全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一二試試題及答案

1、2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1. 已知ABC，若對(duì)任意，則ABC一定為A銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不確定 【答】 （ ）2. 設(shè)，則的取值范圍為A B C D 【答】（ ）3. 已知集合，,，且，則整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ）4. 在直三棱柱中，. 已知與分別為 和的中點(diǎn)，與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）. 若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為 A. B. C. D. 【答】 （ ）5. 設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，是的A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件C. 必要而不充

2、分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答】 （ ）6. 數(shù)碼中有奇數(shù)個(gè)9的2007位十進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為 A B C D 【答】（ ）二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 設(shè)，則的值域是 。8. 若對(duì)一切R，復(fù)數(shù)的模不超過2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .9. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為與，點(diǎn)P在直線l：上. 當(dāng)取最大值時(shí)，比的值為 .10. 底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水 cm3.11. 方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .12. 袋內(nèi)有8個(gè)白球和2個(gè)紅球，每次從中隨機(jī)取出一個(gè)球，然后

3、放回1個(gè)白球，則第4次恰好取完所有紅球的概率為 .三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13. 給定整數(shù)，設(shè) 是拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn). 試證明對(duì)于任意正整數(shù)，必存在整數(shù)，使為拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn).14. 將2006表示成5個(gè)正整數(shù)之和. 記. 問：（1）當(dāng)取何值時(shí)，S取到最大值；（2）進(jìn)一步地，對(duì)任意有，當(dāng)取何值時(shí)，S取到最小值. 說明理由.15. 設(shè) . 記，. 證明：.一試參考答案一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1.【答】 （ C ）【解】令，過A作于D。由，推出,令，代入上式，得 ，即 , 也即 。從而有。由此可得 。 2.【答】（ B ）【解】因?yàn)?，解?. 由 解得

4、 ；或 解得 ，所以的取值范圍為 . 3.【答】 （ C ）【解】；。要使，則，即。所以數(shù)對(duì)共有。 4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則（），（）。所以，。因?yàn)椋?，由此推?。又，從而有 。5.【答】 （ A ）【解】顯然為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增。于是若，則，有，即，從而有.反之，若，則,推出 ，即 。 6. 【答】（ B ）【解】出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)9的十進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)有。又由于以及，從而得。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7.【解】。令，則。因此。 即得。8. 【解】依題意，得 （）（對(duì)任意實(shí)數(shù)成立） . 故 的取值范圍為 。9. 【解】 由平面幾何知，

5、要使最大，則過，P三點(diǎn)的圓必定和直線l相切于P點(diǎn)。設(shè)直線l交x軸于A，則，即，即 （1），又由圓冪定理，（2），而，A，從而有，。代入（1），（2）得。10. 【解】設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，分別為四個(gè)球心在底面的射影。則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形。所以注水高為。故應(yīng)注水。11.【解】要使等號(hào)成立，必須，即。但是時(shí)，不滿足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為 1 。12. 【解】第4次恰好取完所有紅球的概率為=0.0434.三. 解答題（本題滿分60分，每小題20分）13. 【證明】 因?yàn)榕c的交點(diǎn)為.顯然有。（5分）若為拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)，則. （1

6、0分）記，則 ，（13.1）由于是整數(shù)，也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，通過（13.1）式可證明對(duì)于一切正整數(shù)，是正整數(shù). 現(xiàn)在對(duì)于任意正整數(shù)，取，使得與的交點(diǎn)為. （20分）14. 【解】 （1） 首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若, 且使 取到最大值，則必有 （5分） (*)事實(shí)上，假設(shè)（*）不成立，不妨假設(shè)。則令，,()有，。將S改寫成同時(shí)有 。于是有。這與S在時(shí)取到最大值矛盾。所以必有 . 因此當(dāng)取到最大值。 （10分）（2）當(dāng)且時(shí)，只有（I） 402， 402， 402， 400， 400；（II） 402， 402， 401， 401， 400；（III） 402

7、， 401， 401， 401， 401； 三種情形滿足要求。 （15分）而后面兩種情形是在第一組情形下作，調(diào)整下得到的。根據(jù)上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式 變大。 所以在情形取到最小值。 （20分）15. 【證明】（）如果，則，。 （5分）（）如果，由題意 ，,. 則 當(dāng) 時(shí)，（）. 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，, 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），則對(duì)， . 當(dāng) 時(shí)，（）.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，, 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），則對(duì)，有.注意到 當(dāng)時(shí),總有，即 . 從而有.由歸納法，推出 。 （15分）（3）當(dāng)時(shí)，記，則對(duì)于任意，且。對(duì)于任意，, 則。 所以，。當(dāng)時(shí)，即。因此。綜合（）（）（），我們有。 （20分）200

8、6年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試卷（考試時(shí)間：上午10：0012：00）一、以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與AB0B1的邊ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧P0Q0交C1B0的延長(zhǎng)線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長(zhǎng)線于P1；以B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長(zhǎng)線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1P0，交AB0的延長(zhǎng)線于P0。試證：（1）點(diǎn)P0與點(diǎn)P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）四點(diǎn)P0、Q0、Q1、P1共圓。二、已知無窮數(shù)列an滿足a0=x，a1=y，n=

9、1、2、。（1）對(duì)于怎樣的實(shí)數(shù)x與y，總存在正整數(shù)n0，使當(dāng)n0n時(shí)an恒為常數(shù)？（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。三、解方程組。2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案一、（本題滿分50分）以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與AB0B1的邊ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧P0Q0交C1B0的延長(zhǎng)線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長(zhǎng)線于P1；以B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長(zhǎng)線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1P0，交AB0的延長(zhǎng)線于P0。試證：（1）點(diǎn)P0與點(diǎn)P0重合，且圓弧

10、P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）四點(diǎn)P0、Q0、Q1、P1共圓。證明：（1）顯然B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P0分別相內(nèi)切于點(diǎn)Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P0。四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P0在B0P0或其延長(zhǎng)線上，有B0P0=B0P0。從而可知點(diǎn)P0與點(diǎn)P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0、圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點(diǎn)P0。（2）現(xiàn)在分別過點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓

11、弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T。又過點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點(diǎn)R1和S1。連接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R1和P1Q1S1?；诖耍覀兛捎蒔0Q1P1=P0Q1R1P1Q1S1=(P1P0TQ1P0P1)(P0P1TQ1P1P0)而P0Q1P1=Q1P0P1+Q1P1P0，代入上式后，即得，同理可得。所以四點(diǎn)P0、Q0、Q1、P1共圓。二、（本題滿分50分）已知無窮數(shù)列an滿足a0=x，a1=y，n=1、2、。（1）對(duì)于怎樣的實(shí)數(shù)x與y，總存在正整數(shù)n0，使當(dāng)n0n時(shí)an恒為常數(shù)？（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：（1）我們有，n=1、2、。

12、（2.1）所以，如果對(duì)某個(gè)正整數(shù)n，有an+1=an，則必有(an)2=1，且an+an10。如果該n=1，我們得|y|=1且xy。（2.2）如果該n>1，我們有，n2，（2.3）和，n2。（2.4）將式（2.3）和（2.4）兩端相乘，得，n2。（2.5）由（2.5）遞推，必有（2.2）或|x|=1且yx。（2.6）反之，如果條件（2.2）或（2.6）滿足，則當(dāng)n2時(shí)，必有an=常數(shù)，且常數(shù)是1或1。（2）由（2.3）和（2.4），我們得到，n2。（2.7）記，則當(dāng)n2時(shí)，由此遞推，我們得到，n2，（2.8）這里Fn=Fn1+Fn2，n2，F(xiàn)0=F1=1。（2.9）由（2.9）解得。（2

13、.10）上式中的n還可以向負(fù)向延伸，例如F1=0，F(xiàn)2=1。這樣一來，式（2.8）對(duì)所有的n0都成立。由（2.8）解得，n0。（2.11）式（2.11）中的F1、F2由（2.10）確定。三、（本題滿分50分）解方程組。解：令p=x+z、q=xz，我們有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q2q2。同樣，令s=y+w、t=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t2t2。在此記號(hào)系統(tǒng)下，原方程組的第一個(gè)方程為p=s+2。（3.1）于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+

14、32s+16。現(xiàn)在將上面準(zhǔn)備的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表達(dá)式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q2q2=y4+w4+4s2t2t2+8s3+24s2+32s+16。利用原方程組的第二至四式化簡(jiǎn)，得q=t+2s1，（3.2）pq=st+2s2+4s4，（3.3）2p2qq2=2s2tt2+4s3+12s2+16s25。（3.4）將（3.1）和（3.2）代入（3.3），得，（3.5）將（3.5）代入（3.2），得，（3.6）將（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。所以有t

15、=0，p=4，q=3。這樣一來，x、z和y、w分別是方程和的兩根，即或，且或。詳言之，方程組有如下四組解：x=3，y=2，z=1，w=0；或x=3，y=0，z=1，w=2；或x=1，y=2，z=3，w=0；或x=1，y=0，z=3，w=2。注：如果只得到一組解，或者不完整，最多得40分。2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題的另解杜偉杰 （廣東仲元中學(xué) 511400）2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第一題以和為焦點(diǎn)的橢圓與的邊交于。在的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧交的延長(zhǎng)線于；以為圓心，為半徑作圓弧，交的延長(zhǎng)線于。試證：（1） 點(diǎn)與點(diǎn)重合，且圓弧與相切于點(diǎn)；（2） 四點(diǎn)、共圓。（原題圖略） 第（1）問的證明略，下面著重討論第2問的另一種證明方法：構(gòu)思：證明四點(diǎn)共圓，如果能找（或猜測(cè)）到該圓的圓心，轉(zhuǎn)而證明圓心到四點(diǎn)距離相等，也是一個(gè)常用的方法，那么圓心究竟在哪里？試驗(yàn)：由題意可以知道：=常數(shù)（大于）。利用幾何畫板制作如圖1所示的試驗(yàn)場(chǎng)景，其中圓為四邊形的外接圓。圖1拖動(dòng)點(diǎn)，觀察圓心位置的變化，猜測(cè)點(diǎn)可能是的內(nèi)心與的內(nèi)心（這兩個(gè)三角形的內(nèi)心可能是重合的）。利用幾何畫板中的測(cè)量工具測(cè)得相關(guān)角的度數(shù)，可以驗(yàn)證這個(gè)猜想是正確的！所以我們就有了下面的另解