10.圓錐曲線通徑.直通高考試題

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明圓錐曲線通徑.直通高考試題圓錐曲線通徑長公式的應(yīng)用 過圓錐曲線焦點(diǎn)且垂直于過焦點(diǎn)的對(duì)稱軸的垂線被圓錐曲線所截得的線段叫做圓錐曲線的通徑,通徑是圓錐曲線特殊的焦點(diǎn)弦,利用通徑所在直線方程易得圓錐曲線通徑長的統(tǒng)一公式,由此直解一類高考試題.母題結(jié)構(gòu):圓錐曲線的通徑長為2ep(e是圓錐曲線的離心率,p為圓錐曲線焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離).母題解析:以雙曲線C:-=1為例證明:設(shè)過右焦點(diǎn)的直線:x=c與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn),將x=c代入-=1得y=通徑長=|AB|=2=2ep.同理可得橢圓與拋物線的通

2、徑長. 1.拋物線的通徑長 子題類型:(2011年高考課標(biāo)試題)已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則ABP的面積為( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析:由|AB|=2p=12p=6ABP的面積=p2=36.故選(C).點(diǎn)評(píng):拋物線的通徑長=2p,拋物線C:y2=2px(p>0)的通徑端點(diǎn)A(,p),B(,-p). 2.橢圓的通徑長 子題類型:(2013年高考課標(biāo)試題)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是C上的點(diǎn)PF2F1F2,PF1F2=300,則C的離心

3、率為( ) (A) (B) (C) (D)解析:由|PF2|=|PF3|=2|PF1|+|PF2|=3=2ae=.故選(D).點(diǎn)評(píng):橢圓、雙曲線的通徑長具有統(tǒng)一公式=;P是橢圓或雙曲線上一點(diǎn),則PF2F1F2PF1的中點(diǎn)在y軸上. 3.雙曲線的通徑長 子題類型:(1993年第四屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)F1,F2是雙曲線x2-3y2=3的左、右焦點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在右支上,且與F2在同一直線上,則|F1A|+|F1B|的最小值是 .解析:由|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a|F1A|+|F1B|=4a+|AB|4a+(通徑長)=.點(diǎn)評(píng):通徑是圓錐曲線最短的焦點(diǎn)

4、弦.這是通徑的最根本的性質(zhì),對(duì)雙曲線該性質(zhì)只有在弦的兩端點(diǎn)在同一支時(shí)成立,當(dāng)弦的兩端點(diǎn)在兩支時(shí),焦點(diǎn)弦長的最小值為2a,故雙曲線的焦點(diǎn)弦長的最小值=min2a,. 4.子題系列:1.(2003年上海春招試題)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線,交拋物線于A、B兩點(diǎn),則以F為圓心、AB為直徑的圓方程是 .2.(1992年全國高考試題)圓心在拋物線y2=2x上,且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是( )(A)x2+y2-x-2y-=0 (B)x2+y2+x-2y+1=0 (C)x2+y2-x-2y+1=0 (D)x2+y2-x-2y+=03.(2006年山東高考試題)在給定的橢

5、圓中,過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)4.(2013年全國高考試題)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=3,則C的方程為( ) (A)+y2=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=15.(1999年全國高考試題)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F1,右準(zhǔn)線為l1.若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1的距離,則橢圓離心率是 .6.(2004年安徽春招試題)已知F1、F2為橢圓+=1(a>b>0)的焦點(diǎn),M為橢圓

6、上一點(diǎn),MF1垂直于x軸,且F1MF2=600,則橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)7.(2009年江西高考試題)過橢圓=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若F1PF2=600,則橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)8.(2013年課標(biāo)高考試題)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是C上的點(diǎn)PF2F1F2,PF1F2=300,則C的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)9.(2004年福建高考試題)己知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1且與長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩

7、點(diǎn),若ABF2是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是( ) (A) (B) (C) (D)10.(2005年全國高考試題)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P.若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C)2- (D)-111.(2006年武漢大學(xué)保送生考試試題)橢圓+=1(a>b>0)的半焦距為c,直線y=2x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,則該橢圓的離心率為 .12.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)設(shè)斜率為的直線l與橢圓=1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)

8、,則該橢圓的離心率是 .13.(2009年浙江高考試題)己知橢圓=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且BFx軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P,若,則橢圓的離心率是( ) (A) (B) (C) (D)14.(2013年四川高考試題)從橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是 .15.(2014年江西高考試題)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F2,過F2作x軸的垂線與C交于A,B兩點(diǎn),F1B與y軸交于點(diǎn)D,若

9、ADF1B,則橢圓C的離心率等于 .16.(2004年全國高考試題)橢圓y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則|=( ) (A) (B) (C) (D)417.(1998年全國高考試題)橢圓=1的焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) (A) (B) (C) (D)18.(1998年全國高考試題)橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|是|PF2|的( ) (A)7倍 (B)倍 (C)4倍 (D)3倍19.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)橢圓=1的焦

10、點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么,|PF1|是|PF2|的( )倍. (A)7 (B)5 (C)4 (D)320.(2012年山東春招試題)已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)是F1,右焦點(diǎn)是F2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|:|PF2|等于( ) (A)3:2 (B)2:3 (C)9:1 (D)1:921.(2015年高考課標(biāo)試題)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)1222.(2014年安徽高考試題)設(shè)F1、F

11、2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn),若|AF1|=3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的方程為 .23.(2008年陜西高考試題)雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過F1作傾斜角為300的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)24.(2006年山東高考試題)在給定的雙曲線中,過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,則該雙曲線的離心率為( ) (A) (B)2 (C) (D)225.(2011年課標(biāo)高考試題)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱

12、軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長的2倍,則C的離心率為( ) (A) (B) (C)2 (D)326.(2005年浙江高考試題)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于 .27.(2008年陜西高考試題)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過F1作傾斜角為300的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為( ) (A) (B) (C) (D)28.(2012年重慶高考試題)設(shè)P為直線y=x與雙曲線:-=1(a

13、>0,b>0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e= .29.(2005年全國高考試題)己知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上,且MF1x軸,則F1到直線MF2的距離為 .30.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州初賽試題)已知雙曲線=1的焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)M在雙曲線上且MF1x軸,則F1到直線F2M的距離為 .31.(2005年上海高考試題)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( ) (A)有且僅有一條 (B)有且僅有兩條 (C)有無窮多條 (D)不存在32.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

14、試題)過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若實(shí)數(shù)使得|AB|=的直線恰有3條,則= . 5.子題詳解:1.解:由F(1,0),|AB|=4圓:(x-1)2+y2=4.2.解:由圓與準(zhǔn)線相切圓的半徑=p=1;又由圓與x軸相切圓心在通徑端點(diǎn)(,1)圓:(x-)2+(y-1)2=1.故選(D).3.解:由=,=1e=.故選(B). 4.解:由c=1,=32a2-3a-2=0a=2b2=3.故選(C).5.解:由=e=. 6.解:由|MF1|=|MF2|=;又由|MF1|+|MF2|=2a=2ae=.故選(C).7.解:故選(B). 8.解:故選(D). 9.解:故選(A). 10.解:由=

15、2ce2+2e=1e=-1.故選(D).11.解:由2=k=tan=e=-1. 12.解:=e2+e=e=.13.解:由OPBF,|AO|:|OF|=|AP|:|PB|a:c=2:1e=.故選(D).14.解:由ABOPa:b=c:b=ce=.15.解:由A(c,),B(c,-)D(0,-)kAD=,k=-;又由ADF1B=1e=.16.解:由|PF1|=|=.故選(C). 17.解:由PF2x軸yP=yM=.故選(A).18.解:由PF1的中點(diǎn)在y軸上PF2x軸|PF2|=|PF1|=4-=7.故選(A). 19.解:故選(A).20.解:由|PF2|=4|PF1|=10-4=6|PF1|:|PF2|=3:2.故選(A).21.解:設(shè)橢圓E:+=1,則c=2,=a=4b2=12|AB|=6.故選(B).22.解:由A(c,b2)(a=1);又由|AF1|=3|F1B|B(-,-),代入E:x2+=1得:25c2+b2=9b2=橢圓E:x2+=1.23.解:由|MF2|=,MF1F2=300|MF1|=2|MF2|=2;由|MF1|-|MF2|=2a=2a=2e=.故選(B).24.解:由2=,=e=.故選(C). 25.解