什么是數(shù)學模型與數(shù)學建模

1、1. 什么是數(shù)學模型與數(shù)學建模  簡單地說：數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述。具體一點說：數(shù)學模型是關于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學結構。更確切地說：數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。數(shù)學結構可以是數(shù)學公式，算法、表格、圖示等。 數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型，建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模的過程（見數(shù)學建模過程流程圖）。 數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并"解決"實際問題的一種強有力的數(shù)學手段

2、。 2.美國大學生數(shù)學建模競賽的由來：  1985年在美國出現(xiàn)了一種叫做MCM的一年一度大大學生數(shù)學模型（1987年全稱為Mathematical Competition in Modeling,1988年改全稱為Mathematical Contest in Modeling,其所寫均為MCM）。這并不是偶然的。在1985年以前美國只有一種大學生數(shù)學競賽（The william Lowell Putnam mathematial Competition,簡稱Putman(普特南）數(shù)學競賽），這是由美國數(shù)學協(xié)會（MAA-即Mathematical Association o

3、f America的縮寫）主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進行，每年一次。在國際上產生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的大學生的一項著名賽事。該競賽每年2月或3月進行。我國自1989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。經過數(shù)年參加美國賽表明，中國大學生在數(shù)學建模方面是有競爭力和創(chuàng)新聯(lián)想能力的。為使這一賽事更廣泛地展開，1990年先由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會后與國家教委聯(lián)合主辦全國大學生數(shù)學建模競賽（簡稱CMCM），該項賽事每年9月進行。數(shù)學模型競賽與通常的數(shù)學競賽不同，它來自實際問題或有明確的實際背景。它的宗旨是培養(yǎng)大學生用數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力，整個賽事是完成一篇包括問題的闡述分析

4、，模型的假設和建立，計算結果及討論的論文。通過訓練和比賽，同學們不僅用數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力有很大提高，而且在團結合作發(fā)揮集體力量攻關，以及撰寫科技論文等方面將都會得到十分有益的鍛煉。   3.數(shù)學建模方法 一、機理分析法從基本物理定律以及系統(tǒng)的結構數(shù)據(jù)來推導出模型。 1. 比例分析法-建立變量之間函數(shù)關系的最基本最常用的方法。2. 代數(shù)方法-求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。 3. 邏輯方法-是數(shù)學理論研究的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策，對策等學科中得到廣泛應用。 4. 常微分方程-解決兩個變量之間的變化

5、規(guī)律，關鍵是建立"瞬時變化率"的表達式。 5. 偏微分方程-解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。二、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學模型。 1. 回歸分析法-用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,n，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。2. 時序分析法-處理的是動態(tài)的相關數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。三、仿真和其他方法 1. 計算機仿真（模擬）-實質上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。 離散系統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量。 連續(xù)系統(tǒng)仿真-有解析表達式或系統(tǒng)結構圖。 2. 因子試驗法-在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結果

6、進行不斷分析修改，求得所需的模型結構。 3. 人工現(xiàn)實法-基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統(tǒng)有關因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。 （參見：齊歡數(shù)學模型方法，華中理工大學出版社，1996）四、數(shù)學建模的十大算法（1）、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）（2）、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）（3）、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大

7、多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)）（4）、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備）（5）、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）（6）、最優(yōu)化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網(wǎng)絡、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）（7）、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很

8、多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）（8）、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）（9）、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法（10）、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用MATLAB進行處理）。4.題型： 三個基本組成部分：一、實際問題背景二、若干假設條件 三、要求回答的問題   5.競賽答卷: 提交一篇論文，基本內容和格式大致分三大部分：一、標題、摘要部分：1題目-寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。2摘要-200-300字，包括模型的主要特點、建模方法和主要結果。3內容較多時最好有個目錄。二、中心部分：1問題提出，問題分析。2模型建立： 補充假設條件，明確概念