圓形磁場中的幾個典型問題

1、圓形磁場中的幾個典型問題一做就錯.常見問題許多同學對帶電粒子在圓形有界磁場中的運動問題常常無從下手,.對于這些問題，針對具分別是“最值問題、匯聚發(fā)散問題、邊界交點問題、周期性問題” 體類型，抓住關鍵要素，問題就能迎刃而解，下面舉例說明.一、最值問題的解題關鍵一一抓弦長1 .求最長時間的問題例1真空中半徑為 R=3xi0-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有一磁感應強 度為B=的勻強磁場，方向如圖 1所示一帶正電的粒子以初速度 vo=106m / s從磁場邊界上直徑 ab 一端a點處射入磁場，已知該 粒子比荷為q/m=10 8C / kg ,不計粒子重力，若要使粒子飛離磁場 時偏轉角最大，其入射時粒子初速度的方

2、向應如何（以vo與Oa的夾角 表示）最長運動時間多長小結：本題涉及的是一個動態(tài)問題， 即粒子雖然在磁場中均做同一半徑的勻速圓周運動，但因其初速度方向變化， 使粒子運動軌跡的長短和位置均發(fā)生變化，并且弦長的變化一定對應速度偏轉角的變化， 同時也一定對應粒子做圓周運動軌跡對應圓心角的變化，因而當弦長為圓形磁場直徑時，偏轉角最大.2 .求最小面積的問題例2 帶電質(zhì)點的質(zhì)量為 m,電量為q,以平行于 Ox軸的速度v從y軸上的a點射人如圖3所示第一象限的區(qū)域.為_了使該質(zhì)點能從 x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xoy平面、磁感應強度為 B的勻強 舊4工磁場.若此磁場僅分布

3、在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求此圓形磁場區(qū)J域的最小面積，重力忽略不計.D小結：這是一個需要逆向思維的問題，而且同時考查了空間想象能力，即已知粒子運動軌跡求所加圓形磁場的位置.解決此類問題時，要抓住粒子運動的特點即該粒子只在所加磁 場中做勻速圓周運動， 所以粒子運動的 1 / 4圓弧必須包含在磁場區(qū)域中且圓運動起點、W點必須是磁場邊界上的點，然后再考慮磁場的最小半徑.上述兩類“最值”問題，解題的關鍵是要找出帶電粒子做圓周運動所對應的弦長.二、匯聚發(fā)散問題的解題關鍵一一抓半徑當圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等時，存在兩條特殊規(guī)律；規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點射入磁場，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡

4、半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射點的切線方向平行，如甲圖所示。規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等， 則所 有粒子都從磁場邊界上的同一點射出， 并且出射點 的切線與入射速度方向平行，如乙圖所示。例3如圖5所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向圖5上.在半彳至為 R的圓形區(qū)域內(nèi)加一與 xoy平面垂直的勻強磁場. 在 坐標原點 O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射 具有相同質(zhì)量 m、電荷量q （ q > 0 ）且初速為vo的帶電粒子，不 計重力.調(diào)節(jié)坐標原點 O處的帶電微粒發(fā)射裝置， 使其在xoy平面 內(nèi)不斷地以相同速率

5、 vo沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入x軸上方，現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向射出，則帶電微粒的速度必須滿足什么條件小結：研究粒子在圓形磁場中的運動時，要抓住圓形磁場的半徑和圓周運動的半徑，建 立二者之間的關系，再根據(jù)動力學規(guī)律運動規(guī)律求解問題.三、邊界交點問題的解題關鍵一抓軌跡方程限7例4如圖7所示，在xoy平面內(nèi)x> 0區(qū)域中，有一半圓形勻強磁場區(qū)域，圓心為O,半徑為 R =0.10m ,磁感應強度大小為B=,磁場方向垂直 xoy平面向里.有一線狀粒子源放在y軸左側（圖中未畫出），并不斷沿平行于 x軸正方向釋放出電荷量為 q=+ X10-19C ,初速度vo = x io6m

6、 / s的粒子，粒子的質(zhì)量為 m =x 10-26kg ,不考慮粒子間的相互作用及粒子重力，求：從 y軸任意 位置（0, y）入射的粒子離開磁場時的坐標.點評：帶電粒子在磁場中的運動是最能反映抽象思維與數(shù)學方法相結合的物理模型，本題則利用圓形磁場與圓周運動軌跡方程求交點，是對初等數(shù)學的抽象運用， 能較好的提高學生思維.四、周期性問題的解題關鍵一一尋找圓心角1 .粒子周期性運動的問題例5如圖9所示的空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B .現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力）從A 點沿aA方向射出.求：（1）若方向向外的

7、磁場范圍足夠大，離子自 A點射出后在兩個 磁場不斷地飛進飛出，最后又返回 A點，求返回 A點的最短時間及 對應的速度.（2）若向外的磁場是有界的，分布在以 O點為圓心、半徑為 R和2R的兩半圓環(huán)之 間的區(qū)域，上述粒子仍從 A點沿QA方向射出且粒子仍能返回 A點，求其返回 A點的 最短時間.2 .磁場發(fā)生周期性變化例6如圖12所示，在地面上方的真空室內(nèi)，兩塊正對的平行金屬板水平放置.在兩板之間有一勻強電場，場強按如圖13所示規(guī)律變化（沿 y軸方向為正方向） 在兩板正中間有一圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應強度按圖 14所示規(guī)律變化， 如果建立如圖12所示的坐標系，在t=0時刻有一質(zhì)量 m=x 10-9k

8、g、電荷量q =x 10-6C的帶正電的小球， 以v0=1m /s的初速度沿 y軸方向從 O點射入，分析小球在磁場中的運 動并確定小球在勻強磁場中的運動時間及離開時的位置坐標.小結：對于周期性問題，因為粒子運動軌跡和磁場邊界都B/Xio N圖14是圓，所以要充分利用圓的對稱性及圓心角的幾何關系，尋找運動軌跡的對稱關系和周期性.五、磁場問題的規(guī)律前面分析的六個典型例題，其物理情景各異，繁簡不同，但解題思路和方法卻有以下四個共同點.(1)物理模型相同即帶電粒子在勻強磁場中均做勻速圓周運動.(2)物理規(guī)律相同即洛倫茲力提供運動的向心力，通常都由動力學規(guī)律列方程求解.(3)數(shù)學規(guī)律相同即運用幾何知識求

9、圓心角、弧長、半徑等物理量.(4)解題關鍵相同：一是由題意畫出正確軌跡；二是尋找邊界圓弧和軌跡圓弧的對應 圓心角關系；三是確定半徑和周期， 構建合適的三角形或平行四邊形， 求解圓的弦長、弧長、圓心角等，最后轉化到題目中需求解的問題.【同步練習】1.如圖所示，在半徑為 R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應強度為B的勻強磁場，MN是一豎直放置的感光板. 從圓形磁場最高點 P垂直磁場射入大 量的帶正電，電荷量為 q,質(zhì)量為m ,速度為v的粒子，不考慮粒子間 的相互作用力，關于這些粒子的運動以下說法正確的是()A.只要對著圓心入射，出射后均可垂直打在MN上B.對著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長線不一定過圓心

10、C.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的弧長越長，時間也越長D.只要速度滿足v qBR,沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 m再運用解析幾何知識MN上2.如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m,寬ab=0.3m, O、e分別是ad、bc的中點，以 e為圓心eb為半徑的四分之一圓弧和以 O為圓心Od為半徑的四 分之一圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場(邊界上無磁場)磁感應強度B=。一群不計重力、質(zhì)量 m=3< 10-7kg、電荷量 q=+2 x 10C的帶正電粒子以速度 v=5 x 12m/s沿垂直ad方向且垂 直于磁場射人磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是()A.從Od邊射

11、入的粒子，出射點全部分布在Oa邊B.從aO邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊C.從Od邊射入的粒子，出射點分布在 ab邊D.從ad邊射人的粒子，出射點全部通過b點3、一質(zhì)量為瞪、帶電量為q的粒子以速度%從。點沿3軸正方向射入磁感強度為8的一2處穿過K軸，速度方向圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從 與在軸正向夾角為30° ,如圖1所示(粒子重力忽略不計)。試求：(1)圓形磁場區(qū)的最小面積；(2)粒子從。點進入磁場區(qū)到達 上點所經(jīng)歷的時間;(3)一點的坐標。4、在xoy平面內(nèi)有許多電子(質(zhì)量為 鶴、電量為官),從坐標O不斷以相同速率也沿不同方向射入第一象限，如圖

12、所示。現(xiàn)加一個垂直于立沙平面向內(nèi)、磁感強度為 B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于X軸向K正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。5.如圖所示，在坐標系 xoy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標為 Oi (a, 0),圓內(nèi)分 布有垂直紙面向里的勻強磁場，在直線y=a的上方和直線x=2a的左側區(qū)域內(nèi)，有一沿 x軸負方向的勻強電場，場強大小為 E, 一質(zhì)量為 m、電荷量為+q (q>0)的粒子以速度 v從O 點垂直于磁場方向射入，當入射速度方向沿x軸方向時，粒子恰好從 Oi點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力，求：(1)磁感應強度B的大??；(2)粒子離開第一象限時速度方向與y軸正方

13、向的夾角；(3)若將電場方向變?yōu)檠?y軸負方向，電場強度大小不變，粒子以速度v從。點垂直于磁場方向、并與x軸正方向夾角 9=30°射入第一象限，求粒子從射入磁場到最終離開磁場的總時間to從A點射入的粒子恰好從 y軸上的A6 .如圖所示的直角坐標系中，從直線 x=-2l°到y(tǒng)軸 區(qū)域存在兩個大小相等、方向相反的有界勻強電場， 其中x軸上方的電場方向沿 y軸負方向，x軸下方的 電場方向沿y軸正方向。在電場左邊界從 A (-21°, -l°)點到C (-21°, °)點區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為 +q、質(zhì)量為m的粒子。從某時刻起， A點到C點

14、間的粒子依次連續(xù)以相同速度 v°沿x軸正方向射入電場。(0, -1。)點沿沿x軸正方向射出電場，其軌跡如圖所示。不計粒子的重力及它們間的相互作用。(1)求從AC間入射的粒子穿越電場區(qū)域的時間t和勻強電場的電場強度E的大小。(2)求在A C間還有哪些坐標位置的粒子通過電場后也能沿x軸正方向運動(3)為便于收集沿x軸正方向射出電場的所有粒子，若以直線x=2lo上的某點為圓心的圓形磁場區(qū)域內(nèi)，設計分布垂直于xOy平面向里的勻強磁場， 使得沿x軸正方向射出電場的粒子 經(jīng)磁場偏轉后，都能通過x=2lo與圓形磁場邊界的一個交點。則磁場區(qū)域最小半徑是多大相應的磁感應強度 B是多大7 .如圖所示，在

15、xoy坐標系中分布著三個有界場區(qū)：第一象限中有一半徑為r=0.1m的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度 Bi=1T,方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時與x軸、y軸相切，切點分別為A、C;第四象限中，由y軸、拋物線FG ( y10x2 x 0.025,單位：m)和直線DH ( y x 0.425 ,單位：m)構成的區(qū)域中，存在著方向豎直向下、強度E=C的勻強電場;以及直線DH右下方存在垂直紙面向里的勻強磁場B2=?，F(xiàn)有大量質(zhì)量 m=1 X 1-0 kg (重力不 計)，電量大小為q=2X104C,速率均為20m/s的帶負電的粒子從 A處垂直磁場進入第一象限，速度方向與y軸夾角在0至1800之間。(1)求這些粒子

16、在圓形磁場區(qū)域中運動的半徑；(2)試證明這些粒子經(jīng)過 x軸時速度方向均與 x軸垂直;(3)通過計算說明這些粒子會經(jīng)過y軸上的同一點，并求出該點坐標。8.如圖所示，半圓有界勻強磁場的圓心O1在x軸上，OO1距離等于半圓磁場的半徑，磁感應強度大小為虛線MN平彳T x軸且與半圓相切于 P點。在MN上方是正交的勻強電場和勻強磁場，電場場強大小為 E,方向沿x軸負向，磁場磁感應強度大小為B2。B1, B2方向均垂直紙面，方向如圖所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點O射入第I象限，其中沿x軸正方向進入磁場的粒子經(jīng)過 P點射入MN后，恰好在正交的電磁場中做直線運動，粒子質(zhì)量為 m,電荷量為

17、q (粒子重力不計)。求：(1)粒子初速度大小和有界半圓磁場的半徑。(2)若撤去磁場 B2,則經(jīng)過P點射入電場的粒子從 y軸出電場時的坐標。(3)試證明：題中所有從原點 O進入第I象限的粒子都能在正交的電磁場中做直線運動。9.如圖所示，真空中一平面直角坐標系xOy內(nèi)，存在著兩個邊長為 L的正方形勻強電場區(qū)域I、n和兩個直徑為 L的圓形磁場區(qū)域 出、IV。 電場的場強大小均為 E,區(qū)域I的場強方向沿 x 軸正方向，其下邊界在 x軸上，右邊界剛好與區(qū) 域n的邊界相切；區(qū)域 n的場強方向沿 y軸正方 向，其上邊界在 x軸上，左邊界剛好與剛好與區(qū) 域IV的邊界相切。磁場的磁感應強度大小均為2 2mE

18、,區(qū)域出的圓心坐標為(0, L)、磁場方向垂直于 xOy平面向外；區(qū)域IV的圓心 ,qL2坐標為(0, 2)、磁場方向垂直于 xOy平面向里。兩個質(zhì)量均為 m、電荷量均為q的帶正電粒子M、N,在外力約束下靜止在坐標為( 3L,工)、(3L,433L)的兩點。在2224x軸的正半軸(坐標原點除外) 放置一塊足夠長的感光板， 板面垂直于xOy平面。將粒子M、 N由靜止釋放，它們最終打在感光板上并立即被吸收。不計粒子的重力。求：(1)粒子離開電場I時的速度大小。(2)粒子M擊中感光板的位置坐標。(3)粒子N在磁場中運動的時間。10. 一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度Vo,從O點沿y軸正方向射入磁

19、感應強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為 30 ,同時進入場強為 E、方向沿與x軸負方向成60 角斜向下的勻強電場中，通過了b點正下方的c點，如圖所示，粒子的重力不計，試求：(1)圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積;(2) c點到b點的距離。11.如圖甲所示，質(zhì)量m = x 1-25kg,電荷量q=x ld5C的帶正電粒子從坐標原點O處?gxOy平面射入第一象限內(nèi)，且在與x方向夾角大于等于 30°的范圍內(nèi)，粒子射入時的速度方向不同，但大小均為 V0=xi0n/s。現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B