2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題及答案(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、設(shè)，若直線和橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.、四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、若對(duì)所有實(shí)數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）、必為無(wú)理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個(gè)平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對(duì)乙錯(cuò)； B. 甲錯(cuò)乙對(duì)； C.甲乙都對(duì)； D.甲乙都不一

2、定對(duì).二、填空題（每小題分，共分）、過(guò)點(diǎn)作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點(diǎn)恰為，則直線的方程為 .、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .、四面體中，面與面成的二面角，頂點(diǎn)在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 、 .、數(shù)列滿足：，且對(duì)每個(gè)，是方程的兩根，則 .、從前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個(gè)元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，證明：、（分）對(duì)于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個(gè)“等和劃分”（與算是同一個(gè)劃分）試確定集共有多少個(gè)“

3、等和劃分”2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域?yàn)?，?dāng)使真數(shù)可取到一切正數(shù)，故或者；或者且，解得、設(shè)，若直線和橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.答：解：將代入橢圓方程并整理得，因直線和橢圓有公共點(diǎn)，則判別式，利用，化簡(jiǎn)得，所以即、四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長(zhǎng)的棱與相鄰，不妨設(shè)，據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面體可作出，例如取.

4、故選 、若對(duì)所有實(shí)數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、答： .解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿足題意、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）、必為無(wú)理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)答：解：令，則，是方程的兩根，則，所以當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個(gè)平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對(duì)乙錯(cuò)； B. 甲錯(cuò)乙對(duì)； C.甲乙都對(duì)； D.甲乙都不一定對(duì).答案:解：設(shè)，為正整數(shù)；則，由此知，為正整數(shù)，且，因?yàn)槿簦?/p>

5、則，即，則，記，得不為平方數(shù)，矛盾！所以，故由得，為合數(shù)；又因?yàn)?，故選.（例如是上述之一）.二、填空題（每小題分，共分）、過(guò)點(diǎn)作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點(diǎn)恰為，則直線的方程為 .答案：解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)其兩根為，則， 即，所以直線的方程為，即、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .答案：.解：如圖，取為數(shù)軸原點(diǎn)，再作垂線，使，在數(shù)軸上取點(diǎn)，使 ，則，當(dāng)共線時(shí)，值最小，此時(shí).、四面體中，面與面成的二面角，頂點(diǎn)在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設(shè)面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、數(shù)列滿足：，且對(duì)每個(gè)，是方程的兩根，

6、則 .答：解：對(duì)每個(gè)， ， ，將寫(xiě)作，因此是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，故 ，即，；于是；、從前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個(gè)元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 答案：.解：首先，我們可以取元集，中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：從中任取個(gè)數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心證：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)直徑交于，并簡(jiǎn)記的三內(nèi)角為，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，

7、故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心證二：如圖，因?yàn)?，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點(diǎn)共圓，所以，又因，因此點(diǎn)在上，即為與的交點(diǎn)設(shè)與交于另一點(diǎn)，而由，可知，分別為的中點(diǎn)，所以，因此，點(diǎn)分別為的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，證明：簡(jiǎn)證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，對(duì)正數(shù)作調(diào)整，由于 ，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，故命題得證詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則；、當(dāng)時(shí)，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取

8、等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)、再證，對(duì)所有滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有顯然，三數(shù)中至多有一個(gè)為，據(jù)對(duì)稱性，仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個(gè)非鈍角三角形下面采用調(diào)整法，對(duì)于任一個(gè)以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，今證明，即 即要證 先證 ，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然由于在中，則；而在中，因此式成為 ，只要證， ，即證 ，注意式以及，只要證，即，也即由于最大角滿足：，而，則，所以，故成立，因此得證，由及得成立，從而成立，即，因此本題得證、（分）對(duì)于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個(gè)“等和劃分”（與算是同一個(gè)劃

9、分）試確定集共有多少個(gè)“等和劃分”解一：不妨設(shè)，由于當(dāng)集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個(gè)數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)、若中有個(gè)奇數(shù)，因中的六個(gè)奇數(shù)之和為，而，則，這時(shí)得到唯一的；、若中有個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)；用表示中這兩個(gè)偶數(shù)之和；表示中這三個(gè)奇數(shù)之和，則，于是共得的種情形其中，、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形；、當(dāng)，則，；可搭配成的個(gè)情形、若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除外，其余的五個(gè)偶數(shù)和，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個(gè)情形：綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分” 解二：元素交換法，顯然