高中數(shù)學《排列與組合》文字素材4 新人教A版選修2-3

1、第十章 排列、組合和二項式定理1.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理（1）分類相加原理：做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中又有m1種不同的方法，在第二類中有m2種不同的方法，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1+ m2+mn種不同的方法。（2）分步相乘原理：做一件事，完成它需要分n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1× m2××mn種不同的方法。分類原理和分步原理的比較分類分步相同點目的是為了計算完成一件事的方法數(shù)不同點每一類方法中的任一方法使出

2、，任務即完成（一招使出即致敵死命）；各類方法相互獨立；完成這件事的方法數(shù)為各類數(shù)的總和。一步完成，任務沒法完成（功力不足，一招無法致敵死命）；各步驟相互聯(lián)系，所有步驟完成任務才完成；完成這件事的方法數(shù)為各步驟的積。在解具體題目時，要明確:任務是什么?有什么要求？在這個要求下，任務是一步完成還是分步？從而確定是加法原理還是乘法原理。例（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有_種。（答：任務是投放5封信。一封信一封信地放，每一封信都有3種放法，所有信放完，任務結束。故共有3×3×3×3×3=35種）；（2）從4臺甲型和3臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少

3、要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有_種。（答：任務是選3臺電視，要求甲乙至少各有一臺，故只有兩類取法，甲2乙1或者甲1乙2，故共有×+×=30，若是甲乙先各取一臺，然后從剩下的那堆電視機中任選一臺，故共有4×3×5=60，是30的2倍，這種做法是錯的。錯因：第一步甲乙各一臺的時候，如取的是1A，第二步任取一臺取的是B，就和第一步取的是1B第二步取的是A重復，也就是說每一種取法都重復了一次。）；（3）從集合A=1，2，3和B=1，4，5，6中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_（答：任務是確定x、y值，構造不同點的坐標。

4、構成點的x、y有兩種來源；x從A中取，y從B中取，不同的點有3×4=12個， x從中B取，y從A中取，有4×3=12個，相當于交換x、y坐標，但注意到（1，1）交換x、y位置后仍然不變，故總數(shù)為3×4+4×31=23個）。2.排列（1）排列定義：從n個不同元素中取出m（mn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。如從1，2，3，4中取出1，2兩個數(shù)，然后按從小到大排成一排，即為12.從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個元素中取出m個的排列數(shù)，用符號表示。（2）排列數(shù)公式 =n×(

5、n-1)×(n-2)××(n-m+1)= （m，nN*，且mn）把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，這時排列數(shù)為= n×(n-1)×(n-2)××3×2×1=n！注：n！就是正整數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，規(guī)定0！=13.組合（1）組合定義：從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個元素中取出m個的組合數(shù)，用符號表示。（2）組合數(shù)公式 （m，nN*，且mn）（3）組

6、合數(shù)的性質性質 性質2 4.主要解題方法（1）優(yōu)限法：受限元素或者受限位置優(yōu)先安排。例：某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的六種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有_種。（答：6種材料4個位置，辦公室不用1號石材，所以先從其余5種選出一種裝飾辦公室，再從包括1號的剩下的5種中選出3種裝飾另外3處地方，共有5=300）。（2）插空法：對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入。例： 3人坐在一排八個座位上，若每人的左右兩邊都

7、有空位，則不同的坐法種數(shù)有_種（答：三個人要坐3把椅子，將沒人坐的5把椅子擺成一排，因為椅子沒區(qū)別，故不能排列，然后三個人搬著他們的椅子插入到中間4個空隙中，有種； 某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入種數(shù)為_（答：問插入種數(shù)，故原來的排法數(shù)不能算進來。5個節(jié)目產生6個空隙，節(jié)目插進來時又分兩類，相鄰內部還有先后，有；不相鄰有，共有42種，或者用連續(xù)插入的辦法，先插入第一個節(jié)目，有六個空隙，種方法，第一個節(jié)目插進去之后，有個空隙，第二個節(jié)目有種方法，共與種）。 4個男生3個女生排成一排，要求女生不相鄰，則有_種不同

8、排法（答：回。（3）捆綁法：對于某幾個元素要求相鄰的問題，可把需要相連的元素捆綁在一起，看成一個大元素，和其余元素排好之后松綁，內部再排。例：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_.(答：把女生捆在一起和4個男生全排是，然后女生再排，是，共有=2880)； 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_.(答：不中的4槍都一樣，是相同元素，它們隔出5個空隙，把中的3槍捆在一起看成一個元素，與另一次打中的不能相鄰，問題就成了把2個元素插入到5個位置中，有種)。（4）隔板法；相同元素分組問題用隔板法，就是在n個相同元素間的(n-1)個空中插入若干個

9、（b）隔板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。例：10個相同的球分給3個人，每人至少一個，有多少種分法？每人至少兩個呢？（答：在10個球之間的空隙插入兩塊隔板即可把球分成3堆，每堆至少一個，|，故共有=36種；若要求至少2個，則三個人先取走了6個，問題成了剩下四個球如何分給甲乙丙三人，仍然用隔板法。一.兩個隔板放置在不同位置：，種。二.兩個隔板放置在同一位置：種。故共有15種。有窮舉法：甲0乙0丙4；甲0乙1丙3；甲0乙2丙2；甲0乙3丙1；甲0乙4丙0；甲1乙0丙3；甲1乙1丙2；甲1乙2丙1；甲1乙3丙0；甲2乙0丙2；甲2乙1丙1；甲2乙20丙； 甲3乙0丙1；甲3乙1丙0；甲4乙0

10、丙0.共15種）。（5）排除法，反面明了，用總數(shù)減去不符合要求的。例：在平面直角坐標系中，由六個點O(0,0)、A(1,2)、B(2,4)、C(6,3)、D(-1,-2)、E(-2,-1)可以確定多少個三角形？（答：注意到OABD共線，OCE也共線，故共有種）。（6）無序問題退序法。例：有相同的5個紅球和4個白球排成一列，有多少種不同的排法？（答：若不考慮紅球、白球內部的順序，把紅、白9個球全排列有種，由于紅球、白球是相同的，所以紅球、白球之間不需要有順序關系，所以必須退序，即除以它們各自的全排列數(shù)，有）.7個人站成一排，甲乙丙所排次序固定不變（這三人可相鄰也可不相鄰），有多少種不同排法？（答

11、：不考慮限制條件有，然后甲乙丙退序，有）個蘋果分給個人，每人個，有多少種分法？若是分成兩堆，每堆個，有多少種分法？（答：第一個問題中，先給第一個人個，再把剩下個給第二個人，有種。第二個問題與第一個問題不同，只要分成堆，是沒有順序的，如第一次拿出的是，剩下做一堆，與第一次拿出的是，剩下一堆重復，故分好后要退序，總數(shù)為。（7）分類法，互斥問題用分類法。例：某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽一輛車，則不同的抽法有多少種？（答：每個車隊先各抽一輛車，剩下3輛車從7個車隊抽出，分三類，來自1個車隊有；來自2個車隊有2；來自3

12、個車隊有，共有+2+=84種）小結：在解排列組合問題時，一般來講，特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，這就是從元素和位置兩個角度分別考慮列式，叫元素分析法和位置分析法。這兩種方法可以在同一道題中都用到。例如，某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止。則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情況數(shù)是_(答：本題次品被發(fā)現(xiàn)的情況，故實質上是要排好前面5個位置，后面的5個不用管。先選出一只次品放在第五次的位置，其余三只放在前四個位置中的三個，余下一個位置放一只正品。_ _ _ _ _5_, ).本題先考慮的是元素（次品），然后考慮位置（前面5個位置中最后剩下的一個）。4.二項式定理(