高中數(shù)學(xué)放縮法

1、高考專題 放縮法縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)論的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式

2、知識(shí)解決問題的能力本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和一先求和后放縮例1正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來(lái)證明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和二先

3、放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因?yàn)椋裕裕?放縮后成等比數(shù)列，再求和例3（1）設(shè)a，nN*，a2，證明：；（2）等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列bn前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana，于是， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放縮后為差比數(shù)列，再求和例4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)?，所以，即，即所以?shù)列為遞增數(shù)列，所

4、以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5在m（m2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時(shí)PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?=. 綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）常見高考放縮法試題1. 設(shè)都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（1）試問是否成等差數(shù)列？為什

5、么？（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和2. 已知等差數(shù)列中，8，66.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求證：.3. 已知數(shù)列中，（n2，），數(shù)列，滿足（）（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；（3）記，求4. 已知數(shù)列an中，a1>0, 且an+1=， ()試求a1的值，使得數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列； ()試求a1的取值范圍,使得an+1>an對(duì)任何自然數(shù)n都成立； ()若a1 = 2，設(shè)bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和，求證：Sn<5. （1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。6. 已知，各項(xiàng)為正

6、的等差數(shù)列滿足，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和是。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，如果沒有，說(shuō)明理由。7. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,且(3,其中m為常數(shù),m(1) 求證:是等比數(shù)列;若數(shù)列的公比q=f(m),數(shù)列滿足求證:為等差數(shù)列,求.8. 已知數(shù)列滿足：且，（）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；9. 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，（）， 滿足：對(duì)于任意的總有兩個(gè)不同的根。（1）試寫出，并求出；（2）求，并求出的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求。10. 已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足是大于0的常數(shù)），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2

7、）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an；（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較與Sn的大小.11. 已知數(shù)列an中，（n2，3，4，） （I）求的值； （II）證明當(dāng)n2，3，4，時(shí)，12. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足條件：；，求的通項(xiàng)公式13. 已知函數(shù)f（x）（axb）圖象過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）記，是否存在正數(shù)k，使得對(duì)一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由14. 已知曲線C：， ： （）。從上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)。 （I）求的坐標(biāo)； （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：1. 由題意，得， （1）

8、 （2） （1）因?yàn)?，所以由式?）得，從而當(dāng)時(shí)，代入式（1）得，即，故是等差數(shù)列（2）由及式（1），式（2），易得 因此的公差，從而，得 （3）又也適合式（3），得，所以，從而 2. 解：（）（）， = 而是遞增數(shù)列 ， . 3. （1），而，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列（2）依題意有，而，對(duì)于函數(shù)，在x時(shí)，y0，在，）上為減函數(shù)故當(dāng)n4時(shí)，取最大值3而函數(shù)在x時(shí)，y0，在（，3.5）上也為減函數(shù)故當(dāng)n3時(shí)，取最小值，-1（3），4. ()欲使數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，則an+1= an 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1 = an = ()研究an+1an= (n2

9、) 注意到>0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符號(hào)7要使an+1>an對(duì)任意自然數(shù)都成立,只須a2a1>0即可.由>0，解得：0<a1<()用與()中相同的方法，可得當(dāng)a1>時(shí)，an+1<an對(duì)任何自然數(shù)n都成立.因此當(dāng)a1=2時(shí)，an+1an<0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=< an+1，可解得an+1>, 故Sn<2=5. （1）令，由x>0，t>

10、1，原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)f(t)在遞增f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，則有g(shù)(t)在上遞增，g(t)>g(1)=0綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得6. （1），又 或 若，則，與矛盾； 若，則，顯然， （2）， 當(dāng)時(shí)，歐 時(shí)， 數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則 由 可得數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是。7. （1）由是等比數(shù)列。（2）8. （）經(jīng)計(jì)算， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，； 當(dāng)為偶數(shù)，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列， 因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）， （1） （2）（1）

11、、（2）兩式相減，得 9. （1）,當(dāng)時(shí), 又對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根,， 由(1), 對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根, 對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根, 由此可得， （1） 當(dāng)， 當(dāng)，10. （I）解：由得， （II）由，數(shù)列是以S1+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)a1=1滿足 （III），得，則. 當(dāng)n=1時(shí)，即當(dāng)n=1或2時(shí)，當(dāng)n>2時(shí)， 11. （I）， 4分 （II）當(dāng)k2，3，4，5，時(shí)， ， ， ， ， 12. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知條件，得÷得：，所以×，得，即或（舍去）由得：13. （1）由已知，得解得：（2）設(shè)存在正數(shù)k，使得對(duì)一切

12、均成立，則記，則，F(xiàn)（n）是隨n的增大而增大，當(dāng)時(shí)，即k的最大值為14. （1）由題意得知，（2），點(diǎn)的坐標(biāo)為在曲線上，又在曲線上， （III）+ 7分 = ， 例題講解部分1【2008年湖南理】已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若不等式對(duì)任意的都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求的最大值解： （）函數(shù)的定義域是，設(shè)，則令則當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，在上為減函數(shù)所以在處取得極大值，而，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（）不等式等價(jià)于不等式由知，設(shè)則由（）知，即所以于是在上為減函數(shù)故函數(shù)在上的最小值為所以a

13、的最大值為2山東省日照市2009屆高三模擬考試數(shù)學(xué)理科試題已知，函數(shù)（）試問在定義域上能否是單調(diào)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（）若在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng) 時(shí)，設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為，求證：解：（）的定義域?yàn)?，由?2分 當(dāng)時(shí)，遞減； 當(dāng)時(shí)，遞增 所以不是定義域上的單調(diào)函數(shù) 4分（）若在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即恒成立6分 即 8分 （）當(dāng)時(shí)，由（）知，在上為增函數(shù)， 又當(dāng)時(shí)， ，即 令則，當(dāng)時(shí)， 從而函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有即得 綜上有： 10分 12分 令時(shí)，不等式也成立， 于是代入，將所得各不等式相加，得 即即 14分32009屆山東省德州市高三第一次練兵（理數(shù)）已知函

14、數(shù)在是增函數(shù),在（0,1）為減函數(shù)（1）求、的表達(dá)式；（2）求證：當(dāng)時(shí),方程有唯一解；（3）當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,求的取值范圍解：（1）依題意,即,上式恒成立, 1分又,依題意,即,上式恒成立, 2分 由得3分 4分（2）由（1）可知,方程,設(shè),令,并由得解知5分令由 6分 列表分析：（0,1）1（1,+¥）-0+遞減0遞增可知在處有一個(gè)最小值0, 7分當(dāng)時(shí),0,在（0,+¥）上只有一個(gè)解即當(dāng)x0時(shí),方程有唯一解8分（3）設(shè), 9分在為減函數(shù) 又11分所以：為所求范圍 12分4山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第三次診斷考試（數(shù)學(xué)理）已知函數(shù) （注：）（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正

15、實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（3）求證：對(duì)大于1的任意正整數(shù)解：（1）因?yàn)?所以依題意可得，對(duì)恒成立，所以 對(duì)恒成立，所以 對(duì)恒成立，即（2）當(dāng)時(shí)，若，單調(diào)遞減；若單調(diào)遞增；故在處取得極小值，即最小值又所以要使直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)為，即；（3）當(dāng)時(shí)，由可知，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，故，即所以故 相加可得又因?yàn)樗詫?duì)大于1的任意正整書5山東省煙臺(tái)市2009屆高考適應(yīng)性練習(xí)（二）理綜試題 數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)是常數(shù)，=271828）和任意正整數(shù)，總有；（3）在正數(shù)數(shù)列中，求數(shù)列中的最大項(xiàng)解：由已知：對(duì)于，總有成立（1） （2） 1分（1）（2）得均為正數(shù)， 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 3分 又時(shí)，解得 5分（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，總有6分 9分（3）解：由已知 ， 易得 猜想時(shí)，是遞減數(shù)列 11分 令，則 當(dāng)時(shí)，則，即 在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)， 由知 時(shí)，是遞減數(shù)列，即是遞減數(shù)列 又，數(shù)列中的最大項(xiàng)為 14分1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例1、已知求證：證明： 本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn).2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+