河南省中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題八二次函數(shù)綜合題訓(xùn)練

1、專(zhuān)題八二次函數(shù)綜合題類(lèi)型突破類(lèi)型一新定義問(wèn)題(»1 (2017-河南)如圖，直線y= 2x+c與x軸交于點(diǎn)A(3, 0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y= - x2+ 33bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, B.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)M(m, 0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點(diǎn) P, N.點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B, P, N為頂點(diǎn)的三角形與 APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn) M,巳N中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，則稱(chēng)M,巳N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M巳N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的 m的值.例1

2、題圖用圖【分析】(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示點(diǎn) P, N的坐標(biāo)，從而可表示出 MA MP PN, PB的長(zhǎng)，分/ NBP= 90°和/ BNP=90。兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出點(diǎn) M P, N的坐標(biāo)，由題意可知有 P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM 的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于 m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) .4= 2x + c過(guò)點(diǎn)A(3, 0),與y軸交于點(diǎn)B, 30= - 2+c,解得

3、c=2, .B(0, 2). .拋物線 y=$2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, B,-12+3b+c=0, 解得c= 2,10 bF拋物線的解析式為 y =c= 2,4 2 10.x +x+ 2.33（2）由（1）可知直線的解析式為y = -|x+2,3,M（m 0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點(diǎn) P, N. P（m, - -2m3+ 2) , N(m)一 不m Tmr-F 2), PM= mi-1- 2,AM= 3m>PN= m Tmi-1-2 ( mi-1- 2)= 3m +4m33333331 . BPN和APM相彳以，且/ BPN= Z APM

4、，/BNP= /AMP= 90° 或/ NBP= Z AMP= 90°當(dāng)/BNP= 90° 時(shí)，則有 BNL MN2 .N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,4 210.，一§m+ mi+ 2=2,解得 m= 0(舍去)或 m= 2.5 ,.M(2.5, 0);當(dāng)/NBP= 90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作Ndy軸于點(diǎn)C,例1題解圖則/NBCF / BNC= 90 , NC= m BC= 'm2+衛(wèi)mi+ 2 2= 'mf+m) 3333 . /NBP= 90° , /NBCF Z ABO 90° , ./ABO= / BNC RtANCB-

5、 RtABOANC CBOF OA，、11m= 0（舍去）或m=.8-4mf+-m 33-，解得11町，0);11綜上可知，當(dāng)以 B,巳N為頂點(diǎn)的二角形與 APM相似時(shí)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為（2.5 , 0）或（丁，0）；824 2 10由可知 M(m 0), P(m, §m+ 2), N(m, - 3m + -3 2),M巳N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”， 24 0 10. 一一.一 .1，當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則有 2（一正 2） =-3m2+ym+ 2,解得m= 3（三點(diǎn)重合，舍去）或m= 2;當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，則有一 |m+ 2+ （ -4n2+m+ 2）=0,解得 m= 3（舍去）或

6、01= 1; 333當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí)，則有一|m+ 2= 2（ -4m + m+ 2）,解得 m= 3（舍去）或m=一：. 33341 ,1綜上可知，當(dāng) M P, N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)，m的值為5或一1或一4.針對(duì)訓(xùn)I練1. （2015 河南）如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC勺兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn) A, C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)F,點(diǎn)D, E的坐標(biāo)分別為（0, 6）,（ 4, 0),連接 PD, PE, DE.（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式;（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜

7、想：對(duì)于任意一點(diǎn)巳PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由;（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使 PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn) P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使 PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出 PDE 周長(zhǎng)最 小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).備用圖9 / 352. (2018 崇仁一中二模)如圖，若拋物線 Li的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線 L2的頂點(diǎn)B在拋物線Li上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合)，我們把這樣的兩拋物線 Li, L2稱(chēng)為“伴隨拋物線”，可見(jiàn)一條拋物線的“伴隨拋物線”可以有多條.(1)拋物線Li： y = x2+ 4x3與拋物線L2

8、是“伴隨拋物線”，且拋物線L2的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求拋物線L2的表達(dá)式;(2)若拋物線y=ai(xm)2+n的任意一條“伴隨拋物線”的表達(dá)式為y= a2(x - h) 2+ k,請(qǐng)寫(xiě)出ai與a2的關(guān)系式，并說(shuō)明理由;(3)在圖中，已知拋物線 Li： y=m)2-2mx- 3m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)C,它的一條“伴隨拋物線”為L(zhǎng)2,拋物線L2與y軸相交于點(diǎn)D.若CD= 4項(xiàng) 求拋物線L2的對(duì)稱(chēng)軸.3. (2018 鄭州模擬)如圖，已知點(diǎn)C(0, 3),拋物線的頂點(diǎn)為 A(2, 0),與y軸交于點(diǎn)B(0, 1),點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMLx軸于點(diǎn)M.(1)求拋物線的解析式;

9、(2)若點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且縱坐標(biāo)為1,連接PF, PCCF,求證：對(duì)于任意點(diǎn)常數(shù). 記(2)中的常數(shù)為a,若將“使 PCF面積為2a”的點(diǎn)P記作“巧點(diǎn)”，則存在多個(gè)的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) P也是一個(gè)“巧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出 PCFP, PF與PM的差為巧點(diǎn)”，且使4PCF的周長(zhǎng)最小時(shí)“巧點(diǎn)”的坐標(biāo).一，,，3 . 一， 1 。4. (2017 焦作一模)如圖，直線y=ax+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B(0, 1),拋物線y=2x2 + bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)D在拋物線上，DE/y軸交直線AB于點(diǎn)E,且四邊形

10、DFE的矩形，設(shè)點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為x(0 vx<4),矩形DFEG勺周長(zhǎng)為1,求l與x的函數(shù)關(guān)系式以及l(fā)的最大值；將4AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)90°或180° ,得到 AOB1,點(diǎn)A, Q B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) A, O, B.若AA 1OB的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱(chēng)這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).圖圖類(lèi)型二線段、角度數(shù)量關(guān)系探究畫(huà)后(2016 河南)如圖，直線y=x + n交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C(0, 4),拋物線y=-|x2+bx + c 33經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0, 2).點(diǎn)P為拋物線上一

11、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD,過(guò)點(diǎn)B作BDLPD于點(diǎn)D,連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)4BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)；(3)如圖，將4BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到BD P',且旋轉(zhuǎn)角/ PBP = / OAC 當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).圖圖例2題圖備用圖【分析】先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)由4BDP為等腰直角三角形，判斷出BD= PD建立m的方程計(jì)算出 m,從而求出PD;(3)分點(diǎn)P'落在x軸和y軸兩種情況計(jì)算即可.當(dāng)點(diǎn) P'落在x軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn) D

12、9;彳D' Nl±x軸，垂足 為N,交BD于點(diǎn)M先利用互余和旋轉(zhuǎn)角相等得出/ DBD = /ND P' = / PBP ,進(jìn)而表示出ND的長(zhǎng)度，通過(guò)構(gòu)造方程求解；的思路同.【自主解答】解：(1) .,點(diǎn) C(0, 4)在直線 y = 4x + n 上，3 n= 4, y= - -x+ 4.34當(dāng) y=0 時(shí)，0= .x+4,3解得 x=3,，A(3, 0).2 2,拋物線y=x+bx + c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,父y軸于點(diǎn)B(0, 2),36+3b+c=0,c= 2,4 b=- q, 解得 3c= - 2,，拋物線的解析式為 y=2x2-3x-2.（2） .點(diǎn)p為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

13、，且橫坐標(biāo)為 m，P(m, |mf 4m- 2) , D(m, 2), 33 .BA |m| ,PA |2mf4m- 2+2| =| 2n24m. 3333BDP為等腰直角三角形，且 PD£ BD .BA PD.當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上方時(shí)，PD- 1mgm. 33（i）若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則 m<0 BD- - m.Imi ?mi= - m,33'1人,解得1 = 0（舍去），mt=2（舍去）.（ii） 若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則 m>0 BD- m.翁-m= m 33解得3 =0（舍去），mt=7.2 2 4當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，m>0, BA m, PD -m +

14、 -m. 33. . 2n2+4m= m,解得 5= 0（舍去），m6 = 1. 332八，一7,1,一一一，,7,1綜上所述，m= 2或2.即當(dāng) BDP為等腰直角三角形時(shí)，PD的長(zhǎng)為萬(wàn)或2.P 1（一小,中）,P2（V5,勺）,p4 小33832提示：.一/ PBP=Z OAC OA= 3, OC= 4,.AG= 5,.sin / PBP =4, cos/PBP = 3. 55當(dāng)點(diǎn)P'落在x軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D'作D N±x軸，垂足為點(diǎn) N,交BD于點(diǎn)M,/DBD = /ND P'/ PBP如解圖,. ND MD =2,例2題解圖口3,2 24、，4、八即 5（3

15、m3m尸（5m）=2；m= 5（舍去）或 m=一鄧;如解圖,例2題解圖. ND + MD = 2,即 5（3而一gm）十4.5詐2,miF 亞或 mp=45（舍去）， 4-J5+4 一 廠-45 + 4 P（- 5J5,3）或 P、5,3）.33當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)D'彳D' Mix軸，交BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P'彳P'y軸，交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,例2題解圖./ DBD = /ND P' = / PBP . P' N= BM即 5(3m24m)= 3m2525 11E 百，“(5'32) 針對(duì)訓(xùn)I練1. (2014 河南

16、)如圖，拋物線 y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn) A( 1, 0), B(5, 0)兩點(diǎn)，直線y=-3x+34與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF，x軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若PE= 5EF,求m的值；(3)若點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E'落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng) 的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11/352. (2018-洛陽(yáng)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y = ax2+bx 2(a W0)與x軸交于A(1 , 0), B(3, 0

17、)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 1),該拋物線與 BE交于另一點(diǎn)F,連 接BC.BM設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)P的坐標(biāo)；若(1)求該拋物線的解析式；(2)一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿與 y軸平行的方向向上運(yùn)動(dòng)，連接 OM 間為t秒(t >0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，/ OMB90° ?(3)在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使得/ PBF被BA平分？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3. (2018-新野一模)已知拋物線 y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A(-1, 0), B(2 , 0), C三點(diǎn).直線 y=m桿2交拋物線于A, Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P

18、是拋物線上直線 AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 PF，x軸，垂足為F,交AQ于點(diǎn)N.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段 PN 2NF,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖，線段 AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E,垂足為D,點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G,使CMG勺周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖圖4.如圖，拋物線 y=ax2+bx + 3(a W0)與x軸交于點(diǎn)A(-1, 0), B(3 , 0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)拋物線上是否存在點(diǎn) M,使得 MBC的面積與 OBC的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

19、點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)點(diǎn)D(2, m府第一象限的拋物線上，連接BD.在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)巳滿(mǎn)足/ PBC=/DBC如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第4題圖備用圖37 / 35類(lèi)型三特殊圖形判定問(wèn)題(23 (2018 河南)如圖，拋物線y= ax2+6x+c交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y=x5經(jīng)過(guò)點(diǎn) B, C.(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線 BC于點(diǎn)M.當(dāng)AML BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn)B, C重合)，作直線AM的平行線交直線 BC于點(diǎn)Q.若以點(diǎn)A,M P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐

20、標(biāo)；連接AC當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于/ ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M的坐標(biāo).例3題圖備用圖【分析】(1)利用一次函數(shù)解析式確定0(0, 5), B(5, 0),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先解方程x2+6x5=0得A(1 , 0),再判斷 OCB為等腰直角三角形得到/ OBC= / OCB= 45° ,則 AMB為等腰直角三角形，所以AM= 2也，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ= AM= 2f2, POL BC作PDLx軸交直線 BC于D,如解圖，利用/ PDQ= 45°得到 PA 2PQ= 4.設(shè)P(m, R+6m- 5),則D(m, m- 5)

21、, 討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線 BC上方時(shí)，PD= m2+6m- 5- (m5) = 4;當(dāng)P點(diǎn)在直線 BC下方時(shí)，PD= m- 5-(- n2 + 6m- 5),然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；作ANLBC于N,NHLx軸于H,彳AC的垂直平分線交BC于M,交AC于E,如解圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到/AMB=2/ACB再確定 N(3, 2), AC的解析式為y = 5x-5, E點(diǎn)坐標(biāo)為(' 5),利用兩直線垂直的問(wèn)題可設(shè)直線EM的解析式為y=-1x+b,把E(1,1)代入求出b得到直22522y = x 5,線EM的解析式為y= 1x ，則解方程組112 得M點(diǎn)的坐標(biāo)

22、；在直線BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)55y=-5x-的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) M,如解圖，利用對(duì)稱(chēng)性得到/ AMzC= /AMB=2/ACB設(shè)M(x , x-5),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得13太+x 6到3=2,然后求出x即可得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，從而得到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).【自主解答】 解：(1)當(dāng) x=0 時(shí)，y = x5= 5;當(dāng) y = x 5= 0 時(shí)，x = 5，B(5, 0) , C(0, 5).將B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y = ax2+6x+c中，得° 25a+30+c'解得a 1, c = 5,c= - 5,，拋物線的解析式為 y = x2+6x 5. 2(2)解萬(wàn)程一x+6x5=0 得

23、xi=1, x2=5,則 A(1 , 0),. B(5, 0) , C(0, - 5),OCB為等腰直角三角形，/OBC= /OCB= 45° .,.AML BCAMB為等腰直角三角形，AM= -22AB= "22 X 4 = 2 2.以點(diǎn)A, M,巳Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM/ PQ.PQ= AM= 2小,PQL BC作PDLx軸交直線BC于D,如解圖，則/ PDQ= 45° , .PD=啦PQ= 4,設(shè) P(m, R+6m- 5),則 D(m, m- 5).當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PD= nf+ 6m- 5 (m 5)=n2+5m= 4,解得 m=1,

24、 m>= 4.當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí);PD= m 5 ( ni+ 6m- 5) = n2 5m= 4, 解得 m = -2, n2 = 2綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或5+的或5嚴(yán)作ANLBC于N,NHLx軸于H,彳AC的垂直平分線交BC于M,交AC于E,如解圖. .MiA= M1C, ./ACM=/ CAM, ./AMB=2/ACB. ANB為等腰直角三角形,，AH BHk Nk 2, ，N(3, 2), 15易得AC的斛析式為y=5x 5, E點(diǎn)坐標(biāo)為（,，2）,設(shè)直線EM的解析式為y= 1x+b,5，一 15 15 -12把E份,一寸代入，倚行+b= 2,斛倚b=一二,直線EM的解析

25、式為y = 1x K,解方程組512y = x 5, 112得y=-5x 十13x=-6,17y一百，皿 1317,則 m(6，6);作直線BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,如解圖，則/ AM2C= 2/ACB設(shè) M(x , x-5),13T + x63= -2- ,23. x 6 '、,，237、RM互，6）圖圖例3題解圖針對(duì)訓(xùn)陳一,、11. （2013 河南）如圖，拋物線y=-x+ bx + c與直線y = 2x+2交于C, D兩點(diǎn)，其中點(diǎn) C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3, J),點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PUx軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)

26、P的橫坐標(biāo)為 m當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè), C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在點(diǎn)P,使/ PC已45° ,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).備用圖2 . (2017 河南名校模擬)如圖，二次函數(shù) y = x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò) A( 1, 0)和B(3 , 0)兩點(diǎn)，且交 y軸于點(diǎn)C, M為拋物線的頂點(diǎn).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若將該二次函數(shù)圖象向上平移m(m>0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在BOC的內(nèi)部 (不包含邊界)，求m的取值范圍；(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，PQ/ BC交x軸于點(diǎn)Q當(dāng)以點(diǎn)B, C, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行

27、四邊形時(shí), 求點(diǎn)P的坐標(biāo).3 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2+bx + c與x軸交于A(-1, 0)、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為(1,4),直線y = x 2與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作PFx 軸于點(diǎn)F,交直線CDT點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式； (2)若PE= 3EF,求m的值；(3)連接PC,是否存在點(diǎn) 巳使4PCE是以PE為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案類(lèi)型一針對(duì)訓(xùn)練1.解：(1)二邊長(zhǎng)為8的正方形OABC勺兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, .C(0, 8)

28、, A(-8, 0),設(shè)拋物線的解析式為：y = ax2+c,一 1c= 8,a= - q,則解得： 864a + c = 0,c= 8,故拋物線的解析式為：y = qX2+ 8.8(2)正確，理由：設(shè) P(a, 8a2+8),則 F(a, 8), .D(0, 6),P* a+(8a2-2)2 =勺(8a2+2) 2 = 8a2+ 2.PF= 8 ( - -a2+ 8) = a2, 88 .PD- PF= 2; 在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，則 PE與PD的和最小時(shí)， PDE的周長(zhǎng)最小, . PD- PF= 2,PD= PF+ 2,.PE+ PD= PE+ PF+ 2,第1題解圖，如解圖，當(dāng) P

29、、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+ PF最小, 此時(shí)點(diǎn)P, E的橫坐標(biāo)都為一4,將 x = 4 代入 y = - 1x2 + 8,得 y = 6,8 .P(- 4, 6),此時(shí)4PDE的周長(zhǎng)最小，且 PDE的面積為12,點(diǎn)P恰為“好點(diǎn),.PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為(一4, 6)由(2)得：P(a, - 8a2 + 8),點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (4, 0),第1題解圖如解圖，當(dāng)一4<a<。時(shí),S>A PDE S>a peo+ Sa pod Sa doe= 2X 4X (1-8a+ 8)+2>< 6X( a) -X4X6=4a 3a+ 4= 4(a

30、 + b) +13,4V SapdeW 12.當(dāng) a=0 時(shí)，Sapde= 4；第1題解圖如解圖，過(guò)點(diǎn) P作PNLx軸于點(diǎn)N, 當(dāng)一8vav 4 時(shí)，Sa pde= S 梯形 PNOD SPNE- SDOE.1 211. 一 12 11 2 一 .1 一2 一=(8a + 8+6) X( a) X 2 2*4X6 ( a 4) X( 8a +8) X 2 = 4a 3a + 4=4(a+b) +13,12v SapdeC 13;當(dāng) a = 8 時(shí)，Sapde= 12 ,.PDE的面積可以等于4到13的所有整數(shù)，在面積為12時(shí)，a的值有兩個(gè)，面積為整數(shù)時(shí)好點(diǎn)有 11個(gè)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證周長(zhǎng)最小的好點(diǎn)包含

31、這11個(gè)之內(nèi)，“好點(diǎn)”共有 11個(gè).綜上所述，共有11個(gè)，“好點(diǎn)”，P(-4, 6).2.解：(1)由y=x2+4x3可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1),將 x = 4 代入 y = x2+4x 3,得 y= 3,.B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4 , - 3),設(shè)拋物線L2的解析式為y=a(x4)23.將 A(2, 1)代入，得 1 = a(2 4)23,解得 a=1,拋物線L2的表達(dá)式為y=(x -4)2-3;(2)a 1= a2,理由如下：,拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1上，2.，可列方程組n = a1412yl (m- 2)+- (m- 2) 5 ( m- 2) +1 =白

32、(m- 2) 4+g (m- 2) 2+ 1 =-J； (m- 2) 2+12=4(m- 2) 2+ 1,.PF PM= 1.，對(duì)于任意點(diǎn)P, PF與PM的差為常數(shù).解：設(shè)直線CF的解析式為y= kx+3,將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入，得 2k+3=1,解得k=1,直線CF的解析式為y=x+3.由兩點(diǎn)間的距離公式可知CF= 2 2. (nn- h) + k,2k = ai (hnj) +n,整理，得(ai + a2)(m h)2= 0.“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)不重合, nm h, a. i = a2.(3)拋物線Li： y=mX2mx 3m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4m),設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 h,則其縱坐

33、標(biāo)為 mK 2mh- 3m,拋物線 L2 的表達(dá)式為 y= m(xh) 2+mh 2mh 3mli化簡(jiǎn)，得 y=mX2+2mhx- 2mh- 3 m,.點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(0, -2mh- 3m),又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3m),|( 2mh- 3m) ( 3m)| =4m,解得 h=±2,，拋物線L2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=±2.3. (1)解：設(shè)拋物線的解析式為y = a(x 2)2.1將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得 4a=1,解得a =4.，拋物線的解析式為 y=1x 2)2,即y = 1x2-x+ 1. 44(2)證明：設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(m, 4(m- 2)2), PMk 4(m-2)

34、2, M(m 0).依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知PF=7 (m- 2) 2+4 (m- 2) 212=，2a= 2.1，設(shè)在 PCF中，邊CF的上的高線長(zhǎng)為x,則2><2V2x = 2,解得x=巾.如解圖，過(guò)點(diǎn) C作CGLCF,取CG= 2.則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1, 2）.第3題解圖過(guò)點(diǎn)G作GH/ FG設(shè)直線 GH的解析式為y=-x+b,將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入，得1 + b = 2,解得b= 1, 直線GH的解析式為y=-x+1,令一x+1 = 4（x 2）2,解得 x = 0, .PCF的一個(gè)巧點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 1）.顯然，直線 GH CF的另一側(cè)時(shí)，直線 GHW拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).F, C為定

35、點(diǎn)，二.CF的長(zhǎng)度不變， 當(dāng)PC+ PF最小時(shí)，N CF的周長(zhǎng)最小. PF- P隹 1 , .PO PF= PC+ P 1 ,當(dāng)C、P、M在一條直線上時(shí)， PCF的周長(zhǎng)最小.，此時(shí) P（0, 1）.綜上所述， PCF的巧點(diǎn)有3個(gè)，4PCF的周長(zhǎng)最小時(shí)，“巧點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0, 1）.4.解：（1） ,直線 l : y=?x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（0 , - 1）,4''' m= 一 1,，直線l的解析式為y = |x-1.4.一3;直線1 ： y = x1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,3 ,一 . y= -X 4 1 = 2. 41 2.拋物線 y=2x+bx + c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C

36、（4, 2）和點(diǎn) B（0, 1）,1 ,2,八.5X4 +4b+c=2b=一2 ,解得 4,c= 1c= 一 1，拋物線的解析式為 y = 1x2-4x- 1;人34(2)令 y=0,則X1=0,解得 x=-, 43點(diǎn)A的坐標(biāo)為0), 3 41 1 OA=. 3在 RtOAB中，OB= 1 ,AB= OA+ OB = yj (3) 2+12 = 3.DE/y 軸， ./ABO= /DER OB 3_ OA 4 在矩形DFEGF,EF= DE-cos/DE曰 DE- = -DE,DF= DE-sin / DE曰 DE- -= -DE,AB 5AB 54 314 .l = 2(DF+EF) = 2

37、(-+-)DE= DE.5 55 點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0 Vt<4), D(t , 2t2-5t-1), E(t31 2 51 27 2 285y .DE=(不 T)(2 -4t -1)=-2t +2t,l = X ( 一 12+ 2t) =52 '1 = 5(t 2)2+g，且5O', 一 28，當(dāng)t =2時(shí)，1有最大值石.(3) “落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為 4,如解圖，解圖，解圖，解圖所示.圖圖圖第4題解圖4如斛圖)設(shè)點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為mi則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m+",3酎5m- 1= ；(m+4)2 5(m + 4) - 1,242343解得m= 124如解圖，設(shè)點(diǎn) Al的橫

38、坐標(biāo)為 m則點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為m+-, B的縱坐標(biāo)比點(diǎn)Al的縱坐標(biāo)大1,3. 1 2 5. 一 1, . 4、2 5, . 44 .2m 4m- 1+1=2(m+ 3) - 4(m+ 3)-1,解得 m= 3,，旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為或*12 3類(lèi)型二針對(duì)訓(xùn)練1 .解：(1)將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得： 1 b+c=0,b=4,CL ,C 解得 L 25+5b+c=0,c=5,，拋物線的解析式為 y=x2+4x+5,2 2) ;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mP(m, n2+4m+ 5), E(m, 4m+ 3), F(m, 0),PE= |y pyE| = |( m2+ 4m+ 5

39、) ( -m+ 3)| = |m2+ 但m 2| ,44，33EF= |y E- yF| =|( -4m+ 3)-0| =| -4m+ 3 ,19315由題意，得 PE= 5EF,即 | m2 + m+ 2| = 5| -mm- 3| = | - -mm-15|.2 1915- 一 一 2右一m+”T+ 2 = - -m+ 15,整理，得 2m 17m+ 26=0,若一mi+ -4-m+ 2 = ( nn+ 15),整理，得 m2- mi- 17=0,解得m孑或“匕尹.，升一，131-69、一“人口1+ 692由題息，得 m的取值氾圍為一1V m< 5,故mi= , my=2這兩個(gè)解不符

40、合題息,- my= 2 或 m=假設(shè)存在.作出示意圖如解圖：點(diǎn)E、E'關(guān)于直線PC對(duì)稱(chēng), / 1 = /2, CE= CE , PE= PE'.PE平行于 y 軸，/ 1 = /3,，/2=/3, PE= CE,.PE= CE= PE' =CE ,即四邊形 PECE是菱形.當(dāng)四邊形PECE是菱形存在時(shí)，3由直線CD的解析式y(tǒng)=- x+3,可得OD= 4, OC= 3,由勾股定理，得 CD= 5,過(guò)點(diǎn)E作EM/F/x軸，交y軸于點(diǎn)M,易得 CEMh ACD(O器CD即*CE5了,斛信CE= 4附，一 5 一 一 2 19.PE= CE= 4|m| ,又由(2)可知：PE=

41、 | -m + mi+ 2| ,2 . 19 .5.-I - m+m+ 2| =4|m|.若一mf+fi+ 2 = 4ml 整理，得 2m27m 4=0,解得 m= 4或 m= 2; 21952右m+”T+ 2 = - 4ml 整理，得 m- 6m- 2=0,解得 m=3 + /71, m2 = 301.由題意，得 m的取值范圍為1vm< 5,故m= 3+/這個(gè)解舍去，當(dāng)四邊形PECE是菱形這一條件不存在時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0, E, C, E'三點(diǎn)重合于y軸上，也符合題意，.P(0, 5).1 11 綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)巳可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, 5)或(2或I)或(4,

42、 5)或(3/，2/11-3).第1題解圖2.解：(1)二拋物線 y=ax2+bx2(a W0)與 x 軸交于 A(1 , 0), B(3 , 0)兩點(diǎn),a+b 2=0,9a+ 3b-2= 0,解得2 a=3,8 b=b 3,，拋物線的解析式為y = - 3x2+3x - 2 ；(2)如解圖，由(1) ,.,D為拋物線的頂點(diǎn),2- D(2, -) , 3 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿平行與 y軸平行的方向向上運(yùn)動(dòng),2，設(shè) M(2, m)(m>-), 3.oM= R+4, bM=R+1,。甘=9. /OMB90° , .OM+ BM2=OB, 2.2 m +4+ m

43、+ 1=9,解得m= '2或 m=一42(舍去)， .M(2,巾),.MD=啦-2. -t = >/2-|； 3圖圖第2題解圖 存在點(diǎn)P,使得/ PBF被BA平分，如解圖，/ PBO= Z EBO E(0, 1),，在y軸上取一點(diǎn) N(0, 1).B(3, 0),1_，直線BN的解析式為y=3+1.3點(diǎn)P在拋物線y = 2x2+8x 2上,33聯(lián)立，得y = - 2x2 + 8x-2,333x = 3y = 0x= 2解得 ，或1y=23 1下(2, 2) .3.解：(1) .拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過(guò) A(1, 0), B(2, 0),ab + 2=0,» a

44、= 1,，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得解得4a+2b+2=0,b=1,，拋物線的解析式為 y=- x2+x+2.11(2)直線y=mx+ 2交拋物線與A, Q兩點(diǎn)，把A(-1, 0)代入解析式，得 m= 2,11，直線AQ的解析式為y=2x+2. 一211設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 n,則 P(n, n+n + 2), N(n, 2n+2) , F(n , 0), .PN= n2+n + 2(1n+2) =n2+2n+|, NF= 1n+ 2.PN= 2NF, n2+ -n+ 3=2X ( -n + -),解得 n= 1 或.'22222當(dāng)n = 1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去.一，,1

45、 9點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 4).(3) y=x2+x + 2, =(x2)2+4，.1 9、 m(2，4) 如解圖所示，連接 AM交直線DE與點(diǎn)G,連接CG CMt匕時(shí)， CMG的周長(zhǎng)最小.1 93 k=2,設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為 y = kx+b,且過(guò)A( - 1, 0), Mg, 4),-k + b=0,根據(jù)題意，得 19-k+ b=直線AM的函數(shù)解析式為y=2x+2.D為AC的中點(diǎn), d(-2，1).設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得一 k+2 = 0,解得k= 2, 直線AC的解析式為y=2x+2.設(shè)直線DE的解析式為y = - -x + c,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得-+

46、 c= 1,解得c = ,24413，直線de的解析式為y=7+4.b = 2,將y = 1x+3與y=3x+ 15在直線 DE上存在一點(diǎn) G,使CMG勺周長(zhǎng)最小，此時(shí) G(-,).4.解：(1)二拋物線 y=ax2+bx+3(a W0)與 x 軸交于點(diǎn) A(-1, 0), B(3 , 0),a b + 3= 0, 9a+ 3b+ 3= 0,a = - 1,解得聯(lián)立，解得 x=-3, y = 1|, 2422816，拋物線的表達(dá)式為y=x?+2x+3;(2)存在.,拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+3, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3), - C(0, 3), B(3, 0), ,直線BC的解析式為y

47、=- x+3,過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線y = -x,與拋物線的交點(diǎn)即為M,y=- x,解方程組y-x，2x+3,3+ 21x=2,3 .21 x=2,可得-321一)，M(3)存在.如解圖，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G.點(diǎn)D(2, m)在第一象限的拋物線上，2.當(dāng) x=2 時(shí)，m= 2+2X2+3=3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 3),把 x = 0 代入 y = - x2+ 2x + 3,得 y= 3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3), .CD/x 軸，CD= 2,點(diǎn) B(3, 0), .OB= OG= 3, /OBe /OCB= 45° . /DC品 /OBQ= /OCB= 45° ,又/ P

48、BG= / DBC BC= BQ .CGB2 CDB(ASA)CG= CD= 2.OG= OC- CG= 1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,1),設(shè)直線BP的解析式為y= kx+ 1,將 B(3, 0)代入，得 3k+1=0,一 1解得k=一個(gè)3直線BP的解析式為y=-1x+1,3令-x+ 1 = x2+ 2x+ 3,3一 2 一斛得 X1= -X2= 3,3點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸X =2=1左側(cè)的一點(diǎn)，即XV 1 , 2a2x=-3把x = 2代入拋物線y=-x2 + 2x + 3中，3-11斛得y =,9，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 3, 191)時(shí)，滿(mǎn)足/ PBO /DBC.類(lèi)型三針對(duì)訓(xùn)練1，人1.解：(1)在直

49、線解析式 y=2x+2中，令x=0,彳導(dǎo)y = 2,0(0, 2).點(diǎn) 0(0, 2), D(3, 2)在拋物線 y=x2+bx+c 上，c= 2,79+3b + c=2，,7b- Q ,解得 2c= 2,，拋物線的解析式為 y=- x2+|x+2.(2) PF/ OC且以 Q C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，PF= OC= 2,，1， ，、，r 一，將直線y=x+2沿y軸上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)即為所求,由解圖可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有 3個(gè)，11將直線y = 2x+2沿y軸向上平移 2個(gè)單位，得到直線 y=2x + 4,1 ,y= 2x+ 4,聯(lián)立解得x1= 1 , x2 = 2;y=- x2 + 2x + 2,一八、11將直線y = 2x+ 2沿y軸向下平仃移2個(gè)單位，得到直線 y = 2x,2y=2x，聯(lián)立7y=- x2+2x + 2,解得x3=W, x4=(不舍題意，舍去),，當(dāng)m的值為1或2或3+ 27時(shí),以O(shè) C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.存在.2 7_1理