2018--2019年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷一

1、 1 2019年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷3.將號(hào)碼分別為 1、2、9 的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼 不同，其余完全相同。甲從袋中摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為a,放回后，乙從此b。則使不等式a- 2b+100 成立的事件發(fā)生C.60D. -6181 814.設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則bcosc的值等于（）a11A.-丄B.丄C. - 1 D.1225.設(shè)圓O和圓O是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心 軌跡不可能是（）0（| （ A.B,C.D.6. 已知A與B是集合1 , 2, 3,，100的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相

2、同，且為AnB空集。若nA時(shí)總有 2n+2B,則集合AUB的元 素個(gè)數(shù)最多為（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個(gè)定點(diǎn)A（- 3, 0） ,B（1 , - 1）, Q0, 3）,D（- 1, 3）及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,則|PA+|PB+IPC+IPD的最小值為_(kāi) 。8. 在厶ABCffiAAEF中，B是EF的中點(diǎn)，A*EF=1,BC=6,命題人：南昌二中高三（01）班 一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1. 如圖，在正四棱錐P- ABCD中，/ 面角APB C的平面角的余弦值為（A.1B. -1C.-7

3、722. 設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2x- 實(shí)數(shù)x恒成立， 則滿足條件的（A.a|+|3x-a所組成的集合是)1 11 1-,B.-，3 32 21 1C.一持 D. - 3, 3袋中再摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為的概率等于（）A.52B.5981 81b、c使得af(x)+bf(x- c)=1張陽(yáng)則二D.C任意 2 CA- 33,若AB AE + AC AF = 2,貝S EF與BC的夾角的余弦值等于 _。 3 9.已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為 1,以頂點(diǎn)A為球心，巫為半徑作3一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于 _ 。10.已知等差數(shù)列an的公差d不為 0,等比數(shù)列bn的公比q是小

4、于 1 的2 2 2正有理數(shù)。若ai=d，bi=d2,且是正整數(shù)，則q等于。bi+bz+Q11.已知函數(shù)f(x)=sin(nX_C0S(nX2(5),貝卩f(x)的最小值為Jx4412._ 將 2 個(gè)a和 2 個(gè)b共 4 個(gè)字母填在如圖所示的 16 個(gè)小 格內(nèi)， 每個(gè)小方格內(nèi)至多填 1 個(gè)字母，若使相同字母既不 行也不同列，則不同的填法共有 _種(用數(shù)字作答)三、解答題(本題滿分 60 分，每小題 20 分)nA13.設(shè)an1，求證：當(dāng)正整數(shù)n2 時(shí)，an+1an心k(n +1 -k)14. 已知過(guò)點(diǎn)(0 , 1)的直線I與曲線C：y=x(x O)交于兩個(gè)不同點(diǎn)M和xN求曲線C在點(diǎn)M N處切線

5、的交點(diǎn)軌跡。方同 4 15.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2n)=f(x),求證：存在 4 個(gè)函 數(shù)fi(x)(i=1, 2, 3, 4)滿足：(1)對(duì)i=1, 2,3, 4,fi(x)是偶函數(shù)，且 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有fi(x+n)=fi(x) ； ( 2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 5 2019 年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷一參考答案一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1.如圖，在正四棱錐P- ABCD中，/APC60。，面角APB C的平面角的余弦值為（_B_）A.1B.C.-D.一丄77

6、22解：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AMLPB垂足為MCMAC貝AM（為二面角APB C的平面角。不妨設(shè)AB=2,則PA=AC = 2、2,解：令x/a，則有|a| J，排除 B D。由對(duì)稱(chēng)性排除 C,從而只有 A 正確。33一般地，對(duì) k R,令X Jka，則原不等式為|a| |k -1| -|a| |4| |a|2，由223此易知原不等式等價(jià)于|a1|k0 成立的事件發(fā)生的概率等于（_D_）A.52B.59C.60D. -61斜高為.7,故2 .7二AM2 2，由此得CM定理得cos .AMC=AM2CM2AC22 AM CM2.設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x- 2a| 足條件的a所組

7、成的集合是（A ）=。在AM（中，由余弦A.43B.T2C.J3D.3, 3|k -1|3|k -2*324.1|=$1k323-5k2k一43k : 1MD則二連結(jié) 6 81 81 81 81 7 解：甲、乙二人每人摸出一個(gè)小球都有 9 種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為 9=81個(gè)。由不等式a- 2b+100 得 2ba+10，于是，當(dāng)b=1、2、3、4、5 時(shí)， 每種情形a可取 1、2、9 中每一個(gè)值，使不等式成立，則共有 9X5=45 種；當(dāng)b=6 時(shí)，a可取 3、4、9 中每一個(gè)值，有 7 種；當(dāng)b=7 時(shí)，a可 取 5、6、7、8、9 中每一個(gè)值，有 5 種；當(dāng)b=8 時(shí)，a可取 7、

8、8、9 中每一 個(gè)值，有 3 種；當(dāng)b=9 時(shí)，a只能取 9,有 1 種。于是，所求事件的概率為45 7 5 3 161二 。81 814.設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(x- c)=1 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，則bcosc的值等于(_C_ )aA. -1B.1C. - 1D. 12 2解：令C=n，則對(duì)任意的xR,都有f(x)+f(x- c)=2，于是取aW,c=n,則對(duì)任意的xR af(x)+bf(x- c)=1，由此得 竺0竺=_1。a一般地，由題設(shè)可得f(x) = .13s in (x)1,f(x-c)-13si n( x：W:-c)1

9、，其中0八：上且tan=-，于是af(x)+bf(x- c)=1 可化為2313asin(x) . 13bsin(x：X:_c) a b =1，即.13asin(x)13bsin(x，M)cosc - . 13bsinccos(x曲)(a b-1) = 0，所以13(a b cosc)sin(x：；*) - . 13bsinccos(x ) (a b-1) =0。a+bcosc=0(1)由已知條件，上式對(duì)任意xR恒成立，故必有bsinc = 0(2),a + b1 = 0(3) 8 若b=0,則由(1)知a=0,顯然不滿足式，故bz0。所以，由知 sinc=0, 故c=2kn+n或c=2kn(

10、kZ)。當(dāng)c=2kn時(shí)，cosc=1,則(1)、(3)兩式矛 軌跡是焦點(diǎn)為0、Q,且離心率分別是2c和2c的圓錐曲線(當(dāng)ri=r2ri + $ E - a |時(shí)，00的中垂線是軌跡的一部份，當(dāng)c=0 時(shí)，軌跡是兩個(gè)同心圓)。當(dāng)ri=r2且ri+22c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng) B;當(dāng) 02c|ri-冋時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)C;當(dāng)1工2且ri+r22c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng) D。 由于選項(xiàng) A 中的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)不重合，因此圓P的圓心軌跡不可能是 選項(xiàng) A。6.已知A與B是集合1 , 2, 3,，100的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元 素個(gè)數(shù)相同，且為AnB空集。若nA時(shí)總有 2n+2B,則集

11、合AUB的元 素個(gè)數(shù)最多為(B )A. 62B. 66C. 68D. 74解：先證|AUB| 66,只須證|A 33,為此只須證若A是1 , 2,，49 的任一個(gè) 34 元子集，則必存在nA,使得 2n+2B。證明如下：將1 , 2,，49分成如下 33 個(gè)集合：1 , 4, 3 , 8 , 5 , 12,，23 , 48共 12 個(gè)； 2 , 6 , 10 , 22 , 14 , 30, 18, 38共 4 個(gè)； 25 , 27, 29,49共 13 個(gè);26 , 34 , 42 , 46共 4 個(gè)。由于A是1 , 2, 49的 34 元子集，從而由抽屜原理可知上述 33 個(gè)集合中至少有一個(gè)

12、 2 元集合中的數(shù)均屬于A,即存在nA,使得 2n+2B。如取A=1 , 3 , 5 ,23 , 2 , 10 , 14 , 18 , 25 , 27 , 29 ,49 , 26 , 34 ,42 , 46,B=2n+2|nA,貝 SAB滿足題設(shè)且 |AUB| |AC=| |BD=|FB+|FD,因此,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與F點(diǎn)重合時(shí),|PA+|PB+|PC+|PD取到最小值| AC| |BD|=3.2 2 5。8.在厶ABCffiAAEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB=EF=1,BC=6,AC AB=&33乂33十二36=_1,BE= _BF, 所以1+BF (AC AB)1 = 2, 即233CA二

13、 33,若AB AE AC AF二2,則EF與BC的夾角的余弦值等于解：因?yàn)锳B AE AC A2, 2 . .AB AB BE AC AB AC BF = 2。所以AB (AB BE) AC (AB BF) = 2, 2因?yàn)锳B =1, 10 BF BC=2。設(shè)EF與BC的夾角為6，則有|BF | | BC | cos 2，即 3COS6=2, 所以cos6 =-。39.已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為 1,以頂 為球心，U為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體3解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得 線分為兩類(lèi)： 一類(lèi)在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上， 即AABB面ABC和面AADD上;另一類(lèi)在不過(guò)頂

14、點(diǎn) 面CCDD和面ABCD上。在面AABB上，交線為弧EF且在過(guò)球心A的大圓 上，因?yàn)锳E二亠3,AA=1，貝 S .A,AE二n。同理.BAF=匸，所以.EAF二-,3666故弧EF的長(zhǎng)為巫n=毎n,而這樣的弧共有三條。在面BBCC上，交線為369弧FG且在距球心為 1 的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心 為B,半徑為仝,FBG=上，所以弧FG的長(zhǎng)為三323三條。于是，所得的曲線長(zhǎng)為3 n3 n96610.已知等差數(shù)列an的公差d不為 0,等比數(shù)列bn的公比q是小于 1 的 正有理數(shù)。若a1=d,b1=d2,且占八面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于交 面A的三個(gè)面上，即面BBCCri3。

15、這樣的弧也有2 2 2a1a2asd b2戈2 2 2 2 2 2解：因?yàn)閍19293/3 d) .2d) =142，故由已知條件知道:b+b2+b3d+Rq+dq21 + q+q21+q+q2為14，其中m為正整數(shù)。令1 q q，貝卩是正整數(shù)，則q等于的的 11 q =一1+J2+141=一 丄 +2 U m24m即 5 me 13 且 空也是某個(gè)有理數(shù)的平方，由此可知sin(n)_COs(nX2(0,g(x)在1,3上是增函數(shù)，在-,5上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖4 44 4像關(guān)于直線x =3對(duì)稱(chēng)，則對(duì)任意人丄,？，存在X225，使g(X2)=g(xi)。44 44 4于是5)=g(xi

16、)_2=g(x2)_2_g(x2)_2= f(x2)，而f(x)在*,5上是減函數(shù)，所以VxiJxiJx24 4f (x) _ f (5)=4 5，即f( (x) )在1,-上的最小值是4衛(wèi)衛(wèi)。454 4512.將 2個(gè)a和2 個(gè)b共 4 個(gè)字母填在如圖所示的 16 方格內(nèi)， 每個(gè)小方格內(nèi)至多填 1 個(gè)字母，若使相同字母 同行也不同列，則不同的填法共有| 3960|種(用數(shù)答)。解：使 2 個(gè)a既不同行也不同列的填法有 G2A2=72 種，同樣，使 2 個(gè)b既不同行也不同列的填法也有 &A2=72 種，故由乘法原理，這樣的填法共有 722種，其中不符合要求的有兩種情況：2 個(gè)a所在的方

17、格內(nèi)都填有b的情況有72 種；2 個(gè)a所在的方格內(nèi)僅有 1 個(gè)方格內(nèi)填有b的情況有 CJA2=16X72 種。所以，符合題設(shè)條件的填法共有 722- 72- 16X72=3960 種。三、解答題(本題滿分 60 分，每小題 20 分)n113.設(shè)an-，求證：當(dāng)正整數(shù)n2 時(shí)，amvan。心k(n +1 k)14. 已知過(guò)點(diǎn)(0 , 1)的直線I與曲線C：y=x(x 0)交于兩個(gè)不同點(diǎn)M和xN求曲線C在點(diǎn)M N處切線的交點(diǎn)軌跡。2sin(nxn)+2解：實(shí)際上f(x)二4Jx，設(shè)g(x)-2刑#),證明：由于1k(n +1-k)正整數(shù)n2,有1(an二九GT七)，因此ann 1 kd k,于是

18、，對(duì)任意的kW：一an1(n 1)( n 2)(n 1)(n2)n1(k.k_1) 0，即an+101i31(1) ,x1x2一0，X1X2 0，由此解得：k :：1。對(duì)y二x 1 -k1-k4x求導(dǎo)，得y R，則y k芻二12,y卜無(wú)12，于是直線11的方程為xx-1x2y =(1_4)(XX1)，即y (X1丄)=(1)(x Xj，化簡(jiǎn)后得到直線丨1的方程xx1x1為y =-2) 。同理可求得直線I2的方程為y = (1 -1y) (5)。X-IX1x2x2得 2yp=(3- 2k)Xp+2 ,而Xp=2 ,得yp=4- 2k。又由k：1得2：yp：5,即點(diǎn)P42的軌跡為(2, 2), (

19、2 , 2.5)兩點(diǎn)間的線段(不含端點(diǎn))。2込 (6)。將(3)X2兩式代入(6)式得Xp=2。(4)+(5)得2yp=(2-(g2)Xp2(丄1)，其為x2x1x2丄丄乞上=1X-Ix2X1X2-(5)得(丄-丄)Xp一一 一=0,因?yàn)閄1MX2,故有XpX2X1X1X2X112X112X222片x2(心)2X1X2=(X1+X2)22=1_2(1k)=2k-1，代入(7)式為x2x1x2X1X2X1X2證明：記g (x)=2 ,h(x)=是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的xR g(x+2n)=g(x) ,h(x+2n)=h(x)。g(x) -g(xn令f1(x)二g(x) g(xnf2(x)=2cosx0 x = knn2 . n，x = knh(x) _h(x +nf3(x)二2sin x0,f4(X)二h(x) h(xn2sin 2x0knx =2knx二,其中k為任意整數(shù)。2_ 115.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2n)=f(x),求證：存在 4 個(gè)函 數(shù)fi(x)(i=1 , 2 , 3 , 4)滿足：(1)對(duì)i=1 ,2 , 3 , 4 ,fi(x)是偶函數(shù)，且 對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,有fi(x+n)=fi(x) ; ( 2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x