赤峰市中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班

1、高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) 寧城縣教研室趙國(guó)義內(nèi)容提要：一、實(shí)踐的觀點(diǎn)；二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)；三、對(duì)稱的觀點(diǎn)；四、站在系統(tǒng)高度的觀點(diǎn)。關(guān)鍵詞：現(xiàn)代數(shù)學(xué)、實(shí)踐、對(duì)稱、系統(tǒng)高度。現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)提出了更高的要求，尤其在知識(shí)素養(yǎng)方面。因?yàn)榫畹闹R(shí)是教師在教學(xué)中順利完成教學(xué)任務(wù)的基本條件，為了掌握精深的專業(yè)知識(shí)，教師必須鉆研所教學(xué)科，精通其基礎(chǔ)知識(shí)，熟悉其基本結(jié)構(gòu)及各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，了解學(xué)科的歷史發(fā)展、現(xiàn)實(shí)狀況、發(fā)展動(dòng)向及最新研究成果。形成較全面、系統(tǒng)、完善的專業(yè)知識(shí)體系。因此教師的專業(yè)知識(shí)無(wú)論在深度和廣度上都必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過教學(xué)大綱的要求。教師對(duì)所教學(xué)的專業(yè)知識(shí)越精深，對(duì)教材的理解才能透徹，處理教材

2、才能靈活、準(zhǔn)確、深入淺出。如果教師所掌握的只是教材上的那點(diǎn)知識(shí)，不進(jìn)行專業(yè)知識(shí)的探索研究，甚至顯露出對(duì)所教學(xué)學(xué)科專業(yè)知識(shí)的無(wú)知，淺薄的錯(cuò)誤，那么他就失去了做教師的資格。學(xué)生可以原諒教師的嚴(yán)厲、盲從刻板，甚至吹毛求疵，但卻不能原諒教師的不學(xué)無(wú)術(shù)。所以中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有精深的、系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)，有較高的認(rèn)識(shí)問題的觀點(diǎn)，才能適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)的要求。一、實(shí)踐的觀點(diǎn)這里，我們展示一個(gè)學(xué)生對(duì)教材的一個(gè)習(xí)題的認(rèn)識(shí)。例1某采石廠爆破時(shí)，為了確保安全，點(diǎn)燃炸藥導(dǎo)火線后，要在炸藥爆破前轉(zhuǎn)移到400米以外的安全區(qū)域；導(dǎo)火線燃燒的速度是1厘米/秒，人離開的速度是5米/秒，導(dǎo)火線至少需要多長(zhǎng)？（初中代數(shù)第一冊(cè)（下）P73

3、人民教育出版社）這是一道解不等式的應(yīng)用題，學(xué)生的解法如下：設(shè)導(dǎo)火線至少需要米長(zhǎng).(1) (2) (3)400列出(1)式的學(xué)生認(rèn)為，人要轉(zhuǎn)移到來400米以外的安全區(qū)域, 所以應(yīng)用“”號(hào)， 列出(2)式的學(xué)生認(rèn)為問的是導(dǎo)火線至少需要多長(zhǎng)，所以應(yīng)用“”號(hào)；列出(3)式的大多是平時(shí)成績(jī)比較好的學(xué)生，他們考慮問題嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)為還需要考慮導(dǎo)火線的長(zhǎng)度，最后的答案也是絕對(duì)正確：導(dǎo)火線至少需要米。由此引起了一些教師的爭(zhēng)論，意見也不一致，取號(hào)“”者抓住了“以外”，取“”號(hào)者堅(jiān)持“至少”。有人認(rèn)為這兩種情況都算對(duì)，便馬上遭到反對(duì)：同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)兩種不同的結(jié)果，必然一對(duì)一錯(cuò)；也有的老師認(rèn)為這個(gè)題意不明確，孰是孰

4、非，誰(shuí)也說服不了誰(shuí)。制造炸藥的廠家會(huì)有這樣的問題嗎？點(diǎn)燃炸藥的人會(huì)這樣想嗎？他們會(huì)感到不好解嗎？他們會(huì)感到題意不明嗎？恐怕不會(huì)，那么為什么我們的學(xué)生、老師會(huì)有這樣的問題呢？事實(shí)上，我們可以清楚看到，在實(shí)際生活中人們運(yùn)用數(shù)學(xué)處理問題時(shí)還常常伴隨著“估算”和“逼近”的做法，而我們的學(xué)生、教師則習(xí)慣于“書本數(shù)學(xué)”、“學(xué)校數(shù)學(xué)”，純粹是為了做數(shù)學(xué)題而做數(shù)學(xué)題，即使是應(yīng)用題，也很少考慮實(shí)際需要，僅僅從形式上追求邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)，死摳一些字眼“以外”、“至少”，并不考慮其在實(shí)際中的價(jià)值，把“書本數(shù)學(xué)”、“學(xué)校數(shù)學(xué)”與實(shí)際需要完全隔離開來。我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的同時(shí)，應(yīng)該努力引導(dǎo)學(xué)生將書本知識(shí)與

5、實(shí)際生活聯(lián)系起來，也就是說，我們一方面要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看待現(xiàn)實(shí)生活問題；另一方面，也要培養(yǎng)他們能從現(xiàn)實(shí)的角度去看待數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)。否則，如果不把應(yīng)用問題與實(shí)際背景結(jié)合進(jìn)來，即使增加些應(yīng)用題的訓(xùn)練，也未必真正地使學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。例2今有一控制室，欲知道X、Y、Z三條導(dǎo)線的電阻。這三條導(dǎo)線，一端在控制室，另一端在樓上同一地點(diǎn)。現(xiàn)手頭有一只電表可在控制室內(nèi)測(cè)量電阻，試設(shè)計(jì)一種數(shù)學(xué)方法求三根導(dǎo)線的電阻。解：只需將X，Y；Y，Z；Z，X在樓上的一端兩兩接上，以形成閉合電路，在控制室量出它們的電阻為X+Y=Y+Z=Z+X= 解此方程即可得說明：這是上海某賓館中的一個(gè)實(shí)例，很有啟發(fā)性。它不是單純地要求

6、解現(xiàn)成的方程，而更重要的是用方程觀點(diǎn)來觀察和解決問題。二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)眾所周知，教學(xué)大綱和教材是教學(xué)的主要依據(jù)，教師能否通曉并駕馭教材，則是提高教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)關(guān)鍵。實(shí)踐證明，只要運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，才能高屋建瓴握教材。例3在中學(xué)平面幾何課本中對(duì)于構(gòu)造一個(gè)命題的逆命題是這樣寫的：設(shè)原命題是“若A則B”，那么逆命題是“若B則A”。abbcacabacbcacbcab如命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”。現(xiàn)在的問題是當(dāng)一個(gè)命題的題設(shè)或結(jié)論所含的事項(xiàng)不止一條時(shí)，制造它的逆命題便有所不同了。如“在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行”，用數(shù)學(xué)符號(hào)寫成： 它的逆命題是 或 acbcab

7、而未聞以 與 交換后作為逆命題的說法 。通過數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)，澄清了逆命題制作中的混亂和分歧：制作逆命題時(shí)要在原命題的題設(shè)和結(jié)論中各取出一般多條的事項(xiàng)交換【1】。同時(shí)我們建議課本將“每個(gè)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成”改為“許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成”。按現(xiàn)行教材命題都可寫成“如果，那么”的形式。事實(shí)上并非都是如此，命題“ABC是直角三角形”就不能寫成“如果，那么”的形式。由現(xiàn)代邏輯我們知道，特稱直言命題都不能寫成條件命題的形式，即“如果，那么”的形式。集合 不是完備的聯(lián)結(jié)詞集。這從理論上說說明了并非每個(gè)命題都是條件命題。例4高中課本有這樣一道題：判斷命題“復(fù)數(shù)集C與復(fù)平內(nèi)所有向量的集合

8、一一對(duì)應(yīng) ”的真假，并說明理由。答好這道題，無(wú)疑是對(duì)加深無(wú)窮集合、一一對(duì)應(yīng)等要概念的理解，但是從80年代初課本引入這道以來，與之配套的教學(xué)參考書的答案一直是“假，因?yàn)閷?shí)際上是復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)為起向量所成的集合一一對(duì)應(yīng)”。為什么眾多高等數(shù)學(xué)教材早就明確指出同方向，等長(zhǎng)度的向量不加區(qū)別地看成同一向量的情況下，還會(huì)錯(cuò)近20年？足見傳統(tǒng)的、靜態(tài)、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀影響之深。其實(shí)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象地將向量定義為同方向、等長(zhǎng)度的有向線段的一個(gè)等價(jià)類，這和坐在教室里上課的張三同學(xué)與在足球場(chǎng)上踢球的張三同學(xué)是同一個(gè)人，沒有什么兩樣。例5函數(shù)的概念。初中課本將函數(shù)描述性地定義為兩個(gè)變量間的一個(gè)對(duì)應(yīng)：如果在

9、某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)每確定一個(gè)值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。到了高中學(xué)了映射后，對(duì)函數(shù)概念的描述有了進(jìn)一步的深化。 我們?cè)诼犝n中了解到，一些數(shù)學(xué)教師死摳“定義”中“兩個(gè)變量”、“唯一確定”的字眼，竟用這樣的題來“考查”學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解程度：判斷下列式子是不是函數(shù)：三角形面積，。答案都不是，前者是因?yàn)橛袃蓚€(gè)自變量a、h，后者是因?yàn)閷?duì)于一個(gè)x有兩個(gè)不同的y值與之對(duì)應(yīng)。事實(shí)上，中學(xué)對(duì)于函數(shù)的定義僅僅是描述性的，這樣符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。但我們不能據(jù)此來“咬文嚼字”來“考查”學(xué)生。因?yàn)楦鶕?jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，函數(shù)不僅有單變量函數(shù)，還有多變量函數(shù)；不僅有單

10、值函數(shù)，還有多值函數(shù)。例6為什么要把“0”作為一個(gè)自然數(shù)？現(xiàn)在已明確地把數(shù)“0”作為一個(gè)自然數(shù)，為什么？如果把這看成一個(gè)規(guī)定，就是說，可以把“0，1，2，n，”作為自然數(shù)，也可以把“1，2，n，”作為自然數(shù)。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。首先是自然數(shù)的功能，自然數(shù)具有三個(gè)基本功能，一是刻劃某一類“東西”的多少，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來說就是描述一個(gè)有限集合的基數(shù)；二是刻劃一類“事物”的順序，第一、第二、，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來說，描述一個(gè)有限集合的元素的“順序”性質(zhì)。進(jìn)一步說，自然數(shù)既是基數(shù)，又是序數(shù)；三是“運(yùn)算功能”。自然數(shù)可能做加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算。其次空集是集合中最重要也是最基本的集合，也是我們?cè)诿枋?/p>

11、周圍現(xiàn)象中經(jīng)常用到的集合，在數(shù)學(xué)中更是經(jīng)常要用到的。集合分為有限集合和無(wú)限集合兩類，把空集作為一個(gè)有限集合是很自然的，并且我們很容易理解應(yīng)該用“0”來描述“空集”中含元素的多少。如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么“所有自然數(shù)”就可以完整地刻畫“有限集合元素多少”的“任務(wù)”了，而沒有“0”的“所有自然數(shù)”總是有“缺陷”，因?yàn)樽匀粩?shù)可以表示“空集”所含元素的多少。這們我們從自然數(shù)的一種基本功能方面說明了為什么把“0”作為自然數(shù)的好處。第三把“0”作為一個(gè)自然數(shù)是否會(huì)影響自然數(shù)的“序數(shù)功能”和“運(yùn)算功能”？回答是不會(huì)的，不僅不會(huì)，還會(huì)使這兩項(xiàng)功能更加“完整”。序數(shù)功能：1、傳遞性。如果a>b,

12、b>c,那么a>c。2、三歧性。對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)，或者a>b,或者b>a或者a=b，三者必具其一。運(yùn)算功能：把“0”作為自然數(shù)，加法和乘法中所有的“運(yùn)算法則”依舊保持，同時(shí)保持加法和乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法對(duì)加法的分配律。既然“0”加盟到自然數(shù)集合中，只有好處，沒有壞處，為什么我們不應(yīng)該歡迎“0”作為自然數(shù)集合的一個(gè)成員呢？希望我們的老師和同學(xué)更好地理解“0是一個(gè)自然數(shù)”，這樣做是理所當(dāng)然的，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。也希望我們的老師和同學(xué)們養(yǎng)成一個(gè)習(xí)慣，不僅僅知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考它們“后面”的數(shù)學(xué)含義。三、對(duì)稱的觀點(diǎn)這里的對(duì)稱，既

13、不是中心對(duì)稱，也不是軸對(duì)稱。毛主席會(huì)見李政道博士時(shí)，毛主席問，為什么“對(duì)稱”是您的一種指導(dǎo)思想？李政道先生回答，我們說的對(duì)稱，是平衡，是指世上萬(wàn)世萬(wàn)物，一切都處在它應(yīng)處在的位置上。唐朝宰相魏征以敢觸動(dòng)龍顏，極言直諫著名于世，他對(duì)宦官高力士對(duì)皇帝阿諛奉承的一副奴才相厭惡至極，曾對(duì)唐太宗進(jìn)言，這樣的人你怎么還用呢？唐太宗答道，我既需要你這樣的人才，也要他那樣的奴才。也是這個(gè)道理。數(shù)學(xué)非常美，是指它高度的嚴(yán)謹(jǐn)和合理而達(dá)到的和諧。這種合理和諧，是作為數(shù)學(xué)科學(xué)的廣義對(duì)稱。例7把多項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解。對(duì)于中學(xué)生，這道題目不太容易，因?yàn)橛玫降姆椒ā坝嗍蕉ɡ怼被颉按ㄏ禂?shù)法”等都是超綱的，可是利用對(duì)稱

14、的方法來分析，什么都無(wú)須用，三想兩想，題目就做出來了。分析：如果可以分解，那么兩個(gè)因式應(yīng)是一個(gè)一次式，一個(gè)二次式，或三個(gè)一次式。由于這三個(gè)一次式中的任何兩個(gè)乘起來得一個(gè)二次式，所以可以認(rèn)為若原式能分解，必定是一個(gè)一次式與一個(gè)二次式相乘的形式。=（ ）（ ）。這里第一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一次式，它應(yīng)該是什么樣的呢？由于從原式看出，a、b、c是對(duì)稱的，那在第一個(gè)括號(hào)內(nèi)，a、b、c應(yīng)是對(duì)稱的，即都要出現(xiàn)，系數(shù)也相同，若不是“+1”，提出后系數(shù)都是“+1”，所以第一個(gè)括號(hào)內(nèi)應(yīng)是a+b+c。從還原的角度看，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)應(yīng)有“+ a2”，而a、b、c是對(duì)稱的，那么就應(yīng)該有“+b2”、“+c2”，這時(shí)第二個(gè)括號(hào)內(nèi)就出

15、現(xiàn)了a2+b2+c2。從還原的角度看，出不來-3abc的“”號(hào)，因此，第二個(gè)括號(hào)前三項(xiàng)之后應(yīng)出現(xiàn)負(fù)項(xiàng)，先考慮這負(fù)項(xiàng)是二次項(xiàng)，寫出了“-ab”，由于a、b、c是對(duì)稱的，必須有“- bc”、“- ac”。從還原的角度，不可能出現(xiàn)含a、b、c的一次項(xiàng)。這樣便得了：對(duì)不對(duì)呢？把它展開，能還原回去，說明分解正確。以下幾例請(qǐng)教師們用廣義對(duì)稱的觀點(diǎn)來理解，并做出解釋：1、 余弦定理在三角形ABC 中； 2、 三角形面積S=3、 三角形面積S=；4、 三角形面積S=；5、 三角形面積S=例8朋友，當(dāng)你面對(duì)著下面一串?dāng)?shù)字：039， 072， 100， 152， 520， 9.54你會(huì)想到什么呢?它們是太陽(yáng)系中水

16、星、金星、地球、火星、木星、土星這六大行星到太陽(yáng)的平均距離（以日地距離為計(jì)量單位，即天文單位）。乍一看，這些數(shù)字毫無(wú)規(guī)律可言，可是到了1766前后，德國(guó)的一位數(shù)學(xué)教師提麥斯經(jīng)過一番試算與比較，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)法則先寫出一個(gè)等比數(shù)列：03， 06， 12， 24， 48， 96，然后在這個(gè)數(shù)列前面加上一項(xiàng)0，再將每個(gè)數(shù)都加上04，就得到：04， 07， 10， 16， 28， 52， 10，這些數(shù)字跟各行星到太陽(yáng)的平均距離十分相近。提麥斯的發(fā)現(xiàn)被他的朋友，柏林天文臺(tái)長(zhǎng)，天文學(xué)家波德知道后，認(rèn)為這個(gè)數(shù)列與實(shí)際符合的很好，就于1772年發(fā)表了，后來稱之為提麥斯波德法則。顯然，提麥斯波德法則可有經(jīng)驗(yàn)公式

17、：來表示。當(dāng)前，n = -，0, 1，2， 4，5時(shí)，公式分別給出水星、金星、地球、火星、木星、土星這六大行星到太陽(yáng)的平均距離。當(dāng)時(shí)人們只知道太陽(yáng)系有六大行星，可是按照提麥斯波德法則，還有n=3時(shí)的數(shù)值沒有行星與之對(duì)應(yīng)，于是天文學(xué)家大膽的預(yù)言：在火星與木星之間還有一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星，它到太陽(yáng)的平均距離是2.8天文單位。緊接著天文學(xué)家開始進(jìn)行艱苦細(xì)致的搜尋。后來，不僅在預(yù)定的空間發(fā)現(xiàn)了“小行星帶”，而且還射鹿得馬，在此之間發(fā)現(xiàn)了另一顆行星天王星?！靶⌒行菐А钡教?yáng)的平均距離為2.77天文單位，天王星到太陽(yáng)的平均距離為19.19, 這兩個(gè)數(shù)恰是提麥斯波德法則中n=3和n=6的近似值。至此,我們足以

18、領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的“對(duì)稱與和諧”的神奇風(fēng)采和強(qiáng)大威力。四、站在系統(tǒng)高度的觀點(diǎn)舉一個(gè)例子：例9為了把鉛球推得更遠(yuǎn)，最佳出手角度是多少？許多學(xué)生還有一些教師都認(rèn)為最佳出手角度是45°，這是一個(gè)錯(cuò)誤答案。這是因?yàn)樵诟咭晃锢碚n上，有一道物理題：V0sinV0V0cos證明當(dāng)仰角為45時(shí)，斜拋物體的水平射程最大。把斜拋物體的初速度V0分解為豎直方向的初速度V0sin和水平方向的初速度V0cos射程當(dāng)且僅當(dāng)2=90°，即=45°時(shí)，射程s取得最大值，證明完成。這個(gè)證明有錯(cuò)誤嗎？沒有。但不能拿來作為擲鉛球最佳角度也是45°的證明，因?yàn)閿S鉛球時(shí)，鉛球的出發(fā)點(diǎn)是投擲手的位置，落

19、地點(diǎn)和它不在同一水平線上，這樣鉛球在水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間已不是，而應(yīng)是，這里t1由，其中h是鉛球離開投擲手時(shí)的高度。這是為什么？根源之一是條條框框割裂的教學(xué)方式肢解知識(shí)的結(jié)果，學(xué)生活生生的思考過程也被肢解了，不求甚解，這哪是提高學(xué)生的素質(zhì)。例10在小學(xué)解應(yīng)用題時(shí)，是用列算術(shù)的方法，上中學(xué)后改為列方程的方法，學(xué)生一時(shí)不適應(yīng)這種改變。這時(shí)，應(yīng)該怎樣解決？不少老師說，初一代數(shù)的難點(diǎn)，是列一元一次方程解應(yīng)用題。它之所以難，是因?yàn)閷W(xué)生按算術(shù)方法列算式的思維方式根深蒂固，必須排除這個(gè)干擾！要對(duì)學(xué)生說，一上中學(xué)，趕緊要求自己把列算式的方法忘掉，免得影響你掌握列方程的方法。這是一個(gè)孤立地、割裂地教學(xué)方式的

20、典型例子。事實(shí)上，算術(shù)方法所列的算式其實(shí)也是一個(gè)方程，不過只寫了一半，如果把所列算式后面寫一個(gè)x,，不就是一個(gè)方程嗎？對(duì)于一個(gè)適用于列出一元一次方程來解的應(yīng)用題，可以列出許多方程來解，即任選取一個(gè)量，用兩種不同的方式分別表達(dá)，中間聯(lián)一個(gè)等號(hào)就是一個(gè)方程。當(dāng)選擇這個(gè)量是題目所求的量，方程右邊的表達(dá)式就是x，而左邊的表達(dá)式不許含有x，那么左端不下是用算式法列出算式嗎？由于算術(shù)方法的限制了選擇這個(gè)量必須是所求量，只寫上個(gè)x，這事實(shí)上是把思考量集中到等式的一端，則增加了思考難度，同時(shí)左邊表達(dá)式中不得利用所求量，再一次增加了思考難度，所以在解一道可以利用一元一次方程解決的應(yīng)用題時(shí)，列算式的方法不如列方程

21、的方法來得迅速。對(duì)算術(shù)方法和列方程方法比較還應(yīng)一分為二，那就是算術(shù)方法為什么難？那是因?yàn)樗@個(gè)方程的右邊是x，把它放到一個(gè)特殊位置上，于是整個(gè)題目的思考量全部集中到左邊；而列方程的方法，一般情況下，把思考量分擔(dān)到左右兩端，要求的量與其它已知量地位相同，平等對(duì)待，每端的思考量都不大。 但問題的也有其另一面，完成一個(gè)算式對(duì)思維的訓(xùn)練難度大，收獲也大。站在系統(tǒng)的高度把握知識(shí)，發(fā)現(xiàn)解一元一次方程的應(yīng)用問題，代數(shù)的方法（列方程）包含算術(shù)方法，算術(shù)方法不過是代數(shù)方法的特例。例11例如“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”這節(jié)課，一位教師是這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的: 先讓學(xué)生解方程: x2-3x+2=0 x2+5x+6=

22、0 5x2-7x-6=0. 求出每個(gè)方程的根x1、x2，再讓學(xué)生計(jì)算x1+x2、x1x2，并要求學(xué)生觀察歸納x1+x2、x1x2與相應(yīng)方程的系數(shù)有什么關(guān)系？最后根據(jù)一元二次方程的求根公式推導(dǎo)出.這是一個(gè)孤立地、割裂地教學(xué)方式的典型例子。為什么要求學(xué)生求x1+x2、 x1x2，而不讓學(xué)生求x1x2 , 呢? 如果站在系統(tǒng)的高度把握知識(shí)， 事實(shí)上，一元二次方程的求根公式直接反映了一元二次方程的根是由方程的系數(shù)確定的，公式就是利用系數(shù)計(jì)算出根的表達(dá)式，表現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.但這個(gè)關(guān)系比較繁，其主要原因是從形式上看是無(wú)理式，我們能否把它化簡(jiǎn)？而化簡(jiǎn)的主要方向就是化無(wú)理式為有理式，那么怎么把兩根中的化掉呢？很顯然在每個(gè)根內(nèi)部去變形很難達(dá)到目的，必須對(duì)這兩個(gè)根實(shí)施某種運(yùn)算，而常見的運(yùn)算就是加、減、乘、除，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算，. 比較運(yùn)算結(jié)果，哪個(gè)能實(shí)現(xiàn)化無(wú)理式為有理式的目的，哪個(gè)看上去更為簡(jiǎn)捷？通過比較，讓學(xué)生從中選出最優(yōu)結(jié)果. 這樣 就被優(yōu)化出來。在教學(xué)過程中，對(duì)任何細(xì)節(jié)，都要鼓勵(lì)學(xué)生追根溯源，凡事都去問個(gè)為什么。例12我們知道，