以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場ppt課件

1、以解析函數(shù)的實(shí)際與方法研討平面電磁場余毅聰 2019年12月 復(fù)變函數(shù)和電磁學(xué)這兩門課中一些重要的公式是很類似的，本文試圖在一定的程度上開掘其中的聯(lián)絡(luò)。主要想法主要內(nèi)容1 建立數(shù)學(xué)模型2 根據(jù)模型推算根本定理3 一些結(jié)論4 二維場的保形變換 二維場數(shù)學(xué)模型w無窮長導(dǎo)線的磁場 w如圖，將一根無窮長的直導(dǎo)線置于坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閆軸方向。于是易得(x,y)點(diǎn)處的磁場分量為： w XYIr)(2)(2220220yxIxyxIyBByxB現(xiàn)把Y-X平面視為復(fù)平面， z=x+iy, 并令：222202)(yxixyxyIiBBzwwyx02)(iEEzwwyx同樣，對(duì)于電場，那么有：在以下的討論中，視

2、為二維電荷， 為二維磁荷。并一致以符號(hào) 表示。IqX以同樣的方式，可以建立二維的電場的數(shù)學(xué)模型。只需將無窮長帶電直線實(shí)為“二維電荷YrE同樣，令：02)(iEEzwwyx高斯定理與環(huán)路定理留意到對(duì)于上面的兩種情況，都有 是解析的，由于Cauchy-Riemman方程得到足：ivuzww)(xvyuyvxu)(;)(取C為一條圍繞原點(diǎn)的簡單封鎖曲線，假設(shè)原點(diǎn)處存在無限長的導(dǎo)線或者帶電直線，那么由留數(shù)定理可得：Cwsidzw0 ,Re2于是解析函數(shù)的實(shí)際與方法有了用武之地！2)(CCidydxivudzw比較實(shí)部虛部即得：CCvdxudyvdyudx0)(2)(下面分析上面二式的意義。(1)(2)

3、 對(duì)于圖重的曲線積分,積分微元是idydxl d于是,假設(shè)把w看作有兩個(gè)分量的矢量,可有vdyudxidydxivul dw)(即得:Cl dw2由20IwB 最后得到:CIl dB0l d對(duì)于磁場的情況上式即是我們熟習(xí)的安培環(huán)路定理.而(2)式的意義又何在呢?留意到:udyvdxidydxivul diw)(假設(shè)我們定義:lidnd那么可以得到:Cndw0l dnd 的幾何意義如下圖.當(dāng)把曲線看成是無限長的柱面的截線時(shí), 即是曲面的法向量.上式的意義即可了解為是二維平面的高斯定理.nd顯然,稍作推行即可以得到:1. 對(duì)于磁場中的恣意簡單封鎖曲線C,有NiiCIl dB10CndB02對(duì)于電場

4、的情況,由于電場和磁場所對(duì)應(yīng)的w僅僅相差一個(gè)常數(shù)i, 所以情況完全類似,僅僅只需求將上面兩式的右邊交換即可.這里就不作過多的討論了.由解析的性質(zhì)得到的一些結(jié)論dzzzzfizfC)(21)(磁場和電場(以下僅稱場)的分布由邊境決議.現(xiàn)實(shí)上,假設(shè)w在邊境C上的值為知,那么對(duì)于區(qū)域內(nèi)部的一點(diǎn)Z,有即是可以由邊境上的函數(shù)值計(jì)算內(nèi)部的值.2 平均值公式.對(duì)于一個(gè)閉圓 假設(shè)其內(nèi)部沒有電流(或電荷),那么場在圓心處的值,等于圓周上的平均值.Raz上式的根據(jù)是平均值公式Cdsfaf)(21)(圓心處實(shí)部和虛部的值對(duì)應(yīng)為圓周上的平均值,于是即有以上結(jié)論.現(xiàn)實(shí)上,泊松公式為我們提供了計(jì)算區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)場值的方法:

5、dRrrRRreReRzfrezfiii2022)(2)cos(2)(21)( 3 假設(shè)平面區(qū)域中沒有電荷或者沒有磁荷,那么場的最大值只能在區(qū)域的邊境上取到.4 平面場一切的電荷之和為0。5 假設(shè)穿過平面上有電荷： ,且滿足: 那么平面上一定存在場強(qiáng)為0的點(diǎn).Nqqq,21021Nqqq證明: 射N根導(dǎo)線的坐標(biāo)的復(fù)數(shù)為: 容易得到這個(gè)場對(duì)應(yīng)的復(fù)函數(shù)w(z)為:Nzzz,21NNzzqzzqzzqzw2211)(NNzzqzzqzzqw2211為證明結(jié)論,只需求證明函數(shù)NNzzqzzqzzqzf2211)(在復(fù)平面上有非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根即可.）（為了證明上式,需求用到的結(jié)論有:大圓弧引理: 設(shè)f(z

6、)在區(qū)域D:zRzarg0 ,0)20(上延續(xù),且存在極限:Azzfz)(lim設(shè)C是位于D中的圓弧,半徑為R,那么CRiAdzzf)(lim2 輻角原理: 設(shè)f(z)在閉路C的內(nèi)部能夠有有限多個(gè)極點(diǎn),除去這些極點(diǎn)外, f(z)在C及其內(nèi)部解析,且在C上無零點(diǎn),那么有:CPNzfzfi)()(21這里N,P分別為極點(diǎn)總數(shù)和零點(diǎn)總數(shù).有了上面的引理,下面證明 所表示的函數(shù)在復(fù)平面上定有非無窮遠(yuǎn)的根.現(xiàn)實(shí)上:）（NNNNzzqzzqzzqzzqzzqzzqzfzf22112222211)()()()()(在通分之后,分子的最高次為(2N-2)次,分母的最高次為(2N-1)次,系數(shù)均為:021Nqq

7、q所以,成立:1)()(limzfzfzz利用引理1即得到:CRidzzfzf2)()(lim再由引力理2,有:1 PN又:2 nP1N所以零點(diǎn)總是存在的!即平面上總是存在一點(diǎn)場強(qiáng)為零.對(duì)于 的情況,那么是沒有普通結(jié)論. 021NIII如圖,假設(shè)蘭色代表正電,黃色代表負(fù)電,那么在該場中是沒有電場為0的點(diǎn)的.而在下面的這張圖中,顯然正方形的中心的場強(qiáng)為0.磁場中情況完全類似,不再贅述.保形變換的運(yùn)用保形變換是二維空間所特有的，應(yīng)此利用保形變換處置平面的電磁場問題，一定會(huì)給我們帶來驚喜。為此，先建立一套體系：一個(gè)定義： 為這個(gè)平面場的“場函數(shù) 為場函數(shù)的充分必要條件是它滿足高斯定理和安培環(huán)路定理，

8、即是有：)()(zwzG)(zGCqidzzG2)(場函數(shù)是這樣的函數(shù)，它在平面上存在場源的點(diǎn)的留數(shù)是電荷的值，其他點(diǎn)它取場的值的共軛為討論方便，一切常數(shù)假定為1。我們知道，一個(gè)保形變換將一個(gè)區(qū)域映照成為另一個(gè)區(qū)域，假設(shè)我們把區(qū)域上的每一個(gè)點(diǎn)都標(biāo)上該處的電荷磁荷，那么保形變換就把一個(gè)場分布變換成為另一種場分布，稱作“場的保形變換。( )ww z一個(gè)定理： 設(shè) 為 的一個(gè)場的保形變換，場函數(shù)：( )ww zDD 11( )( )( )G zG wzwz 現(xiàn)實(shí)上，邊境對(duì)應(yīng)定理保證了CCdzzwzwGdzzG) )()()(11即變換后得到的函數(shù)依然滿足高斯定理和環(huán)路定理，即為新場的場函數(shù)。一個(gè)結(jié)論： 對(duì)于靜電平衡的導(dǎo)體，在經(jīng)過場的保形變換后仍靜電平衡。 容易驗(yàn)證在經(jīng)過場的保形變換后，對(duì)于所給定的一個(gè)點(diǎn) 等勢線的輻角改動(dòng)量和所對(duì)應(yīng)的場函數(shù)的輻角改動(dòng)量皆是 依然滿足靜電平衡的條件。( )zw z ( )w z得到一種新的求解電場的方法，舉例如下：( )ziw ziziq( )22( )( )()w w zqqqqG zG zzizziziziizii黎曼定理斷言，對(duì)于恣意的區(qū)域非