新2將軍飲馬問題

1、將軍飲馬與最短路線問題將軍飲馬與最短路線問題河南三門峽靈寶市實驗中學河南三門峽靈寶市實驗中學 王婭婭王婭婭 我們每個人都有一對隱形的翅膀，我們每個人都有一對隱形的翅膀， 只要你愿意，只要肯努力，只要不放棄，只要你愿意，只要肯努力，只要不放棄，你一定能張開翅膀在知識的天空中自由翱翔！你一定能張開翅膀在知識的天空中自由翱翔！將軍飲馬問題：將軍飲馬問題：在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的

2、問題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？情境導入情境導入將軍飲馬與最短路線問題將軍飲馬與最短路線問題學習目標學習目標靈活利用將軍飲馬數(shù)學模型解決有關最短路線問題。P兩點之間線段最短兩點之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點在一條直線兩側兩點在一條直線兩側例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路

3、線：最短路線：A -P- B.自主探究自主探究1 1自悟自得：自悟自得： 當兩個點在直線異側時，連接兩點的當兩個點在直線異側時，連接兩點的線段與已知直線的交點即為所求。線段與已知直線的交點即為所求。 例例2.2.如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？路程最短？ AB河河兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側自主探究自主探究2 2 MNBA已知：直線MN和直線MN外同側兩點A、B求作：MN上一點C，使CA+CB最小。兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側BABC作法：作

4、法：（1）作點）作點B關于直線關于直線 MN 的對稱點的對稱點 B（2）連結）連結BA，交，交MN于點于點 C； 點點C就是所求的點就是所求的點MN兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側方法總結：方法總結：1 1、題型：一線兩定一動。、題型：一線兩定一動。2 2、方法：、方法：一次軸對稱。一次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將兩折化直。、思想：轉化，將兩折化直。 已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、ACAC上的點，上的點， 你能在你能在BCBC上確定一點上確定一點R R，使，使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？我學我

5、用 （2010甘肅）如圖菱形如圖菱形ABCDABCD中，中，AB=2,AB=2,BAD=60BAD=60度，點度，點P P是對角線是對角線ACAC上的一個動點，點上的一個動點，點E E是是BCBC的的中點，則中點，則PBEPBE周長的最小值周長的最小值 。PDEABC變式：利用菱形的對稱性求線段和的最小值例例3.3.如圖：一位將軍騎馬從如圖：一位將軍騎馬從駐地駐地A A出發(fā)，先牽馬去出發(fā)，先牽馬去草地草地 OMOM吃草，再牽馬去吃草，再牽馬去河邊河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A，問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？草地草地河邊河邊.駐地駐地AOMN一

6、點在兩相交直線內(nèi)部一點在兩相交直線內(nèi)部合作探究合作探究3 3.AA.C例例3已知如圖已知如圖 和和 內(nèi)一點內(nèi)一點 ,M O NM O NABA.MON一點在兩相交直線內(nèi)部一點在兩相交直線內(nèi)部求作求作:OM上一點上一點B, ON上一點上一點C, 使使AB+BC+AC最小最小作法：作法：（1 1）作點）作點A A關于關于OMOM、 ON ON的對稱點的對稱點AA、A”A”（2 2）連接）連接AA和和A”A”，交，交OMOM于、交于、交 ONON于于則點、即為所求。則點、即為所求。合作交流合作交流方法總結：方法總結：1 1、題型：兩線一定兩動。、題型：兩線一定兩動。2 2、方法：、方法：兩次軸對稱。

7、兩次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將三折化直。、思想：轉化，將三折化直。已知已知P是是ABC的邊的邊BC上的點，你能在上的點，你能在AB、AC上分別確定一點上分別確定一點Q和和R，使，使PQR的周長的周長最短嗎？最短嗎？我學我用?R?Q?O?P?B?A(2011.(2011.山西山西) )如圖，如圖，AOB=30AOB=30, ,角內(nèi)有一點角內(nèi)有一點P P，PO=10cm,PO=10cm,兩邊上各有一點兩邊上各有一點Q Q、R R（均不同于點（均不同于點O O），則），則PQRPQR的周長的最小值是。的周長的最小值是。例例4：如圖，：如圖，A

8、為馬廄，為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬, , 再到河再到河邊飲馬，然后回到帳篷，你能幫助確定這一天邊飲馬，然后回到帳篷，你能幫助確定這一天的最短路線嗎？的最短路線嗎？兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在兩相交直線內(nèi)部引導探究引導探究4 4.B. .C.DAB.AONM已知：已知： MON和和 MON內(nèi)兩點內(nèi)兩點A、B。求作：點求作：點C和點和點D,使得點使得點C在在OM上，上， 點點D在在ON上，且上，且AC+CD+BD+AB最短。最短。.點C、D即為所求。方法總結：方法總結：1 1、題型：兩線兩定兩動。、題型：兩線

9、兩定兩動。2 2、方法：、方法：兩次軸對稱。兩次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將三折化直。、思想：轉化，將三折化直。 （0909湖北）如圖，兩條高速公路互相垂直，湖北）如圖，兩條高速公路互相垂直，AB=50Km,AAB=50Km,A、B B到到X X軸的距離分別為軸的距離分別為10Km10Km和和40Km40Km ， B B到到Y Y軸的距離為軸的距離為30Km30Km，請你，請你在兩條公路旁各修建一服務區(qū)在兩條公路旁各修建一服務區(qū)P P、Q Q，使，使P P、A A、B B、Q Q組成的四組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。邊形的周長

10、最小，并求出這個最小值。BA0中招在線，勇攀高峰中招在線，勇攀高峰類型類型2: 確定下列函數(shù)的自變量取值確定下列函數(shù)的自變量取值范圍范圍: 請談談今天的收獲請談談今天的收獲!這節(jié)課上，我感受最深是這節(jié)課上，我感受最深是這節(jié)課上，我感到最困難的是這節(jié)課上，我感到最困難的是這節(jié)課上，我學會了這節(jié)課上，我學會了 求最短路線問題求最短路線問題- 通過做通過做對稱點對稱點把把A A，B B在直線在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，同側的問題轉化為在直線的兩側，化折線為直線，化折線為直線，利用利用“兩點之間線兩點之間線段最短段最短”加以解決。加以解決。 兩折化直，一次軸對稱兩折化直，一次軸對稱 三折化直，兩次軸對稱三折化直，兩次軸對稱顆粒歸倉 達標測評達標測評1.如圖，正方形如圖，正方形OABC邊長為邊長為6，點，點A、C分別在分別在X軸、軸、Y軸的正半軸上，點軸的正半軸上，點D（2,0）在在OA上上,點點P是是