高考數(shù)學(xué)超強(qiáng)排查卷(下)2011屆惠州一模

1、 524500 廣東省吳川市第一中學(xué) 柯厚寶高考數(shù)學(xué)超強(qiáng)排查卷(下) 2011屆惠州一模三、解答題(本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明， 16(本小題滿分12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 16.【題型】三角化簡(jiǎn)求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【審題】(1)為輔助角公式模型，依此化簡(jiǎn)，并注意到及點(diǎn)所在的象限可求得，從而得的最大值與的集合；(2)令，參考的圖象觀察其單調(diào)性質(zhì)可得的增區(qū)間，再換算為的范圍可得的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】解：(1) 4分當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.因此，取得最大值的自變量的集合是.8分(2)，由題意得，即.因此，的單調(diào)

2、增區(qū)間是. 12分【易錯(cuò)警示】(1)輔助角模型公式不熟練難以找到解題入口，(2)易錯(cuò)求的值而使全題皆錯(cuò).【矯正建議】(1)三角公式的選用有很強(qiáng)的模型特征，如為輔助角公式模型，、為兩角和與差的正(余)弦公式模型，、為二倍角模型，、為誘導(dǎo)公式模型，熟練這些模型是快速找到解題入口的關(guān)鍵，(2)中的極易求錯(cuò)，需認(rèn)準(zhǔn)在前在后，且前面的系數(shù)為,前面的系數(shù)為，由比值及點(diǎn)所在的象限才能唯一確定.【超強(qiáng)排查】1、涉及考點(diǎn)、方法：輔助角公式，函數(shù)的最值、圖象、性質(zhì)，公式法、數(shù)形結(jié)合.2、相關(guān)考點(diǎn)、方法：(1)涉及基本公式的化簡(jiǎn)求值：參閱第6題及其解析，(2)涉及誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值：如本題中的換為，(3)涉及二倍角

3、公式的化簡(jiǎn)求值：如本題中的換為(4)涉及兩角和差的正(余)弦公式的化簡(jiǎn)求值：如本題中的換為，(5)涉及平面向量的平行、垂直、數(shù)量積的化簡(jiǎn)求值：如題目換為，(6)涉及函數(shù)圖象的平移與伸縮：將函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移與伸縮變換可得 的圖象？（向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，向上平移2個(gè)單位），(7)涉及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心：求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心，(8)涉及解三角形問(wèn)題：在中，求角，(9)涉及三角形的面積計(jì)算:在中,求角，點(diǎn)評(píng)：熟悉三角基本公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和差的正(余)弦公式、向量的平行、垂直、數(shù)量積、函數(shù)圖象的平移與伸縮、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心、單調(diào)性、

4、正弦定理、余弦定理、 三角形面積公式、勾股定理及熟記如、的三角函數(shù)值，是解決這類(lèi)題的根本. 補(bǔ) 充 粘 貼 17(本小題滿分12分)已知關(guān)的一元二次函數(shù)，設(shè)集合,，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)和得到數(shù)對(duì)(1)列舉出所有的數(shù)對(duì)并求函數(shù)有零點(diǎn)的概率；(2)求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率. 17.【題型】古典概率問(wèn)題【審題】(1)二次函數(shù)有零點(diǎn)(注：隱含了)，說(shuō)明該函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，即，而，取定一個(gè)，再列另一個(gè)，如取，有，得，取，有，得，取，有，得；(2)由于圖象的開(kāi)口方向向上，在區(qū)間上是增函數(shù),說(shuō)明其對(duì)稱(chēng)軸在1的左邊,即,有,再用上面的方法列舉得滿足增函數(shù)的種數(shù),而取,有,取,有,取,有,共15種

5、，于是得所求的概率.【詳解】(1)共有種情況 4分函數(shù)有零點(diǎn)，有共6種情況滿足條件 6分所以函數(shù)有零點(diǎn)的概率為 8分(2)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為在區(qū)間上是增函數(shù)則有， 共13種情況滿足條件 10分所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為 12分【易錯(cuò)警示】(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念不清，不能得到；(2)對(duì)二次函數(shù)的單調(diào)性也用導(dǎo)數(shù)求，加大運(yùn)算量而致錯(cuò)；(3)對(duì)的列舉存在重復(fù)或遺漏而致錯(cuò).【矯正建議】(1)函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如函數(shù)的零點(diǎn)是(而不是)；(2)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性建議從函數(shù)圖象的開(kāi)口方向與對(duì)稱(chēng)軸的位置直接而得，別用導(dǎo)數(shù)計(jì)算；(3)當(dāng)列舉的情況較為復(fù)雜時(shí)，必需固定一個(gè)元素，再列舉另一個(gè)元

6、素，防止重復(fù)與遺漏.【超強(qiáng)排查】1、涉及考點(diǎn)、方法：二次函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的單調(diào)性、古典概率的計(jì)算，列舉法、數(shù)形結(jié)合法.2、相關(guān)考點(diǎn)、方法：(1)函數(shù)的零點(diǎn)：函數(shù)在上連續(xù)，且，在上至少存在1個(gè)零點(diǎn)(若在為單調(diào)函數(shù)，則在上存在唯一1個(gè)零點(diǎn))，如函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )B. A B C D(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：開(kāi)口方向向上型：對(duì)稱(chēng)軸為，在上遞減，在上遞增，開(kāi)口方向向下型：對(duì)稱(chēng)軸為，在上遞增，在上遞減，二次函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .(3)古典概率的求法，列舉法設(shè)全部事件的總數(shù)為，事件發(fā)生的種數(shù)為，則事件發(fā)生的概率.(4)幾何概率的求法，長(zhǎng)度法、面積法、體積法與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何

7、概型概率：,如，A、B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問(wèn)A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是.與面積有關(guān)的幾何概型概率：,如，在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于的概率為(提示：在線段上任取兩點(diǎn)A、B，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則，滿足題設(shè)的條件為，即，如圖，)， CC1與體積有關(guān)的幾何概型概率：,如，如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，AB是圓的直徑，且，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為.當(dāng)點(diǎn)C的在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（將點(diǎn)C放于的中點(diǎn)，求體積比） 補(bǔ) 充 粘 貼 18(本小題滿分14分)AB

8、CDEFP如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別為、的中點(diǎn)，側(cè)面，且.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.18.【題型】立幾平行與垂直的證明、體積與面積的計(jì)算【審題】(1)底面是邊長(zhǎng)為的正方形，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，說(shuō)明，且F是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，知EF是的中位線，于是，證得平面，也可以取CD的中點(diǎn)G，通過(guò)證明平面平面來(lái)證明，更可以取PD的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，通過(guò)證明四邊形EFNM為平行四邊形來(lái)證明；(2)由，知為等腰三角形，取AD的中點(diǎn)N，則有，又側(cè)面，且側(cè)面，從而，說(shuō)明PN可作為三棱錐的高，又可求得高PN與，進(jìn)而得三棱錐的體積.【詳解】(1)證法1(中位線法)：連結(jié)，則是的

9、中點(diǎn)，為的中點(diǎn)故在中， ， 3分(一平行)且平面PAD，平面PAD， (一內(nèi)一外)平面PAD 6分ABCDEFPG證法2(面/面法)：取CD的中點(diǎn)G，由E為PC的中點(diǎn)，得，而平面PAD，平面PAD，平面PAD，2分又F是BD的中點(diǎn)，得，底面ABCD為正方形，有，得，平面PAD，平面PAD，平面PAD，5分由，得平面平面，而平面，ABCDEFPMN平面PAD；6分證法3(平行四邊形法)：取PD的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，由E是PC的中點(diǎn)，得，又F是BD的中點(diǎn)，得，底面ABCD為正方形，有，于是，4分四邊形MEFN為平行四邊形，于是，平面PAD，平面PAD，平面PAD；6分(2)取的中點(diǎn)N,連結(jié), 8

10、分又平面平面，平面平面=, 10分 14分【易錯(cuò)警示】基本定理、方法總結(jié)不到位，產(chǎn)生思路不清晰，表達(dá)混亂的毛病.【矯正建議】理清線、面間平行與垂直證明的原理，以垂直為核心，多書(shū)寫(xiě)，并與答案進(jìn)行對(duì)比，找出不足并加以矯正.【超強(qiáng)排查】1、涉及考點(diǎn)、方法：“線面”、“線面”的證明，體積的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，推理論證.2、相關(guān)考點(diǎn)、方法：(1)“線線”的證明方法：中位線法，線段成比例法，構(gòu)造平行四邊形法，線面法，(2)“線面”的證明方法：線線法，面面法，(3)“面面”的證明方法：兩次線面法，兩面垂直于同一直線(或兩條平行直線)法，(4)“線線”的證明方法：勾股定理逆定理法(用計(jì)算來(lái)證明)，線面法，如本題，

11、證明，(5)“線面”的證明方法：兩次線線法，面面，線交線法，如本題，證明平面，(6)“面面”的證明方法：線面，線在另一面上法，如本題，設(shè)是上的任一點(diǎn)，證明平面平面，(7)體積的求法：以尋高為核心，先證明線面，說(shuō)明高，再求高與底面積，有時(shí)需要變換底面. 補(bǔ) 充 粘 貼 19(本小題滿分14分)已知函數(shù)(1)若，點(diǎn)P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；(2)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a 19.【題型】函數(shù)與不等式綜合題【審題】(1)，確定為，切線的斜率為二次函數(shù)，用配方法得的最小值，也得到了切點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求得了切線方程；(2)函數(shù)上為單調(diào)增函

12、數(shù)在上恒成立，分離系數(shù)得或，再求或即得的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)切線的斜率為k，則2分又，所以所求切線的方程為：5分即6分(2)方法1(變量分離法):，要使為單調(diào)增函數(shù)，必須滿足即對(duì)任意的8分11分而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以所求滿足條件的a 值為1 14分方法2(數(shù)形結(jié)合法)：，要使為單調(diào)增函數(shù)，必須滿足即對(duì)任意的8分即，令，在上，恒有，得xyO圖1(圖1)或(圖2)，12分xyO圖2或，即，13分滿足條件的最大整數(shù)a為1.14分【易錯(cuò)警示】同學(xué)們對(duì)函數(shù)解答題有一種恐懼心理，認(rèn)為一定是解決不了的，萬(wàn)沒(méi)想到解決這類(lèi)問(wèn)題也有很強(qiáng)的規(guī)律性，它只是將一些常用的方法綜合在一起罷了，只要順著題意走，

13、就能解決問(wèn)題.【矯正建議】要解開(kāi)心結(jié)，得從認(rèn)識(shí)上解放出來(lái)，從一開(kāi)始就認(rèn)定問(wèn)題是可以解決的，只是時(shí)間的問(wèn)題.【超強(qiáng)排查】1、涉及考點(diǎn)、方法：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式，數(shù)形結(jié)合法、變量分離法.2、相關(guān)考點(diǎn)、方法：(1)曲線切線的求法與應(yīng)用：一抓切點(diǎn)(未知時(shí)需要設(shè)為)；二抓斜率， 三用點(diǎn)斜式求切線方程，如，已點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為，(提示：將直線平移到與曲線相切，求得切點(diǎn)，再求切點(diǎn)到直線的距離即可)，(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法：(i)求，(ii)令解得的增區(qū)間(注：若有多個(gè)增區(qū)間，需用“，”隔開(kāi)，減區(qū)間的同樣)，令解得的減區(qū)間，含有參數(shù)的，需要分

14、類(lèi)討論(二次函數(shù)的用數(shù)形結(jié)合或變量分離法)，如求函數(shù)的增區(qū)間(答案：時(shí)，；時(shí)，)，知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范圍：(i)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立， 且不恒成立，(ii)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立，且不恒成立，(3)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值：(i)由求可能的極值點(diǎn)，(ii)由與考慮的單調(diào)性(注：有時(shí)可以直接給出，如)，(iii)由單調(diào)性判斷并計(jì)算出極值、(注：若求的是極值點(diǎn)，則只需求出)，(4)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值：(i)用(3)中的方法求出所有的極值，(ii)求端點(diǎn)值，(iii)比較極值與端點(diǎn)值得最值，(5)參數(shù)問(wèn)題范圍的常用求法：變量分離法：本題的解法1，數(shù)形結(jié)合法：本題的解法2，反客為主法：如已知

15、函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成交，求的取值范圍，(答案，提示：將變形為，令，變成了關(guān)于的一次函數(shù)，分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，解得或，又，有或，要使在上的任意，成立，必須或)，分類(lèi)討論法：如上面的求的范圍時(shí)就用到了分類(lèi)討論法，判別式“”法：如函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，(答案，提示：由得)，換元法：如已知函數(shù)在上恒成立，求的取值范圍，(答案，提示：令，有，數(shù)形結(jié)合，由或或得)，基本不等式法：本題解法1. 補(bǔ) 充 粘 貼 20. (本小題滿分14分)在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切(1)求圓的方程；(2)已知、，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，求的取值范圍 20.【題型】直線、圓、圓錐曲線問(wèn)題【審題】(

16、1)圓M的圓已知，只求得半徑即可，而由圓與直線知圓心M到該直線的距離，得到，(2)由于A、B、O均為定點(diǎn)，而點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，若設(shè)，代入整理可得點(diǎn)P滿足的條件，在此條件下再求的范圍即可.【詳解】(1)依題意，圓的半徑等于圓心到直線的距離，即 4分圓的方程為 6分(2)設(shè)，由，得，即9分點(diǎn)P的范圍是位于圓M內(nèi)的一段雙曲線，由解得或(舍去)，的取值范圍是，11分由，得，的取值范圍為 14分【易錯(cuò)警示】若不注意數(shù)形結(jié)合，第(2)問(wèn)易出現(xiàn)如下兩種錯(cuò)解：錯(cuò)解1：由點(diǎn)P在圓M內(nèi)，得，有，即，得， ，又得，的取值范圍為，錯(cuò)解2：，點(diǎn)在圓內(nèi)，的取值范圍為【矯正建議】解答圓錐曲線問(wèn)題建議盡可能地畫(huà)出其圖形，做到以圖代

17、算、對(duì)稱(chēng)而算，從而達(dá)到降低運(yùn)算量、提高解題效率的效果.【超強(qiáng)排查】1、涉及考點(diǎn)、方法：直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，方程(組)法，2、相關(guān)考點(diǎn)、方法：(1)直線方程的求法：知點(diǎn)與斜率用點(diǎn)斜式：，知兩點(diǎn)用點(diǎn)斜式：，知斜率與軸上的截距用斜截式：，知在軸上的截距與軸上的截距用截距：，知與軸或軸垂直的直線數(shù)形結(jié)合直接寫(xiě)出：或，(2)兩直線、平行與垂直：，且(注：時(shí)，與重合，若要求平行，需排除)，(注：若知兩直線互相垂直，及，可據(jù)此求)，(3)與距離相關(guān)的公式：兩點(diǎn)間的距離：，點(diǎn)到直線的距離：，兩平行直線、間的距離：，(4)直線與圓的位置關(guān)系：相離：，考慮圓周上一點(diǎn)到直線的最大距離()與最

18、小距離()，相切：，(i)求切線方程，(ii)求圓的方程，相交：，(i)求弦方程，(ii)求弦長(zhǎng)，(5)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：沒(méi)有交點(diǎn)：方程組沒(méi)有實(shí)根(消去或后，)；只有一個(gè)交點(diǎn)：方程組有相等實(shí)根(消去或后，)；只兩個(gè)交點(diǎn)：方程組有不相等實(shí)根(消去或后，)；(6)圓與圓錐曲線的位置關(guān)系：沒(méi)有交點(diǎn)：方程組沒(méi)有實(shí)根(消去或后，)；只有一個(gè)交點(diǎn)：方程組有相等實(shí)根(消去或后，)；有兩個(gè)或兩個(gè)以上交點(diǎn)：方程組有不相等實(shí)根(消去或后，)；點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合與方程(組)法是解決這類(lèi)問(wèn)題的核心方法. 補(bǔ) 充 粘 貼 21(本小題滿分14分)已知(為常數(shù)，且)，設(shè)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求； (3)若，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍. 21.【題型】函數(shù)、數(shù)列與不等式問(wèn)題【審題】(1)由題意可先求得，再轉(zhuǎn)換為，然后用定義證明是等比數(shù)列；(2)由于與均求得，于是求得，將代入，觀察其模型，采用相應(yīng)的求和方法求；(3)由代入可求得，要使中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，需考慮，分離變