赤峰市中學數(shù)學骨干教師培訓班

1、高觀點下的中學數(shù)學 寧城縣教研室趙國義內容提要：一、實踐的觀點；二、現(xiàn)代數(shù)學的觀點；三、對稱的觀點；四、站在系統(tǒng)高度的觀點。關鍵詞：現(xiàn)代數(shù)學、實踐、對稱、系統(tǒng)高度?，F(xiàn)代數(shù)學對數(shù)學教師的素質提出了更高的要求，尤其在知識素養(yǎng)方面。因為精深的知識是教師在教學中順利完成教學任務的基本條件，為了掌握精深的專業(yè)知識，教師必須鉆研所教學科，精通其基礎知識，熟悉其基本結構及各部分之間的內在聯(lián)系，了解學科的歷史發(fā)展、現(xiàn)實狀況、發(fā)展動向及最新研究成果。形成較全面、系統(tǒng)、完善的專業(yè)知識體系。因此教師的專業(yè)知識無論在深度和廣度上都必須遠遠超過教學大綱的要求。教師對所教學的專業(yè)知識越精深，對教材的理解才能透徹，處理教材

2、才能靈活、準確、深入淺出。如果教師所掌握的只是教材上的那點知識，不進行專業(yè)知識的探索研究，甚至顯露出對所教學學科專業(yè)知識的無知，淺薄的錯誤，那么他就失去了做教師的資格。學生可以原諒教師的嚴厲、盲從刻板，甚至吹毛求疵，但卻不能原諒教師的不學無術。所以中學數(shù)學教師應該具有精深的、系統(tǒng)的專業(yè)知識，有較高的認識問題的觀點，才能適應現(xiàn)代教學的要求。一、實踐的觀點這里，我們展示一個學生對教材的一個習題的認識。例1某采石廠爆破時，為了確保安全，點燃炸藥導火線后，要在炸藥爆破前轉移到400米以外的安全區(qū)域；導火線燃燒的速度是1厘米/秒，人離開的速度是5米/秒，導火線至少需要多長？（初中代數(shù)第一冊（下）P73

3、人民教育出版社）這是一道解不等式的應用題，學生的解法如下：設導火線至少需要米長.(1) (2) (3)400列出(1)式的學生認為，人要轉移到來400米以外的安全區(qū)域, 所以應用“”號， 列出(2)式的學生認為問的是導火線至少需要多長，所以應用“”號；列出(3)式的大多是平時成績比較好的學生，他們考慮問題嚴謹，認為還需要考慮導火線的長度，最后的答案也是絕對正確：導火線至少需要米。由此引起了一些教師的爭論，意見也不一致，取號“”者抓住了“以外”，取“”號者堅持“至少”。有人認為這兩種情況都算對，便馬上遭到反對：同一個數(shù)學問題，出現(xiàn)兩種不同的結果，必然一對一錯；也有的老師認為這個題意不明確，孰是孰

4、非，誰也說服不了誰。制造炸藥的廠家會有這樣的問題嗎？點燃炸藥的人會這樣想嗎？他們會感到不好解嗎？他們會感到題意不明嗎？恐怕不會，那么為什么我們的學生、老師會有這樣的問題呢？事實上，我們可以清楚看到，在實際生活中人們運用數(shù)學處理問題時還常常伴隨著“估算”和“逼近”的做法，而我們的學生、教師則習慣于“書本數(shù)學”、“學校數(shù)學”，純粹是為了做數(shù)學題而做數(shù)學題，即使是應用題，也很少考慮實際需要，僅僅從形式上追求邏輯上的嚴謹，死摳一些字眼“以外”、“至少”，并不考慮其在實際中的價值，把“書本數(shù)學”、“學校數(shù)學”與實際需要完全隔離開來。我們在培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的同時，應該努力引導學生將書本知識與

5、實際生活聯(lián)系起來，也就是說，我們一方面要培養(yǎng)學生數(shù)學地看待現(xiàn)實生活問題；另一方面，也要培養(yǎng)他們能從現(xiàn)實的角度去看待數(shù)學，運用數(shù)學。否則，如果不把應用問題與實際背景結合進來，即使增加些應用題的訓練，也未必真正地使學生形成用數(shù)學的意識。例2今有一控制室，欲知道X、Y、Z三條導線的電阻。這三條導線，一端在控制室，另一端在樓上同一地點?，F(xiàn)手頭有一只電表可在控制室內測量電阻，試設計一種數(shù)學方法求三根導線的電阻。解：只需將X，Y；Y，Z；Z，X在樓上的一端兩兩接上，以形成閉合電路，在控制室量出它們的電阻為X+Y=Y+Z=Z+X= 解此方程即可得說明：這是上海某賓館中的一個實例，很有啟發(fā)性。它不是單純地要求

6、解現(xiàn)成的方程，而更重要的是用方程觀點來觀察和解決問題。二、現(xiàn)代數(shù)學的觀點眾所周知，教學大綱和教材是教學的主要依據(jù)，教師能否通曉并駕馭教材，則是提高教學質量的一個關鍵。實踐證明，只要運用現(xiàn)代數(shù)學的觀點，才能高屋建瓴握教材。例3在中學平面幾何課本中對于構造一個命題的逆命題是這樣寫的：設原命題是“若A則B”，那么逆命題是“若B則A”。abbcacabacbcacbcab如命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”?，F(xiàn)在的問題是當一個命題的題設或結論所含的事項不止一條時，制造它的逆命題便有所不同了。如“在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行”，用數(shù)學符號寫成： 它的逆命題是 或 acbcab

7、而未聞以 與 交換后作為逆命題的說法 。通過數(shù)理邏輯的學習，澄清了逆命題制作中的混亂和分歧：制作逆命題時要在原命題的題設和結論中各取出一般多條的事項交換【1】。同時我們建議課本將“每個命題都是由題設和結論兩部分組成”改為“許多命題都是由題設和結論兩部分組成”。按現(xiàn)行教材命題都可寫成“如果，那么”的形式。事實上并非都是如此，命題“ABC是直角三角形”就不能寫成“如果，那么”的形式。由現(xiàn)代邏輯我們知道，特稱直言命題都不能寫成條件命題的形式，即“如果，那么”的形式。集合 不是完備的聯(lián)結詞集。這從理論上說說明了并非每個命題都是條件命題。例4高中課本有這樣一道題：判斷命題“復數(shù)集C與復平內所有向量的集合

8、一一對應 ”的真假，并說明理由。答好這道題，無疑是對加深無窮集合、一一對應等要概念的理解，但是從80年代初課本引入這道以來，與之配套的教學參考書的答案一直是“假，因為實際上是復數(shù)集C與復平面內所有以原點為起向量所成的集合一一對應”。為什么眾多高等數(shù)學教材早就明確指出同方向，等長度的向量不加區(qū)別地看成同一向量的情況下，還會錯近20年？足見傳統(tǒng)的、靜態(tài)、絕對主義的數(shù)學觀影響之深。其實，現(xiàn)代數(shù)學抽象地將向量定義為同方向、等長度的有向線段的一個等價類，這和坐在教室里上課的張三同學與在足球場上踢球的張三同學是同一個人，沒有什么兩樣。例5函數(shù)的概念。初中課本將函數(shù)描述性地定義為兩個變量間的一個對應：如果在

9、某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內每確定一個值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應。到了高中學了映射后，對函數(shù)概念的描述有了進一步的深化。 我們在聽課中了解到，一些數(shù)學教師死摳“定義”中“兩個變量”、“唯一確定”的字眼，竟用這樣的題來“考查”學生對函數(shù)概念的理解程度：判斷下列式子是不是函數(shù)：三角形面積，。答案都不是，前者是因為有兩個自變量a、h，后者是因為對于一個x有兩個不同的y值與之對應。事實上，中學對于函數(shù)的定義僅僅是描述性的，這樣符合學生認知規(guī)律。但我們不能據(jù)此來“咬文嚼字”來“考查”學生。因為根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學觀點，函數(shù)不僅有單變量函數(shù)，還有多變量函數(shù)；不僅有單

10、值函數(shù)，還有多值函數(shù)。例6為什么要把“0”作為一個自然數(shù)？現(xiàn)在已明確地把數(shù)“0”作為一個自然數(shù)，為什么？如果把這看成一個規(guī)定，就是說，可以把“0，1，2，n，”作為自然數(shù)，也可以把“1，2，n，”作為自然數(shù)。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。首先是自然數(shù)的功能，自然數(shù)具有三個基本功能，一是刻劃某一類“東西”的多少，用現(xiàn)代的數(shù)學語言來說就是描述一個有限集合的基數(shù)；二是刻劃一類“事物”的順序，第一、第二、，用現(xiàn)代數(shù)學語言來說，描述一個有限集合的元素的“順序”性質。進一步說，自然數(shù)既是基數(shù)，又是序數(shù)；三是“運算功能”。自然數(shù)可能做加法運算和乘法運算。其次空集是集合中最重要也是最基本的集合，也是我們在描述

11、周圍現(xiàn)象中經(jīng)常用到的集合，在數(shù)學中更是經(jīng)常要用到的。集合分為有限集合和無限集合兩類，把空集作為一個有限集合是很自然的，并且我們很容易理解應該用“0”來描述“空集”中含元素的多少。如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么“所有自然數(shù)”就可以完整地刻畫“有限集合元素多少”的“任務”了，而沒有“0”的“所有自然數(shù)”總是有“缺陷”，因為自然數(shù)可以表示“空集”所含元素的多少。這們我們從自然數(shù)的一種基本功能方面說明了為什么把“0”作為自然數(shù)的好處。第三把“0”作為一個自然數(shù)是否會影響自然數(shù)的“序數(shù)功能”和“運算功能”？回答是不會的，不僅不會，還會使這兩項功能更加“完整”。序數(shù)功能：1、傳遞性。如果a>b,

12、b>c,那么a>c。2、三歧性。對于任意兩個自然數(shù)，或者a>b,或者b>a或者a=b，三者必具其一。運算功能：把“0”作為自然數(shù)，加法和乘法中所有的“運算法則”依舊保持，同時保持加法和乘法運算的結合律和交換律，以及乘法對加法的分配律。既然“0”加盟到自然數(shù)集合中，只有好處，沒有壞處，為什么我們不應該歡迎“0”作為自然數(shù)集合的一個成員呢？希望我們的老師和同學更好地理解“0是一個自然數(shù)”，這樣做是理所當然的，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。也希望我們的老師和同學們養(yǎng)成一個習慣，不僅僅知道和記住數(shù)學的“定義”和“規(guī)定”，還應該思考它們“后面”的數(shù)學含義。三、對稱的觀點這里的對稱，既

13、不是中心對稱，也不是軸對稱。毛主席會見李政道博士時，毛主席問，為什么“對稱”是您的一種指導思想？李政道先生回答，我們說的對稱，是平衡，是指世上萬世萬物，一切都處在它應處在的位置上。唐朝宰相魏征以敢觸動龍顏，極言直諫著名于世，他對宦官高力士對皇帝阿諛奉承的一副奴才相厭惡至極，曾對唐太宗進言，這樣的人你怎么還用呢？唐太宗答道，我既需要你這樣的人才，也要他那樣的奴才。也是這個道理。數(shù)學非常美，是指它高度的嚴謹和合理而達到的和諧。這種合理和諧，是作為數(shù)學科學的廣義對稱。例7把多項式在有理數(shù)范圍內因式分解。對于中學生，這道題目不太容易，因為用到的方法“余式定理”或“待定系數(shù)法”等都是超綱的，可是利用對稱

14、的方法來分析，什么都無須用，三想兩想，題目就做出來了。分析：如果可以分解，那么兩個因式應是一個一次式，一個二次式，或三個一次式。由于這三個一次式中的任何兩個乘起來得一個二次式，所以可以認為若原式能分解，必定是一個一次式與一個二次式相乘的形式。=（ ）（ ）。這里第一個括號內是一次式，它應該是什么樣的呢？由于從原式看出，a、b、c是對稱的，那在第一個括號內，a、b、c應是對稱的，即都要出現(xiàn)，系數(shù)也相同，若不是“+1”，提出后系數(shù)都是“+1”，所以第一個括號內應是a+b+c。從還原的角度看，第二個括號內應有“+ a2”，而a、b、c是對稱的，那么就應該有“+b2”、“+c2”，這時第二個括號內就出

15、現(xiàn)了a2+b2+c2。從還原的角度看，出不來-3abc的“”號，因此，第二個括號前三項之后應出現(xiàn)負項，先考慮這負項是二次項，寫出了“-ab”，由于a、b、c是對稱的，必須有“- bc”、“- ac”。從還原的角度，不可能出現(xiàn)含a、b、c的一次項。這樣便得了：對不對呢？把它展開，能還原回去，說明分解正確。以下幾例請教師們用廣義對稱的觀點來理解，并做出解釋：1、 余弦定理在三角形ABC 中； 2、 三角形面積S=3、 三角形面積S=；4、 三角形面積S=；5、 三角形面積S=例8朋友，當你面對著下面一串數(shù)字：039， 072， 100， 152， 520， 9.54你會想到什么呢?它們是太陽系中水

16、星、金星、地球、火星、木星、土星這六大行星到太陽的平均距離（以日地距離為計量單位，即天文單位）。乍一看，這些數(shù)字毫無規(guī)律可言，可是到了1766前后，德國的一位數(shù)學教師提麥斯經(jīng)過一番試算與比較，發(fā)現(xiàn)了這樣一個法則先寫出一個等比數(shù)列：03， 06， 12， 24， 48， 96，然后在這個數(shù)列前面加上一項0，再將每個數(shù)都加上04，就得到：04， 07， 10， 16， 28， 52， 10，這些數(shù)字跟各行星到太陽的平均距離十分相近。提麥斯的發(fā)現(xiàn)被他的朋友，柏林天文臺長，天文學家波德知道后，認為這個數(shù)列與實際符合的很好，就于1772年發(fā)表了，后來稱之為提麥斯波德法則。顯然，提麥斯波德法則可有經(jīng)驗公式

17、：來表示。當前，n = -，0, 1，2， 4，5時，公式分別給出水星、金星、地球、火星、木星、土星這六大行星到太陽的平均距離。當時人們只知道太陽系有六大行星，可是按照提麥斯波德法則，還有n=3時的數(shù)值沒有行星與之對應，于是天文學家大膽的預言：在火星與木星之間還有一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星，它到太陽的平均距離是2.8天文單位。緊接著天文學家開始進行艱苦細致的搜尋。后來，不僅在預定的空間發(fā)現(xiàn)了“小行星帶”，而且還射鹿得馬，在此之間發(fā)現(xiàn)了另一顆行星天王星。“小行星帶”到太陽的平均距離為2.77天文單位，天王星到太陽的平均距離為19.19, 這兩個數(shù)恰是提麥斯波德法則中n=3和n=6的近似值。至此,我們足以

18、領略到數(shù)學的“對稱與和諧”的神奇風采和強大威力。四、站在系統(tǒng)高度的觀點舉一個例子：例9為了把鉛球推得更遠，最佳出手角度是多少？許多學生還有一些教師都認為最佳出手角度是45°，這是一個錯誤答案。這是因為在高一物理課上，有一道物理題：V0sinV0V0cos證明當仰角為45時，斜拋物體的水平射程最大。把斜拋物體的初速度V0分解為豎直方向的初速度V0sin和水平方向的初速度V0cos射程當且僅當2=90°，即=45°時，射程s取得最大值，證明完成。這個證明有錯誤嗎？沒有。但不能拿來作為擲鉛球最佳角度也是45°的證明，因為擲鉛球時，鉛球的出發(fā)點是投擲手的位置，落

19、地點和它不在同一水平線上，這樣鉛球在水平方向上勻速運動的時間已不是，而應是，這里t1由，其中h是鉛球離開投擲手時的高度。這是為什么？根源之一是條條框框割裂的教學方式肢解知識的結果，學生活生生的思考過程也被肢解了，不求甚解，這哪是提高學生的素質。例10在小學解應用題時，是用列算術的方法，上中學后改為列方程的方法，學生一時不適應這種改變。這時，應該怎樣解決？不少老師說，初一代數(shù)的難點，是列一元一次方程解應用題。它之所以難，是因為學生按算術方法列算式的思維方式根深蒂固，必須排除這個干擾！要對學生說，一上中學，趕緊要求自己把列算式的方法忘掉，免得影響你掌握列方程的方法。這是一個孤立地、割裂地教學方式的

20、典型例子。事實上，算術方法所列的算式其實也是一個方程，不過只寫了一半，如果把所列算式后面寫一個x,，不就是一個方程嗎？對于一個適用于列出一元一次方程來解的應用題，可以列出許多方程來解，即任選取一個量，用兩種不同的方式分別表達，中間聯(lián)一個等號就是一個方程。當選擇這個量是題目所求的量，方程右邊的表達式就是x，而左邊的表達式不許含有x，那么左端不下是用算式法列出算式嗎？由于算術方法的限制了選擇這個量必須是所求量，只寫上個x，這事實上是把思考量集中到等式的一端，則增加了思考難度，同時左邊表達式中不得利用所求量，再一次增加了思考難度，所以在解一道可以利用一元一次方程解決的應用題時，列算式的方法不如列方程

21、的方法來得迅速。對算術方法和列方程方法比較還應一分為二，那就是算術方法為什么難？那是因為它這個方程的右邊是x，把它放到一個特殊位置上，于是整個題目的思考量全部集中到左邊；而列方程的方法，一般情況下，把思考量分擔到左右兩端，要求的量與其它已知量地位相同，平等對待，每端的思考量都不大。 但問題的也有其另一面，完成一個算式對思維的訓練難度大，收獲也大。站在系統(tǒng)的高度把握知識，發(fā)現(xiàn)解一元一次方程的應用問題，代數(shù)的方法（列方程）包含算術方法，算術方法不過是代數(shù)方法的特例。例11例如“一元二次方程根與系數(shù)的關系”這節(jié)課，一位教師是這樣進行教學設計的: 先讓學生解方程: x2-3x+2=0 x2+5x+6=

22、0 5x2-7x-6=0. 求出每個方程的根x1、x2，再讓學生計算x1+x2、x1x2，并要求學生觀察歸納x1+x2、x1x2與相應方程的系數(shù)有什么關系？最后根據(jù)一元二次方程的求根公式推導出.這是一個孤立地、割裂地教學方式的典型例子。為什么要求學生求x1+x2、 x1x2，而不讓學生求x1x2 , 呢? 如果站在系統(tǒng)的高度把握知識， 事實上，一元二次方程的求根公式直接反映了一元二次方程的根是由方程的系數(shù)確定的，公式就是利用系數(shù)計算出根的表達式，表現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關系.但這個關系比較繁，其主要原因是從形式上看是無理式，我們能否把它化簡？而化簡的主要方向就是化無理式為有理式，那么怎么把兩根中的化掉呢？很顯然在每個根內部去變形很難達到目的，必須對這兩個根實施某種運算，而常見的運算就是加、減、乘、除，請同學們計算，. 比較運算結果，哪個能實現(xiàn)化無理式為有理式的目的，哪個看上去更為簡捷？通過比較，讓學生從中選出最優(yōu)結果. 這樣 就被優(yōu)化出來。在教學過程中，對任何細節(jié)，都要鼓勵學生追根溯源，凡事都去問個為什么。例12我們知道，