高等數(shù)學(xué)(同濟(jì))重要公式

1、導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)'=secx(ctgx)'=-csc2x(secx)'=secxtgx(cscx)'=-cscxctgx(ax)'=axlna(logax)'=xlna基本積分表：2(arcsinx)'=-x2(arccosx)'=-x21(arctgx)'=1+x2(arcctgx)'=-1+x2tgxdx=-lncosx+Cctgxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Ca2+x2aadx1x-a=lnx2-a22ax+a+

2、Cdx1a+x=a2-x22alna-x+Cdxx=arcsin+Ca2-x2a2ndx2=sec2cosxxdx=tgx+Cdx2=cscsin2xxdx=-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Ccscxctgxdx=-cscx+Caxadx=lna+Cxshxdx=chx+Cchxdx=shx+Cdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+C2In=sinxdx=cosnxdx=n-1In-2nx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+C22

3、a22三角函數(shù)的有理式積分：2u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx= 22221+u1+u1+u一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：ex-e-x雙曲正弦:shx=2ex+e-x雙曲余弦:chx=shxex-e-x雙曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函數(shù)公式： ·誘導(dǎo)公式：limsinx=1x0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045.xx·和差角公式： ·和差化積公式：sin(±)=sincos±co

4、ssincos(±)=coscos sinsintg(±)=tg±tg1 tgtgctgctg 1ctg(±)=ctg±ctgsin+sin=2sin+22+-sin-sin=2cossin22+-cos+cos=2coscos22+-cos-cos=2sinsin22cos-·倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2ctg2-1ctg2=2ctg2tgtg2=1-tg2·半角公式： sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos3tg-tg3tg3=1-3

5、tg2sintg2=±=±-cos+coscos=±2221-cos1-cossin+cos1+cossin=ctg=±=1+cossin1+cos21-cossin1-cosabc=2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinC2·正弦定理：·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=2-arccosxarctgx=2-arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)(n-2)n(n-1)

6、 (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)f(b)-f(a)f'()=F(b)-F(a)F'()曲率： 當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=+y'2dx,其中y'=tg平均曲率：K=:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s：MM'弧長。sy''dM點(diǎn)的曲率：K=lim=. 23s0sds(1+y')直線：K=0;1半徑為a的圓：K=.a定積分的近似計(jì)算：b矩

7、形法：f(x)abb-a(y0+y1+ +yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1)3n 梯形法：f(x)ab拋物線法：f(x)a定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=Fs水壓力：F=pAmm引力：F=k122,k為引力系數(shù) rb1函數(shù)的平均值：y=f(x)dxb-aa12f(t)dtb-aa空間解析幾何和向量代數(shù)： b空間2點(diǎn)的距離：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在軸上的投影：Prju=cos,是u軸的夾角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2 ab=a

8、bcos=axbx+ayby+azbz,是一個(gè)數(shù)量,兩向量之間的夾角：cos=i c=ab=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222k az,c=absin.例：線速度：v=wr.bzaybycyaz bz=abccos,為銳角時(shí)， czax 向量的混合積：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：d=Ax0+By0+Cz0+DA2

9、+B2+C2x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,p;參數(shù)方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同號）2p2q3、雙曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（馬鞍面）1abc多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx當(dāng)u=u(x,y)，v=v(x,

10、y)時(shí)，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：FxFFdydyd2y隱函數(shù)F(x,y)=0=-2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隱函數(shù)F(x,y,z)=0=-x=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)u隱函數(shù)方程組：J=G(u,v)G(x,y,u,v)=0uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用： Fv=FuGGuvFvGvx=(t)x-xy-y0z-z0空間曲線y=(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)0=''

11、(t)(t)'(t0)00z=(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0 FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空間曲線方程為：,則切向量T=,GGGxGxyzGzG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，則：1、過此點(diǎn)的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度： FyGy2、過此點(diǎn)的切平面方程：Fx(x0,

12、y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0fff函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向l=cos+sinlxy其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。f f i+jxyf它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，為l方向上的l單位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(

13、x0,y0)為極大值2AC-B>0時(shí)，A>0,(x0,y0)為極小值2則：值A(chǔ)C-B<0時(shí)，無極AC-B2=0時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用：f(x,y)dxdy=f(rcos,rsin)rdrdDD'曲面z=f(x,y)的面積A=Dzz+ + dxdy xy22=Mx=Mx(x,y)dD(x,y)dDD,=MyM=y(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ix=y2(x,y)d,對于y軸Iy=x2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fD(x,y)xd(x+y+a)2

14、222Fy=f3D(x,y)yd(x+y+a)2222Fz=-fa3D(x,y)xd(x+y+a)22322柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：x=rcos柱面坐標(biāo)：f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,y=rsin,z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)x=rsincos2球面坐標(biāo)：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz=F(r,)r2sindrdd=dd00F(r,)r02sindr=1Mxdv,=1Mydv,=1Mzdv，其中M=dv轉(zhuǎn)動慣量：Ix=(y2+z2)dv，Iy=(x2+z2)dv，I

15、z=(x2+y2)dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：x=(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t),則：y=(t)Lx=tf(x,y)ds=f(t),(t'2(t)+'2(t)dt(<)特殊情況：y=(t)第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：x=(t)設(shè)L的參數(shù)方程為，則：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)'(t)dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系：Pdx+Qdy=(Pcos+Qcos)ds，其中和分別為LLL上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。QPQP格林公式：(-)dxdy=Pdx

16、+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyxyxyDLDLQP1當(dāng)P=-y,Q=x-=2時(shí)，得到D的面積：A=dxdy=xdy-ydxxy2LD·平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！·二元函數(shù)的全微分求積：QP在時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)xyu(x,y)=(x0,y0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常設(shè)x0=y0=0。曲面積分：22對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds=f

17、x,y,z(x,y+z(x,y)+z(x,y)dxdyxyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：，其中：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy號；R(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正Dxy號；P(x,y,z)dydz=±Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正Dyz號。Q(x,y,z)dzdx=±Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式：(PQR+)dv=Pdydz+Qd

18、zdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)dsxyz高斯公式的物理意義通量與散度：PQR 散度：div=+,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div<0,則為消失.xyz 通量：Ands=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可寫成：divAdv=Ands斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：(RQPRQP-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=Pdx+Qdy+RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxcos上式左端又可寫成：=xyzxPQRPRQPRQP空間曲線積分與路徑無=yzzxxyijk 旋度：rotA=xyzPQR 向量場A

19、沿有向閉曲線Pdx+Qdy+Rdz=Atds常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：1-qn等比數(shù)列：1+q+q+ +q=1-q(n+1)n等差數(shù)列：1+2+3+ +n= 2111調(diào)和級數(shù)：1+ +是發(fā)散的23n2n-1級數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：<1時(shí)，級數(shù)收斂設(shè)：=limn，則>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散n=1時(shí)，不確定2、比值審斂法：<1時(shí)，級數(shù)收斂U設(shè)：=limn+1，則>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散nUn=1時(shí)，不確定3、定義法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級數(shù)u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的審斂法萊布尼

20、茲定理：unun+1如果交錯(cuò)級數(shù)滿足su1,其余項(xiàng)rnrnun+1。limu=0，那么級數(shù)收斂且其和nn絕對收斂與條件收斂：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。1(-1)n調(diào)和級數(shù)：n發(fā)散，而n1級數(shù)：n2收斂；時(shí)發(fā)散1p級數(shù)：npp>1時(shí)收斂冪級數(shù)：1x<11-x1+x+x2+x3+ +xn+ x1時(shí)，發(fā)散對于級數(shù)(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全x<R時(shí)收斂數(shù)軸上都收

21、斂，則必存在R，使x>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時(shí)不定10時(shí)，R=求收斂半徑的方法：設(shè)liman+1=，其中an，an+1是(3)=0時(shí)，R=+nan=+時(shí)，R=0函數(shù)展開成冪級數(shù)：f''(x0)f(n)(x0)2函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+ +(x-x0)n+ 2!n!f(n+1)()余項(xiàng)：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limRn=0n(n+1)!f''(0)2f(n)(0)nx0=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +x+ 2!n!一

22、些函數(shù)展開成冪級數(shù)：m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)nx+ +x+ (-1<x<1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+- +(-1)n-1+ (-<x<+)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+歐拉公式：eix+e-ixcosx=2 eix=cosx+isinx或ix-ixsinx=e-e2三角級數(shù)：a0f(t)=A0+Ansin(nt+n)=+(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意

23、兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在-,上的積分0。傅立葉級數(shù)： a0f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)，周期=22n=11(n=0,1,2 )an=f(x)cosnxdx-其中b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n-1121+2+2+ =8351112+2+2+ =224246正弦級數(shù)：an=0，bn=余弦級數(shù)：bn=0，an=11121+2+2+2+ =623411121-2+2-2+ =12234f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=b02nsinnx是奇函數(shù)20f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=a0+ancosnx是偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)： 13a0nxnxf(x)=+(ancos+bnsin)，周期=2l2n=1lll1nxdx(n=0,1,2 )an=f(x)cosl-ll其中l(wèi)b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,