，

47、對(duì)于偶數(shù)，則中的為奇數(shù)，設(shè)是多邊形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，自點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虿僮鱾€(gè)頂點(diǎn)，再順時(shí)針?lè)较虿僮鹘酉聛?lái)的個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)這樣的操作進(jìn)行次后，據(jù)知，點(diǎn)的顏色被改變了偶數(shù)次（次），從而顏色不變，而其余所有個(gè)頂點(diǎn)都改變了奇數(shù)次（次）狀態(tài)，即都改變了顏色；再自點(diǎn)開(kāi)始，按同樣的方法操作次后，點(diǎn)的顏色不變，其余所有個(gè)頂點(diǎn)都改變了顏色；于是，經(jīng)過(guò)上述次操作后，多邊形恰有兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)都改變了顏色，其余所有個(gè)點(diǎn)的顏色不變 現(xiàn)將這樣的次操作合并，稱(chēng)為“一輪操作”；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點(diǎn)顏色互換，因此經(jīng)過(guò)有限輪操作，總可使同色的點(diǎn)成為多邊形的連續(xù)頂點(diǎn)；于是當(dāng)總共有偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)時(shí)，每一輪操作又可將相鄰兩個(gè)白點(diǎn)變成黑點(diǎn)，使得有限輪操作后，多邊形所有頂點(diǎn)都成為黑色同理得，如果開(kāi)初給定的正多邊形有奇數(shù)個(gè)白點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，經(jīng)過(guò)有限次操作，可以使多邊形頂點(diǎn)變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點(diǎn)賦值為“”，白點(diǎn)賦值為“”，證法便完全相同）（25分）二六年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2006年9月24日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿(mǎn)分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線4、不能使用計(jì)算器二、 選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正