備戰(zhàn)年高考數學一輪熱點難點一網打盡：專題22平面向量中地兩個定理.doc

1、實用文案【備戰(zhàn) 2017 年高考高三數學一輪熱點、難點一網打盡】第 22 講平面向量中的兩個定理考綱要求 :1了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；2會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件基礎知識回顧 :1. 向量的數乘運算：求實數 與向量的積的運算，運算法則： (1)| a| | | a| ；(2) 當 0 時， 與的方向相同；當0 時， 的與的方向相反；當 0時， 0運算律： ( ) ( ) ； ( ) ；( ) 2. 共線向量定理向量 ( 0) 與共線，當且僅當有唯一一個實數，使得 2平面向量基本定理及坐標表示(1) 平面

2、向量基本定理： 如果 e ,e 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面12內的任意向量， 有且只有一對實數 1，2，使 a1 e12 e2 . 其中，不共線的向量 e1 ,e2 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.(2) 平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3) 平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i ，j 作為基底，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數x， y，使 axiy j ，把有序數對( x, y) 叫做向量的坐標，記作(x, y) ，其中叫在x 軸上的坐標，y 叫在 y 軸上的坐標設

3、 OAxiy j ，則向量 OA 的坐標 ( x, y) 就是終點A 的坐標，即若OA( x, y) ，則 A 點坐標為 ( x, y) ，反之亦成立( O是坐標原點 )應用舉例 :類型一、共線向量定理的應用【例 1】【 2017 山東省棗莊八中高三月考】設兩個非零向量與b 不共線，(1) 若 AB ， BC 2 8， CD 3( ) ，求證： A， B， D三點共線；(2) 試確定實數 k，使 k和 k 同向標準實用文案【答案】見解析；k 1.【例 2】【 2017 河北正定一中高三月考】如圖，在 ABC中，D，F 分別是 BC，AC的中點， AE2AD ， AB， AC3(1) 用， b

4、表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2) 求證： B， E， F 三點共線【答案】見解析【解析】 (1) 延長 AD到 G，使 AD 1 AG ，連接 BG， CG，得到 ? ABGC，所以 AG ，2則有 AD1 AG1()， AE 2 AD1()，22331111AF 2 AC 2， BE AE AB 3( ) 3( b2) ，BF AFAB112 ( b 2) 22(2) 證明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因為 BE ， BF 有公共點 B，所以 B， E， F 三點共線點評：共線向量定理的3 個應用(1) 證明向量共線：對于向量， ，若存在實數 ，使

5、，則與共線(2)證明三點共線：若存在實數，使AB AC，則A BC三點共線， ，(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程( 組 ) 求參數的值提醒 證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點標準實用文案類型二、平面向量基本定理的應用【例 3】【 2017湖南衡陽八中月考】如果e ， e 是平面 內一組不共線的向量，那么下列四12組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是()A e1 與 e1 e2B e1 2e2 與 e1 2e2C12與1 2D 132與 62 21eeeeeeee【答案】 D1，【解析】選項 A 中，設 e1e2 e1，則無解；選項 B 中，設 e1 2

6、e2 (e11 0 1，無解；選項 C 中，設 e1 e2 (e1 e2) ，則 1，2e2) ，則無解； 2 211選項 D 中， e1 3e2(6e2 2e1) ，所以兩向量是共線向量2【例 4】【 2017 山西省懷仁縣第一中學高三月考】如圖，以向量OA ， OB 為鄰邊作 ?OADB， BM 1BC ，CN 1CD ，用，表示 OM ， ON ， MN .33【答案】見解析【例 5】【 2017 湖北省襄陽市第四中學高三月考】如圖，是的重心，Q分別是邊GOABPOA， OB上的動點，且P， G，Q三點共線標準實用文案(1) 設 PG PQ ，將 OG 用 ， OP ， OQ 表示；1

7、1(2) 設 OP x OA ， OQ y OB ，證明： x y是定值【答案】見解析【解析】 (1)OG OP PG OP PQ OP ( OQ OP ) (1 )OP OQ .(2)證明：一方面，由 (1) ，得 OG (1 )OP OQ (1 ) x OA y OB ；另一方面， G是 OAB的重心，而 OA ，OB 不共線， 由， 得1 1 x y 3( 定值 ) OG 2OM 2×1( OA OB)1OA 1OB .332331113 3，x ，x3解得11 y 3.y3 .方法、規(guī)律歸納:1. 應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加

8、、減或數乘運算2. 用向量基本定理解決問題的一般思路是： 先選擇一組基底， 并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決3. 解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程( 組 ) 來進行求解實戰(zhàn)演練 :1【 2017 江西吉安一中高三月考】如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，且ABABCDDCa， AD b，則 BE ()標準實用文案A b1aB b1aC a1bD a1b2222【答案】 A2【 2017 浙江省溫州市高三月考試題】已知O，A， B， C為同一平面內的四個點，若 2 AC CB 0，則向量 OC 等于 ()2112A. 3OA 3 OBB

9、3OA 3OBC 2OA OBD OA 2OB【答案】 C設 M是 ABC所在平面上的一點，33【 2017 貴州省貴陽市一中高三月考】且MB2MA 3| MD2 MC 0， D是 AC的中點，則| BM|的值為()|11A. 3B.2C 1D 2【答案】 A【解析】 D是 AC的中點，延長 MD至 E，使得 DEMD，四邊形 MAEC為平行四邊形， MD1ME 1(MA MC )MB 3MA 3MC 0， MB 3(MAMC)22222|MD|MD|13MD ，| BM | 3MD| 3，故選 A.4【 2017 江西吉安一中高三月考】設 D，E，F 分別是 ABC的三邊 BC，CA，AB上

10、的點，且 DC2BD，CE2EA，AF 2FB，則 ADBE CF 與BC ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【答案】 A【解析】由題意得ADAB BDAB1BC，BE BAAE BA1AC ，33標準實用文案CF CB BF CB1BA，因此 AD BE CF CB1( BCACAB)33 CB2 BC1 BC，故 AD BE CF 與 BC反向平行335. 【 2017江蘇省南通市如東縣一中高三月考】如圖，在中，P為線段上的一點，OABABOP x OA y OB ，且 BP 2 PA ，則 ()2112A x 3， y 3B x 3， y 313D31C x ， y4

11、x ， y444【答案】 A【解析】由題意知OP OB BP ，又 BP 2PA，所以 OP OB2BA OB233(2OA 121OAOB)3OB ，所以 x， y .3336【 2017 湖南省永州市高三月考】設O在 ABC的內部， D為 AB的中點，且 OA OB 2OC 0，則 ABC的面積與 AOC的面積的比值為 ()A 3B 4C 5D 6【答案】 B7【 2017 河北省定州中學高三月考】在直角梯形ABCD中， A 90°， B30°，AB 23，BC 2，點 E 在線段 CD上，若 AE AD AB ，則 的取值范圍是 _1【答案】0， 2 .【解析】由題意

12、可求得AD 1，CD3，所以 AB 2 DC . 點 E 在線段 CD上， DE DC (0 1) 標準實用文案 AE AD DE ，又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 2 111，即2. 0 1， 02. 即的取值范圍是0，2 .8【 2017 河北省滄州市高三月考】如圖，在梯形中， ，且1， ，F分別ABCDAD BCAD3BC E為線段ADBCBAa，BCba bEF，DF，CD.與的中點 設，試用 ， 為基底表示向量【答案】見解析【解析】 EF EAABBF 1b a 1b 1b a ， DF DE EF 1b623611112b a b a， CD CF FD

13、bb a a b.362639【 2017 西藏林芝市高三月考】設e1，e2 是兩個不共線的向量，已知AB 2e1 8e2， CB e1 3e2， CD 2e1 e2.(1) 求證： A， B， D三點共線；(2) 若 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三點共線，求k 的值【答案】見解析10【 2017 江蘇泰興中學高三月考】已知 O，A，B是不共線的三點， 且 OP mOA nOB ( m，n R)(1) 若 m n 1，求證： A， P， B 三點共線；(2) 若 A， P， B三點共線，求證： m n 1.【答案】見解析【解析】證明：(1) 若 m n1，則 OP mOA (1 m) OB OB m(OA OB ) ， OP OB m(OA OB )