數(shù)學(心得)之學情分析與小學數(shù)學教學

1、數(shù)學論文之學情分析與小學數(shù)學教學教師的教和學生的學之間如何密切地配合好，與老師對學生情 況是否了解有著非常重要的關(guān)系。所以在寫教學設(shè)計的時候，都有關(guān)于 學情分析的內(nèi)容。其中更多的關(guān)注的是學生的學習情況，比如說相關(guān)的 基礎(chǔ)知識掌握的怎么樣呢？但是只是這樣的話又有點片面。如果只是從 知識的角度來了解學生，雖然很重要，但是似乎不夠全面，因此想從關(guān) 注學生需求的角度，談?wù)剬W生學習之前的各種情況，也就是說學生在學 習知識的時候，在上課時候，其實他有各個方面的很多需求。對于這方 面，如果我們老師對學生需求了解的多一些，了解的全面一些，了解的 深入一些，那么對課堂教學和老師之間達成默契， 提高課堂教學的效率

2、, 那是非常有好處的，下面從這個角度來說一說。一、關(guān)注興趣需求，激發(fā)情感動力我們大家都很重視學生學習的興趣。有人說，興趣是最好的老 師。也有的專家講過，小學數(shù)學教學這點事，不外乎主要是兩個方面， 一個是興趣，一個是習慣，這兩點都是非常重要的。但是我在這里想說, 一個老師為了激發(fā)、調(diào)動學生的學習興趣，往往會創(chuàng)造一個很有趣味的 情境。您創(chuàng)造的那個情境，無論它怎樣引起同學的興趣，一定要和您這 節(jié)課，這個單元所講的知識要緊密相配合、緊密聯(lián)系。如果說兩者之間 是兩層皮的話，那是不可取的，與其要是創(chuàng)造一個與知識聯(lián)系不大的情 境的話，那么這個情境還不如不創(chuàng)設(shè)。開門見山，倒也不錯，所以說關(guān) 注學生的興趣是很重

3、要的，從中我覺得可以激發(fā)學生的一種情感動力， 這是很重要的?！景咐?】我們舉個例子來說，大家看到是一只很可愛的小猴子馱著一條 常常的尾巴，我們上課的時候，會給同學們出示這個教具，這就是我們 所看到的這只小猴子馱了一條尾巴。而且很明顯，小猴子的身子是在一 個正六邊形上，而它的尾巴是在正四邊形上。我們會給同學提出這樣一 個問題：如果我們把它轉(zhuǎn)動起來，比如說這樣轉(zhuǎn)動一次，這樣轉(zhuǎn)動兩次, 然后問同學們：大家猜一猜，至少要轉(zhuǎn)動多少次，猴子的尾巴就會重新 回到它的身上來。老師們猜猜看，學生如果要說，他可能猜幾次，可能 猜幾次，對了，很多學生都猜成六次，甚至幾乎全班同學都異口同聲都 說六次。然后我們就用實物

4、往上轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，這里我們沒有實物投影，我只 有這樣轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)大家看，我們一起來數(shù)，這個轉(zhuǎn)動一次，然后兩次，三次， 然后四次，轉(zhuǎn)錯了，我重新轉(zhuǎn)。來，我們一起來轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)看好吧！大家看， 這樣轉(zhuǎn)動一次，兩次，三次，四次，五次，六次，轉(zhuǎn)了以后同學發(fā)現(xiàn)， 好像是回來了，猴子尾巴回來了，但是方向卻反了，朝那邊了，他就覺 得不可思議。一開始信誓旦旦的說六次，可是為什么轉(zhuǎn)了六次以后，猴 子尾巴沒有回到他的身上來，你說產(chǎn)生一種困惑，產(chǎn)生一種需求，這種 需求就要探究究竟為什么六次是不對的，當然這時候還有不少同學猜測，老師，看來六次不行，得十二次，于是老師就帶領(lǐng)大家繼續(xù)轉(zhuǎn)下去，等十二次以后，就回來了，就轉(zhuǎn)到這里來了，大家又高興了

5、，于是 我們就要研究了，為什么不是六次，而是十二次。想不想研究這個問題， 學生說想研究，這個時候我們要發(fā)給各組學具，發(fā)給各組同學的學具是 不太一樣的。比如說有的是獅子，這兩小組都是獅子，大家會看到，獅子的 頭在正九邊形上，而尾巴在正六邊形上，現(xiàn)在老師就可以正確計算了， 那么要使獅子的尾巴重新回到它的身上，至少需要轉(zhuǎn)多少次呢？沒有問 題，十八次，對吧，十八次。還有的小組我們發(fā)的是這樣的烏龜，烏龜 的頭在四邊形上，身子在正五邊形上，這么轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)，得轉(zhuǎn)多少次才第一 次回到它的身上來呢，當然他需要轉(zhuǎn)二十次，我們還有一些其他的學具， 其他的動物也都很可愛，很可惜我找不到了，所以只拿了這幾張請大家 來觀摩。

6、那么比如我們拿第一個例子來說，至少學習轉(zhuǎn)十二次就可以回 來，我們還可以引導(dǎo)同學進一步猜想，如果再繼續(xù)轉(zhuǎn)下去，繼續(xù)轉(zhuǎn)下去, 下一次猴子的尾巴再回到它的身上應(yīng)該是多少次呢，小孩很會猜，第二 十四次，再下一次，三十六次，再一次，四十八次等等等等，我們就帶 領(lǐng)大家研究為什么沒有六次，沒有四次，而是十二次，二十四次。我們 就會發(fā)現(xiàn)所轉(zhuǎn)動次數(shù)，應(yīng)該是 6的倍數(shù)才能回到這個位置上來，而且 還應(yīng)該是4的倍數(shù)才能使猴子的尾巴成這樣一個方向和狀態(tài)。因此說所轉(zhuǎn)的倍數(shù)、所轉(zhuǎn)的次數(shù)應(yīng)該是 6的倍數(shù)，也同時應(yīng)該是4的倍數(shù), 也就是說它應(yīng)該是6和4之間那個公有的、共同的那個倍數(shù)，我們就 把這樣的數(shù)叫做6和6的公倍數(shù)。像12

7、、24、36、48、60、72等等，都是這樣的， 而在這個公倍數(shù)當中，其中最小的那一個我們就把它叫做最公倍數(shù)。好 了，我們當年講最小公倍數(shù)就是這樣講的，我們講了以后，很多老師都 很喜歡，紛紛跟我們借教具上這節(jié)課。當然后來也有老師問我，您怎么 想的讓學生在桌子面上轉(zhuǎn)小猴子的尾巴、轉(zhuǎn)獅子的尾巴，讓他們通過這 種方式學習最小公倍數(shù)，又有效，又有趣。說實話，我說我就是好像在 幾年以前看過一本低幼讀物，兒童讀物，幼兒園的讀物，那個讀物里面 有一個轉(zhuǎn)和平鴿的那么一個活動，轉(zhuǎn)和平鴿的尾巴，我覺得幼兒園的小 朋友通過“轉(zhuǎn)”來達到他的動手能力，達到手口一致的協(xié)調(diào)性，我覺得 效果很好。我想，完全可以搬到我們小學來

8、，五年級講最小公倍數(shù)用這種 方式，同學一定特別感興趣，而且效果應(yīng)該相當不錯，就是這樣的。我 們北京版教材，有的老師不太清楚，還有北京版教材在編排這個，編輯 最小公倍數(shù)的教材內(nèi)容時候，就把我們這個方式也編進教材去了，那我 當然也很高興，因為我們這個方式也得到了專家的認可。好了，這一節(jié) 課向大家匯報的，我們第一個節(jié)目就是要關(guān)注興趣，關(guān)注興趣。再舉個例子，五年級的可能性，這是我在北京郊區(qū)聽這個農(nóng)村 老師，一位男老師講的可能性，我覺得講的不錯，向老師們來介紹。大 家一眼看到四張卡片，分別寫的是五、六、七、八。那節(jié)課是這樣的， 兩個同學一組，老師發(fā)給他們一個線裝口袋，當時要求同學們打開，把 線裝口袋里面

9、的東西都抖落在桌面上， 同學就會發(fā)現(xiàn)，都是五、六、七、 八四張卡片。老師說，好，把它扣回去，打亂，像洗牌一樣，打亂，老 師說：不再動了。如果這時候兩個人你摸一張，他摸一張，如果摸得的 數(shù)相乘的積，得奇數(shù)的話，甲勝；相乘的奇為偶數(shù)的話，另外一個同學 勝。同學們，你覺得游戲公平嗎？老師們猜猜看，同學說公平，還有說 不公平的，同學們幾乎都說公平，他們都說公平，原因很簡單，他們至 少看到五、六、七、八四個數(shù)當中，有兩個奇數(shù)，有兩個偶數(shù)，他們覺 得老師給的條件就是公平的，所以順理成章的這個游戲就應(yīng)該是公平 的。老師說：大家認為公平，那我們就開始玩，于是兩個同時開始 玩，你摸一張，他摸一張相乘，你摸一張，

10、他摸一張相乘，結(jié)果老師們， 很快很快同學們發(fā)現(xiàn)了不公平，而且他們發(fā)現(xiàn)極度不公平，紛紛舉手強 烈的要求，跟老師說，老師不公平，這游戲太不公平了，太不公平了。 老師說好，你們敢說不公平，這點很好，但是我們要研究，它究竟為什 么不公平？我覺得老師這樣引導(dǎo)是對的，為什么不公平？于是老師帶領(lǐng) 同學們在黑板上，就不厭其煩地做了六道題，比如說5 X 6=30 , 5 X7=35 , 5 X 8=40 , 6 X 7=42 , 6 X 8=48 , 7 X 8=56 ,同 學一看，哇，六道題的結(jié)果，只有五七三十五，這是唯一的奇數(shù)，其余 五個都是偶數(shù)，原來這么不公平，他們強烈的找到了原因，發(fā)現(xiàn)真的很 不公平。那

11、么到這里我們說教學怎么樣呢？我們覺得仍然不到位，咱們 有的時候上課，校長，教學干部說你這樣教學不到位，什么叫不到位？ 咱們拿這個例子來說，同學已經(jīng)感覺到不公平，而且也找到了原因，一 個奇數(shù)，五個偶數(shù)，但是別忘了，我們這一節(jié)課的內(nèi)容講的是可能性， 講的可能性。老師應(yīng)該引導(dǎo)同學從可能性這個角度來認識這個問題，才 能件件到位。所以老師說，那誰知道這種狀態(tài)下，這個時候得奇數(shù)的可 能性有多大，得偶數(shù)的可能性又有多大？老師們， 有多大，就是要量化， 用一個數(shù)，通常用一個分數(shù)，當然也可以用百分數(shù)，只不過五年級這時 候沒有學百分數(shù)，我們就可以用分數(shù)來表示可能性的大小，這是高年級 講可能性的特點。同學不難得出，

12、得奇數(shù)的可能性是 1/6 ,得偶數(shù)的可能性是 5/6 ,而且1/6 小于5/6 , 5/6 大于1/6 ,對吧，而且很大于1/6 , 可以這么說，5/6 是1/6 的五倍，對不對？ 5/6 是1/6 的五倍，老 師們，五倍，很懸殊的倍數(shù)關(guān)系。有時候講到這個時候，我發(fā)現(xiàn)很多老 師對這個沒有什么反應(yīng)，是吧，一說五倍，覺得好像沒什么了不起，五 倍有什么了不起，我們輕輕的倆嘴唇一碰，是吧，小數(shù)點稍微移動，兩倍，原來的數(shù)擴大一百倍，是吧，擴大一百倍，一千倍都不在話下，這 區(qū)區(qū)五倍，好像似乎何足掛齒。其實您錯了，要關(guān)注學生的感覺，五倍 其實是個很懸殊的倍數(shù)關(guān)系。我給您舉個中國的例子，比如說您教兩班數(shù)學，你

13、的工資比如 每月兩千元，那位老師跟您兼一樣的課程，一樣一樣的工作量，但是他 的工資不是兩千，是多少呢？ 一萬，是一萬，而且不是這一個月，是年 年月月，每月兩千前、兩千、兩千，他一萬、一萬、一萬，我估計您覺 悟再高，同事關(guān)系再好，您也不會坐在那里心平氣和的說，嗨，他工資 不就是五倍嗎，工資不就是五倍嗎，不就是五倍嗎，那么輕描淡寫，不 會的，五倍是非常懸殊的一個倍數(shù)關(guān)系。同學們對工資當然沒有什么概 念，但是對剛才的這個游戲他卻記憶猶新，為什么？他老輸，玩那么多 次，他老輸，甚至我估計有的同學從開始玩到老師喊停，有可能他連一 次都沒贏過，都有可能，您說是不是？所以當時就說了，現(xiàn)在我們感覺 到了它不公

14、平，而且找到了原因，而且會用分數(shù)來表示它可能性的大小 很重要。下一步，老師們請注意了，下一步更重要，老師說什么呢？我 們能不能改一改，我們能不能把這游戲改一改，改這樣它公平一些，這 一點非常重要。同學非常記住了，老師能改，能改，因為他隱隱約約已 經(jīng)感受到，只有奇數(shù)乘奇數(shù)才得奇數(shù)，偶數(shù)乘偶數(shù)得偶數(shù)，那個奇數(shù)乘 偶數(shù)，倒霉就倒霉在奇數(shù)乘偶數(shù)，它也得偶數(shù)，所以他想適當?shù)脑黾悠?數(shù)，去掉些偶數(shù)，所以面對的5、6、7、8 ,有些同學就出主意 了，老師咱們換得了，把6或者8改成一個奇數(shù)就好辦了，不能都改， 都改了就沒數(shù)了，是不是？改一個。老師們猜猜，學生說改6還是改6 ,我在旁邊聽課，您現(xiàn)在 猜，很多學生

15、是改6還是改8，我們很多老師，大家覺得改6改8沒 區(qū)別，不就是一個奇偶性問題嗎，是不是，又不是想求它的大小是多少， 所以改6、改8是對等的，是一樣的，但在同學眼里不是這樣的，我 那天聽到是很多同學紛紛說，老師咱把 6改改吧，改6 ,為什么改 6 ?他們說了，老師您看把這 6 ,就是說您別忘了，同學手里有四張 卡片，這別忘了，有四張卡片，所以他們把 6舉起來，比如說這個， 這個不是6 ,這是猴子，咱就當作6 ,老師您看咱們把6 ,咱們把6 翻過來就是九，這是6 ,翻過來就是9，你看他多會改，是吧，把6 翻過來就是九，因為八翻過來沒有，8八翻過來還是8 ,如果把8橫 過來就行了，是嗎，把8橫過來無

16、窮大，他又不認識，是不是，所以 他把6改成9 ,多好。我估計老師為什么選五、六、七、八，可能蘊含著這個意圖， 把6改成9。好，現(xiàn)在我們也把6改成9 ,老師說了，同學們你們 看，現(xiàn)在公平了吧，小孩都紛紛說，公平了，但是帶有一定猜測性質(zhì)， 說公平了。我想和老師們探討了，這個時候同學們感覺公平了，他猜測 公平，還有沒有必要讓同學們再玩一玩，剛才玩可以叫做感受不公平， 現(xiàn)在玩叫做感受公平，您看還有沒有必要帶領(lǐng)同學再玩一玩，有嗎？有 的老師說“有”，有的老師大概說沒有，我的意見絕對是沒有必要讓同 學們再玩了。咱們不算時間帳，再玩玩，時間不算怎么辦，拖堂怎么辦， 咱們先不考慮這問題，這是另外一個角度的問題

17、。咱們想說什么呢，剛 才在不公平的前提之下，他怎么玩，怎么不公平，我們是有把握的，現(xiàn) 在理論上是公平了，可是一組一組一組的玩起來之后，老師們，您能保 證每組同學玩的結(jié)果都是公平的嗎，是吧？比如說玩十次，您能保證那 個同學贏五次，這個同學贏五次，能保證嗎，不能保證，依然會出現(xiàn)， 他贏6次，她贏4次；他贏7次，她贏3次，甚至他贏8次，他 贏兩次的情況也一定會出現(xiàn)，而且一般來說，多數(shù)組都不會五比五，那 么在那種時候如果同學們再嚷嚷起來又質(zhì)疑了，老師，老師，還是不公 平，怎么辦呢？怎么辦呢，老師們，您說怎么辦呢，沒辦法了，誰也都 沒辦法了。那時候老師只有一個辦法了，非常勉強的，非常蒼白無力的辦 法，就

18、是解釋，上課不是不可以解釋，但解釋不一樣，有的是偏重于講 解，有的是偏重于您無奈的辯解，這就很蒼白。有的老師的課，我聽過, 有老師這么解釋：同學們，其實你們不知道，理論上是公平的，為什么 你玩這個不公平呢？我跟你說，理由只有一個，原因只有一個，就是因 為，就是因為我們玩的次數(shù)太少，玩的次數(shù)太少，你不來十次嗎，你玩 一百次，你玩一千次，一萬次試試。還跟人說，有的玩了二十萬次拋硬幣，吧，還可以說：同學們，玩的次數(shù)越多，可能性越漸顯1/2 ,結(jié) 果言多語失，這句話說錯了，還說錯了。再一個問題，至少有這么兩個特點，一個它是客觀的，它是隨 機的，它是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，不是我想得什么就得什么的，我想

19、視己就視己了，對不對？這是第一。第二它是不以活動的次數(shù)多少而改 變的，比如拋硬幣，是嗎，比如我們前一段時間看世界杯，拋硬幣，他 不論拋多少次，它的正面朝上，或者反面朝上可能性都是各占1/2 ,哪怕就是一次，他也是1/2 。我們曾經(jīng)出過這樣的考題，比如說小明 拋硬幣，一共拋五次，前四次都是正面朝上，問它第五次正面朝上可能 性應(yīng)該是多少，我們幾選一，比如 1/2 、1/4 、1/5 、4/5等等, 老師們?nèi)ミx，老師您說第五次可能性應(yīng)該多少呢，那當然還是1/2 ,對吧，還是1/2 ,這個不能憑好心，前四次都是正面朝上了，總給反 面一個機會，所以反面朝上可能性應(yīng)該大一些，不，這一次就這一次， 跟前幾次

20、無關(guān)。而在這節(jié)課這時候我們老師們就不能保證同學們玩起來每組 都是公平的，所以這時候最好就不要再玩了，于是，老師也沒有讓同學 們再來計算，就直接來問，誰說你為什么感覺這時候就是公平的，一下 上升了兩個臺階，挺好的。當時我聽有一個男孩子舉手發(fā)言說的不錯， 他說老師您看現(xiàn)在5、7、9都是奇數(shù)，它們相乘可以得到三個奇 數(shù)，8呢和5相乘，和7相乘，再乘9 ,就可以得到三個偶數(shù)，這樣就公平了，講的不錯。老師又進一步引導(dǎo)一下，說的沒錯，誰能明確說出來這個時候得奇數(shù)的可能性有多大，得偶數(shù)的可能性又該多大呢？ 有同學舉手說了，老師得奇數(shù)的可能性是 3/6 ,得偶數(shù)的可能性也是 3/6 ,而3/6等于3/6 ,用

21、兩個分數(shù)表達兩個事情發(fā)生的可能性，并 且等號連接起來，通過這樣一個游戲，特別通過前后對比來加深學生對 等可能性的認識，我們覺得教學是非常到位的，而同學的興趣也是很高 的。因為你看一直在參與這個過程當中，而且也是在一邊學習，一 邊游戲過程當中參與的，所以效果非常好。而在這里面老師和同學就都 不同經(jīng)歷于一個有猜測，公平不公平，對吧，有猜測，到實踐，究竟公 平不公平，學生說了不算，老師說了也不算，誰說了算數(shù)呢，實踐說了 算數(shù)，對吧，實踐是檢驗真理的標準，而且還是唯一的標準。當然上課 不一定這么去說，但讓同學們能夠感悟到實踐是非常重要的。 通過實踐, 發(fā)現(xiàn)不公平，而更有意義的，發(fā)現(xiàn)不公平，不是就此罷休

22、，應(yīng)該盡可能 去改一改，讓它變得公平一些，這是發(fā)揮人的主觀能動作用的一個好時 機，我覺得這點是非常重要的。二、關(guān)注知識需求，滿足求知愿望下面我們向老師們匯報第二個題目一一關(guān)注知識需求，滿足求 知愿望。關(guān)注知識需求，滿足求知愿望。在這里我想多少做一點解釋， 就是什么叫學生的知識需求，一般來說上課的時候?qū)W生不會自己主動舉起手來，有的學生說：老師我想學習什么，您教我們得了，那個同學, 老師我想學習那個知識，您教給我們得了，一般來說是不會的，對吧， 小學生還是習慣于老師這節(jié)課學習什么知識，我們大家就學習什么，是 吧，這是很正常的。那么我在這時候談的知識需求，就是我們在進行知 識教學當中，從知識的角度看

23、，學生可能會有些什么樣的需求，老師要 有一定的預(yù)見，并且把這種預(yù)見納入到我們的備課過程當中去，然后在 課堂教育當中給予體現(xiàn)，我覺得也是對同學的一種尊重，也是對他的知 識需求的一種滿足。【案例】我舉個例子說，好吧，這是我們六年級的一節(jié)課，叫做分數(shù)乘 法當中的第一節(jié)，分數(shù)乘整數(shù)，我向大家匯報的是我曾經(jīng)上過這節(jié)課， 分數(shù)乘整數(shù)，當年的例題是2/9 X 4,那么我想學生會有什么需求呢， 我 們在講這節(jié)課的時候，它是一節(jié)法則課，那我們就不應(yīng)該僅僅讓同學學 會這節(jié)課的內(nèi)容，比如說分數(shù)乘整數(shù)該怎么上，該怎么做，得多少，不 是。因為滿足同學另外一個更加深層次的對知識需求，比如說分數(shù)乘整 數(shù)，這個內(nèi)容與分數(shù)相加

24、、分數(shù)加法有什么聯(lián)系，有什么關(guān)系，與整數(shù) 乘法又有什么關(guān)系，因為在這節(jié)課之前，他在中年級學過整數(shù)乘法，對 吧，他在五年級學過分數(shù)加法，那么分數(shù)乘整數(shù)，就與整數(shù)乘法，與分 數(shù)加法之間有著密切的聯(lián)系。通過這個聯(lián)系，學生可以深入理解分數(shù)乘 整數(shù)的意義，深入理解分數(shù)乘整數(shù)的算積，并能夠更好的掌握分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。我覺得要讓同學了解知識之間聯(lián)系是很重要的，但是你想同學們不會提出來：老師我有那樣的一個需求是不會的，通過我們的教學來 完成他的這個需求，來滿足他這個需求我覺得是非常重要的。那我課是 怎么上的呢，我是這樣上的，我給大家說，我就想 2/9X4,學生不太容 易感受到他體現(xiàn)的，他反映的是求幾個相同

25、加數(shù)的和的簡便運算，因為 簡便二字的味道不是特別濃，也說 2/9X4,不就是4個2/9相加，它們 比較起來差別并不特別大。如果把 2/9相加的個數(shù)增加，再增加，讓他 充分感受到有進位的加法太麻煩了，做對乘法那么簡便，我覺得效果會 很鮮明的。所以我上課是這樣上的，請大家看，我會給同學出一組分數(shù)相 加的口算題，大家看，我問問同學們，同學們看這是幾，小孩會說 2/9, 沒問題，請做第一道題，誰也不舉手，全班搶答，看得幾，看誰搶的又 對，又快，我把第一題拉開，小孩一看，4/9,前面都會說4/9,沒問題, 對吧，到現(xiàn)在每逢暑假，我還經(jīng)常愛上這節(jié)課，因為它特別適合在暑假 里面上。好了，我又把它拉開了，同學

26、們這道題得幾，小孩看了看，6/9, 6/9,當然也有同學說了，老師要約分的，要約分，就是 2/3 了，2/3, 好啊約分是2/3,不約分就是6/9,挺好的。這道呢，搶答人更多了， 因為它已經(jīng)形成規(guī)律了， 8/9,異口同聲說，這道題呢，有人說 10/9, 當然也有同學說1 ,正在他們亂糟糟的，我就把全打開了，我說這道題 多少，全打開了，這么多，讓他去看，小孩一看，全笑了，如果聽課老 師他們也會笑，這么多2/9相加，他一下子誰也說不出得多少，都在笑， 我也跟著在笑。但是我很快就收斂了笑容，我跟同學說，同學們，如果我們真 的一個2/9 , 一個2/9 , 一個2/9 , 一個2/9的加下去的話，你會

27、有什么 感覺，老師們，盡管遠在課程改革之前很多年，我第一次上課已經(jīng)是 20 多年前了，那時候我也很尊重學生的感覺，就你尊重他的感覺，那么他 也會尊重你的感覺。那么師生之間就能達到很好的情感溝通和交流，這 點是非常重要的，是上好課的一個前提，是嗎？當然小孩會說，你有什 么感覺，無疑的都會說，老師太麻煩了，太麻煩了，是吧？太麻煩了， 我說好，有沒有，有沒有想到辦法，有沒有不太麻煩的辦法呢？有沒有 不太麻煩的辦法？他們就紛紛記住了，老師有，有，用乘法，用乘法， 他就告訴你說用乘法來做，用乘法。老師你想，這節(jié)課我沒有出示課題，我沒有告訴他們今天講分 數(shù)乘法，我出示只是這么多2/9連加，老師您想，他看著

28、這么多2/9在 相加的這樣一個算式，他們自己主動說老師有，用乘法，您說是不是在 他腦子里面就已經(jīng)初步構(gòu)建了一個分數(shù)乘法的一個模式，一個模型，也 就是說他能夠主動的把這樣的分數(shù)相加題，如果和分母乘法給它相溝 通，這就是在進行乘法意義教學，而這種乘法意義教學，不是老師說出 來的，不像同學看那個文字，不是機械的去讀和記，而是他自己內(nèi)心的理解和遷移。通過這個遷移來建立分數(shù)乘法的概念，我覺得這點是很有 意義的。當然我還會問，能用乘法做嗎，小孩說：能。好了，如果真的 把它改寫成乘法算式的話，你現(xiàn)在特別需要知道什么？這是根據(jù)學生的 需求，他一定會知道，一定想知道，我想知道幾個2/9。那好了，我就再跟同學一塊

29、說，我們?yōu)榱朔奖?，咱們五個五個 說，五個，然后十個，我們這么說，數(shù)完以后是多少沒關(guān)系，是嗎？比 如我這個是28個，那是28個2/9相加，我問同學，28個2/9相加寫成 乘法算式，什么樣呢，大家紛紛都說 2/9 X28,沒問題，在黑板上板書 9X28。寫完以后我可以說，2/9X28,沒問題，是分數(shù)乘整數(shù)，板述課 題，然后說是不是天下只有這一道題是分數(shù)乘整數(shù)呢，學生說不是， 當然說不是。但是你舉個例子，你編一道分數(shù)乘整數(shù)題，不用計算，只 是編就可以，同學們編出很多這樣這樣的題，編了很多，很有意思，我 們請大家看一看，這是表示我拋出那么多 2/9 一個情景，是吧，學生編 的題不外乎這么多，比如說像一

30、個分數(shù)乘一位數(shù)的，一個分數(shù)乘兩位數(shù) 的，還有分數(shù)乘三位數(shù)的，當然很多情況下還有編出乘四位數(shù)等等，他 們很敢編，我們今天只是舉這幾個例子。讓同學編題，我一個不落的都把它寫在黑板上，豎著寫，寫在 2/9 X28的下面，一般來說能寫個六七個，寫這么多，學生編的題有什 么用呢，我覺得意義非常大。遠的不說，這節(jié)課兩件事可以做，第一說 一，課堂板述以來，那個分數(shù)乘整數(shù)的意義，與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算，這個的話我們?nèi)∠耍瑒h掉了，不 寫了，沒關(guān)系。但是我覺得真正一個具體的算式還是要說出意義就更好， 這是第一個意義。第二當這些個新課講完之后，該練習的時候，我?guī)缀?就不再出什么筆答題

31、了，就完全讓同學做他們自己編的題，按順序做， 你編哪道題，我做哪道題，同學做自己編的題那他是一種享受，他覺得 這個題是那么的真實，那么的生動。有時候我說這誰編題，我可不知道 得多少，我真的不知道得多少，同學相信你是剛剛編出來的，對不對？ 那么他會有一種責任心在編，責任心去做，我一定好好把題做對了，告 訴劉老師這道題得多少，因為他都不知道得多少，很有意思。那么說一，我們舉個例子，比如 3/7X18,我一定會問同學， 誰說3/7X18表示什么，表示什么，同學都會說，老師， 3/7X18表示 18個3/7是多少，我會說，說的對，說的對，但就是不夠明確，誰能夠 更加明確的說一說3/7X18它表示18個

32、3/7在干嘛，在干嘛，這又有 同學說，老師它表示18個3/7在相乘，于是又遭到其他同學反對，課 堂尚有同學認識的交鋒是非常好看的一件事情，也非常有意思的事情， 是吧。同學說老師不對，應(yīng)該是 18個3/7在相加，我會夸張的表揚， 多好，大家看，明明是一個乘號，明明是一道乘法題，可是它卻表示幾 個3/7在相加，而且求它們的和是多少，又一次加深了對乘法意義的認我還可以說，同學們，3/7X18,既然表示18個3/7在相加,我們能不能把它還原成，還原成這個加法算式呢，小孩說“能”，于是我就帶著同學們?nèi)ゼ樱@么說， 3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7,大點聲，+

33、3/7,快點，+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7 ,學生讀完以后，我這叫習慣性愛挖苦他們，當 然有的老師說不許挖苦學生，要尊重學生，我想：善意的，不是不可以。 我怎么挖苦他們呢，我說你瞧瞧你們，讀 18個3/7就累成這個樣子， 你們聽聽我怎么讀，小孩就充滿了意愿，充滿了期待，就聽聽老師怎么 讀，我就站在那里，站的很直，我認真的讀，大家聽，聽我怎么讀， 3/7 X 18,小孩一聽，這么讀，就立刻有一種上當?shù)母杏X，這么讀我們也會， 是吧，就通過這兩種不同的讀法他就感受到，那個讀那么麻煩，這個這 么簡單，甭說寫起來那么麻煩，這個這么簡單，甭說計算起來那個也那 么麻煩，這個一定很簡單，對吧。我還

34、會說同學們，盡管大家讀 18個3/7相加，累的上氣不接 下氣，你們還得感謝我，還得感謝我，學生們一臉茫然，憑什么感謝你， 他甚至說為什么感謝你，是嗎，把我們累成這德行。我走向黑板前， 指著最后一個算式，我會跟他們說，因為我沒讓你們加這個，比如說2/5 X 100,學生一聽，就崩潰的笑了， 2/5 X 100,到讀100個2/5相加， 不見得累成什么樣子了。就通過這個波動，充分感受到分數(shù)乘整數(shù)是這 樣的簡便，這樣的可愛，它和分數(shù)乘法和分數(shù)加法，和整數(shù)乘法是那么 有著密切聯(lián)系，就能夠促進他在遷移中學好新的知識。三、關(guān)注思維需求，促進思維發(fā)展第三，關(guān)注思維需求，促進思維發(fā)展。我在上課時候很注重學 生

35、的思維發(fā)展，數(shù)學課屬于思維反響過低的話，那么這節(jié)課您最好先別 上，您好好再備備課?！景咐?】我們舉個例子來說，這是我曾經(jīng)上過的一節(jié)二年級的課，認識 厘米，這是我兩年前備過的一節(jié)課，在這節(jié)課老師們知道，我們總有一 個內(nèi)容，一個環(huán)節(jié)就是指導(dǎo)同學用刻度尺來測量一些小的物體的長度是 多少厘米，當然都是整厘米數(shù)。但是我在想，學生在用尺子測量時候， 我們都千叮嚀萬囑咐的去講，什么呢？ 一定從零刻度線開始測量，把物 體一蹲，放在零刻度線上才能量準，甚至有老師說不放在零刻度線上就 不能量，就量不準，這話要說對，也對，但是總是有點絕對，對是對的, 絕對就是錯的，為了打破這個定勢，我設(shè)計這樣一個情景，我給同學講

36、了一個故事。我可以拿出一個紙做一個尺子跟同學們說：同學們，小明也有 一把這樣的尺子，他也會量，但是小明他們家遭遇一場不幸，很大的不 幸，什么不幸呢？就是他們家著了一場大火，這場大火把他心愛的尺子 燒壞了，于是我就拿出打火機對著這尺子一端，我這一燒，就把它燒壞 了，然后把它捏滅了，就變成一把破尺子。我問同學，好端端一把尺子 燒成了壞的，破尺子，同學們，你們說這把尺子還能量嗎，老師您猜猜,學生說還能量嗎，一二年級的小孩多數(shù)都說不能量了，但總有個別同學， 老師能量，能量，為什么能量，破尺子為什么能量，“老師，因為你還沒有燒光”，因為你還沒有燒光，是不是？還有小孩說話更簡便，“還夠”， 站起來就說還夠

37、，咱們都能懂他意思。但也有小孩表達特別好，“老師您看，您燒的是那一頭，那頭燒壞了，沒有了，這一頭您沒燒，這頭沒 有燒，那零還在"。零不是刻度，零不是起點，有起點就能量。學生說得特別完美，于是大家就信服了，對，還能量，我說“大 家表現(xiàn)特別好，這樣一把破尺還能量，多好??！我接著說，但是小明他 們家太不幸了，又著了一場火，我就把打火機放到這一端，放到這一端， 然后把它打著，我上課的時候不用課件，就是直接去燒，小孩一看特心 疼，真燒啊，因為我覺得小學生從上一年級到六年級，我估計絕大多數(shù) 小學生，沒有見過數(shù)學老師在課上拿出打火機來，現(xiàn)場來把自己的教具 給燒毀的，沒有的，所以我會給他一個很強烈的

38、印象，這時候我燒成這 樣了，我就問同學們，真就成一把破尺子了，你們說還能量嗎，小學生 幾乎都說不能量了，但是我會等待，會啟發(fā)，他們漸漸明白過來，我會 說”能量“，有的孩子大聲說"老師能量，零刻度線沒有了，零不在了， 咱們拿3當0 “，我們就會把打火機放在上面，讓他們研究，如果這邊 對準3,那邊對準8,那么這個打火機長幾厘米，他們會用各種方式說 明為什么是5厘米，老師們，千萬別小瞧學生，也同樣別小瞧一年級、 二年級的學生，他們的思維潛力是非常強的，是非常深厚的，只要我們給他一個平臺，只要我們給他創(chuàng)造機會，他們真的會在我們的舞臺上， 能夠演出生動活潑的戲劇來，要敢于相信他們。在這個活動當

39、中，我覺得老師的責任，就是在備課的時候，設(shè) 置這樣一個情景，來幫助同學們克服定勢。什么定勢，一定要從零刻度 開始量，不從零開始量就不準，這就是一個定勢，克服定勢來培養(yǎng)學生 思維的變通性。【案例2】再舉個例子，這是大家都很熟悉的三角形三邊的關(guān)系，課程改 革以前，我們教材里是沒有這個內(nèi)容的，課程改革以后就完善了，三角 形三邊的關(guān)系，也就是講三角形，如果構(gòu)成三角形的話，那么兩邊之和 應(yīng)該大于第三邊的，但是中學還講兩邊之差小于第三邊，我們小學只講 這個，那年我們?nèi)⒓颖本┦械木┏潜筚?，青年教師就犯了這樣的錯。 我們設(shè)計這個練習，我是挺滿意的，請大家看一看，三角形一條邊長12 厘米，其余兩條邊的和是

40、14厘米，這兩條邊，分別是幾和幾厘米，這 道題既有一定的開發(fā)性，答案不唯一，所以我們覺得這道題很好，同學 往往說，1和13,但是就遭到其他同學反對，因為1 + 13等于14沒問題， 可是1 + 12,恰好等于13,是不能構(gòu)成三角形的，解決一個難點問題。14,同學會說2和12可以，然后3和11可以，4和10可以，5和9, 6 和8, 7和7,都可以，挺好，下面數(shù)學模型，很完整，但是后來我認為， 雖然這題編得不錯，課堂教學試講效果也很好，但是有一點不完美，什么呢，雖然同學認可，比如說3、11、12可以構(gòu)成一個三角形，因為3+11大于12, 3+12大于11, 11 + 12更大于3,但是這只是理論

41、上來說明這三 個數(shù)據(jù)可以構(gòu)成一個三角形，但是這三角形什么樣的，小學生沒看到。而我們數(shù)學特別講究數(shù)形相結(jié)合，這節(jié)課本身又是節(jié)形的課， 可是同學們又沒看到這個形，你說是不是個缺憾，如果讓同學看到一個 一個三角形，那該多好，這時候我就想到這一點，于是在家里面試著畫 了幾個三角形，畫完了以后一看特別好看，我們請大家也看一看。這是 我們給定的那條邊，那條線段，長12厘米，第一個三角形，就是2, 12 和12,原來是這樣的一個三角形，還是一個躺著的等腰三角形，3、11和 12; 4, 10 和 12,然后 5, 9, 12; 6, 8, 12;還有 7, 7, 12, 7, 7, 12當然也是個等腰三角形

42、，像房屋脊，像紅領(lǐng)巾，那么那邊和它對稱， 就感覺到了，要不然他不容易感受到這一點，左邊和右邊對稱的，意思 就有8和幾，9和幾，11和幾，12和幾，打算跳著，排山倒海一樣，我 們還會用一條曲線，把它們圍起來，問大家怎么樣，好看嗎，都說好看， 然后像什么，像什么，老師猜猜：同學們說像什么，不少老師說像鳥巢 吧，我們上這節(jié)課在五年前，那時候還沒鳥巢呢，同學們都愛說什么呢， 我不知道你想到?jīng)]想到，我們在試講的時候和上課的時候，小孩都愛說 像漢堡包，就是小學生對吃的總是那么情有獨鐘。當然也有學生說像帽子，像魚網(wǎng)，在北京的孩子容易說出來， 外地的孩子，兄弟省的孩子不容易說出來，北京的孩子能夠說出來像什么，

43、像中國大劇院，當我們把中國大劇院打出來以后，同學們就”哇“， 那種感覺，特別神圣，特別神奇，特別感受到數(shù)學的魅力和它的價值， 老師們不用多說，這種心情，這種情感的升華，對他發(fā)展來講是非常有 好處的，我們還出示一個從空中勾畫出中國大劇院的情景，更讓同學感 受到它的魅力無窮。四、關(guān)注認知誤區(qū)，避免造成隱患第四，關(guān)注認知誤區(qū)，避免造成隱患。【案例】我聽過一次課，有一個老師，講對稱圖形，他這節(jié)課自始至終 都有問題，我就針對他這個問題，給他提了些建議，老師們看看，我給 他提的建議是一組電子表盤，大家看，老師們最好不要說，他是對稱圖 形嗎，不太好這么說，婉轉(zhuǎn)一點，退一步說，說什么呢，大家看，這是 一個電子

44、表盤，如果把這個電子表盤也看作一個圖形的話，你們說，它 是對稱的話，可以這么說，松散一點，寬松一點，老師們看，20點20分，20時20分是對稱圖形嗎，是對稱的嗎，當然不是，雖然 20和20 是全等的，它們平移可以做到完全重合，但是對折，老師們想一下，對 折以后是不能做到處處完全重合的，所以 20時20分不能說是對稱的。好了，我們看第二個圖形，20: 05是不是？當然20: 05是， 老師們可以想象到，同學們也能漸漸想象到，從中間對折以后，0和0 沒有問題，圖形沒有障礙，2和5, 2不等于5,但是想象，就要靠想象,把那個5對折過去，或者2對折過來，它們居然可以做到嚴絲合縫，所 以說20.05是對

45、稱圖形，沒有問題。12: 51是不是呢？應(yīng)該說”也是“， 對不對，12: 51也是；第四個，18: 18是不是？很多同學，因為這是 我的建議，我沒有見到同學怎么說，可能有些老師會覺得18: 18不是對稱圖形，因為它對折以后不能做到重合，但是您再換個角度思考，現(xiàn) 在我們不左右對折，我們上下對折，是不是就可以做到處處完全重合了 呢，沒有問題吧，所以我覺得，我的設(shè)計意圖就在這里，因為我發(fā)現(xiàn)那 個老師的問題統(tǒng)統(tǒng)在于他所出的全部圖形無一例外都是左右對稱，什么 蜻蜓，美麗的蝴蝶，還有什么埃菲爾鐵塔，北京天安門城樓，還有小衣 服，小房子，還有一些，有一些京劇臉譜，還有英文字母，大寫的T, A, 還有些汽車的

46、車標，什么大眾的車標，本田的車標，甚至還有一些國家 的國旗，越南的，朝鮮的，多了，琳瑯滿目，二三十個，沒有一個是上 下對稱的。更沒有斜著對稱的，都是左右對稱，左右對稱，盡管這個老師， 整個課程我聽到，沒有談到一個左右二字，但是他仍然有不可推卸的責 任，因為你給同學一步步帶入一個誤區(qū)，”對稱“都是左右對稱，這就 十分有害，對完整理解知識是有害的，對吧，我們再看這個11: 11,這個沒有問題，人家還有兩條對稱軸，對吧。這個我簡單說一說，我們講 圓的認識的時候，我們其余的老師開始導(dǎo)入很好，他出示這樣一個圖形， 一個正方形，上面有8個同學，然后中間放一個籃筐，說同學們往中間 投籃，投沙包，問同學們這個

47、游戲公平嗎，學生當然說”不公平“，因 為遠近距離不一樣，老師說，請你設(shè)計一個圖形，設(shè)計一個游戲，它就 公平了，于是，同學們說：老師，咱們設(shè)計一個圓就可以！于是呢，我 們就可以設(shè)計這樣一個圓，為什么圓就可以呢，同學們就會說，圓從邊 上到中間距離相等，所以它就公平，老師說認識得很對，今天我們就來 共同學習圓的認識，這不挺好嗎？但問題在哪里，問題就在于他留給同學一個定式，一個誤區(qū)， 什么呢，做一個游戲，圓是公平的，正方形就一定是不公平的，我覺得 這個點帶來的就是有害的，所以下課以后，我給這個老師提建議，我說 呢，我建議你臨下課的時候，你把這個內(nèi)容再拿出來，跟同學商量，還 是一個正方形，還是站滿了 8

48、個同學，向中間投沙包，能不能做得公平 一些呢，我估計同學會說，這是我估計，同學會說"老師別像剛才那么 站了，咱們一邊占倆，站得讓它對稱了就行了 “，其實就是以正方形的 中心為圓心，畫一個不大不小的圓，使這個圓與正方形有八個交點，同 學站在八個交點上，就符合要求，為什么呢？因為他所站的點是交點， 因為它是圓上的點，所以這個游戲公平，它又是正方形上面的點，所以 它符合游戲的規(guī)則，它就雙重性，這有什么好處呢，用我的話說就是死 題救活，就是你把原來不可能正確的東西，把它轉(zhuǎn)變一下，讓它變得公 平了，讓他覺得世界上的事情是變動的，不是一成不變的，不是俗死的, 我覺得這對同學發(fā)展是非常有好處的，而

49、且這個圓可以大一些，也可以 小一些，只要不大到頂點上，或者和它相切就可以了五、關(guān)注解決問題的需求，提高理論聯(lián)系實際的能力第五，關(guān)注解決問題的需求，提高理論聯(lián)系實際的能力。【案例】大家看，這是一個表盤，很可惜，是一個殘破的表盤，上課的 時候我們給同學提出要求，就是說有這樣一個圓形的表盤殘片，請你能 不能夠想辦法測量測量，計算計算，求一整個表盤的周長，大約是多少 厘米。我們上課的時候，是發(fā)給每個同學這樣一個殘片，不是光課件上， 屏幕上出現(xiàn)一個，是每個同學發(fā)了這樣一個殘片，讓他想辦法去得到這 個殘片所在圓的周長，大約是多少厘米。老師你也可以考慮考慮，六年 級的同學，面對他學過圓的周長的計算以后，他會

50、用什么方法來解決這 個問題，我也上過這節(jié)課，同學的分發(fā)很多，給老師們匯報幾個，比如 說量量6到8這條線多長，或者6到7這條線多長，量量7有多長，乘 以12就可以，如果要覺得不夠精確，就量小的刻度，直線距離有多長， 再乘以60,那么這就很接近它的周長，就像劉輝的割圓術(shù)，還可以有什 么方法呢？還可以把6這個刻度線延長，把8刻度線也延長，延長以后, 理論上一定會有一個交點，那個交點就是圓的圓心，這樣就有個半徑， 還有什么辦法呢？這是我想的，就是讓同學們?nèi)プ灾鞯暮献?，這個辦法 同學們特別容易想到，他自覺的從兩個層面、三個層面，五個、六個層 面拼一拼，他們想用自己手上的殘片拼成一個完整的圓，所以滿盤都是

51、六、七、八，那沒關(guān)系，那是非本質(zhì)屬性。事實證明，同學們還有自己的方法，他們說"老師我可以把這 個圓形的表盤放到一個大紙上，拿鉛筆描，我描出這個邊以后我錯一點 再描，錯一錯再描，這么錯著可以描出一個完整的圓，就好辦了；還有 同學說：老師，我把表盤放在一個尺子上，對準零刻度線，把6對準0,然后再尺子上這么一滾，這么一滾，就滾出了 6到8這段弧，滾出了 6 到8這段弧有多長，然后乘以6,多精確，多好的創(chuàng)造力！所以我覺得， 一個好的練習方式，可以大大的激活同學的思維和他的想象，當然各種 方法，我們可以分析，無一例外的都是同學們通過多角度的、不同角度 的觀察，找到從這個角度出發(fā)的那個局部與整體

52、的關(guān)系，就找到了解決 問題的途徑。六、關(guān)注隱性需求，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識最后，談?wù)勱P(guān)注隱性需求，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。關(guān)注隱性需 求，什么是隱性需求呢，就是他明明應(yīng)該有這個需求，但是他就是說不 出來這種需求，這個靠老師，靠老師去發(fā)現(xiàn)，靠老師去預(yù)見是很重要的。【案例】我們舉個例子，小數(shù)加減法，這是去年 5月份，我們區(qū)北京小 學于萍老師代表北京市參加全國第九屆年會上了這節(jié)課，效果很好。這 節(jié)課里幾個亮點，其中有一個想向大家匯報，與我們今天的題目有關(guān)的， 就是它的倒數(shù)第二個練習，倒數(shù)第二個練習很簡單，就是兩道題，豎式計算的題，那么在這里，我出示了五個字很重要，小數(shù)點對齊，大家不 難發(fā)現(xiàn)，小數(shù)點對齊是小數(shù)

53、加減法法則當中的關(guān)鍵句，重點句，我還想 和老師們進一步談到，您說小數(shù)點對齊這五個字，這五個字，您覺得其 中哪個字最重要。56: 51當然也許老師說點最重要，沒有點沒法對，也有老師會說齊最 重要，因為齊是目標，我覺得都有道理，我自己覺得“對”最重要，因 為“齊”是目標，“點”是主體，但“對”是過程，“對”是行為，不對 是齊不了的，要想“齊”就得“對”，我不是做文字游戲，更不是說繞 口令，為什么我去研究字和字之間的關(guān)系，我覺得它能說明法則的特點， 也說明我們教學的規(guī)律，小數(shù)點要通過“對”才能“齊”，“對”是為了 “齊"舉個例子，就很像我們老說小學數(shù)學要滲透數(shù)學思想方法，對 吧，比如說滲透

54、兩個字，我們怎么理解，我通常這么理解，滲透什么意 思，滲是為了透，透是目標，滲是手段，要想透就必須滲，沒有滲的方 式就達不到透的效果。我還得舉個例子，比如說下雨，一陣急風暴雨， 嘩下來了，轟一個閃電，很快雨過天晴，彩虹出現(xiàn)，您說這種雨能透嗎， 不能透，拿鐵鍬照著地里邊挖一鍬，表面一層濕的，底下全是干的，大 部分雨水都順著田邊地溝流走了，因為沒有用滲的方式，只有那個小雨 不斷的在下，這種雨就透了，一點雨水都沒糟踐，因為它是用滲的方式 進行的，這就是滲透的特點和它的規(guī)律。如果我們了解下雨這個特點了， 我們就知道，那我們滲透是一種思想方法，也不是一朝一夕的事，我想 起來了我就滲透一下，忘了就忘了，不

55、是，應(yīng)該是有計劃、有層次、有 目的的一點一點的滲透才能達到效果，是不是這樣？那么小數(shù)點對齊也 是這樣的，“齊”是目標，“對”是過程，但是學生關(guān)于這個對字，他缺 什么呢，缺兩點，第一，他缺對得齊與對不齊的對比，也就是我們 課堂上呈現(xiàn)的都是對的齊的，很少出現(xiàn)沒對齊的，這點就不好，為什么 呢，就是你老講對齊，對齊，對齊，你沒有呈現(xiàn)一個對不齊，他就不能 真正理解什么叫對不齊，我舉個例子，比如說我們小孩子從生下來到現(xiàn) 在就沒見過誰長胡子，他所見到的，甭管男人女人，都沒有胡子，然后 課上您跟他講：同學們，我們現(xiàn)在所講的，我們所見到的人都沒有胡子， 他依然不懂什么叫沒有胡子，他不懂，對比，你非得拉著一位有胡子的， 比如咱們把馬克思，馬老先