例談運(yùn)用物理思維求解極值問題

1、例談運(yùn)用物理思維求解極值問題在處理物理極值問題的時(shí)候，我們常采用數(shù)學(xué)的方法來求，這無可非議，也是高考大綱列出的著重考查的五種能力之一，即運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力。但筆者以為，在平時(shí)訓(xùn)練求解有關(guān)物理極值問題的時(shí)候，如果用純數(shù)學(xué)的方法，有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是運(yùn)算量太大，也易出錯(cuò)；二是不利于物理思維的訓(xùn)練。本文試通過以下幾個(gè)例子，從數(shù)學(xué)方法與物理方法兩個(gè)角度進(jìn)行比較，希望能得到一些啟發(fā)。不當(dāng)之處，懇請同行指正。例1設(shè)湖岸MN為一直線，有一小船自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成角勻速向湖中駛?cè)ァＳ幸粋€(gè)自A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度為v=4m/s，在水中游泳的速度為v=2m/

2、s。試求船速至多為多少，此人才能追上船？LAMdBN圖1解法一：數(shù)學(xué)方法如圖1，設(shè)人自岸上某處沿與岸成角的方向游去，恰與船相遇于B點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)與岸相距為d，BA在岸上的投影長為L，則人由A至B所歷的總時(shí)間為t=上試說明t與有關(guān)，且在d，L，一定時(shí)由決定研究函數(shù)y=取即為關(guān)于cos的二次方程應(yīng)滿足即可見的最小值為進(jìn)一步可求得此時(shí)表示當(dāng)時(shí)，y有最小值，即t有最小值，代入數(shù)據(jù)得故對應(yīng)的最大船速應(yīng)該為解法二：速度矢量法vNM圖2設(shè)人先在岸上走一段時(shí)間，再入水游泳追船，以船為參照物，由于人和船是同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，則人在岸上走時(shí)，船看到人正在由船位置逐漸“離去”，離去的相對速度為= 如圖2所示，人在水中游時(shí)，

3、船則看到人正在逐漸“返回”，其返回的相對速度為要人能追上船，即“返回”到船上，則與必方向相反。由速度合成的矢量三角形法則知矢量的末端必終止在圖2所示的的反向延長線上，又為使v盡可能大，即要盡可能大，故圖2中應(yīng)盡可能短，對應(yīng)與圖中虛線垂直的情況。由于，可見圖中與的夾角為，則由三矢量組成一等腰直角三角形。此時(shí)有點(diǎn)評：解法一的思路非常簡單，但數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求很高。解法二從矢量三角形入手，對矢量三角形必須有清晰的概念，對加深、提高矢量三角形的認(rèn)識有很大的幫助且運(yùn)算量很小。F圖3例2如圖3，物體與斜面間的靜摩擦因數(shù)為，斜面的傾角為。設(shè)物體的質(zhì)量為m，問施加拉力F與斜面成多大角度時(shí)，所需的力F最小可使物體

4、沿斜面勻速上滑？解法一：數(shù)學(xué)極值法設(shè)力F與斜面夾角為，則由平衡條件得由其中 由數(shù)學(xué)知識得：當(dāng) 即 ，時(shí) ， =解法二：力矢量法圖4FNfFGFG將摩擦力和彈力N合成一個(gè)力，與垂直斜面方向夾角滿足： 為定值。這樣物體受到三個(gè)力：重力、和推力，如圖4，其中的大小、方向都確定，的方向確定但大小不定，而的方向大小都不一定，作出力的三角形，顯然，當(dāng)垂直于時(shí)，最小，即當(dāng)與斜面成時(shí)最小。點(diǎn)評：力矢量法的關(guān)鍵是多力平衡問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三力平衡問題。LOABP圖5例3正點(diǎn)電荷Q和Q分別置與A，B兩點(diǎn)，相距L，現(xiàn)以L為直徑作半圓，如圖5，試求在此半圓上電勢最低點(diǎn)P的位置。解法一：如圖，設(shè)P點(diǎn)與A點(diǎn)連線PA與A

5、B夾角，則點(diǎn)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢分別表示為P點(diǎn)電勢可表示為 令y =，則化簡為且等號在 即 時(shí)成立，此時(shí)恰好也取得最小值當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值OAB圖6PF解法二：設(shè)想有一正檢驗(yàn)電荷從A處沿圓弧移到B處，則其在圓弧上電勢能最低點(diǎn)即為P點(diǎn)，依電勢能變化與電場力做功關(guān)系，將該電荷由其它點(diǎn)移到P點(diǎn)的過程，均為電場力做功過程，由此推知，從P點(diǎn)移到B點(diǎn)過程均為克服電場力做功過程，即電荷q在P點(diǎn)所受庫侖斥力與的合力F的延長線必過O點(diǎn)，如圖6所示設(shè)，則， 即 點(diǎn)評：解法一須知點(diǎn)電荷產(chǎn)生電勢的計(jì)算公式且數(shù)學(xué)運(yùn)算十分繁瑣，而解法二則物理思想明確又十分簡捷，顯然后者遠(yuǎn)優(yōu)于前者。ESBaRb圖7例4如圖7所示，

6、水平放置的兩平行金屬導(dǎo)軌相距= 0.25m，電池的電動勢E = 6v，內(nèi)阻不計(jì)，電阻R = 5，勻強(qiáng)磁場豎直向下，開關(guān)S閉合后橫放在導(dǎo)軌上的金屬棒在磁場力作用下由靜止開始向右運(yùn)動。金屬棒與導(dǎo)軌間的滑動摩擦力f=0.15N，為了使金屬棒的運(yùn)動速度最大，磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多大？此最大速度為多少？解法一：當(dāng)金屬棒做勻速運(yùn)動時(shí)，得 當(dāng) 時(shí)，金屬棒的最終速度有極大值解法二：從能的轉(zhuǎn)化和守恒觀點(diǎn)，金屬棒的最終速度是勻速運(yùn)動，電源輸出功率的部分使電阻發(fā)熱，一部分克服阻力做功。將R看作電源內(nèi)阻，那么電源的輸出功率全部用來克服阻力做功。因?yàn)閒一定，當(dāng)電源輸出功率P最大時(shí)有，即 電源的最大輸出功率電源輸出功率最大時(shí)，路端電壓等于電源電動勢一半，即，即為金屬棒的感應(yīng)電動勢，得 從以上各例可以看出，其實(shí)數(shù)學(xué)方法和物理方法各有千秋。數(shù)學(xué)方法思維簡