山西太原初中數(shù)學(xué)奧林匹克中的幾何問題西姆松定理及應(yīng)用含答案

1、第六章西姆松定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足點共線（此線常稱 為西姆松線）.證明如圖6-1,設(shè)P為4ABC的外接圓上任一點，從 P向三邊BC, CA, AB所在直線作垂線，垂足 分別為L, M, N.連PA, PC,由P, N, A, M四點共圓，有圖6-1ZPMN =/PAN =NPAB=/PCB=/PCL .又P, M, C, L四點共圓，有 /PML=/PCL.故ZPMN =/PML ,即L , N , M三點共線.注 此定理有許多證法.例如，如下證法：如圖 6-1 ,連 PB,令 ZPBC =a , NPCB =P , N

2、PCM =¥,則/PAM =a , /PAN =P , ZPBN =¥,且 BL=PB cosa , LC =PC cosP , CM = PC cos?, MA=PA cosa, AN=PAcosP, NB = PB cos上對 ABC ,有BL CM .AN = PB嗎 PC cos' PA C0so =1 .故由梅涅勞斯定理之逆定理，知L , N , M三點 LC MA NB PC cos : PA cos 二 PB cos共線.西姆松定理還可運用托勒密定理、張角定理、斯特瓦爾特定理來證（略）.西姆松定理的逆定理若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在

3、此三角形的外接圓上.證明如圖6-1,設(shè)點P在 ABC的三邊BC, CA, AB所在直線上的射影分別為 L, M , N,且此三 點共線.由 PN _LAB 于 N , PM _LAC 于 M , PL1BC 于 L,知 P, B, L, N 及 P, N, A, M 分 別四點共圓，而 AB與LM相交于N ,則/PBC =/PBL =/PNM =zPAM ，從而P , B , C , A四點 共圓，即點P在ABC的外接圓上.【典型例題與基本方法】1 .找到或作出三角形外接圓上一點在三邊上的射影，是應(yīng)用西姆松定理的關(guān)鍵例1如圖6-2,過正 ABC外接圓的AC上點P作PD_L直線AB于D ,作PE

4、 _LA3于E ,作FF _LBC于F .求證：+= PF PD PEADP圖6-2證明由 PD，直線 AB 于 D , PE ±AC 于 E , PF _LBC 于 F,知 A, E, P, D 及 E, F, C,P 分別四點共圓，則 /DPE =/BAE =60% 2EPF=/ECF=60，由西姆松定理，知 D, E, F三點共線，從而以 P為視點，對 4PDF應(yīng)用張角定理，有 sin/DPF sin /DPE 上sin/EPF 即 sin120* sin60 一 + $所60 故 1 工 11PE - PFPD ' PE - PF PD ' PF PD - P

5、E '例2如圖6-3,設(shè)AD , BE , CF為 ABC的三條高線，自 D點作DP_LAB于P, DQ 1 BE于Q, DR_LCF于R, DS _L AC于S,連PS.求證：Q, R在直線PS上.A圖6-3證明由于4BFH的外接圓為L BDHF ,而D為該圓上一點，且 D在 BFH三邊所在直線上的射影分 別為P, Q, R,于是，由西姆松定理知 P, Q, R三點共線.同理，可證Q , R, S是4HEC的西姆線上三點.由于直線PQR與直線QRS有兩個公共點Q, R,所以這兩直線重合，故 Q, R在直線PS上.例3如圖64,設(shè)P為4ABC外接圓上一點，作PA'_LBC交圓周

6、于A',作PB'_L直線AC交圓周于B', 作 PC'_LAB交圓周于 C'.求證：AA'/ BB'/CC'.圖6-4證明設(shè)PA'_LBC于L, PB'上直線AC于N, PC,_L AB于M ,則由西姆松定理知 L, M, N三點共線.注意到L, B , P , M及A', B , P , A分別四點共圓，連 BP,則/AMN =/BML =/BPL=/BPA'=/BAA'，于是 AA,/ LN .同樣，注意到 A, B, P, B'及A, M, P, N分別四點共圓，連 PA,則/

7、ABB'=/APB，=/APN =/AMN ,于是 BB'/ LN .由 A, P, C', C 四點共圓，知 /ACC*十/APC= 180巳 注意至U NAPC=/APM =NANM =/CNM , 則 ZACC*+ZCNM =180°,于是 CC'/ LM ,故 AA'/ BB'/CC【例4如圖6-5,設(shè)P為 ABC外接圓上BC內(nèi)一點，過 P作PD _L BC于D ,作PF_L直線AB于F ,設(shè)H為4ABC的垂心.延長 PD至P',使PD=P'D.求證：HP'/ DF . （1979年山西省競賽題改編）證明

8、連AH并延長交BC于A',交圓于H',則由/HCB=/BAH'=/BCH知HA' = A'H】又由已知PPBC ,且PD =DP，連PH 則知PH '與PH關(guān)于BC對稱，從而 /PHH =/P'HH '. 由于從P點已向 ABC的兩邊所在直線 AB, BC引了垂線PF, PD ,再過點P向邊AC所在直線作 垂線PE ,垂足為E ,則由西姆松定理，知 F , D , E三點共線，設(shè)西姆松線 EF與HA'交于M .此 時，又由P, C, E, D四點共圓，有 /CPE=/CDE.在 RtPCE 中，/CPE 與/PCE 互余；

9、在 RtMDA'中，/A'DM = / CDE與/DMA'互余.故 /DMA'=/PCE =/PCA=/PH H =/P'HH ' 由此即知 HP' / EF ,故 HP'/ DF .例5如圖6 6 ,設(shè)P為 ABC外接圓上一點，過點 P分別作PL_L BC于L ,作PN _L直線AB于N , 直線LN交BC邊上的高線于 K ,設(shè)H為4ABC的垂心.求證： PK / LH .F圖6-6證明由于從P點引了 4ABC的邊BC , BA所在直線的垂線， 再過P點作PM _LAC于M ,則由西姆松 定理，知L , M , N三點共直線，即

10、 L , M , N , K四點共線.設(shè)BC邊上的高線為 AD ,延長AD交圓于F ,連PF交BC于G ,交西姆松線 NL于Q ,連PH交西姆 松線NL于S.由 P, C, L, M 四點共圓及 A, F, C, P 共圓，連 PC,則/MLP=/MCP=/AFP=/LPF ，從 而 QP =QL ,即 Q 為 RDPLG 的斜邊 PG 的中點.連 HG ,由/DFC =4BC =41HC ,知 HD =DF , 有 ZHGD =/DGF =NLGP =/QLG ,從而 HG II ML ,即 SQ是 4PHG 的中位線，亦即 HS = SP.又 PL/ KH ,有 NLPS=/KHS 及/P

11、SL=NHSK,于是PSLHSK,即有 PL 1KH ,亦即四邊形PKHL為平行四邊形，故 PK / LH .注由此例可得，三角形外接圓周上一點P與垂心H的連線段PH ,被關(guān)于P點的西姆松線所平分，這是西姆松線的一條重要性質(zhì).2 .注意發(fā)現(xiàn)四點共圓與三點共線的聯(lián)系，靈活應(yīng)用西姆松定理及其逆定理延長 AD , BC交于F .試證： ABCE ,例6如圖6 -7 ,延長凸四邊形 ABCD的邊AB , DC交于E , CDF , AADE , 4ABF的四個外接圓共點.證明設(shè)4BCE與4CDF的兩個外接圓除交于點 C外，另一交點為 M .設(shè)點M在直線BE, EC, BC 上的射影分別為 P, Q,

12、R,則由西姆松定理，知 P, Q, R三點共線.同樣，M點在直線DC, CF , DF上的射影Q, R, S也三點共線，故 P, Q, R , S四點共線.在4ADE中，P在AE上，Q在DE上，S在邊AD所在直線上，且 P, Q, S三點共線，則由西姆松定理的逆定理，知 M點在4ADE的外接圓上.在4ABF中，P在直線AB上，R在BF上，S在AF上，且P , R, S三點共線，由西姆松定理的逆定理，知M點在4ABF的外接圓上.故ABCE, ACDF , AADE , ABF的四個外接圓共點.注此例題的結(jié)論實際為憲全四邊形ABECFD的四個三角形 AED、ABEC> ACFD > 4

13、ABF的外接圓共點，此點稱為密克爾（Miquel）點，直線PQRS稱為完全四邊形的西姆松線.【解題思維策略分析】1 .證明點共線的又一工具例7如圖6-8,設(shè)P為四邊形A1A2自A外接圓上任一點，點 P在直線A1A2, A2A3 , A3A4 , A4A1 ,上的射影分別為Bj B2, B3, B4 ,又點P在直線B1B2 , B2B3, B3B4 , B4B1上的射影分別為 G, C2, C3,C4.求證：C1 , C2 , C3, C4 共線.A4圖6-8證明連A1A3 ,過P作A1A3的垂線，垂足為Q .從而，點P關(guān)于AA2A3的西姆松線為B1B2Q同樣，點P關(guān)于XAZA的西姆松線為 B3

14、QB4 .由/AB4P=/AQP =/A1BP ,知點P在QB1B4的外接圓上，由西姆松定理，知點P在QB1B4三邊上的垂足G , 03, C4共線.同理，Ci, O2 , C4三點也共線.故Cj C2, C3, C4四點共線（此直線稱為 P點圓內(nèi)接四邊形關(guān)于 AA2A3A4的西姆松線）.2 .注意西姆松線在轉(zhuǎn)化問題中的媒介作用例8如圖6-9 ,設(shè)P為 ABC外接圓周上任一點，P點關(guān)于邊BC, AC所在直線的對稱點分別為 P,求證：直線PB經(jīng)過4ABC的垂心H .Pi圖6-9證明由于F1, P2分別為P點關(guān)于直線BC, AC的對稱點，設(shè)PP1交直線BC于L, PP2變直線AC于N,則L, M分

15、別為P點在4ABC的邊BC, CA所在直線上的射影，且 L, N分別為線段PR, PP2的中 點.由西姆松定理，知 LN為西姆松線，此時 LN / PP2.又由前面例5知，當(dāng)H為4ABC的垂心時，直線 LN平分線段PH .于是，可知 H點在直線P1P2上，即直線P1P2經(jīng)過H點.例9如圖6-10 , 一條直線L與圓心為O的圓不相交，E是l上一點，OE_Ll, M是l上任意異于E的 點，從M作U O的兩條切線分別切圓于 A和B , C是MA上的點，使得 EC_LMA, D是MB上的點， 使得ED _LMB ,直線CD交OE于F .求證：點F的位置不依賴于 M的位置.（IMO 35預(yù)選題）lEC圖

16、 6-10證明令OE =a , |_| O的半徑為 R ,連結(jié)EA , EB , OA , OB , OM , AB ,設(shè)AB交OM于G ,交OE 于 Q,則，OA1MA, OB_LMB, OM _L AB .由射影定理，得 OG OM =OB2,又由M , E, Q, G四點共圓，有 OQ QE =OG OM =OB2=R2,2從而知 OQ =R-,由 OB2 =OQ OE ,有OEBs OBQ , a既有 ZBEO =/OBQ =/BAO，即/匕 左 3 .由此得 ZMEB +/MAB =(90"/1) + (90*/3) =180- 故A, B, E, M四點共圓.作EN _L

17、AB交AB的延長線于N ,由西姆松定理，知 C , D , F , N四點共線.注意到 A , N , E , C與 A , O, E, M 均四點共圓，有 /ENF =/EAM =/EOM 又由 EN /OM ,有/ENF =/NEF , 故 ZENF =NNEF .22在RtNEQ中，由上推知 F為EQ的中點，因此，EF =3EQ=1 (OE OQ戶電二R-.故F的位置不222a依賴于M的位置.例10已知銳角4ABC , CD是過點C的高線，M是邊AB的中點，過 M的直線分別與CA、CB交于 點K、L ,且CK =CL.若 4CKL的外心為S,證明：SD = SM .(2003年波蘭奧林匹

18、克題) 證明如圖 6-11,作4ABC的外接圓，延長 CS交ABC于點T ,聯(lián)結(jié)TM ,作TK'_LAC于點K', TL'_LBC于點 Lr.AL圖 6-11注意到S為4KLC的外心，且KC=LC ,所以CS為/KCL的平分線.于是 T為弧AB的中點.又M為AB的中點，則TM _LAB.由西姆松定理，知 K,、M、L,三點共線.又CT是K CL'的角平分線，且 K'、L'、M三點共線，則CK'=CL'.即直線KML,是過M與CT垂 直的直線，又直線KML也是過M與CS垂直的直線，從而K'與K重合，L,與L重合.即/CKT

19、=/CLT =90。，亦即知C、K、T、L四點共圓.故 S為四邊形CKTL的外接圓圓心，即有SC=ST,于是 S為 TC 的中點.又 CD 1AB ,貝U CD / MT .故 SM =SD .3 .注意西姆松線性質(zhì)的應(yīng)用三角形外接圓上一點的西姆松線平分該點與三角形垂心的連線.此性質(zhì)已在例5給出一種證法，現(xiàn)另證如下：如圖6-12,設(shè)H為4ABC的垂心，P為其外接圓上一點， #AHBC的外接圓HBC ,則該圓與ABC 關(guān)于BC對稱（參見垂心性質(zhì)7）.圖 6-12設(shè)點P的垂足線（即西姆松線）為 LMN，由P、B、L、M四點共圓，有 ZPLM =/PBM設(shè)HBC與直線PL交于點P'、Q ,則

20、L為PP'的中點，連HP',由2LP，H =QH的度數(shù)=PA的度數(shù)=ZPBA=ZPBM =ZPLM，知PH / LMN .由此即知 PH被直線LMN平分.例11如圖6-13,由4ABC的頂點A引另兩頂點B、C的內(nèi)、外角平分線的垂線，垂足分別為F、G、E、D,則F、G、E、D四點共線，且此線與 4ABC的中位線重合.LBC圖6-131證明延長BE、CD相交于點 K,設(shè)CG與BE相交于點I ,則I為4ABC的內(nèi)心.由/CAI =/A ,2ZCKI =90°/CIK =90,p/B +1/C1=1/A,知 A、 I、C、 K 四點共圓. 222對AICK及點A應(yīng)用西姆松定理

21、，知 G、E . D三點共線.圖6-13同理，對4BCL及點A應(yīng)用西姆松定理，知 F、G、E三點共線.故F、G、E、D四點共線.由于C為AICK的垂心，則由西姆松線的性質(zhì)知直線GED平分AC .同理，直線FGE平分AB ,故直線FD與4ABC的中位線重合.注由例11再回過來看例2,在例2中，是由點D引4DEF另兩個頂點E . F的內(nèi)、外角平分線的垂 線，垂足分別為P、Q、R、S.4 .注意西姆松定理與托勒密定理的等價性可用西姆松定理證明托勒密定理：如圖614, ABCD為任意圓O內(nèi)接凸四邊形，連 AC,過D向4ABC各邊作垂線， AB , AC, BC所在直線上的垂足分別為 Ci , Bi,

22、A,連C1B1, BA,由西姆松定理，知 CiBi+BiA =CiA .有 C1B1 = AD sin. C1DB1 = AD sin. C1ABi ,由A , Ci , Bi, D四點共圓，且AD為該圓直徑及正弦定理,設(shè)R為U。半徑，則siMW/BAC嚼,故的=鬻CD ABAC BD2R2R同理，BiAi =, CiAi = 于是，由式有 AD BC+CD ,AB=AC BD .此即為托勒密定理.也可用托勒密定理證明西姆松定理：設(shè)ABCD是L|O的內(nèi)接四邊形，則由托勒密定理，有AD BC +AB CD = AC BD ,作DCi，直線AB于Ci,作DBi _L直線AC于Bi ,則由Ai,Ci

23、 ,Bi,D四點共圓，且AD為該圓直徑及正弦定理，有一CB一=一CB=AD ,即 CiB =AD Sn /CAB = AD BC . （ R 為 O 半徑）， sin ZC1DB1 sin ZC1AB12R亦即 AD BC =2R C1B1 .同理， AB CD =2R A1B1 , AC BD =2R ACi .把上述三式代入式，有 C1B1 +AB =AC1 ,故Ai, Bi, Ci三點在一條直線上，此即為西姆松定理，因此，在應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)注意靈活處置，若應(yīng)用哪個定理方便，就應(yīng)用哪個定理.【模擬實戰(zhàn)】習(xí)題A1 .設(shè)P為4ABC外接圓周劣孤 BC上一點，P在邊BC, CA, AB上的射影分別為 L, M, N,令 PL =l , PM =m , PN = n , BC =a , CA = b , AB = c .求證：mna = Inb Imc .2 .設(shè)PA, PB , PC為UO的三條弦，分別以它們?yōu)橹睆阶鲌A兩兩相交于D , E . F .求證：D,E , F三點共線.3 .自4ABC的頂點A作/B的內(nèi)、外角平分線 BE, BF的垂線，垂足為 E, F ,再作/C的內(nèi)、外 角平分線 CG , CD的垂線，垂足為 G , D .求證：F , G , E , D四點共線.4 .求證：正三角形外接圓周上任一點到三邊距離的平方和為定