數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移概述

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移概述人民教育出版社章建躍遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種普遍現(xiàn)象。正是由于遷移，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)才能以某種方式聯(lián)系起來，并能夠在數(shù)學(xué)問題的解決中發(fā)揮作用。數(shù)學(xué)新知識(shí)的掌握總在某種程度上改變著已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；學(xué)生對(duì)已經(jīng)掌握的不同數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行組合，往往可以形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)。諸如此類的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互影響，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象。1.什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移。 學(xué)習(xí)的遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是廣泛存在的。例如，加法的學(xué)習(xí)會(huì)影響乘法的學(xué)習(xí)，有理數(shù)的學(xué)習(xí)會(huì)影響代數(shù)式的學(xué)習(xí)，而代數(shù)式的學(xué)習(xí)又會(huì)影響函數(shù)的學(xué)習(xí)，平面幾何的學(xué)習(xí)會(huì)影響立體幾何的學(xué)習(xí)，等等。不僅如此，在數(shù)

2、學(xué)知識(shí)、技能和能力之間也存在著遷移現(xiàn)象。例如，隨著代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生會(huì)逐漸把方程知識(shí)、不等式知識(shí)與函數(shù)知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來，形成合理的知識(shí)組塊。在面臨有關(guān)問題時(shí)，通過這些知識(shí)的合理轉(zhuǎn)換，形成合理簡(jiǎn)捷的解決方法。例如，解一元二次不等式 （a0），利用二次函數(shù) 的圖像，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程 和考察函數(shù)圖像特征的問題。這是數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)促進(jìn)數(shù)學(xué)技能發(fā)展的典型例子。2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的作用。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移存在于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面。（1）使學(xué)生習(xí)得的各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立更加廣泛而牢固的聯(lián)系，使之概括化、系統(tǒng)化，形成具有穩(wěn)定性、清晰性和可利用性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能

3、夠有效地吸收數(shù)學(xué)新知識(shí)，并逐漸向自我生成數(shù)學(xué)新知識(shí)發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是為了發(fā)展學(xué)生的思維能力，能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，這些都要依靠數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移來實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過程中，在解決當(dāng)前問題的同時(shí)，在遷移的作用下使已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到組織和再組織，提高其抽象概括程度，使其更加完善和充實(shí)，形成一種穩(wěn)定的調(diào)節(jié)機(jī)制，在今后的數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮更好的作用。（2）是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)“雙基”是數(shù)學(xué)活動(dòng)調(diào)節(jié)機(jī)制中不可缺少的因素，是數(shù)學(xué)能力的基本構(gòu)成成份。數(shù)學(xué)能力作為一種個(gè)體心理特征，是一種穩(wěn)定的、能有效調(diào)節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)程和方式的心理結(jié)構(gòu)，它的形成既依賴于數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的掌握，更依賴于這些知

4、識(shí)技能的不斷概括化、系統(tǒng)化，即類化。數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握是在新舊知識(shí)相互作用過程中實(shí)現(xiàn)的，因此必然存在著遷移，而且，數(shù)學(xué)知識(shí)技能的類化只有在遷移中才能實(shí)現(xiàn)。3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的機(jī)制。 （1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的宏觀機(jī)制。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移過程是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的相互作用、逐漸整合的過程。任何數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得都不是一蹴而就的，而是在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，有層次地、螺旋上升地逐漸獲得的。人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程是一個(gè)復(fù)雜的、對(duì)各種數(shù)學(xué)知識(shí)主動(dòng)地進(jìn)行組織和再組織的過程。人的大腦總是傾向于把不同時(shí)間、不同地點(diǎn)獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)加以綜合，從而組織起一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，各種數(shù)學(xué)知識(shí)并不是孤立存在的，而是建

5、立了廣泛聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)型結(jié)構(gòu)。這種網(wǎng)絡(luò)型結(jié)構(gòu)的形成過程，也就是數(shù)學(xué)知識(shí)的整合過程，即是遷移的宏觀機(jī)制。數(shù)學(xué)知識(shí)的整合，是通過如下三條途徑實(shí)現(xiàn)的。a.同化性遷移。同化就是新數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化到已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。數(shù)學(xué)知識(shí)的這種整合過程就叫做同化性遷移過程，其根本特點(diǎn)是“自上而下”的遷移。已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)作為一種上位結(jié)構(gòu)，把處于下位結(jié)構(gòu)中的新知識(shí)吸收到自身中去，從而完成舊知識(shí)對(duì)新知識(shí)的同化。從另一個(gè)角度來說，這也是一個(gè)將新知識(shí)納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去的過程，這個(gè)過程我們稱其為類化。例如，在建立了“四邊形”概念后，再學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形、菱形、矩形、正方形等概念，四邊形這個(gè)上位概念結(jié)構(gòu)就可以把下位的平行四邊形

6、、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念同化到自身中去，建立起一個(gè)四邊形的概念系統(tǒng)。而對(duì)平行四邊形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念的學(xué)習(xí)來說，則是類化到四邊形概念中去的過程。在學(xué)習(xí)具有類屬關(guān)系的內(nèi)容時(shí)所發(fā)生的遷移，都屬于同化性遷移。b.順應(yīng)性遷移。順應(yīng)性遷移也叫協(xié)調(diào)性遷移。在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能把新數(shù)學(xué)知識(shí)吸收（即同化）到自身中去，但新舊知識(shí)間存在共同要素的情況下，已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生順應(yīng)新知識(shí)的變化，即建立一種新的上位結(jié)構(gòu)，以包容已有的下位知識(shí)，這就是順應(yīng)性遷移過程。順應(yīng)性遷移是在學(xué)習(xí)既有聯(lián)系、又有區(qū)別的并列性教材時(shí)發(fā)生的。例如，在學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線等以后再學(xué)習(xí)拋物線知識(shí)，由于圓、橢圓及雙曲

7、線等概念不能把拋物線概念吸收到自身的結(jié)構(gòu)中去，這時(shí)，人就產(chǎn)生一種建立一個(gè)上位概念，即建立圓錐曲線概念的需要，以便把這些既有聯(lián)系有又區(qū)別的下位概念都吸收到圓錐曲線概念中去。顯然，在這個(gè)過程中，已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生了順應(yīng)變化。其中所產(chǎn)生的遷移就是順應(yīng)性遷移。c.結(jié)構(gòu)重組性遷移。已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)成分，按照新的需要重新組合，從而建立起一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是結(jié)構(gòu)重組性遷移。這里，結(jié)構(gòu)重組指的是習(xí)得的知識(shí)的組成成分在新的組合中，僅僅在結(jié)合關(guān)系上進(jìn)行調(diào)整或重新組合，而經(jīng)驗(yàn)的構(gòu)成成分不變。顯然，在數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用、數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用中所發(fā)生的遷移，大量都是結(jié)構(gòu)重組性遷移。例如：已知角

8、、滿足條件 。試證的如下證明：點(diǎn) 都在單位圓 上。如圖所示，ABC的重心坐標(biāo)。令 ，則G的坐標(biāo)變?yōu)?。無論ABC怎樣變化，它的重心G都在單位圓內(nèi)，而且在直線 上。特別地，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)G在單位圓上。因此，。由此得：，即 。成立。在這一證明中，所用的知識(shí)都是過去學(xué)習(xí)過的，只是對(duì)知識(shí)作出了重新組合：利用幾何知識(shí)及解析幾何知識(shí)，把三角不等式問題轉(zhuǎn)化成了距離問題，避免了復(fù)雜的三角變換。另外，結(jié)構(gòu)重組還可能引導(dǎo)人們發(fā)現(xiàn)全新的數(shù)學(xué)方法，獲得前所未有的數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，這種例子是很多的。坐標(biāo)法的引進(jìn)和解析幾何的不斷發(fā)展就是一個(gè)典型的例證。結(jié)構(gòu)重組在數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的。例如，如果學(xué)會(huì)

9、了分?jǐn)?shù)的意義、性質(zhì)以及通分、約分等知識(shí)技能后，就可以在同分母分?jǐn)?shù)加減、異分母分?jǐn)?shù)加減等分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，應(yīng)用結(jié)構(gòu)重組進(jìn)行教學(xué)。這不但能極大地節(jié)約教學(xué)時(shí)間，而且還能提高教學(xué)效率和效果。不僅能使學(xué)生掌握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且還能使學(xué)生利用知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程來認(rèn)識(shí)概念，學(xué)會(huì)通過知識(shí)的重新組合來發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。又如，如果學(xué)生很好地掌握了三角函數(shù)中的任意角概念、三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式，那么他們?cè)趯W(xué)會(huì)了余弦函數(shù)的和角公式后，就可以通過結(jié)構(gòu)重組式的同化遷移，完成三角函數(shù)的“和”、“差”、“倍”、“半”公式的學(xué)習(xí)。總之，結(jié)構(gòu)重組式遷移在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛。教學(xué)中，教師首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組

10、所需的基本要素，然后放手讓學(xué)生自己利用這些基本要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組式遷移，從而大幅度促進(jìn)有關(guān)的派生性教材的掌握。為此，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析出知識(shí)的基本成分或教材的主干內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)內(nèi)容及其教學(xué)順序作出統(tǒng)籌安排。在學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能后，利用結(jié)構(gòu)重組，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)增值性學(xué)習(xí)。這樣才能使學(xué)生在最少的時(shí)間內(nèi)獲得更多的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的微觀機(jī)制。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移微觀機(jī)制是指學(xué)習(xí)遷移中的認(rèn)知成分。心理學(xué)家認(rèn)為，這種認(rèn)知成分可分為兩類。a.分析與抽象。任何遷移過程都包含對(duì)新知識(shí)的組成成分以及與之相關(guān)的原有知識(shí)進(jìn)行分析，對(duì)新、舊知識(shí)的組成成分加以識(shí)別，

11、從而進(jìn)一步抽象出這些不同知識(shí)之間的共同的、本質(zhì)的屬性。分析與抽象是實(shí)現(xiàn)遷移的不可缺少的認(rèn)知成分。分析是把事物分解成不同部分，或分出事物的不同特征及不同的聯(lián)系或關(guān)系。例如，把角分解為銳角、直角、鈍角、平角、；把四邊形分解為平行四邊形、梯形、，又把平行四邊形分解為長(zhǎng)方形、菱形、正方形、；把數(shù)分解為實(shí)數(shù)和虛數(shù)，又把實(shí)數(shù)分解為有理數(shù)、無理數(shù)，又把有理數(shù)分解為整數(shù)、分?jǐn)?shù)，。人們對(duì)事物的分析具有不同的水平和層次。分析可以對(duì)個(gè)別事物進(jìn)行，這是低級(jí)分析形式；也可以對(duì)一類事物進(jìn)行，這是高級(jí)的分析形式。通常，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，為了獲得概念而對(duì)具體實(shí)例所進(jìn)行的分析屬于低級(jí)分析，而對(duì)概念的性質(zhì)所進(jìn)行的分析則屬于高級(jí)分析形

12、式。抽象是在區(qū)分一類事物的共同的、本質(zhì)的特征與個(gè)別的、非本質(zhì)特征及其聯(lián)系的基礎(chǔ)上，舍棄個(gè)別的非本質(zhì)特征而把共同的本質(zhì)特征聯(lián)系抽取出來的高級(jí)分析過程。例如，函數(shù)y2x1，yx2，y0.5x， yx3，雖然形式各異，但它們都是形如yaxb（a、bR，a0）的函數(shù)，這就是一次函數(shù)所具有的共同的、本質(zhì)的特征。這里我們舍棄了a、b的具體性，只抽取了“實(shí)數(shù)（其中a0）”這一本質(zhì)特征，而對(duì)于自變量x，我們則抽取了“指數(shù)為整數(shù)、最高次數(shù)為1”，這就是抽象。抽象與分析的區(qū)別在于所指向的范圍不同。分析指對(duì)個(gè)別事物的個(gè)別性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，抽象是對(duì)一類事物的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。抽象是在分解同類的若干個(gè)別事物的特征或聯(lián)系的基礎(chǔ)上

13、，進(jìn)一步區(qū)分出哪些是共同的、本質(zhì)的。因此，抽象是高級(jí)的分析。b.概括與綜合。綜合是將分析得出的個(gè)別事物的屬性聯(lián)合為一個(gè)整體，從而形成對(duì)事物的整體認(rèn)識(shí)。綜合與分析相對(duì)應(yīng)，在認(rèn)識(shí)具體事物的過程中，分析與綜合同時(shí)在發(fā)揮作用。綜合是在對(duì)相互聯(lián)系的各個(gè)屬性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。例如，在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般是要在閱讀題目的基礎(chǔ)上，對(duì)問題的條件、所求進(jìn)行分析，還要對(duì)需應(yīng)用哪些相關(guān)知識(shí)作出分析，找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，然后在此基礎(chǔ)上，對(duì)問題的解答思路進(jìn)行綜合，總結(jié)出解題方法。概括與抽象相對(duì)應(yīng)，是指把抽象出來的一類是的共同的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來，形成對(duì)此類事物的整體認(rèn)識(shí)。概括在本質(zhì)上也是一種綜合，是一種高級(jí)的綜合。例如，在解答了同類的若干數(shù)學(xué)題后，通過分析、抽象而獲得了它們?cè)诮夥ㄉ系墓餐攸c(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，通過概括可以使學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)解決此類問題的普遍方法。在遷移