精品資料（2021-2022年收藏）圈繩的數(shù)學(xué)中國(guó)科普博覽中國(guó)優(yōu)秀文化網(wǎng)站、全國(guó)優(yōu)秀

1、繩圈的數(shù)學(xué)姜伯駒所謂繩圈，首先要講繩子。繩子是有頭有尾的，頭尾接起來(lái)就形成了一個(gè)圈。為什么要講繩圈而不講繩子呢？繩子是用來(lái)打結(jié)和捆東西的，譬如我們系鞋帶，是不是打的結(jié)都一樣呢？使慣左手的人打的結(jié)與使慣右手的人打的結(jié)可能就不一樣。那么怎樣研究?jī)蓚€(gè)結(jié)是不是一樣？打結(jié)的過(guò)程中繩子是挪動(dòng)的。如果允許繩子自由地挪動(dòng)，我們總是可以把打好結(jié)的繩子按打結(jié)的方向抽回來(lái)，再拉直，然后重新打成另一個(gè)結(jié)，這樣前后兩個(gè)結(jié)不就一樣了嗎？所以我們不能允許把繩子抽回來(lái)。而“抽回來(lái)”這件事是很難說(shuō)清楚的。圖1數(shù)學(xué)家們想了一個(gè)辦法來(lái)表示不允許抽回來(lái)。這個(gè)辦法就是把繩子的兩端在遠(yuǎn)處連起來(lái)，變成一個(gè)圈。問(wèn)兩個(gè)結(jié)是不是一樣就變成問(wèn)兩個(gè)

2、繩圈是不是一樣。我們?cè)试S繩圈在空間挪來(lái)挪去，唯一的條件是不許把繩子割開(kāi)挪動(dòng)后再粘上。我們就是在這樣的定義下研究?jī)蓚€(gè)繩圈。如圖1（a、b）：第一對(duì)，看起來(lái)像是不一樣的，但實(shí)際上是一樣的。第二對(duì)，確實(shí)是不一樣的。圖2在日常生活中，還可能要同時(shí)考慮幾個(gè)圈。如圖2：把兩個(gè)分開(kāi)的圈變成套在一起的圈。注意這個(gè)中間過(guò)程：斷開(kāi)再粘上，這是“違法”的。能否“合法地”從一個(gè)變成另一個(gè)？日常生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這是不可能的，否則所有的掛鎖都沒(méi)用了。就是這些生活經(jīng)驗(yàn)，很長(zhǎng)時(shí)間沒(méi)有人真正地做數(shù)學(xué)研究。上個(gè)世紀(jì)外國(guó)出現(xiàn)了繩結(jié)大全之類(lèi)的書(shū)，主要是總結(jié)海員們的經(jīng)驗(yàn)，在航海中，什么場(chǎng)合也是很有講究的，結(jié)用錯(cuò)了，捆的東西很容易散。

3、數(shù)學(xué)上對(duì)繩圈的研究始于上個(gè)世紀(jì)后半期，起因是英國(guó)理論物理學(xué)家開(kāi)爾文勛爵（Lord Kelvin）想要解釋為什么有這么化學(xué)元素。當(dāng)時(shí)有一種假說(shuō)，認(rèn)為宇宙中充斥著一種物質(zhì)叫“以太”。不同的化學(xué)元素是以太的不同表現(xiàn)形式。他就有了這樣一個(gè)奇特的想法：會(huì)不會(huì)每種化學(xué)元素就是以太的一種渦圈？像人吐出的煙圈一樣，空氣在周?chē)D(zhuǎn)動(dòng)是個(gè)渦流，它能保持煙圈的穩(wěn)定。他想渦圈的軸心線(xiàn)是一個(gè)圈，可能會(huì)打結(jié)，簡(jiǎn)單的結(jié)就是簡(jiǎn)單的元素，復(fù)雜的結(jié)就是復(fù)雜的元素。由于開(kāi)爾文勛爵很有名氣，經(jīng)他一鼓吹，有好幾個(gè)物理學(xué)家順著他的思路去研究。首先要考慮的問(wèn)題是到底有多少種結(jié)，他們通過(guò)大量的試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)20多年，到1899年，編了一個(gè)表，列出

4、了畫(huà)在平面上交叉點(diǎn)不超過(guò)9的結(jié)有多少。這些都是經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累，并沒(méi)有證明表中每?jī)蓚€(gè)記都是不一樣的。這個(gè)世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展起來(lái)了。拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何形體連續(xù)變化的學(xué)科。繩圈可以挪動(dòng)、不許斷開(kāi)、不許粘起來(lái)，正是連續(xù)變化的意思，研究方式符合拓?fù)鋵W(xué)的思路。拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展使對(duì)繩圈打結(jié)的研究變成數(shù)學(xué)的研究?，F(xiàn)在談一下研究的基本想法。研究空間的東西多少有些不可捉摸，通常的辦法是畫(huà)平面投影圖。它是來(lái)告訴你繩圈在空中的基本形態(tài)，在交叉點(diǎn)處一根線(xiàn)在上，一根線(xiàn)在下，前后相差有多遠(yuǎn)是沒(méi)有關(guān)系的。對(duì)投影圖還是有些基本要求的，首先的一個(gè)要求是三根線(xiàn)不能重在一起，如果三根重在一點(diǎn)上，我們就不知道后邊兩根哪一個(gè)在中間，哪一個(gè)在最后。

5、我們要避免這個(gè)現(xiàn)象，其實(shí)只要把其中一根從交叉點(diǎn)處挪開(kāi)一點(diǎn)就可以。另一個(gè)要求是在交叉的地方都是兩根線(xiàn)互相穿越，不是一根碰到另一根有折回來(lái)。就是說(shuō)，我們不要那種“病態(tài)”的投影圖。對(duì)繩圈，不管是一個(gè)圈還是幾個(gè)圈，都用投影圖表示。在數(shù)學(xué)上通常的術(shù)語(yǔ)中，一個(gè)圈的叫紐結(jié)，幾個(gè)圈的叫鏈環(huán)。圈的個(gè)數(shù)叫做分支數(shù)。紐結(jié)可以看成是只有一個(gè)分支的鏈環(huán)。下面一個(gè)難辦的問(wèn)題是怎樣把“繩圈可以在空間中連續(xù)變形”這句話(huà)用投影圖表示出來(lái)。圖3在20年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家瑞德邁斯特（Reidemeister）提出了一個(gè)觀念，他說(shuō)在投影圖上允許三種基本的變換。如圖3：第一種（R1）是把一個(gè)卷打開(kāi)或加一個(gè)卷，第二種（R2）是把搭在一起的兩

6、根線(xiàn)拉開(kāi)或把兩根線(xiàn)搭上，第三種（R3）是在三根線(xiàn)互相交叉的地方，前面的兩根不動(dòng)，把最后的一根向上或向下挪一下。三種變換都在投影圖的局部進(jìn)行，明顯的一點(diǎn)是它們都可以用繩子在空間的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。瑞德邁斯特證明了很重要的另一面：如果有兩個(gè)圖形可以用連續(xù)變形從一個(gè)變到另一個(gè)，那么一定可以把這個(gè)變形過(guò)程分解成一串小步驟，每個(gè)小步驟都是上述三種變換之一，這三種變換稱(chēng)為初等變換?，F(xiàn)在我們完全從投影圖上來(lái)討論繩圈是否一樣，就是要討論，給了兩個(gè)投影圖，能不能通過(guò)一串初等變換從一個(gè)變到另一個(gè)。如果可以，我們就說(shuō)它們等價(jià)；如果不可以，就說(shuō)不等價(jià)。說(shuō)兩個(gè)投影圖等價(jià)，最好的辦法就像前面那樣給出一個(gè)挪動(dòng)的方法?？梢f(shuō)兩個(gè)投

7、影圖不等價(jià)就不那么好辦了。1899年物理學(xué)家們編出的有一百多個(gè)紐結(jié)的表中，其中有一對(duì)在75年后有人發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上是一樣的，是可以從一個(gè)變到另一個(gè)。所以區(qū)別不同的結(jié)不是一件簡(jiǎn)單的事情，靠經(jīng)驗(yàn)是不行的，要用邏輯推理來(lái)說(shuō)明它們的不一樣。最簡(jiǎn)單的一個(gè)問(wèn)題：系鞋帶第一下打的是不是真的一個(gè)結(jié)。也就是說(shuō)，它和標(biāo)準(zhǔn)的圓圈（我們稱(chēng)之為平凡結(jié)）是不是一樣的?，F(xiàn)在一樣不一樣的意思已經(jīng)換成了能否用三種初等變換從一個(gè)變到另一個(gè)。為了給出證明，數(shù)學(xué)家們提出了不變量這個(gè)意思。先舉一個(gè)例子，鏈環(huán)的分支數(shù)。分支的個(gè)數(shù)是一個(gè)不變量，它在三種初等變換下是不變的。利用這個(gè)不變量，我們說(shuō)分支數(shù)不同的鏈環(huán)必定是不一樣的。這不過(guò)是常識(shí)。圖

8、4下面再談?wù)勅詥?wèn)題。一個(gè)投影圖上的交叉點(diǎn)把這個(gè)圖斷成好多條線(xiàn)，現(xiàn)在給定三種顏色，例如紅、黃、藍(lán)三色，把投影圖上的每條線(xiàn)涂上一種顏色。我們規(guī)定兩條規(guī)則，第一條規(guī)則是：在每個(gè)交叉點(diǎn)處的三條線(xiàn)（上面的一條和底下斷開(kāi)的兩條）要么只用一種顏色，要么三種顏色都用上。第二條規(guī)則是：不許所有的線(xiàn)都涂成同一種顏色。在這樣的規(guī)則下，有些結(jié)是可以這樣上色的，有些卻不可以。系鞋帶形成的三葉結(jié)是可以上色，如圖4：只需把投影圖上的三條線(xiàn)分別涂上三種不同的顏色，可是平凡結(jié)是不能按規(guī)則上色的，因?yàn)橹挥幸桓€(xiàn)，涂一種色總是要違反第二條規(guī)則。圖5 現(xiàn)在看一下三種初等變換對(duì)上色的影響。對(duì)于第一種初等變換，打卷處實(shí)際上是兩條線(xiàn)，

9、根據(jù)規(guī)則一，只能上成同一中顏色，打開(kāi)后也是一種顏色，也就是說(shuō)，能不能上色在第一種初等變換前后是不變的。對(duì)于第二種初等變換照樣可以分析，如圖5：如果重疊的時(shí)候可以上色，拉開(kāi)后也可以上色，反過(guò)來(lái)同樣。第三種初等變換的情況也類(lèi)似。經(jīng)過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)圖形是可以用三種顏色上色，那么經(jīng)一串初等變換得到的另一個(gè)圖形也是可以上色的。能不能用三種顏色，按上述兩條規(guī)則上色，我們稱(chēng)為三色性。它是在初等變換下不變的性質(zhì)，是一個(gè)不變量。前面說(shuō)三葉結(jié)有三色性，平凡結(jié)沒(méi)有，所以三葉結(jié)和平凡結(jié)不一樣，是真正的結(jié)。大家想一下，這是不是一個(gè)證明？同樣地，扣在一起的兩個(gè)圈是否 變形成兩個(gè)分開(kāi)的圈也可以通過(guò)三色性來(lái)鑒別（

10、見(jiàn)前圖2）。兩個(gè)分開(kāi)的圈是可以上色，只要兩個(gè)圈分別涂上不同的顏色就可以了。而扣在一起的兩個(gè)圈卻不行，因?yàn)閳D上有兩條線(xiàn)，要么涂上一種顏色，要么分別涂上兩種不同的顏色，可是用一種顏色違反規(guī)則二。用不一樣。從這里也看到了日常生活的常識(shí)，用數(shù)學(xué)來(lái)證明是怎樣做的。圖6下面再介紹幾個(gè)數(shù)學(xué)概念。在此之前考慮的繩圈都是沒(méi)有方向的，如果我們給每個(gè)繩圈指定了方向，在投影圖上用箭頭標(biāo)出，如圖6：這樣的繩圈叫有向繩圈。對(duì)于有向繩圈的投影圖，每個(gè)交叉點(diǎn)我們可以給出正負(fù)號(hào)。前面一個(gè)箭頭以最小角度轉(zhuǎn)成后面的箭頭，如果是反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)的，我們就稱(chēng)這個(gè)交叉點(diǎn)為正交叉點(diǎn)；如果是順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)的，我們稱(chēng)為負(fù)交叉點(diǎn)。圖7給了一個(gè)有向鏈環(huán)

11、的投影圖，我們可以定義投影圖的擰數(shù)，它是把所有交叉點(diǎn)的正負(fù)號(hào)（正代表+1，負(fù)代表1）加起變的，但是擰數(shù)在第一種初等變換下是變的。如圖7中左端的有向紐結(jié)的擰數(shù)是+3，做一次第一種初等變換，加了一個(gè)卷，擰數(shù)就變成了+4。所以，很遺憾擰數(shù)不是不變量，我們不能根據(jù)兩個(gè)繩圈的擰數(shù)不同來(lái)說(shuō)它們不同?，F(xiàn)在我們考慮兩個(gè)分支的鏈環(huán)。如圖8有兩個(gè)圈K1和K2，把K1和K2兩個(gè)圈之間的交叉點(diǎn)的正負(fù)號(hào)加起來(lái)得到的數(shù)除以2，最后得到的數(shù)叫做環(huán)繞數(shù)。因?yàn)镵1和K2的交叉點(diǎn)一定有偶數(shù)個(gè)，正負(fù)號(hào)加起來(lái)一定是個(gè)偶數(shù)，所以環(huán)繞數(shù)一定是個(gè)整數(shù)。我們現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)的是不同分支的交叉點(diǎn)，第一種初等變換出現(xiàn)的交叉點(diǎn)是不會(huì)被數(shù)進(jìn)去的。因此，對(duì)于

12、兩個(gè)分支的鏈環(huán)，環(huán)繞數(shù)是一個(gè)不變量。 數(shù)學(xué)家們區(qū)別不同的紐結(jié)或鏈環(huán)的辦法是不變量。一個(gè)不變量好不好，主要看它的鑒別力有多大，就是說(shuō)能鑒別多少種不同的紐結(jié)或鏈環(huán)。三色性的鑒別力就很弱，所有的投影圖只分成行與不行兩類(lèi)，“行”與“不行”的繩圈一定是不一樣的，可是“行”與“行”的繩圈也可能不一樣，三色性是無(wú)法鑒別的。環(huán)繞數(shù)可以考慮兩個(gè)分支的有向鏈環(huán)，它的取值范圍多些，鑒別力也就強(qiáng)了一些。那么有沒(méi)有一個(gè)不變量能把所有的紐結(jié)和鏈環(huán)，首先至少把1899年的紐結(jié)表中的圖8紐結(jié)區(qū)分開(kāi)來(lái)？所以，數(shù)學(xué)家們要找威力強(qiáng)大的不變量。當(dāng)然它還要容易計(jì)算。在1928年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿歷山大（Alexander）提出了一種不變量

13、，后人稱(chēng)之為阿歷山大多項(xiàng)式，這是紐結(jié)和鏈環(huán)理論的一個(gè)很大的進(jìn)步。這種多項(xiàng)式可以把1899年紐結(jié)表中的大部分紐結(jié)區(qū)別開(kāi)來(lái)。一件很有戲劇性的事情發(fā)生在1984年，新西蘭數(shù)學(xué)家瓊斯（Jones）是研究泛函分析的，一次做學(xué)術(shù)報(bào)告講解他研究的東西，在黑板上寫(xiě)了一些式子。聽(tīng)眾中有位拓?fù)鋵W(xué)家，她看到黑板上的式子同阿歷山大多項(xiàng)式的公式非常相似，僅有一點(diǎn)點(diǎn)差別，于是就問(wèn)兩者是不是有點(diǎn)關(guān)系。瓊斯聽(tīng)后與那位拓?fù)湫碌募~結(jié)不變量。這是一個(gè)很強(qiáng)的不變量，后來(lái)被稱(chēng)為“瓊斯多項(xiàng)式”。圖9瓊斯多項(xiàng)式的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)界引起了一個(gè)轟動(dòng)，這是因?yàn)榉汉治雠c拓?fù)鋵W(xué)被認(rèn)為是風(fēng)馬牛不相及的，居然在這個(gè)地方發(fā)生了聯(lián)系。于是有很多的泛函分析學(xué)家和

14、拓?fù)鋵W(xué)家都來(lái)研究紐結(jié)，特別是理論物理學(xué)家也參加進(jìn)來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。從1984年到1990年這6年間發(fā)現(xiàn)了很多新的紐結(jié)不變量，而理論物理學(xué)的方法同代數(shù)又連上了。紐結(jié)理論一下子變成了熱門(mén)話(huà)題。在1990年的數(shù)學(xué)家大會(huì)上，4位數(shù)學(xué)家獲得了菲樂(lè)茲獎(jiǎng)，其中之一就是瓊斯，因?yàn)樗陌l(fā)現(xiàn)引來(lái)了許許多多的數(shù)學(xué)工作。在瓊斯多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)后不久，人們想出了一個(gè)辦法，不用高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，完全可以用初等的方法建立瓊斯多項(xiàng)式。中學(xué)生就可以看懂。下面我就用這種方法講一講，為什么會(huì)有這樣一種多項(xiàng)式?，F(xiàn)在我們先把投影圖上的箭頭忘掉，考慮無(wú)向投影圖。我們知道，投影圖 的復(fù)雜程度的一個(gè)表現(xiàn)就是交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)，交叉點(diǎn)數(shù)越多越復(fù)雜。但交叉點(diǎn)個(gè)

15、數(shù)不是不變量，我們很容易看出第一、二種初等變換都要改變交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)。我們畫(huà)投影圖總希望交叉點(diǎn)數(shù)盡可能少，簡(jiǎn)化一個(gè)投影圖就是想辦法把交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)減少。那么，給一個(gè)交叉點(diǎn)，怎樣把它抹掉呢？一個(gè)辦法就是剪斷上下兩條線(xiàn)，再重新接上如圖9，但是要記住這是非法操作。圖10我們大膽設(shè)想對(duì)每一個(gè)投影圖做一個(gè)多項(xiàng)式，叫尖括號(hào)多項(xiàng)式。其自變量暫不管，是很自由的設(shè)想。我們還想把投影圖的多項(xiàng)式與抹掉交叉點(diǎn)后簡(jiǎn)單一些的圖的多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)。一個(gè)投影圖L，它的尖括號(hào)多項(xiàng)式記為L(zhǎng)?？碙一個(gè)交叉點(diǎn)的局部，抹掉這個(gè)交叉點(diǎn)有兩種方式分別得到兩個(gè)投影圖，L 1和L2，如圖10。我們希望AABL是兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式分別乘以A和B后的

16、和，即L=AL 1+BL2。這是我們的第一條假設(shè)。那么究竟哪一個(gè)乘A，哪一個(gè)乘B呢？如圖11：BB 圖11一個(gè)交叉點(diǎn)、相交的兩條線(xiàn)把附近分成四個(gè)部分，上邊的線(xiàn)反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)到下邊的線(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的兩部分叫做A，另兩部分叫做B。我們規(guī)定：“打通A通道”，即抹掉交叉點(diǎn)后使兩塊A連起來(lái)形成的投影圖，它的多項(xiàng)式要乘以A，“打通B通道”的投影圖的多項(xiàng)式要乘以B 。還有一條假設(shè)是：一個(gè)投影圖L加上一個(gè)孤立的圓圈，這個(gè)圈與原來(lái)的圖沒(méi)有交點(diǎn)，如圖12。這樣得到的投影圖L的多項(xiàng)式是原來(lái)的多項(xiàng)式乘以d，即L=dL。 圖12第三條假設(shè)是給最簡(jiǎn)單的投影圖圓圈，一個(gè)最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式1。為什么會(huì)有這種想法呢？交叉點(diǎn)越少

17、的投影圖越簡(jiǎn)單，一個(gè)投影圖，每次抹掉一個(gè)交叉點(diǎn)，到最后沒(méi)有交叉點(diǎn)就變成好多個(gè)圈。拿掉一個(gè)圈就少一個(gè)圈，最后就成了一個(gè)圈。一個(gè)圈的多項(xiàng)式定義成1，變化中間出現(xiàn)的投影圖的多項(xiàng)式彼此之間有聯(lián)系，那么原來(lái)投影圖的多項(xiàng)式不就定義好了嗎？這是一個(gè)聽(tīng)起來(lái)合理的想法：想要定義的那個(gè)多項(xiàng)式有3個(gè)變量A、B和d，并且有上述三條我們希望的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們看圖13：將三個(gè)交叉點(diǎn)編上號(hào)（）。按照“打通A通道”和“打道B通道”抹掉交叉點(diǎn)1得到兩個(gè)圖（）；同樣地，抹掉交叉點(diǎn)2得到4個(gè)圖（）；抹掉交叉點(diǎn)3得到8個(gè)圖（）；每個(gè)圖都是若干個(gè)互不相交的圓圈。每個(gè)圖總是可以這樣化簡(jiǎn)的。需要說(shuō)明的一點(diǎn)是：化簡(jiǎn)的過(guò)程是和交叉點(diǎn)的編號(hào)有關(guān)的

18、，編號(hào)次序不一樣，化簡(jiǎn)過(guò)程也不一樣，但是化簡(jiǎn)到最后總是一樣的。（）交叉點(diǎn)排順序： （）抹去交叉點(diǎn)1（）抹抹交叉點(diǎn)2：（）抹去交叉點(diǎn)3：圖13一個(gè)投影圖L，抹掉全部交叉點(diǎn)后所得的每一個(gè)圖就叫作投影圖的一個(gè)狀態(tài)。換句話(huà)說(shuō)，投影圖的一個(gè)狀態(tài)就是在每個(gè)交叉點(diǎn)指定一個(gè)通道打開(kāi)。對(duì)一個(gè)狀態(tài)S，用i(S)表示A通道打開(kāi)數(shù)，用j(S)表示B通道打開(kāi)數(shù)，用|S|表示打開(kāi)所有通道后的圈的個(gè)數(shù)。投影圖L的尖括號(hào)多項(xiàng)式用公式寫(xiě)出來(lái)就是L=sA i(S)B j(S)d|S|-1,這里的和式表示對(duì)L的所有狀態(tài)求和。圖14現(xiàn)在得到了有三個(gè)變量（A，B，d）的多項(xiàng)式。我們希望它是一個(gè)不變量，在R1，R2和R3三種初等變換下是

19、不變的。首先看R2變換。如圖14：投影圖L局部的兩個(gè)交叉點(diǎn)做R2變換打開(kāi)，得到投影圖L，我們希望L和L的尖括號(hào)多項(xiàng)式是一樣的。如圖所示，先將上邊的交叉點(diǎn)A和B通道打開(kāi)，分別得到兩個(gè)投影圖LA和LB。再把它們的另一個(gè)交叉點(diǎn)分別打開(kāi)A和B通道，得到圖LAA，LAB，LBB。根據(jù)第一條假設(shè)，有下面的等式 L=ALA+BLB = A2LAA+ ABLAB+BALBA+B2LBB從圖中可以看出：LBA與L一樣，LBB與LAA一樣，LAB是LAA加上一個(gè)圈，由尖括號(hào)多項(xiàng)式的第二條假定，知道LAB=dLAA，所以 L= A2LAA+ ABdLAA+BAL+B2LAA =ABL+( A2 +B2 +Abd)

20、LAA由上式可以看出，要想使尖括號(hào)多項(xiàng)式在R2下不改變，也就是要使得L=L，A、B和d這幾個(gè)自變量要有一定的關(guān)系。如果選取AB=1，A2 +B2 +Abd=0，這實(shí)際上是選取B=A-1，d=- A2- A-2，那么這種多項(xiàng)式就在R2下不變了。這時(shí)候已經(jīng)成了只有一個(gè)自變量A的多項(xiàng)式了。圖15現(xiàn)在看R3。如圖15：一個(gè)投影圖L，在它的局部做R3變換得到圖L。將L的這個(gè)局部的前面兩條線(xiàn)間的交叉點(diǎn)抹掉，按照打開(kāi)A通道和打開(kāi)B通道分別得到兩個(gè)投影圖LA和LB。對(duì)L，抹掉前面兩條線(xiàn)的交叉點(diǎn)，同樣得到兩個(gè)圖LA和LB。我們有式子 L=ALA+BLB L=ALA+BLB圖16（這時(shí)B=A-1）。從圖中可以看出

21、LB和LB一樣，于是LB=LB。LA可以經(jīng)過(guò)兩次R2變換變到，而現(xiàn)在的一個(gè)自變量的尖括號(hào)多項(xiàng)式在R2變換下是不變的，所以L(fǎng)A=LA。這樣我們已經(jīng)得出L=L，也就是說(shuō)尖括號(hào)多項(xiàng)式在下R3是不變的。對(duì)R1怎樣呢？很可惜它變了。如圖16所示，與一樣，是加上一個(gè)圈，所以，如果真的想要它在 下不變，我們就只好取A是-1，多項(xiàng)式變成了一個(gè)數(shù)，它就沒(méi)有太大的威力了，我們不準(zhǔn)備采用這個(gè)下策。現(xiàn)在我們對(duì)無(wú)向投影圖的研究已經(jīng)取得了成效，得到了尖括號(hào)多項(xiàng)式，它在 和 下是不變的，可是它在 下要改變。下面怎么辦呢？聰明的人想到了擰數(shù)，有向投影圖的擰數(shù)也是在 和 下不變，在 下改變的，能不能把擰數(shù)和尖括號(hào)多項(xiàng)式合起來(lái)，

22、原來(lái)都在 和 下不變，合起來(lái)當(dāng)然也在 和 下不變。而在 下，一個(gè)這樣變，一個(gè)那樣變，它們合起來(lái)會(huì)不會(huì)把變化相抵就不變了呢？的確如此。對(duì)于有向投影圖L，忘掉方向得尖括號(hào)多項(xiàng)式，現(xiàn)在我們做些討論。對(duì)有向投影圖來(lái)講，方向當(dāng)然要緊，如果我們把所有的方向都掉個(gè)頭，瓊斯多項(xiàng)式變不變呢？方向都變了，交叉點(diǎn)的正負(fù)號(hào)是不變的，于是擰數(shù)就不變。尖括號(hào)多項(xiàng)式當(dāng)然不變，因?yàn)樗还芊较?。所以如果所有方向都改變，瓊斯多?xiàng)式是不變的。特別地，對(duì)于一個(gè)分支的繩圈紐結(jié)來(lái)講，它只有兩個(gè)方向，無(wú)論怎么標(biāo)方向，瓊斯多項(xiàng)式?jīng)]有關(guān)系，這是我們的一個(gè)結(jié)論。再來(lái)考慮一個(gè)問(wèn)題。一個(gè)繩圈用鏡子一照，它在鏡中的像又是一個(gè)繩子圈，我們稱(chēng)它們互為鏡像

23、。鏡子放在不同位置，鏡中的像也只有空間位置上的差別，實(shí)際上是一樣的。對(duì)于一個(gè)投影圖，我們可以假定鏡子就在它所處的平面上。所以，要畫(huà)一個(gè)投影圖的鏡像如圖17，只需把每個(gè)交叉點(diǎn)處的兩根線(xiàn)上下位置顛倒過(guò)來(lái)，原來(lái)在上面的線(xiàn)畫(huà)在下面，原來(lái)在下面的線(xiàn)畫(huà)在上面?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：一個(gè)投影圖和它的鏡像如圖18，它們的瓊斯多項(xiàng)式有沒(méi)有差別？ 右手三葉結(jié) 左手三葉結(jié)看擰數(shù)，它是有變化的，因?yàn)槊總€(gè)交叉點(diǎn)的符號(hào)都改變了，正變成負(fù)，負(fù)變成正，擰數(shù)變成原來(lái)的相反數(shù)。尖括號(hào)多項(xiàng)式也是有變化的，理由是交叉點(diǎn)處的兩根線(xiàn)反了之后，附近的A部分變成B部分，B部分變成A部分。尖括號(hào)多項(xiàng)式的差別就是原來(lái)的A變成了B，即A-1。到瓊斯多項(xiàng)式（A）-3（L）LZ中來(lái)看，擰數(shù)與尖括號(hào)多項(xiàng)式的改變分別是使