2023課標(biāo)版（文理）數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)--第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、2023課標(biāo)版（文理）數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1.2022西安復(fù)習(xí)檢測(cè)已知曲線y=ex-x+1在x=x0處的切線斜率大于1,則x0的取值范圍是()A.(ln 2,+)B.(-,ln 2)C.(2,+)D.(-,2)2.2020全國(guó)卷理函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+13.易錯(cuò)題已知函數(shù)f(x)=f (1)x2+2x+2f(1),則f (2)的值為()A.-2B.0C.-4D.-64.2021南昌市三模將方程f(x)=f (x)的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)f(x)的“新

2、駐點(diǎn)”.記函數(shù)f(x)=ex-x,g(x)=ln x,h(x)=sin x(x0,2)的“新駐點(diǎn)”分別為a,b,c,則()A.c<a<b B.c<b<aC.a<c<b D.a<b<c5.2021蘇錫常鎮(zhèn)四市聯(lián)考多選題已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)記為f(x).下列命題正確的有()A.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)是偶函數(shù)B.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(x)是奇函數(shù)C.若函數(shù)f(x)是周期函數(shù),則f(x)也是周期函數(shù)D.若函數(shù)f(x)是周期函數(shù),則f(x)也是周期函數(shù)6.2022甘肅九校聯(lián)考若曲線y=x2+aln x在點(diǎn)

3、(1,1)處的切線與直線x-2y+2=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為. 7.2021安徽名校聯(lián)考已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是. 8.2021廣州市第二次綜合測(cè)試若直線y=-2x+23與曲線y=13x3-ax相切,則a=. 9.2021福建南平5月二模開(kāi)放題請(qǐng)寫(xiě)出圖象與曲線f(x)=x3+1在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式:g(x)=. 10.2020北京高考已知函數(shù)f(x)=12-x2.()求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程;()設(shè)曲線y

4、=f(x)在點(diǎn)(t,f(t)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.11.2021新高考卷若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則()A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea12.2021重慶第三次聯(lián)合診斷已知曲線C1:f(x)=ex+a和曲線C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,bR),若存在斜率為1的直線與C1,C2同時(shí)相切,則b的取值范圍是 ()A.-94,+)B.0,+)C.(-,1D.(-,9413.數(shù)學(xué)探索已知函數(shù)f(x)=12ax2-ax+ln x的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1)處與點(diǎn)(x2,f

5、(x2)(x1x2)處的切線均平行于x軸,則x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范圍是()A.(-,-74-2ln 2)B.(-74-2ln 2,74-2ln 2)C.(74-2ln 2,+)D.(-74-2ln 2,+)14.2022長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)曲線y=x3-x2-x在點(diǎn)(2,2)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為. 15.2021福州市5月質(zhì)檢開(kāi)放題函數(shù)f(x)=(x2-10x+26)ex,若對(duì)任意x1,x2I,x1x2,都有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2成立,則滿足條件的一個(gè)區(qū)間I可以是(填寫(xiě)一個(gè)符合題意的區(qū)間即可). 16.2022安徽

6、名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=ln x+mx2-x的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為l.(1)當(dāng)m=1時(shí),求直線l的方程;(2)若曲線y=f(x)和直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的最大值.17.條件創(chuàng)新已知曲線y=ln x在x=x0處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),則x0的大致范圍是(參考數(shù)據(jù):e2.718,e27.389)()A.(2,e)B.(e,3)C.(3,4)D.(4,5)18.條件創(chuàng)新若點(diǎn)P(1,a)不在f(x)=x3-ax的圖象上,且過(guò)點(diǎn)P僅能作一條直線與f(x)的圖象相切,則a的取值范圍為. 第二講導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.2022安徽名校聯(lián)考已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),f

7、(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)+1+x(f(x)+1)=ex,則f(x)在(0,+)上()A.恒為正B.恒為負(fù)C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減2.2021洛陽(yáng)市第三次統(tǒng)考已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)-f(x)=ex(2x-1),f(0)=4,則不等式f(x)<10ex的解集為()A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-,-3)(2,+)D.(-,-2)(3,+)3.2021四川廣元三模已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f (x),若xf (x)-2f(x)>0,f(-3)=1,則不等式f(x)x<19x的解集是()A.(-,-3)(0,

8、3)B.(-3,3)C.(-3,0)(0,3)D.(-,-3)(3,+)4.2022蓉城名校聯(lián)考已知b>a>1,logab-3logba=m(m為常數(shù)),bea的最大值為27e3,則m=.  5.2021南寧重點(diǎn)高中4月聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=2ln x+x2-5x在區(qū)間(k-12,k)上為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 6.2021廣東潮州4月?？几木幰阎瘮?shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖3-2-1所示,則下列結(jié)論正確的是.(填正確結(jié)論的序號(hào)) 圖3-2-1 f(a)<f(b)<f(c); f(e)<f(d)<f

9、(c); x=c時(shí), f(x)取得最大值; x=d時(shí),f(x)取得最小值.7.2018江蘇高考若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在-1,1上的最大值與最小值的和為. 8.2021全國(guó)卷甲設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),求a的取值范圍.9.2022南昌市模擬已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+1(aR).(1)若函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并比

10、較f(x1)+f(x2)與x1+x2的大小.10.2022甘肅九校聯(lián)考設(shè)a=2e,b=2ln2,c=e24-ln4,則()A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a11.2022安徽省亳州市第一中學(xué)模擬已知奇函數(shù)y=f(x+1)-1的圖象在R上是連續(xù)不斷的,且當(dāng)x>1時(shí),f (x)x+1x-1-3,則不等式f(x)-1(x-3)>0的解集為()A.(-,1)(3,+)B.(-,1)C.(3,+)D.(1,3)12.2021全國(guó)卷乙理設(shè)a0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則()A.a<b

11、B.a>bC.ab<a2D.ab>a213.2021山東師大附中模擬拉格朗日中值定理可表述為:若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),且在(a,b)上可導(dǎo),則必存在 (a,b),滿足等式f ()(b-a)=f(b)-f(a).若f(x)=(x-1)ln(x-1)-12x2-x,a,be-1+1,e+1,t=f(b)-f(a)b-a,則實(shí)數(shù)t的最大值為()A.-2B.1 C.eD.ln 214.2021濟(jì)南名校聯(lián)考如圖3-2-2,在P地正西方向8 km的A處和正東方向1 km的B處各有一條正北方向的公路 AC和BD,現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建

12、兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)EPA=(0<<2),為了節(jié)省建設(shè)成本,要使得 PE+PF的值最小,此時(shí)AE=()圖3-2-2A.4 kmB.6 kmC.8 kmD.10 km15.2022湖南名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=xln x-ax2,aR.(1)若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;(2)若x1,x2為f(x)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn),證明:3ln x1+ln x2>-1.16.2022貴陽(yáng)市模擬已知函數(shù)f(x)=(a+1)ln x+x-ax,aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間并求其最值; (2)當(dāng)a<0時(shí),記f(x)的最小值為g(a),求證:存在a0<

13、0,使得g(a0)>2.17.數(shù)學(xué)探索設(shè)函數(shù)f(x)=(x-m)(x-n)2(mn),f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)構(gòu)成集合-2,0,1,則()A.f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增C.f(x)的極小值為0D.f(x)的極大值為418.2021貴陽(yáng)市第二次適應(yīng)性考試已知函數(shù)f(x)=xlnx,x>0,x+1,x0,若x1x2且f(x1)=f(x2),則|x1-x2|的最大值為()A.22B.2C.2D.119.條件創(chuàng)新已知x=-1是函數(shù)f(x)=5ax3-x2+bx 的一個(gè)極大值點(diǎn),且極大值為3.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性

14、;(2)過(guò)直線x=3上一點(diǎn)P(m,n)僅能作一條直線與函數(shù)f(x)的圖象相切,試求m+n的取值范圍.第三講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1.2022成都市模擬已知函數(shù)f(x)=ax+1,g(x)=ln x.若對(duì)任意x1,x2(0,2,且x1x2,都有g(shù)(x2x1)-f(x1)+f(x2)x2-x1>-1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,274B.(-,2C.(-,272D.(-,82.2021合肥市三檢已知函數(shù)f(x)=xlnax+aex,g(x)=-x2+x,當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1e2,+)B.1e,+)C.1,+)D.e,+)3.2021陜西榆林四

15、模丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家,他在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f (x),f (x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f (x),若在(a,b)上f (x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凹函數(shù)”.已知f(x)=exx-t(ln x+x)在(0,2)上為“凹函數(shù)”,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(-,-1)B.(-,-e)C.(-e,+)D.(-1,+)4.2022廣西名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=12ax2+(a+1)x+ln x(a0).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)-

16、2-32a.5.2017全國(guó)卷理已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n,(1+12)(1+122)(1+12n)<m,求m的最小值.6.2022惠州市一調(diào)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax(aR),g(x)=x·f(x).(1)若f(x)0恒成立,求a的取值范圍;(2)若g(x)=e22有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.7.2021太原市二模已知函數(shù)f(x)=a2x2+x-2ln a(a>1),g(x)=-ex-2ln x,若f(x)的圖象與g(x)的圖象在1,+)上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范

17、圍是()A.(e2,+)B.e,+)C.(e2,eD.(1,e2)8.2021太原市三模已知函數(shù)f(x)=x2-2mx+e2x-2mex+2m2,若存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)12成立,則實(shí)數(shù)m=. 9.2022甘肅九校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=x-aex,aR.(1)當(dāng)a=1e時(shí),證明:f(x)+ln x-x+10在(0,+)上恒成立;(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).10.2022豫北名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=a(1-x)ex,其中aR且a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若a=1,F(x)=x2-13x3+f(x),x0是F(x)的極大值點(diǎn),求證:F(x0)(23,2).11.

18、2022泉州市質(zhì)量監(jiān)測(cè)已知函數(shù)f(x)=lnx+1ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若(ex1)x2=(ex2)x1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且x1>0,x2>0,x1x2,證明:x12+x22>2.12.等價(jià)轉(zhuǎn)化設(shè)函數(shù)f(x)=xsin x,x(0,g(x)=f(x)x2,h(x)=f(x)-2sin x,f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論g(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)0<a<1時(shí),證明:h(ax)<axcos ax-asin x.13.數(shù)學(xué)探索已知函數(shù)f(x)=ax-ex+2,其中a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在aR,對(duì)任意x10,1

19、,總存在x20,1,使得f(x1)+f(x2)=4成立?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.第四講定積分與微積分基本定理1.2021山西太原五中模擬下列表示曲線y=x2+2與直線y=x+2所圍成的封閉圖形的面積的式子中正確的是()A.S=01 (x2-x)dxB.S=01 (x-x2)dxC.S=01 (y2-y)dyD.S=01 (y-y)dy2.2021皖南八校聯(lián)考定積分-22 (4-x2-sin x+x3)dx的值是()A.B.2C.2+2cos 2D.+2cos 23.2021安徽省六安中學(xué)模擬已知a=2-13,b=(2log23)-12,c=140 sin xdx,則實(shí)數(shù)a

20、,b,c的大小關(guān)系是()A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a4.設(shè)f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,則-12 f(x)dx的值為()A.2+43B.2+3C.4+43D.4+35.湖南高考理02 (x-1)dx=. 6.若-11 (ax2+bsin x)dx=1,則sin(a-6)=. 7.湖北高考理若函數(shù)f(x),g(x)滿足-11f(x)·g(x)dx=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間-1,1上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù):f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x

21、;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中為區(qū)間-1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A.0B.1C.2D.38.如圖3-4-1,陰影部分是由曲線y=2x2和x2+y2=3及x軸圍成的封閉圖形,則陰影部分的面積為. 圖3-4-19.如圖3-4-2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),函數(shù)y=ax2的圖象過(guò)點(diǎn)C(2,4),若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于. 圖3-4-210.若f(x)+01 f(x)dx=x,則01 f(x)dx=.答 案第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1.A因?yàn)閥=ex-x+1,所以y=ex-1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意

22、義知,曲線y=ex-x+1在x=x0處的切線的斜率為ex0-1,所以ex0-1>1,解得x0>ln 2,即實(shí)數(shù)x0的取值范圍是(ln 2,+),故選A.2.Bf(x)=x4-2x3,f (x)=4x3-6x2,f (1)=-2,又f(1)=1-2=-1,所求的切線方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故選B.3.D因?yàn)閒 (x)=2f (1)x+2,所以f (1)=2f (1)+2,解得f (1)=-2,所以f (x)=-4x+2,所以f (2)=-6,故選D.4.Af(x)=ex-1,若f(x)=f(x),則ex-x=ex-1,解得x=1,所以a=1;g(x)=1x(x

23、>0),若g(x)=g(x),則ln x=1x,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ln x和y=1x(x>0)的圖象,如圖D 3-1-1所示,圖D 3-1-1這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程ln x=1x的根,由圖可知,方程ln x=1x的根大于1,所以b>1;h(x)=cos x(x0,2),若h(x)=h(x),則sin x=cos x,因?yàn)閤0,2,所以x=4,所以c=4<1.綜上,c<a<b,故選A.5.AC若f(x)是奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x)恒成立,兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f(-x)=-f(x),即-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x)

24、恒成立,所以f(x)為偶函數(shù),所以選項(xiàng)A正確;不妨取f(x)=x3+1,則f(x)是非奇非偶函數(shù),但f(x)=3x2是偶函數(shù),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;若函數(shù)f(x)是以T(T0)為周期的周期函數(shù),則f(x+T)=f(x)恒成立,兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f(x+T)=f(x),即f(x+T)=f(x),所以函數(shù)f(x)也是以T(T0)為周期的周期函數(shù),所以選項(xiàng)C正確;不妨取f(x)=2x,則f(x)不是周期函數(shù),但f(x)=2是以任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)為周期的周期函數(shù),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.6.-32由y=x2+aln x,得y=2x+ax,則曲線y=x2+aln x在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率k=yx=1=2+

25、a.因?yàn)榍€在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x-2y+2=0平行,所以12=2+a,所以a=-32.7.2x+y+1=0解法一因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)+3x,所以當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以當(dāng)x>0時(shí),f (x)=1x-3,f (1)=1-3=-2,所以所求切線方程為y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.解法二點(diǎn)(1,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-1,-3).x<0時(shí),f (x)=1x+3,f (-1)=2,又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(x)的圖象在點(diǎn)(1,-3)處的切線斜率為-2,所以所求

26、切線方程為y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.8.3令f(x)=13x3-ax,則f (x)=x2-a.設(shè)直線y=-2x+23與曲線y=13x3-ax相切時(shí)的切點(diǎn)是(x0,y0),則x02-a=-2,-2x0+23=13x03-ax0,解得x0=-1,a=3.9.x2+1(答案不唯一)因?yàn)閒 (x)=3x2,所以f (0)=0,曲線f(x)=x3+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=1,所有圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=1的函數(shù)都是正確答案.10.()函數(shù)f(x)=12-x2的定義域?yàn)镽, f (x)=-2x,令f (x)=-2x=-2,得x=1,f (1)=-2,又f(1)=11

27、,曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程為y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.()由()知f (x)=-2x,則f (t)=-2t,又f(t)=12-t2,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t)處的切線方程為y-(12-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+12.若t=0,則圍不成三角形,故t0.令x=0,得y=t2+12,記A(0,t2+12),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OA|=t2+12,令y=0,得x=t2+122t,記B(t2+122t,0),則|OB|=t2+122|t|,S(t)=12|OA|OB|=(t2+12)24|t|,S(t)為偶函數(shù),僅考慮t>0即可

28、.當(dāng)t>0時(shí),S(t)=14(t3+24t+144t),則S(t)=14(3t2+24-144t2)=34t2(t2-4)(t2+12),令S(t)=0,得t=2,當(dāng)t變化時(shí),S(t)與S(t)的變化情況如表:t(0,2)2(2,+)S(t)-0+S(t)極小值S(t)min=S(2)=32.11.D解法一(數(shù)形結(jié)合法)設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),y0>0,y=ex, 則切線方程為y-b=ex0(x-a),由y0-b=ex0(x0-a),y0=ex0得ex0(1-x0+a)=b,則由題意知關(guān)于x0的方程ex0(1-x0+a)=b有兩個(gè)不同的解.設(shè)f(x)=ex(1-x+a),則f(x)=

29、ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a),由f(x)=0得x=a,所以當(dāng)x<a時(shí),f (x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>a時(shí),f (x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea,當(dāng)x<a時(shí),a-x>0,所以f(x)>0,x-時(shí),f(x)0.(用極限思想判斷函數(shù)圖象的趨勢(shì))當(dāng)x=a2+2時(shí),1-x+a=-a2+a-1=-(a-12)2-34<0,故f(a2+2)<0,則可得到函數(shù)f(x)=ex(1-x+a)的大致圖象如圖D 3-1-2所示,因?yàn)閒(x)的圖象與直線y=b有兩個(gè)交點(diǎn),所以0<b&l

30、t;ea.故選D.圖D 3-1-2解法二過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則點(diǎn)(a,b)在曲線y=ex的下方且在x軸的上方,得0<b<ea.故選D. 12.D因?yàn)閒 (x)=ex,g(x)=1x+b,設(shè)斜率為1的切線在C1,C2上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1,x2,由題知ex1=1x2+b=1,所以x1=0,x2=1-b,所以兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,1+a),(1-b,a2),所以a2-(1+a)1-b-0=1,故b=2+a-a2=-(a-12)2+9494.故選D.13.A函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)=ax-a+1x=ax2-ax+1x,則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知x

31、1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩個(gè)不等正根,則=a2-4a>0,x1x2=1a>0,x1+x2=1,則a>4.令h(a)=x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)=1+1a+ln x1+12ax12-ax1+ln x2+12ax22-ax2=1+1a+ln1a+12a(1-2a)-a=-12a-ln a+1a.易知函數(shù)h(a)=-12a-ln a+1a在(4,+)上單調(diào)遞減,則h(a)<h(4)=-74-2ln 2,所以x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范圍是(-,-74-2ln 2),故選A. 14.2由題意可得,y=3x2-2x-1,則曲線

32、在點(diǎn)(2,2)處的切線的斜率k=yx=2=3×22-2×2-1=7,所以曲線在點(diǎn)(2,2)處的切線方程為y-2=7(x-2),即y=7x-12.切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程x3-x2-x=7x-12解的個(gè)數(shù),整理得(x+3)(x-2)2=0,(因式分解)解得x=2或x=-3,所以切線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn).15.(2,3)(答案不唯一)因?yàn)閷?duì)任意x1,x2I,x1x2,都有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2成立,所以函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間I內(nèi)上凸,如圖D 3-1-3所示,可以看出,f(x)圖象的切線斜率在區(qū)間I上隨x的增大而減小.由題意,得f (x)=(x2-

33、8x+16)ex,令g(x)=f (x),則g(x)=(x2-6x+8)ex=(x-2)(x-4)ex,當(dāng)x(2,4)時(shí)g(x)<0,所以g(x),即f (x)在2,4上單調(diào)遞減,所以滿足條件的一個(gè)區(qū)間為2,4的任意一個(gè)非空子區(qū)間,可填(2,3).圖D 3-1-316.(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=ln x+x2-x,f(x)=1x+2x-1,f(1)=2,f(1)=0,直線l的方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)由f(x)=ln x+mx2-x,得f(x)=1x+2mx-1,f(1)=2m,又f(1)=m-1,直線l:y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1.令

34、g(x)=ln x+mx2-(2m+1)x+m+1,(把曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題)則g(x)=(2mx-1)(x-1)x,x(0,+),當(dāng)m=12時(shí),g(x)0,且只有當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,g(x)只有一個(gè)零點(diǎn),曲線y=f(x)和直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(先討論特殊情況,滿足條件,根據(jù)問(wèn)題是求m的最大值,故不需要討論m<12)當(dāng)m>12時(shí),由g(x)>0得0<x<12m或x>1,由g(x)<0得12m<x<1,g(x)在(0,12m)上單調(diào)遞增,在(12m,1)上單調(diào)遞

35、減,在(1,+)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,g(12m)>0,又x0時(shí),ln x-,則易知x0時(shí)g(x)-,g(x)在(0,12m)上有一個(gè)零點(diǎn),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),曲線y=f(x)和直線l有兩個(gè)公共點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)m的最大值為12.17.Cy=1x,曲線y=ln x在x=x0處的切線方程是y-ln x0=1x0·(x-x0),(切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率)由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),得1x0-ln x0+1=0.令g(x)=1x-ln x+1,顯然g(x)單調(diào)遞減,g(3)=43-ln 3=lne4-ln273>ln72-ln273>0,g(4)=54-ln 4=l

36、ne5-ln2564<ln35-ln2564<0,x0的大致范圍是(3,4).(零點(diǎn)存在定理)18.(-,0)(12,+) 點(diǎn)P(1,a)不在f(x)=x3-ax的圖象上,則f(1)=1-aa,a12.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,a)的直線與f(x)=x3-ax的圖象切于點(diǎn)Q(t,t3-at),f (x)=3x2-a,則切線的斜率k=f(t)=t3-at-at-1,即3t2-a=t3-at-at-1,整理得2t3-3t2+2a=0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(t)=2t3-3t2+2a僅有1個(gè)零點(diǎn).g(t)=6t2-6t,令g(t)=0,得t=0或t=1,所以g(0)·g(1)>0,(數(shù)形結(jié)合

37、可得)即2a(2a-1)>0,所以a>12或a<0.第二講導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.A設(shè)g(x)=xf(x),x(0,+),則g(x)=f(x)+xf(x)=ex-x-1.設(shè)h(x)=ex-x-1,x(0,+),則h(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,即g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,可得g(x)>e0-0-1=0在(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,則g(x)>0,即xf(x)>0,解得f(x)>0,即f(x)在(0,+)上恒為正,故選A.2.A由f(x)-f(x)=ex(2x-1),可得f(x)-f(x)ex

38、=2x-1,令G(x)=f(x)ex,則G(x)=f(x)-f(x)ex=2x-1,可設(shè)G(x)=x2-x+c(c為常數(shù)),由f(0)=4,可得G(0)=f(0)=c=4,所以G(x)=f(x)ex=x2-x+4,則由不等式f(x)<10ex,可得f(x)ex=x2-x+4<10,即x2-x-6<0,解得-2<x<3,所以不等式f(x)<10ex的解集為(-2,3),故選A.3.A構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x2 ,則g(x)=x·xf(x)-2f(x)x4=xf(x)-2f(x)x3.當(dāng)x>0時(shí),xf (x)-2f(x)>0,故g(x)

39、>0,g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,又f(x)為偶函數(shù),y=1x2為偶函數(shù),所以g(x)=f(x)x2為偶函數(shù),g(x)在(-,0)上單調(diào)遞減.由f(-3)=1,得f(3)=1,g(-3)=g(3)=f(3)32=19.對(duì)于不等式f(x)x<19x,當(dāng)x>0時(shí),有f(x)x2<19=g(3),所以x(0,3);當(dāng)x<0時(shí),有f(x)x2>19=g(-3),所以x(-,-3).綜上所述,不等式f(x)x<19x的解集是(-,-3)(0,3).故選A.4.2設(shè)logab=t,則t>1,且t-3t=m,故t為定值,b=at,bea=atea.設(shè)f(a

40、)=ln atea=tln a-a,a>1,則f (a)=ta-1=t-aa,f(a)在(1,t)上單調(diào)遞增,在(t,+)上單調(diào)遞減,f(a)max=f(t)=tln t-t=ln 27e3,設(shè)g(x)=xln x-x,x>1,則g(x)=ln x>0,故g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,ln 27e3=3ln 3-3=g(3)=g(t),t=3,則m=t-3t=2.5.121,252,+)f (x)=2x+2x-5=(2x-1)(x-2)x,x>0.當(dāng)x(0,12)(2,+)時(shí),f (x)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,12),(2,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)x(12,2)

41、時(shí),f (x)<0,所以f(x)在區(qū)間(12,2)上單調(diào)遞減.要使函數(shù)f(x)在(k-12,k)上單調(diào),則(k-12,k)(0,12)或(k-12,k)(2,+)或(k-12,k)(12,2),所以當(dāng)k-120,k12,即k=12時(shí),f(x)在(k-12,k)上單調(diào)遞增;當(dāng)k-122,即k52時(shí),f(x)在(k-12,k)上單調(diào)遞增;當(dāng)k-1212,k2,即1k2時(shí),f(x)在(k-12,k)上單調(diào)遞減.(不要忘記端點(diǎn)值)綜上可知,實(shí)數(shù)k的取值范圍是121,252,+).6.由f (x)的圖象可知:當(dāng)x(-,c)(e,+)時(shí),f (x)>0;當(dāng)x(c,e)時(shí),f (x)<0.

42、所以f(x)在(-,c),(e,+)上單調(diào)遞增,在(c,e)上單調(diào)遞減.對(duì)于,因?yàn)閍<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),正確;對(duì)于,因?yàn)閏<d<e,所以f(e)<f(d)<f(c),正確;對(duì)于,由單調(diào)性知f(c)為極大值,當(dāng)x>e時(shí),可能存在f(x0)>f(c),錯(cuò)誤;對(duì)于,由單調(diào)性知f(e)<f(d),錯(cuò)誤.故填.7.-3f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(aR),當(dāng)a0時(shí),f (x)>0在(0,+)上恒成立,則f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.又f(0)=1,所以此時(shí)f(x)在(0,+)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),不滿足

43、題意.當(dāng)a>0時(shí),由f (x)>0得x>a3,由f (x)<0得0<x<a3,則f(x)在(0,a3)上單調(diào)遞減,在(a3,+)上單調(diào)遞增,又f(x)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以f(a3)=-a327+1=0,得a=3,所以f(x)=2x3-3x2+1,則f (x)=6x(x-1),當(dāng)x(-1,0)時(shí),f (x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(0,1)時(shí),f (x)<0,f(x)單調(diào)遞減,則f(x)在-1,1上的最大值為 f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,則f(x)在-1,1上的最小值為-4,所以f(x)在-1,1上的最大值與

44、最小值的和為-3.8.(1)由題意,知f(x)的定義域?yàn)?0,+),f (x)=2a2x+a-3x=2a2x2+ax-3x=(ax-1)(2ax+3)x,因?yàn)閍>0,x>0,所以2ax+3>3恒成立.當(dāng)ax-1>0,即x>1a時(shí),f (x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)ax-1<0,即0<x<1a時(shí),f (x)<0,f(x)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減,在(1a,+)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為f(1a),要使y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),只需f(x)的最小值恒大于0,即f(1a)>0

45、恒成立,故a2·(1a)2+a·1a-3ln1a+1>0,得a>1e,所以a的取值范圍為(1e,+).9.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x+a(x+1)2.由題意,得f(x)=1x+a(x+1)20在(0,+)上恒成立,即a-(x+1x+2)在(0,+)上恒成立,而當(dāng)x>0時(shí),-(x+1x+2)-4,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以a-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-4,+).(2)f(x)=1x+a(x+1)2=x2+(2+a)x+1x(x+1)2(x>0),由題意知,x1,x2是方程f(x)=0,即x2+(2+a)x+1=0在(0,+)內(nèi)

46、的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解.令g(x)=x2+(2+a)x+1(x>0),因?yàn)間(0)=1>0,且g(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1-a2,故-1-a2>0,(2+a)2-4>0,解得a<-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-4).由x1,x2是方程x2+(2+a)x+1=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解,得x1+x2=-2-a,x1x2=1,因此f(x1)+f(x2)=(ln x1-ax1+1)+(ln x2-ax2+1)=ln(x1x2)-a·x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=-a·-2-a+21-2-a+1=-a,又x1+x2=-2-a,所以f(x1)+f(x

47、2)-(x1+x2)=2>0,即f(x1)+f(x2)>x1+x2.10.D設(shè)f(x)=xlnx,則a=2e=e12=elne=f(e),b=f(2)=2ln2,c=e24-ln4=e222-ln42=e22lne2-ln2=e22lne22=f(e22).因?yàn)閒(x)=lnx-1(lnx)2,所以當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)<0;當(dāng)x>e時(shí),f(x)>0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(2)=f(4),且1<e<2<e<e22<4,所以f(e)>f(2)=f(4)>f(e22)

48、,即a>b>c,故選D.11.A因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)-1是定義在R上的奇函數(shù),故 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱,且f(1)=1,當(dāng)x>1,即x-1>0時(shí),f (x)x+1x-1-3=x-1+1x-1-22(x-1)·1x-1-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí)取等號(hào),即f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,而f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱,且f(x)的圖象在R上是連續(xù)不斷的,因此函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,不等式f(x)-1(x-3)>0可化為f(x)-1<0,x-3<0或f(x)-1>0,x-3>0,由

49、f(x)-1<0,x-3<0得f(x)<f(1),x<3,即x<1,x<3,解得x<1;由f(x)-1>0,x-3>0得f(x)>f(1),x>3,即x>1,x>3,解得x>3.所以所求不等式的解集為(-,1)(3,+).故選A.12.D解法一因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a(x-a)2·(x-b),所以f (x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)·(3x-a-2b).令f (x)=0,結(jié)合a0可得x=a或x=a+2b3.(1)當(dāng)a>0時(shí),若a+2b3>a,即b>

50、a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(-,a)上單調(diào)遞增,在(a,a+2b3)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意;若a+2b3=a,即b=a,此時(shí)函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3<a,即b<a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(a+2b3,a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意.(2)當(dāng)a<0時(shí),若a+2b3>a,即b>a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(-,a)上單調(diào)遞減,在(a,a+2b3)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3=a,即b=

51、a,此時(shí)函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞減,無(wú)極值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3<a,即b<a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(a+2b3,a)上單調(diào)遞增,在(a,+)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意.綜上,a>0且b>a滿足題意,a<0且b<a也滿足題意.據(jù)此,可知必有ab>a2成立.故選D.解法二由題意易知ab,a與b為f(x)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)a>0時(shí),根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖D 3-2-1所示,觀察可知b>a.圖D 3-2-1圖D 3-2-2當(dāng)a<0時(shí),根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f(x)

52、的大致圖象,如圖D 3-2-2所示,觀察可知a>b.綜上,可知必有ab>a2成立.故選D.13.A由題意知,a,be-1+1,e+1,不妨設(shè)a<b,(a,b),使得t=f ()=f(b)-f(a)b-a.f(x)=(x-1)ln(x-1)-12x2-x,則f (x)=ln(x-1)-x,令h(x)=ln(x-1)-x,e-1+1xe+1,則h(x)=1x-1-1=2-xx-1,令h(x)=0,得x=2.當(dāng)e-1+1<x<2時(shí),h(x)>0,即h(x)在(e-1+1,2)上單調(diào)遞增;當(dāng)2<x<e+1時(shí),h(x)<0,即h(x)在(2,e+1)

53、上單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(2)=-2,故實(shí)數(shù)t的最大值為-2.故選A.14.A因?yàn)镻EPF,EPA=,所以PFB=,在RtPAE中,PE=APcos=8cos,在RtPBF中,PF=PBsin=1sin,則PE+PF=8cos+1sin .設(shè)f()=8cos+1sin,(0,2),則f ()=8sincos2cossin2=8sin3-cos3cos2sin2,令f ()=0,則tan =12,當(dāng)0<tan <12時(shí),f ()<0,當(dāng)tan >12時(shí),f ()>0,所以當(dāng)tan =12時(shí),f()取得最小值,此時(shí)AE=AP·tan =8×

54、;12=4(km),故選A.15.(1)函數(shù)f(x)=xln x-ax2,aR,f (x)=ln x+1-2ax,函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,f (x)=1+ln x-2ax>0有解,(若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則不等式f (x)>0有解)即1+lnxx>2a有解.(分離參數(shù))令g(x)=1+lnxx,則g(x)=-lnxx2,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x=1時(shí),g(x)取最大值,最大值為g(1)=1 .故2a<g(1)=1,解得a<12,故a的取值范圍是(-,12).

55、(2)f (x)=ln x+1-2ax,x1,x2是方程ln x=2ax-1的兩個(gè)不同的根,即ln x1=2ax1-1,ln x2=2ax2-1,要證3ln x1+ln x2>-1,即證2a(3x1+x2)>3.-,得2a=lnx1-lnx2x1-x2 ,即證lnx1-lnx2x1-x2(3x1+x2)>3,(消參)顯然x1,x2>0,不妨設(shè)x1>x2>0,t=x1x2,則t>1,(換元時(shí),注意新元范圍)即證lntt-1(3t+1)>3,即證ln t-3(t-1)3t+1>0.設(shè)h(t)=ln t-3(t-1)3t+1,則h(t)=1t12

56、(3t+1)2=(3t-1)2t(3t+1)2,當(dāng)t(1,+)時(shí),h(t)>0,h(t)在(1,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)t>1時(shí),h(t)>h(1)=0,故3ln x1+ln x2>-1得證.16.(1)f(x)=(a+1)ln x+x-ax(x>0),f (x)=a+1x+1+ax2=x2+(a+1)x+ax2=(x+a)(x+1)x2.當(dāng)a0時(shí),f (x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,f(x)在定義域內(nèi)無(wú)最值;當(dāng)a<0時(shí),令f (x)=0,可得x=-1(舍)或x=-a,令f (x)>0,可得x>-a,令f (x)<0,可得0<x<-a,f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-a)=(a+1)ln(-a)-a+1,f(x)無(wú)最大值.綜合可知,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,無(wú)最值;當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+)上單調(diào)遞增,f(x)min=(a+1)ln(-a)-a+1,f(x)無(wú)最大值.(2)由(1)知,當(dāng)a<