數(shù)學(xué)建模的心得體會

1、數(shù)學(xué)建模的體會思考經(jīng)過這段時間的學(xué)習(xí)， 了解了更多的關(guān)于這門學(xué)科的知識， 可以說是見識了 很多很多，作為一個數(shù)學(xué)系的學(xué)生，一直都有一個疑問，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在那里。對 了，就在這里，在這里，我看到了很多，也學(xué)到了很多，關(guān)于各個學(xué)科，各個領(lǐng) 域，都少不了數(shù)學(xué)，都是用建模的思想，來解決實際問題，很神奇。 數(shù)學(xué)建模給了我很多的感觸： 它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識， 更多 的其實是綜合能力的培養(yǎng)、 鍛煉與提高。 它培養(yǎng)了我們?nèi)妗?多角度考慮問題的 能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。 它還讓我 了解了多種數(shù)學(xué)軟件，以及運用數(shù)學(xué)軟件對模型進行求解。數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實對象

2、的信息加以翻譯， 歸納的產(chǎn)物。 通過對數(shù)學(xué)模型 的假設(shè)、求解、驗證，得到數(shù)學(xué)上的解答， 再經(jīng)過翻譯回到現(xiàn)實對象， 給出分析、 決策的結(jié)果。其實，數(shù)學(xué)建模對我們來說并不陌生， 在我們的日常生活和工作中， 經(jīng)常會用到有關(guān)建模的概念。例如，我們平時出遠門，會考慮一下出行的路線， 以達到既快速又經(jīng)濟的目的； 一些廠長經(jīng)理為了獲得更大的利潤， 往往會策劃出 一個合理安排生產(chǎn)和銷售的最優(yōu)方案 , 這些問題和建模都有著很大的聯(lián)系。 而 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前， 我們面對這些問題時， 解決它的方法往往是一種習(xí)慣 性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現(xiàn)在，我們這種 陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)

3、建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度、 層次分明、從本質(zhì)上 區(qū)分問題的新穎多維的思考方式所替代。 這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考 方式一旦被你把握， 它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)， 不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼 續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。數(shù)學(xué)建模所要解決的問題決不是單一學(xué)科問題， 它除了要求我們有扎實的數(shù) 學(xué)知識外， 還需要我們不停地去學(xué)習(xí)和查閱資料， 除了我們要學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支 問題外，還要了解工廠生產(chǎn)、經(jīng)濟投資、保險事業(yè)等方面的知識，這些知識決不 是任何專業(yè)中都能涉獵得到的。 它能極大地拓寬和豐富我們的內(nèi)涵， 讓我們感到 了知識的重要性， 也領(lǐng)悟到了“學(xué)習(xí)是不斷發(fā)現(xiàn)真理的過程” 這句

4、話的真諦所在， 這些知識必將為我們將來的學(xué)習(xí)工作打下堅實的基礎(chǔ)。從現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)來看， 我們都是直接受益者。 就拿數(shù)學(xué)建模比賽寫的論文來說。 原本以為這是一件很簡 單的事，但做起來才發(fā)覺事情并沒有想象中的簡單。 因為要解決問題， 憑我們現(xiàn) 有的知識根本不夠。 于是，自己必須要充分利用圖書館和網(wǎng)絡(luò)的作用， 查閱各種 有關(guān)資料，以盡量獲得比較全面的知識和信息。 在這過程中，對自己眼界的開闊， 知識的擴展無疑大有好處， 各學(xué)科的交叉滲透更有利于自己提高解決復(fù)雜問題的 能力。毫不夸張的說， 建模過程挖掘了我們的潛能， 使我們對自己的能力有了新 的認識，特別是自學(xué)能力得到了極大的提高， 而且思想的交鋒也

5、迸發(fā)出了智慧的 火花，從而增加了繼續(xù)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性。 再次， 數(shù)學(xué)建模也培養(yǎng) 了我們的概括力和想象力， 也就是要一眼就能抓住問題的本質(zhì)所在。 我們只有先 對實際問題進行概括歸納， 同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素， 緊緊抓 住問題的本質(zhì)方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。其實，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多，如果把這一系列因數(shù)都考慮的話， 將會花費更 多的時間和精神。因此，在我們考慮一些因素并不是本質(zhì)問題的時候， 我就將這 些因數(shù)做了假設(shè)以及在模型的推廣時才考慮。 這就使模型更加合理和理想。數(shù)學(xué)建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即

6、進行抽象，要用我們熟悉的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)公式將它們準(zhǔn)確的表達出來。下面用一個具體的實例，來介紹建模的具體應(yīng)用：傳染病問題的研究一、模型假設(shè)1在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群 動力因素?？?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù) N。人群分為以下三類： 易感染者(Susceptibles，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類 疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者 (Recovered),其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻

7、已從染病者中移出的人數(shù)(這部 分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已 退出該傳染系統(tǒng)。)占總?cè)藬?shù)的比例。2. 病人的日接觸率(每個病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù)入日治愈率(每 天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)卩，顯然平均傳染期為1/卩，傳染期接觸數(shù)為c =/e該模型的缺陷是結(jié)果常與實際有一定程度差距，這是因為模 型中假設(shè)有效接觸率傳染力是不變的。二、模型構(gòu)成在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：s iI 入 si I_在假設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為dt£

8、 ( So >0)， io (io不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為 >0)，r°=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下:也Asidtdsdts(t) , i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計算來預(yù)估計s(t) , i(t)的一般變化規(guī)律。三、數(shù)值計算在方程(3)中設(shè)入=1 卩=0.3 i (0) = 0.02, s (0) =0.98，用 MATLAB 軟件編 程：fun cti on y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x (2)-b*x(1);-a*x(1)*x (2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x

9、=ode45('ill',ts,x0);四、相軌線分析我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i (t) ,s (t)的性質(zhì)。D = (s, i) | s>Q i >0, s + i 任1在方程(3)中消去dt并注意到c的定義，可得dsIs c 丿i Is% 二 i°(5)所以：di二(6)利用積分特性容易求出方程(5)的解為:ln So在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向下面根據(jù),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t -射它們的極限值分別記作

10、s：,和r：J.1. 不論初始條件s0,i0如何，病人消失將消失，即：i°=02. 最終未被感染的健康者的比例是，在(7)式中令i=0得到，是方程so io -s一一 ln 電=0一旺so在(0,1/內(nèi))的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/內(nèi)交點的橫坐標(biāo)yd f 13. 若sd >1/ o則開始有丄=-1 > o , i(t)先增加，令 = -1 =0,可得當(dāng)d s2 c 丿d sIs o 丿s=1/ o時,i(t)達到最大值：1Im F io - 一(11 n ；So)CT然后s<1/ o時，有3- -1：o ,所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至

11、S-，d sIs o 丿如圖3中由P1(s0, i0)出發(fā)的軌線4. 若s -1/ (則恒有d 1 -1 : 0 , i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至s：-,如圖3d sis o 丿中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么1/ o 是一個閾值，當(dāng)so>1/ o即o >1/sC時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)o即提高閾值1/ o使得so < 1/即( o < 1s。),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值So是一定的，通常可認為s接近1）。并且，即使So>1/ 0從（19）,（20）式可以

12、看出,減小時,s-增加（通過作圖分析），im降 低也控制了蔓延的程度我們注意到在o =入中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率入 越小;醫(yī)療水平越高，日治愈率卩越大，于是o越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有 助于控制傳染病的蔓延從另一方面看，二s=，s*1/._j是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被二s個健康者交換.所以當(dāng)So1/二即二So < 1時必有 既然交換數(shù)不超過1,病人比例i（t）絕不會增加，傳染病不會蔓延。五、群體免疫和預(yù)防根據(jù)對SIR模型的分析,當(dāng)So空1/二時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延，除了提 高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值1/ o變大以外,另一個

13、途徑是降低So，這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到忽略病人比例的初始值i0有so=1-ro,于是傳染病不會蔓延的條件 蘭1/貯 可以 表為1r。-1 -這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例 （即免疫比例）滿足（11） 式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據(jù)估計當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù)o =5由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高ro，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到 1977年才在全世界根除。而有些傳染病 的o更高，根除就更加困難。六、模型驗證上

14、世紀初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù),即有了出的實際數(shù)據(jù)，Kermackdt等人用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗證。首先，由方程（2）, （3）可以得到 蟲=_入si = Ysi =-心5dtdt上式兩邊同時乘以dt可=1 ds - -：'dr ，兩邊積分得s二 zdr= lnsSo-m所以:s(t) = See®。(12)drdtdrdt出=叫1 _r s)=叫1 _r _S0eV)(13)<1 時，?。?3）式右端Taylor展開式的前3項得:2 2和r(1 _r _S0 ；fr)在初始值ro=O下

15、解高階常微分方程得：其中2 =（So；-1）2 2和0二2，th二'從而容易由（14）式得出:0（dr _:-2 Jdt2s0；2ch2(-（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖然后取定參數(shù)s0,等，畫出中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。7 DO600u 515 20 25 30"刷圖4引R模型的理論曲線與實際數(shù)據(jù)七、被傳染比例的估計在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值 So與S：:之差，記作X,即x = Sos：(16)當(dāng)iO很小，sO接近于1時，由（9）式可得1xx ln(1 ) :0So取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有x（1-工）：0（18）s° 口 2s° cj丄的部分。當(dāng)二-時（18）CTCT1記So二丄:.,:.可視為該地區(qū)人口比例超過閾值式給出 x：、2s0二 氏-丄、2、：（ 19）I ）這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為:.的2倍。對一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生1和醫(yī)療水平不變，即.不變時，這個比例就不會改變。而當(dāng)閾值 '提高時，：減a小，于是這個比例就會降低。這是一個關(guān)于傳染病方面的實例，看起來很復(fù)雜的題目，用數(shù)學(xué)建模就可以 化抽象為具體，簡單的利用微分方程，圖像，以及必要的數(shù)學(xué)軟件就可以解決問 題，同時把問題細化，分析了各種變量的影響。具體