24弦切角的性質(zhì)25與圓有關(guān)的比例線段ppt課件

1、普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓心角和圓周角。圓心角和圓周角。問(wèn)題問(wèn)題1：在前面我們共同研究過(guò)與圓有關(guān)的：在前面我們共同研究過(guò)與圓有關(guān)的兩種什么角？?jī)煞N什么角？回想回想 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。圓心角的一半。 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。問(wèn)題問(wèn)題2：圓周角定理：圓周角定理圓心角定理圓心角定理普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-

2、1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系察看：在圖察看：在圖1中，以點(diǎn)中，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)直線為中心旋轉(zhuǎn)直線DE，同時(shí)保證直線同時(shí)保證直線BC與與DE的交點(diǎn)落在圓周上的交點(diǎn)落在圓周上.在圖在圖1中中,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),有有BCE=A.OC CA AB BD D圖圖1EO(C)A AB BD圖圖2E當(dāng)當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時(shí)變?yōu)閳A的切線時(shí)(如圖如圖2),你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?在圖在圖2中中,DE是切線是切線, BCE=A仍然成立嗎仍然成立嗎?普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系猜測(cè)：猜

3、測(cè)：ABC是是 O的內(nèi)接三角形，的內(nèi)接三角形，CE是是 O的切線，那么的切線，那么BCE= A.OCOCCCCCCCCOCOCOCOC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系1.弦切角弦切角:O(C)A AB BD圖圖2E頂點(diǎn)在圓上，一邊和頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。相切的角叫做弦切角。普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)AAABBBBBCCCCC下面五個(gè)圖中的下面五個(gè)圖中的BAC是不是弦切角？是不是弦切角？練一練練一練A普通高

4、中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(1) 頂點(diǎn)在圓上；頂點(diǎn)在圓上；(2) 一邊和圓相交；一邊和圓相交；(3) 一邊和圓相切。一邊和圓相切。弦切角的特征：弦切角的特征：ABC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言: BA切切 O于于AAC是圓是圓O的弦的弦2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。DBAC= ADCm普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(

5、1)指出圖中所有的弦切角指出圖中所有的弦切角;弦切角有：弦切角有： APC 、 APD 、 APE BPC 、 BPD 、 BPE(2)指出這些弦切角所夾的弧。指出這些弦切角所夾的弧。APC (弧弧PC) APD (弧弧PCD) APE (弧弧PCE)BPC (弧弧PEC)練一練練一練如圖，直線如圖，直線AB和和 O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P，PC 、PE是弦，是弦，PD是直徑。是直徑。ABOPDCEBPD (弧弧PED)BPE (弧弧PE)練一練練一練練一練練一練普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例例1.如圖已知如圖已知AB是是 O的直

6、徑的直徑,AC是弦是弦,直線直線CE和和 O切于點(diǎn)切于點(diǎn)C,ADCE,垂足為垂足為D.求證求證:AC平分平分BAD.OABCDE12思路一思路一:普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系思路二思路二: 連結(jié)連結(jié)OC,由切線性質(zhì)由切線性質(zhì),可得可得OCAD,于于是有是有2=3,又由于又由于1=3,可證得可證得1=2OABCDE312普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例例2: 如圖如圖,AD是是ABC中中BAC的平分線的平分線,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A的的 O與與BC切于點(diǎn)切于點(diǎn)D,與與

7、AB、AC分別相交于分別相交于E、F. 求證：求證：EFBC.BAEDCFO普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系1.如圖，如圖，AC是是 O的弦，的弦，BD切切 O于于C，則圖中弦切角有，則圖中弦切角有 個(gè)個(gè).4假設(shè)假設(shè)AOC=1200,那么那么 ACD = .OBDAC6002.如圖，直線如圖，直線MN切切 O于于C，AB是是 O的直徑的直徑,假設(shè)假設(shè) BCM=400,那那么么 ABC等于（等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.知知 O是是ABC的內(nèi)切的內(nèi)切圓圓,D,E,F為切點(diǎn)為切點(diǎn),假設(shè)假

8、設(shè) A: B: C=4:3:2, 那么那么DEF = , FEC= .B500700練習(xí)：練習(xí)：ABFEDCO普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系弦切角弦切角-頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。交，另一邊和圓相切的角。一般情況下，弦切角、圓周角、圓心角都是通過(guò)它們所夾的或所對(duì)的同一條弧或等弧聯(lián)系起來(lái)，因此，當(dāng)已知有切線時(shí)常添線構(gòu)建弦切角或添切點(diǎn)處的半徑應(yīng)用切線的性質(zhì)求解。弦切角定理弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.留意：留意：內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)普通高中課程數(shù)

9、學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系方法歸納方法歸納定理的證明定理的證明 (化歸思想、分類思想化歸思想、分類思想)化歸化歸化歸化歸COCOOC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 分析：延用從特殊到一般的思路。先分析分析：延用從特殊到一般的思路。先分析ABC為直角三角形時(shí)的情形，再將銳角三角形和鈍角為直角三角形時(shí)的情形，再將銳角三角形和鈍角三角形的情形化歸為直角三角形的情形。三角形的情形化

10、歸為直角三角形的情形。普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(1)圓心圓心O在在 ABC的邊的邊BC上上證明證明: :ABOCE普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(2)圓心圓心0在在ABC的內(nèi)部的內(nèi)部OC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(3)圓心圓心0在在ABC的外部的外部,OC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程

11、數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系探究探究1:AB是直徑是直徑,CDAB交點(diǎn)交點(diǎn)P.線段線段PA,PB,PC,PD之間有何關(guān)系之間有何關(guān)系?CABPDOACBPDOACBPDOPAPB=PCPD1.相交弦定理相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)(C.P)BD探究探究2:把兩條相交弦的交點(diǎn)把兩條相交弦的交點(diǎn)P從圓內(nèi)從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓上運(yùn)動(dòng)到圓上.再到圓外，再到圓外，結(jié)論結(jié)論 是否還能成立是否還能

12、成立?PAPB=PCPDP在圓外:易證PADPCB .PBPDPCPA故故PAPB=PCPDP在圓上:PA=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 2.割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究探究3:使割線使割線PB繞繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置位置,是否還能成立是否還能成立?APBODC普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)(B)P

13、ODC連接AC,AD易證PACPDA 上式可變形為上式可變形為PA=PCPD3.3.切割線定理切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng). .故故PAPB=PCPD仍成立仍成立因?yàn)橐驗(yàn)锳,B重合，重合，普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系探究探究4:使割線使割線PD繞繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置位置,可以得出什么結(jié)論可以得出什么結(jié)論?A(B)PODC易證易證RtOAP RtOCP. PA=PC4.4.切線

14、長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等條切線，它們的切線長(zhǎng)相等, ,圓心和圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角. .A(B)POC(D)PA=PCPD普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系思索思索:1.由切割線定理能證明切線長(zhǎng)定由切割線定理能證明切線長(zhǎng)定理嗎理嗎?如圖由如圖由P向圓任作一條割線向圓任作一條割線EF試試試試.A(B)POC(D)EF思索思索:2.你能將切線長(zhǎng)定理推廣到空間你能將切線長(zhǎng)定理推廣到空間的情形嗎的情形嗎?O普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)

15、選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例1.圓內(nèi)的兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的長(zhǎng). CDABP41解:設(shè)CD=x,則PD= ,PC=x54x51由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得求得 x=10,x54x51CD=10普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例2.E是圓內(nèi)的兩條弦AB,CD的交點(diǎn),直線EF/CB,交AD的延長(zhǎng)線于F,FG切圓于G.求證:(1)DFEEFA; (2)EF=FG ABCOFGED321EFFDFAEFDFEEFAEF=FAFD又又

16、GF=FAFDGF= EFEF=FG普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),P是兩圓公共弦AB上的任一點(diǎn),從P引兩圓的切線PC,PD.求證:PC=PDPABDC析：析：PC=PAPB又又PD=PAPBPC= PDPC=PD普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例例4.如圖如圖,AB是是 O的直徑的直徑,過(guò)過(guò)A,B引引兩條弦兩條弦AD和和BE,相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C,求證求證:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析分析:A,F,C.E四點(diǎn)共圓四

17、點(diǎn)共圓BCBE=BFBA.F,B,D,C四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系例例5.如圖如圖,AB,AC是是 O的切線的切線,ADE是是 O的割線的割線,連接連接CD,BD,BE,CE.BAECOD問(wèn)題問(wèn)題1 由上述條件能推出哪些結(jié)論由上述條件能推出哪些結(jié)論?探究探究1: ACD= AECADC ACE AEACCECDCDAE=ACCE 同理同理 BDAE=ABBE 因?yàn)橐驗(yàn)锳C=AB,由由 可得可得 BECD=BDCE 圖圖普通

18、高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系探究探究2: 猜想并可證明猜想并可證明問(wèn)題問(wèn)題2 在圖在圖(1)中中,使線段使線段AC繞繞A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn),得到得到圖圖(2),其中其中EC交圓于交圓于G,DC交圓于交圓于F,此時(shí)又此時(shí)又能推出哪些結(jié)論能推出哪些結(jié)論?BAECOD圖圖BAECODFG圖圖ADC ACE 同樣可得同樣可得普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系證明如下證明如下:BAECODFG圖圖AB=ADAE,而而AB=AC,AC=ADAE,即即ACADAEACCAD= EAC,(對(duì)

19、應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等). ADC ACE 另一方面連接另一方面連接FG由于由于F,G,E,D四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓 CFG= AEC,又又ACF= AEC, CFG= ACF, FG/AC 普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系BAECODFG圖圖問(wèn)題問(wèn)題3 在圖在圖(2)中中,使線段使線段AC繼續(xù)繞繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn),使割線使割線CFD變成切線變成切線CD,得到圖得到圖(3),此時(shí)又此時(shí)又能推出哪些結(jié)論能推出哪些結(jié)論?BAECODFG圖圖P探究探究3: 可以推出可以推出1）（6的所有結(jié)論。的所有結(jié)論。普通高中課程數(shù)學(xué)選

20、修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系BAECODQG圖圖P此外此外AC/DG.CECGAEADADCE=AECG ACD AECACADCECDACCD=ADCE 由由可可得：得：ACCD=AECG 連接連接BD,BE,延長(zhǎng)延長(zhǎng)GC到到P,延長(zhǎng)延長(zhǎng)BD交交AC于于Q,那那么么PCQ= PGD= DBE,故故C,E,B,Q四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓 普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系習(xí)題習(xí)題2.55.如圖, O與 O相交與點(diǎn)A,B.PQ是 O的切線,求證:PN=NMNQQNPOOABM普通高中課程數(shù)

21、學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系6.如圖,PA是 O的切線, M是PA的中點(diǎn),求證:MPB=MCPMA=MBMC=PMMCPMPMMBMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思緒：思緒：習(xí)題習(xí)題2.5普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系習(xí)題習(xí)題2.57.如圖, AD,BE,CF分別是ABC三邊的高,H是垂心,AD延長(zhǎng)線交ABC外接圓于點(diǎn)G, 求證:DH=DGACEGBFHD132普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)ECD

22、PBFO習(xí)題2.58.如圖, O直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,AE=AC. 求證:PFPO=PAPB 12POCPDFPFPCPDPOPFPO=PDPC又又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思緒：思緒：普通高中課程數(shù)學(xué)選修普通高中課程數(shù)學(xué)選修4-1 第二講第二講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系習(xí)題習(xí)題2.5 9.將例將例5的圖的圖(1)作如下變化作如下變化:以以A為中心為中心,把線段把線段AC繞繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接連接EC并延長(zhǎng)與圓相交于并延長(zhǎng)與圓相交于F,連接連接DC并延長(zhǎng)與圓相交于并延長(zhǎng)與圓相交于G,連接連接FG,其他條件同例其他條件同例5,能推能推出哪些結(jié)論出哪些結(jié)論?假設(shè)假設(shè)BAD= CAD,又有