數(shù)學(xué)建模相關(guān)性分析

1、數(shù)學(xué)建模與軟件實(shí)現(xiàn)第7章相關(guān)性分析相關(guān)性分析是指分析兩個(gè)隨機(jī)變量之間是否存在一定的關(guān)系相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)變量間 的共變關(guān)系（包括止向的和負(fù)向的共變關(guān)系），一旦發(fā)現(xiàn)了共變關(guān)系就意味著變崑間可能存在 兩種關(guān)系中的一種：（1）因果關(guān)系（兩個(gè)變屋中一個(gè)為因、另一個(gè)為果力（2）存在公共因子（兩 變最均為果，有潛在的共因）很多時(shí)候，我們需要尋找這些因果關(guān)系，或者足尋找公共因子相關(guān)性研究是非常右用的, 它是許多深入研究必備的初始階段工作.衡量隨機(jī)變量相關(guān)性的度屋主要令三種：pcarson相關(guān)系數(shù)、speanmn相關(guān)系數(shù).kendall 相關(guān)系數(shù).7.1 Pearson （皮爾遜）相關(guān)系數(shù)一線形相關(guān)分析對(duì)于二維

2、隨機(jī)變量根據(jù)數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，若x和丫相互獨(dú)立，且ex和£丫存在, 則有EX -EX）Y-EY） = EXY）-EX EY = 0所以當(dāng)ERX-EX丿（丫-£門工0時(shí)，必有X和F不相互獨(dú)立.定義71設(shè)（X）為二維隨機(jī)變量,稱E（x-Exxr-£r）為隨機(jī)變量X, Y的協(xié)方差（Covariance）,記為CovX9Y）,即CoX,Y）= EX-EX）Y-EY）特別地CoX,X）二 E（X - EX NX-£%）= DXCovY.Y） = £（r -EY）Y-EY）= DY故方差DX , DY足協(xié)方差的特例.從定義中看到協(xié)方差和變臺(tái)的最綱有關(guān).我們將隨

3、機(jī)變最標(biāo)準(zhǔn)化，得x = =>JDX1數(shù)學(xué)建模與軟件實(shí)現(xiàn)#數(shù)學(xué)建模與軟件實(shí)現(xiàn)心的協(xié)方差為為湍Y的Pearson相關(guān)系記為心八R卩定5設(shè)g為二維隨機(jī)變量，稱局詮為隨機(jī)變” 數(shù)（PeaisoD correlation coefficienr）或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差（Standard covanance）»嚴(yán)X屮定理71設(shè)DX）>Qf DY）>Qf心丫為（X,門的相關(guān)系數(shù)，則（1）如果X, 丫相互獨(dú)立，則= 0 ;|訃1；（3）pXY| = 1的允要條件是存在常數(shù)心“使PY = aX +b = 10）.相關(guān)系數(shù)心描述了隨機(jī)變量X, F的線性相關(guān)程度，|q胡愈接近1,則X與丫之間愈接

4、近線性關(guān)系.pXY> 0為正相關(guān)，QvO為負(fù)相關(guān).一般用下列標(biāo)準(zhǔn)對(duì)相互關(guān)系進(jìn)行判定：（1）|pJ>0.95, X與y存在顯著性相關(guān)；（2）|pAT|>0.8, X 與 Y 高度相關(guān)；（3）0.5<|pvr|<0.8 , X 與y 中度相關(guān)；（4）0.3<|pxr|<0.5, X 與 丫低度相關(guān)；（5）|pxr|<0.3, X與y關(guān)系極弱，認(rèn)為不相關(guān)：（6）pXY| = o, x與丫無(wú)顯性相關(guān).可以證明（1）當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量不線性相關(guān)時(shí)，它們并不一定相互獨(dú)立，它們之間還可能存在其他 的函數(shù)關(guān)系（2）若（x,“服從二維正態(tài)分布，x與丫不相關(guān)和x與丫相互

5、獨(dú)立是等價(jià)的，且概率密 度中的參數(shù)Q就是X和丫的相關(guān)系數(shù).即,X和Y相互獨(dú)立的充要條件是p = 0.定義73若對(duì)隨機(jī)變量X和y進(jìn)行了 ZI次隨機(jī)試驗(yàn),得到樣本（X/丿（2 1,2,刖，且 壬=丄士 X,7 =丄£匕,則隨機(jī)變量X和丫對(duì)于這組樣本的相關(guān)系數(shù)r為fl r-J« i-J例71某地29名13歲男童身高（cm）、體重（Leg）和肺活量（ml）的數(shù)據(jù)如卜表，試對(duì) 該資料中各因素做相關(guān)分析.表測(cè)試數(shù)據(jù)編號(hào)身高（cm）體覓（kg丿肺活量（ml丿編號(hào)身高（cm）體重（kg）肺活量（ml）1135. 132. 0175016153. 047. 223502139. 930.42

6、00017147. 640. 520003163. 646. 2215018157. 543. 322504146. 533. 5250019155. 144. 727505156. 237. 1275020160. 537. 524006156.435. 5200021143. 031. 517507167. 841. 5215022149. 433. 922508149. 731. 0150023160. 840. 427509145. 033. 0250024159. 038. 5250010148. 537. 2225025158. 237. 5200011165. 549. 5300

7、026150. 036 0175012135. 027. 6125027144. 534. 7225013153. 341. 0275028154. 639. 5250014152. 032. 0175029156. 532. 0175015160. 547. 22250解（1）數(shù)據(jù)探索先做散點(diǎn)圖和QQ圖，看到變量間基本符合線性相關(guān)關(guān)系.變量的分布符介正態(tài)分布.這里只給出肺活量和身高的散山圖.身高的標(biāo)準(zhǔn)QQ圖，其余略.QA (cm) MUM圖71 (a)肺活鼠和身高的散點(diǎn)圖圖7(b)身高的標(biāo)準(zhǔn)QQ圖下面作相關(guān)性分析.(2) 建立SPSS數(shù)據(jù)文件.在數(shù)據(jù)文件中定義變量名：身高為height,體重

8、為waght,肺活量為vc,按順序輸入相應(yīng) 數(shù)值，建立數(shù)據(jù)文件，如圖72所示.血ef| 視晶師亦 冠© 7用亦口)不他石廠d m EB hr»乳“中*電白盤擊P W F名稱類型寬度|小時(shí)標(biāo)簽J伯缺失列H齊度魚標(biāo)建1no字符半2 0編號(hào)無(wú)無(wú)4壬左(L)員名義2hGiqht數(shù)値(N)6 0身高(cm)無(wú)無(wú)6M右侃)/ x(S)3weight或值(N)6 0休重(kg)無(wú)無(wú)6三右(R)4ve數(shù)值(N)70mx <ml)無(wú)無(wú)6=右何SCx(S)5圖7-2數(shù)據(jù)文件的變最試圖(3) 點(diǎn)擊主菜單“分析”項(xiàng)，在下拉菜單中點(diǎn)擊“相關(guān)”項(xiàng)，在右拉式菜單中點(diǎn)擊“雙 變量”項(xiàng)，系統(tǒng)打開(kāi)相關(guān)分

9、析主對(duì)話框.(4) 在對(duì)話框左側(cè)的變量列表中選“身高J “體重”和“肺活量”點(diǎn)擊向右按鈕使之進(jìn) 入“變最”框；在“相關(guān)系數(shù)”框中選擇相關(guān)系數(shù)的類型，共有三種：Pearson為通常所指的 相關(guān)系數(shù)，Kendeirstau-b為罪參數(shù)資料的相關(guān)系數(shù)，Speanmn為罪正態(tài)分布資料的Pearson 相關(guān)系數(shù)替代值，本例選用Pearson：在“顯著性檢驗(yàn)”框中可選相關(guān)系數(shù)的單側(cè)(One-tailed) 或雙側(cè)(Twomled)檢臨 本例選雙側(cè)檢驗(yàn)如圖73圖7-3相關(guān)分析主對(duì)話框(5) 輸出結(jié)果及分析輸出結(jié)果如表72所示.表7-2相關(guān)性分析結(jié)果相關(guān)性|身高(cm) 體重(kg) 肺活量(ml)Pears

10、on相關(guān)性1.719".507"身高（cm） 顯著性（雙側(cè)）.000.005N292929Pearson相關(guān)性.719"1.634"體重（kg）顯著性（雙側(cè)）.000.000N292929Pearson相關(guān)性.507*.634*1肺活最（ml）顯著性（雙側(cè)）005000N292929*.在01水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān).SPSS軟件中，相關(guān)性檢驗(yàn)的零假設(shè)為“ H°:y = O” .身高和體重的相關(guān)系數(shù)為r=0.719, p = 0.00,所以身高和體重中度相關(guān)，結(jié)果有統(tǒng)計(jì)學(xué) 意義；身高和肺活量的相關(guān)系數(shù)為r= 0.507, p = 0.005,所以

11、身高和體棗中度相關(guān)，結(jié)果有統(tǒng) 計(jì)學(xué)意義；體重和肺活量的相關(guān)系數(shù)為,= 0.634, 0.00,所以身薛和體直中度相關(guān)，結(jié)果 有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義：相關(guān)系數(shù)算兩個(gè)變最之間的關(guān)系，分析兩個(gè)變最之間線性相關(guān)的程度但是，有時(shí)因?yàn)?第三個(gè)變量的作用，使得相關(guān)系數(shù)不能反映兩個(gè)變屋間真正的線性程度例如，上例中，我們 得出肺活量和身高與體覓均存在中度的線性關(guān)系，但實(shí)際上.對(duì)相同體重的人分析身高和肺 活量,卻沒(méi)有線性關(guān)系.這種情況下,我們町以対變量進(jìn)行偏相關(guān)分析.在偏相關(guān)分析中,: 統(tǒng)可按用戶的要求對(duì)兩相關(guān)變彊之外的某一或某些影響相關(guān)的英他變斎進(jìn)行控制，輸出控制 其他變量影響后的相關(guān)系數(shù).例7-2對(duì)例74中的數(shù)據(jù)作偏相

12、關(guān)性分析解使用SPSS操作過(guò)程如下：（1）點(diǎn)擊主菜單“分析”項(xiàng)，在下拉菜單中點(diǎn)擊“相關(guān)”項(xiàng)，在右拉式菜單中點(diǎn)擊“偏 相關(guān)”項(xiàng)，打開(kāi)偏相關(guān)分析主對(duì)話框.（2）選“身高”和“肺活量”入“變量”框；選，“體重”作為，控制變量J 在“顯著 性檢驗(yàn)"框中選雙側(cè)檢驗(yàn).圖7/偏相關(guān)分析主對(duì)話框（3）輸出結(jié)果及分析 輸出結(jié)果如表74所示.表74偏相關(guān)分析結(jié)果相關(guān)性控制變量肺活量（ml）身高（cm）體重（kg）相關(guān)性1. 000.096肺活量（ml）顯著性（雙側(cè)）.627df026相關(guān)性.0961. 000身高（cm）顯著性（雙側(cè)）.627df260身高和肺活量的相關(guān)系數(shù)為r= 0.096 <0

13、.3, /; = 0.627,所以接收不相關(guān)的假設(shè),認(rèn)為身高和肺活崑無(wú)顯著的線性關(guān)系.此例說(shuō)明體重因子影響了身高和肺活量之間相關(guān)性的分析.7.2 Spearman （斯皮爾曼）秩相關(guān)系數(shù)一單調(diào)性相關(guān)分析為了使用Pearson線性相關(guān)系數(shù)必須假設(shè)數(shù)據(jù)是成對(duì)地從正態(tài)分布中取得的，并且數(shù)據(jù)至 少在邏輯范疇內(nèi)是等間距的.如果這兩個(gè)條件不符合，一種方法就是釆用Spearman秩相關(guān)系 數(shù)來(lái)代替Pearson線性相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析7.2.1 秩秩”即按數(shù)據(jù)人小排定的次序兮，又稱秩次號(hào).編秩就是將觀察值按順序由小到人排列, 并用序號(hào)代替原始變最值本身.用秩次號(hào)代替原始數(shù)據(jù)后，所得某些秩次號(hào)之和，即按某種

14、順 序排列的序號(hào)之和，稱為秩和設(shè)冇以下兩組數(shù)據(jù)：A 組 47 6.4 2.6 3.2 5.2B 組 1.7 2.6 3.6 2.3 3.7兩組各有5個(gè)變最值現(xiàn)在依從小到人的順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋?lái)并標(biāo)明秩次.結(jié)果如2A 組 5.2 6.4E 組 1.7 3.7秩次 12345673910原始值中有兩個(gè)“2.6=分屬A. B組.它們的秩次應(yīng)是3和4.然而它們的數(shù)值本來(lái)是同樣人 小的，哪組取“3”，哪組取呢？我們將它們的平均數(shù)（3+4）/2=35,作為T.6”的秩次，稱 為“平均秩次”這樣兩組所得的秩次及秩和如下：A 組3.558910秩和為 35.5B組123. 5

15、67秩和為19. 5上面A組和B組中各有五個(gè)原始值，按順序排列：故小值設(shè)為1,再按絕對(duì)值人小對(duì)余下的 變彊逐個(gè)排序，最大值為兩組變量個(gè)數(shù)之和10.依次可得1, 2, 3.5, 3.5, 5, 6, 7, 8, 9, 10.這10個(gè)序號(hào)即是秩次A組秩和等于3.5+5+8+9+10=35.5, B組秩和等于1+2+3. 5+6+7=19.5. 從兩組的原始變最值也可以初步看出：A組偏人，E組偏小.現(xiàn)在得出的秩和也是A組大于E 組，與由變量值所觀察到的結(jié)果一致.7.2.2秩相關(guān)系數(shù)Spearman秩柑關(guān)系數(shù)通常被認(rèn)為是排列后的變量秩次之間的Pearson線性相關(guān)系數(shù).定義74若對(duì)隨機(jī)變量X和丫進(jìn)行了

16、 次隨機(jī)試驗(yàn)，得到樣本/八設(shè)X,乙的秩次分別為幾和且戸=丄乞幾荷二丄乞厲，=“,-則隨機(jī)變量x和丫對(duì)于這組樣本 的秩相關(guān)系數(shù)久為刀（幾-刃（4一 7）ni7如果沒(méi)仃相同的秩次，則?？捎上率接?jì)算6前nn2 一 1)隨看X和Y越來(lái)越接近嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)關(guān)系.Speanmn秩相關(guān)系數(shù)在數(shù)值上會(huì)越來(lái)越人. 當(dāng)X. 丫有嚴(yán)格單調(diào)遞増的關(guān)系時(shí)它們之間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)為h反之.當(dāng)X、Y有 嚴(yán)格單調(diào)遞減的關(guān)系時(shí).Spearman秩粕關(guān)系數(shù)為亠Speanmn秩相關(guān)系數(shù)為0表示隨著X的增 加，Y沒(méi)有增大或減小的趨勢(shì).73 Kendall （肯德?tīng)枺┫嚓P(guān)系Kendall相關(guān)系數(shù)又稱作和諧系數(shù)，也是多列變最

17、等級(jí)相關(guān)系數(shù).Kendall（i?徳爾）相關(guān)系數(shù) 有時(shí)也稱為評(píng)價(jià)者信度.一個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)N個(gè)對(duì)象評(píng)價(jià)的秩之和為1 + 2+N二N（N + l）/2 ,所有K個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)所有對(duì)象評(píng)價(jià)的總秩為KN（/V+l）/2>這樣每個(gè)對(duì)象的平均秩為K（N + l）/2如果記對(duì)象j的K個(gè)秩（次序）的和為尺（21,2,少八那么，如果評(píng)估是隨機(jī)的，這些氏與平均秩的差別不會(huì)很1 N大.反之差別會(huì)很大，即所有對(duì)象的秩與平均秩的偏差的平方和S很大.S定義 N i-i為K>3N _ N （另 ）"3 = "_喬=另心七一如果各評(píng)價(jià)者對(duì)N個(gè)對(duì)象所評(píng)的秩序列完全相同，S的值為KNN）/12.如果評(píng)價(jià)的

18、 秩不同，則S變小，一致性程度降低：如果完全沒(méi)有相關(guān)，則所評(píng)對(duì)象各秩之和應(yīng)該相等，其 最大可能方差S應(yīng)為零.肯德?tīng)栂禂?shù)被定義為卜面二者的比值：每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象等級(jí)之和&與所有這些利的平均 數(shù)斤的離差平方和，每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象等級(jí)之和K與所右這些和的平均數(shù)斤的離差平方和在理 論上最大可能的離差平方和.肯德?tīng)栂禂?shù)計(jì)算公式如下.（1）同一評(píng)價(jià)者給出的評(píng)價(jià)沒(méi)冇相同秩時(shí)：Kf-N） 當(dāng)評(píng)分者意見(jiàn)完全一致時(shí)，S取得最大，故0WWW1. （2）同一評(píng)價(jià)者給出的評(píng)價(jià)有相同秩時(shí)：K 認(rèn) N'-N)-KD其中為第I個(gè)評(píng)價(jià)者的評(píng)定結(jié)果中有覓復(fù)等級(jí)的秩的個(gè)數(shù)；從表示為第i個(gè)評(píng)價(jià)者的評(píng)定結(jié)果中第/個(gè)重復(fù)秩的相

19、同秩的數(shù)目.VV值落在0與1之間，i般用下列標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一致性進(jìn)行判定：（1）w = l,評(píng)價(jià)結(jié)果完全一致：（2）W = 0,評(píng)價(jià)結(jié)果完全不一致；（3）0.9<lV<l,評(píng)價(jià)結(jié)果幾乎完全一致：（4）0.7<W<0.9,評(píng)價(jià)結(jié)果幾乎高度一致：（5）0.5VWS0.7,評(píng)價(jià)結(jié)果中度一致；（6）0.3<W<0.5,評(píng)價(jià)結(jié)果一般的一致性;（7）0<WS03.評(píng)價(jià)結(jié)果極低的一致性.例72某校開(kāi)展繪畫比賽，請(qǐng)6位評(píng)委對(duì)入選的6篇作品評(píng)定等級(jí)，結(jié)果如下表所示， 試計(jì)算6位評(píng)委評(píng)定結(jié)果的kendall和諧系數(shù).表75評(píng)委評(píng)定結(jié)果專家、123456A312546B213456

20、C321546D412635E312645F421536R,19811312334另 & =1269數(shù)學(xué)建模與軟件實(shí)現(xiàn)66遼盯r.J6= 3192-1x126-546R；361641219615291154另局= 312911數(shù)學(xué)建模與軟件實(shí)現(xiàn)125114 = =0.867W =3_3K N、_N)6(6、一 6丿 630W = 0.867表明6位評(píng)委的評(píng)定結(jié)果有較人的一致性.下面使用SPSS軟件求kendall和諧系數(shù).具體操作步驟如下. （1）建立數(shù)據(jù)文件.其中每個(gè)作品的秩為列變量，如圖7-5.B kendl 尿故/ tt£Sl SPSS Sta:一妄件誓球現(xiàn)回口 料除Q

21、）轉(zhuǎn)禺：?。┩馑﹫D形 亦用冷序 ffiTin匚G區(qū)S3仃e Jh厲麗M可內(nèi)JE擊E f（2）點(diǎn)擊主菜單“分析”項(xiàng)，在下拉菜單中點(diǎn)擊“非參數(shù)檢驗(yàn)”項(xiàng)，在右拉式菜單中點(diǎn) 擊“K個(gè)相關(guān)樣本”項(xiàng)，系統(tǒng)打開(kāi)多個(gè)關(guān)聯(lián)樣本檢驗(yàn)主對(duì)話框.選取檢驗(yàn)變量，選MX kenall的 W（k）檢驗(yàn)，如圖7-6.點(diǎn)擊“確定” 圖76多個(gè)關(guān)聯(lián)樣本檢驗(yàn)主對(duì)話框（3）輸出結(jié)果及分析 輸出結(jié)果為表7-6和表77 表76秩秩品1作品2作品3作品4作品5作品63. 171. 331.S35. 173 835.67表77檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)龜N6Kendall.W7卡方26 000df5漸近見(jiàn)茗性.000. Kendall 協(xié)同系Ci從秩上看作

22、品6評(píng)價(jià)最高、作品2評(píng)價(jià)最低：從檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量上看,Kendall W系數(shù)為0. 867, 顯著性p = 0000 (SPSS中假設(shè)施：秩次沒(méi)有一致性).評(píng)定結(jié)果有較大的一致性.結(jié)果和手 工計(jì)算結(jié)果一致.例73試計(jì)算3名專家對(duì)6篇心理學(xué)論文評(píng)定結(jié)果的kendall和諧系數(shù)評(píng)分經(jīng)等級(jí)轉(zhuǎn)換 后如表7-8所不.表7-8專家評(píng)分秩次表侖文 專家、123456A142. 5562. 5B231564C1. 531. 545. 55. 5Ri4. 51051417. 512Z = 6320. 2510025196306. 25144另心791.5解專家A打分中25重復(fù)，所以蝕"，©產(chǎn)2,

23、7>2'-2 = 6；專家。打分中】5重 復(fù)、5. 5 重復(fù),所以加3 = 2,嗎嚴(yán)2, g=2, 7i=(2s-2)+(25-2)= 12.= 791.5-1 63130.00llz12512 130130一 K(N'-N)-K另丁 一 3(6、一6) 3(6+12) 一 153 w=o.亦表明專家評(píng)定結(jié)果有較人的一致性.利用SPSS軟件計(jì)算，也可得到同樣結(jié)果.如圖. 表7-9秩表秩句值J»perl1.50J»perl3. 33paper31.67jnpeZ4 67jopcr55 83papci64.00表7-10檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)呈檢鯊統(tǒng)計(jì)量N3Kendall W.850卡方12.745df5漸近顯善性.0263 Kendall協(xié)同系數(shù)注意，本節(jié)所給出的Kendal 1系數(shù)適用于評(píng)價(jià)者數(shù)人于等于3的情況，當(dāng)評(píng)價(jià)者數(shù)為2 時(shí)，有三個(gè)公式計(jì)算療徳爾相關(guān)系數(shù)的值，這些