人教版高數(shù)選修2-2第8講：數(shù)學(xué)歸納法(教師版)

1、數(shù)學(xué)歸納法1、數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用.2、數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)及在歸納推理中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法:數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強了 對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形 成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng) n取第一個值n = n 0時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè) n=k （化之內(nèi)口比w ）時命題成立

2、，證明當(dāng) 是二上時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從題口開始的所有正整數(shù) n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞 的起點，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只 要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟， 稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而?證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式122證明： 當(dāng)

3、n=1時，左邊=13=1,右邊=11 11 ,4故等式成立.假設(shè)n=k ( k N ,且k> 1)時等式成立。即 13+ 23+ 33+ k 3+=lk2(k+1)2 成立.4則當(dāng)n=k+1時,13+ 23+ 33+k3+(k+1)3122= -k2(k 1)24122=(k 1)2 k24(k1)34(k11) k 14124k221 (k 1) 1 .即當(dāng)n=k+1時等式也成立.綜合，對一切 n N ,等式都成立.題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1例2、歸納法證明 n 1 n(n>1,且 n N ) .3n 10證明：n=2時,左邊=-31920> 一二右邊,10不等式成

4、立.假設(shè)n=k ( kk>2)時不等式成立,1 即k則當(dāng)n=k+ 12時,19 ,_1 >上_成立.3k 1013k 19 ,>110k1k 113k21 3k3k 33k3k 11一)313k 33k1 k-)113k3k 313k 113k 211、)3k 3 k 1> A +103k 3-) 19 一.=一即當(dāng)n=k+1時不等式也成立.10綜合，對一切大于 1的自然數(shù)n,不等式都成立.題型三、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例4.平面內(nèi)有n(nN )個圓,其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證:這n個圓把平面分成n2n 2個部分._題型四、用數(shù)學(xué)歸納法

5、證明整除問題例 4、 用數(shù)學(xué)歸納法證明32n 2 8 n 9 n N 能被 64 整除證明： 當(dāng)n=1時，32+28X 1 9=64顯然能被64整除，命題成立. 假設(shè)n=k (kA 1, k N)時命題成立.即 32k 2 8k 9能被 64 整除則當(dāng)n=k 1 時，32(k+l)+2-8 (k+ 1) - 9=9 32k+2-8 k-8-9=9( 32k 2 8 k 9)64 k 6432k+2 8 k- 9與64均能被64整除，32(k+1)+28 ( k+1) 9 能被 64 整除.即當(dāng)n=k 1 時命題也成立綜合，對一切 n N , 32n+2 8n 9能被64整除.題型五 歸納、猜想

6、、證明例8：是否存在常數(shù)a, b, c使等式對一切自然數(shù)n 都成立， 并證明你的結(jié)論。分析： 可先把條件式對分別列出方程，試求a， b， c 值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。解：假設(shè)存在a, b, c使題設(shè)等式成立，那么令得到下面方程組：解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，題設(shè)等式成立，即有：(1)當(dāng)時，式成立( 2)假設(shè)成立，即：那么當(dāng)時故當(dāng)時式成立。綜上，可知當(dāng)時，等式成立。一、選擇題1 111 .用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 5+3+2nT1<n(neN , n>1)時，第一步應(yīng)驗證不等式()“/1 CA. 1 + 2<2B. 1+1+1V2 2 3C. 1+1+1<3 2 3 1,

7、1,1 cD- 1+2+3+4<3答案B解析.nCN*, n>1,，n取第一個自然數(shù)為 2,左端分母最大的項為 -217=故選B. 21 32,用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + a+a2+ an+1 = 1-=-a(nCN*, aw 1),在3證n= 1時，左邊所得1 - a的項為()A. 1B. 1+a+a2C. 1 + aD. 1 + a+a2+a3答案B解析因為當(dāng)n=1時，an+1=a2,所以此時式子左邊=1+a+a2故應(yīng)選B.1_ _J_E. 設(shè) f(n)=n+1+n+2+- + 2nN ),那么 f(n+1) f(n)等于()171B- 2n + 21A. 2n+ 1C 1 +1D

8、 J 12n+1 2n+22n+1 2n+2答案D解析f(n+1)f(n) 11111= +- + +(n+1) + 1 (n+1) + 2 2n 2n+1 2(n+1)5.1, ,1111- 7+-+1n+1 n+22n 2n+1 2(n+1) n+12n+1 2n+2'F. 某個命題與自然數(shù) n有關(guān)，若n= k(kCN*)時，該命題成立，那么可推得n= k+ 1時該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時，該命題不成立，那么可推得()A .當(dāng)n= 6時該命題不成立B .當(dāng)n= 6時該命題成立C.當(dāng)n= 4時該命題不成立D .當(dāng)n= 4時該命題成立答案C解析原命題正確，則逆否命題正確.故應(yīng)選

9、C.5,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng) n是正奇數(shù)時，xn+yn能被x+ y整除"，在第二步的證明時，正 確的證法是()A .假設(shè)n=k(kC N),證明n=k+1時命題也成立B .假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時命題也成立C.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時命題也成立D .假設(shè)n = 2k+ 1(kC N),證明n= k+ 1時命題也成立答案C解析為正奇數(shù)，當(dāng)n=k時，k下面第一個正奇數(shù)應(yīng)為k+2,而非k+1.故應(yīng)選C.G. 凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形對角線的條數(shù) 地+1)為()A . f(n)+n+1B. f(n) + nC. f(n) + n1D.

10、 f(n)+n 2答案C解析增加一個頂點，就增加n+1 3條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故 f(n +1)=f(n) + 1 + n+1 3=f(n) + n1.故應(yīng)選 C.7,用數(shù)學(xué)歸納法證明“對一切nCN*,都有2n>n2 2”這一命題，證明過程中應(yīng)驗證()A . n=1時命題成立B. n = 1, n= 2時命題成立C. n = 3時命題成立D. n= 1, n = 2, n= 3時命題成立答案D解析假設(shè)n = k時不等式成立，即 2k>k2-2,當(dāng) n=k+i 時 2k+1 = 2 2k>2(k22)由 2(k2-2)>(k-1)2-4? k22k 3

11、>0? (k+1)(k-3)>0? k>3,因此需要驗證 n=1,2,3時命題成立.故應(yīng)選 D.8.已知f(n) = (2n+ 7) 3n+9,存在自然數(shù) m,使得又任意nCN*,都能使m整除f(n),則最大 的m的值為()A . 30B. 26C. 36D. 6答案C解析 因為 f(1)=36, f(2)= 108=3X 36, f(3)= 360= 10X 36,所以 f(1) , f(2), f(3)能被 36 整 除，推測最大的 m值為36.9.已知數(shù)列an的前n項和Sn= n2an(n>2),而a1 = 1,通過計算a2、a3、a4,猜想an=()2A.(n+

12、1)22B. n(n+ 1)c.六2D. 2n 1答案B解析 由 Sn= n2an 知 Sn+1 = (n+1)2an+11- Sn+1 Sn= (n+ 1)2an+1 n2anan+1 = (n + 1)2an+1 n2an ._ n - an+1 =_an (n> 2).a1n+ 2當(dāng) n=2 時，S2=4a2,又 S2=aI+a2,2131a3=4a2=6，a4=5a3=10.由 a1= 1 , a2 = , a3 = l，a4= TT；3610.一2 一，猜想an=,故選B.n(n+ 1)10.對于不等式.n2+ nwn+1(nC N+),某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n=1時，

13、52+ 1 w 1+1,不等式成立.(2)假設(shè) n=k(kC N + )時，不等式成立，即 Vk2Tkk+ 1,則 n = k+ 1 時，(k+1)2+ (k+ 1)=#2+ 3k+ 2、(k2+ 3k+2)+ (k + 2) = (k+ 2)2 = (k+ 1)+ 1,當(dāng)n=k+ 1時，不等式成立，上述證法 ()A.過程全都正確B . n = 1驗證不正確C .歸納假設(shè)不正確D .從n= k至ij n= k+ 1的推理不正確答案D解析n= 1的驗證及歸納假設(shè)都正確，但從n= k到n= k+ 1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故應(yīng)選 D.二、

14、填空題11 .用數(shù)學(xué)歸納法證明" 2產(chǎn)1加+門+2m6)”時，第一步的驗證為 .答案當(dāng)n = 1時，左邊=4,右邊=4,左右，不等式成立解析當(dāng)n= 1時，左 右，不等式成立，nCN*, .第一步的驗證為 n=1的情形.Sn =12.已知數(shù)列n,通過，t算得S2=i S3=3,由此可猜測答案nn+ 1解析解法1：通過計算易得答案.解法2:11Sn = +1X2 2X31+3X 41n(n+ 1)1 , 1-2 +11 -n n+111,11,十 + +2 33 4=1_，= 4 n+1 n+ 113,對任意nC N*，34n+2+a2n+1都能被14整除，則最小的自然數(shù) a=.答案5解

15、析當(dāng)n= 1時，36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5,當(dāng)a= 3時且n=3時，310+35不能被14整除，故a=5.14 .用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1X4+2X7+3X10+ n(3n+1)=n(n+ 1)2.(1)當(dāng) n0=時，左邊=, 右邊=; 當(dāng) n=k 時， 等式左邊共有 項，第(k-1)項是.(2)假設(shè)n=k時命題成立，即 成立.(3)當(dāng)n=k+1時，命題的形式是 ;此時，左邊增加 的項為.答案(1)1; 1X(3X1 + 1); 1X(1 + 1)2; k；(k-1)3(k- 1)+ 1(2)1 X4+ 2X7 +3X10+ + k(3k+1)=k(k+1)2(3)1 X4+ 2X

16、7+ + (k+1)3(k+1)+1=(k+ 1)(k+ 1) + 12; (k+ 1)3(k+ 1) + 1解析由數(shù)學(xué)歸納法的法則易知.三、解答題15 .求證：12 22+ 32 42+ (2n 1)2-(2n)2=- n(2n +1)(n1 N*).證明n=1時，左邊=12-22=- 3,右邊=3,等式成立.假設(shè) n = k 時，等式成立，即 12 22+ 32 42+(2k 1)2-(2k)2=- k(2k+ 1)2.當(dāng) n= k+ 1 時，12- 22+ 32-42+ +(2k 1)2 (2k)2+ (2k+ 1)2(2k+2)2= k(2k+1) + (2k+ 1)2(2k+2)2=

17、 k(2k+1)(4k+3)= (2k2+5k+3) = (k+1)2(k+1)+1,所以 n=k+1 時,等式也 成立.由得，等式對任何n C N*都成立.一 11 11 n-216 .求證：2 + - + -+.+ 21 >2-(n>2). 一， 1，證明當(dāng)n = 2時，左=2>0 =右，不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k> 2, kCN*)時，不等式成立.門口 111 k- 24、即2+ 3+尹>2-成乂.那么 n=k+1 時，+1"2 32，1,，一1-+ 2k1 + 1+2-1 + 2-1k-211 k-2 111>-2-+2k+ 1 +/力-

18、+尹尹十 了k-2 2k 1 (k+1) 2=+ k =,22k 2'，當(dāng)n=k+1時，不等式成立.據(jù)可知，不等式對一切 nCN*且n>2時成立.17 .在平面內(nèi)有n條直線，其中每兩條直線相交于一點，并且每三條直線都不相交于同一點.r、, , , . j r LLA,八,n2+n+2求證：這n條直線將它們所在的平面分成 一2一個區(qū)域.證明(1)n=2時，兩條直線相交把平面分成4個區(qū)域，命題成立.k2 + k + 2, 一 一 一，, 八”(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>2)時，k條直線將平面分成 一2 塊不同的區(qū)域，命題成立.當(dāng)n=k+ 1時，設(shè)其中的一條直線為1,其余k條直線將平

19、面分成k2+k+2塊區(qū)域，直線1與其余k條直線相交，得到 k個不同的交點，這 k個點將1分成k+1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩 部分，故新增區(qū)域 k+ 1塊.從而k+i條直線將平面分成 中+k+i=(k+ 1)27+1)+2塊區(qū)域.所以n=k+ 1時命題也成立.由(1)(2)可知，原命題成立.18 . (2010衡水高二檢測)試比較2n+2與n2的大小(nC N*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.分析由題目可獲取以下主要信息：此題選用特殊值來找到 2n + 2與n2的大小關(guān)系；利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想.解析當(dāng) n=1 時，21+2 = 4>n2=1,

20、當(dāng) n=2 時，22+2 = 6>n2=4,當(dāng) n=3 時，23+2= 10>n2= 9,當(dāng) n=4 時，24+2= 18>n2= 16,由此可以猜想，2n+2>n2(nC N*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng) n= 1 時，左邊=21+2=4,右邊=1 ,所以左邊 > 右邊，所以原不等式成立.當(dāng)n=2時，左邊=22 + 2=6,右邊=22=4,所以左邊 >右邊；當(dāng) n=3 時，左邊=23 + 2=10,右邊=32=9,所以左邊 > 右邊.(2)假設(shè)n=k時(k>3且kC N*)時，不等式成立,即 2k+2>k基礎(chǔ)鞏固 111 .用數(shù)學(xué)

21、歸納法證明1 + 2+ 3+ 2nT<n(nCN , n>1)時，第一步應(yīng)驗證不等式 ()A. 1 + 1<2B. 1 + 1 + -1<2 2 3 11111cC. 1 +2+3< 3D. 1 + - + 3+-<3答案B解析.nCN*, n>1,，n取第一個自然數(shù)為 2,左端分母最大的項為-21-=,故選B. 2 1 3 C-1-an+2.2. (2014秦安縣西川中學(xué)高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + a+a2+ an+1= 1_a (nC N ,aw1),在驗證n=1時，左邊所得的項為()A. 1B. 1 + a+a2C.1+aD.1+a+a+a

22、 答案B 解析因為當(dāng)n= 1時，an+ 1= a2,所以此時式子左邊=1+a+a2故應(yīng)選B. 1113.設(shè) f(n)=n + n2 +2n(nCN),那么 f(n+1) f(n)等于() 2n+2D. 一 2n+1 2n+2 那么 n=k+ 1 時，2k+1 + 2= 2 2k+ 2=2(2k+2)2>2 k22.又因：2k2 2-(k+ 1)2 = k2 2k3=(k-3)(k+1)>0,即 2k22>(k+ I)2,故 2k+1+2>(k+ 1)2成立.根據(jù)(1)和(2),原不等式對于任何 n C N都成立.、選擇題12n + 1答案D1,1,1,1,1解析f(n+

23、1)-f(n)= 7TTT7 +市+赤+ +=1J J ， n+1 n+22n 2n+1 2 n+1 n+111Z 7 Z T 2n+1 2n+219 某個命題與自然數(shù) n有關(guān)，若n= k(kCN*)時，該命題成立，那么可推得n= k+ 1時該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng) n=5時，該命題不成立，那么可推得 ()A .當(dāng)n= 6時該命題不成立B.當(dāng)n= 6時該命題成立C.當(dāng)n= 4時該命題不成立D.當(dāng)n = 4時該命題成立答案C解析原命題正確，則逆否命題正確.故應(yīng)選 C.20 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn+yn能被x+ y整除"，在第二步的證明時，正確的證法是()A .假設(shè)n

24、 = k(kC N )時命題成立，證明 n= k+ 1時命題也成立B .假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明 n= k+ 1時命題也成立C.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明 n= k+ 2時命題也成立D .假設(shè)n=2k+1(kC N)時命題成立，證明 n=k+1時命題也成立答案C解析為正奇數(shù)，當(dāng)n=k時，k下面第一個正奇數(shù)應(yīng)為k+2,而非k+1.故應(yīng)選C.21 凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形對角線的條數(shù) 地+1)為()A . f(n)+ n+1B . f(n)+ nC. f(n) + n1D, f(n)+ n-2答案C解析增加一個頂點，就增加n+1 3條對角線，另外原來

25、的一邊也變成了對角線，故 f(n +1)=f(n) + 1 + n+1 3=f(n) + n1.故應(yīng)選 C.二、填空題22 (2014湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n) = 2n1 3(2n 1)(nC N*)時，從“ n=k至ij n=k+1”左邊需增乘的代數(shù)式為()A . 2k+1B, 2(2k+ 1)C.2k+1k+ 1D.2k+3k+ 1答案B解析n=k 時，等式為(k+1)(k+2) - (k+k)=2k1 3 (2k 1),n=k+1 時，等式左邊為(k+ 1 + 1)(k+1 + 2) - (k+1+k+1)=(k+ 2)(k+ 3)(2k)

26、 (2k+ 1) (2k+ 2),右邊為2k+1 1 3(2k1)(2k+1).左邊需增乘2(2k+1),故選B. _ 1118.已知數(shù)列 1* 2，2X 3 3X4'1 一 ， ，-123由此可猜測n77T，通過計算得 S=-, S2=2, S3=4,答案nn+ 1解析解法1：通過計算易得答案.解法2:Sn =+1X2 2X3 3X41n n+ 1Sn=-1二+u22 33 4n n+1nn+ 1.,V 1 V 111 , 1 , 的9.用數(shù)學(xué)歸納法證明:等式是.1 1答案1 2=2步應(yīng)驗證的1 -+ -二+ H =1F ,+ ,第2 3 4 2n 1 2n n+1 n+2 2n 1

27、1,1解析當(dāng)n=1時，等式的左邊為12=5，右邊=左邊=右邊.三、解答題10. (2013大慶實驗中學(xué)高二期中)數(shù)列an滿足Sn=2n an(nC N*).(1)計算a1、a2、a3,并猜想an的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.證明(1)當(dāng) n=1 時，a1=S1=2a1，a1=1;3當(dāng) n = 2 時，a + a2= S2= 2X2 a2, . a2 = 2;當(dāng) n=3 時，a + a2+a3= S3= 2 x 3a3,a3 = .42nT *由此猜想 an=-2n-T(nCN)(2)證明：當(dāng)n= 1時，a1 = 1結(jié)論成立,假設(shè)n = k(k> 1,且kC N*)時結(jié)

28、論成立,Hr2k- 1即 ak= 2k 1，當(dāng)n = k+ 1時,ak+1 = Sk+1 Sk = 2(k+ 1) ak+1 2k + ak = 2+ak ak+1). 2ak+1 = 2 + ak2+ak 2k+ 1-1ak + 1 = 2 =2k，2 n 1 1、當(dāng)n=k+ 1時結(jié)論成立，于是對于一切的臼然數(shù)nCN*, an=22K成立.能力拓展提升、選擇題11 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2+3+ n2 =n4+ n2,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上B.(k+1)2C.k+ 1 4+ k+1 2D.(k2+1) + (k2+2)+(k2+3)+- + (k+1)2答案解析n=

29、k 時，左邊=1+2+3+ k2, n=k+1 時，左邊=1 + 2+3+ k2+(k2+1)+(k2+ 2)+(k+1)2,故選 D.12 .設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+ 1邊形的內(nèi)角和f(k+1) = f(k) +.()A. 2 %B.兀兀C. 2答案B解析將k+1邊形A1A2-AkAk+1的頂點Ai與Ak相連，則原多邊形被 分割為k邊形A1A2Ak與三角形 AAkAk+1,其內(nèi)角和f(k+1)是k邊形的內(nèi)角 和f(k)與 A1AkAk+1的內(nèi)角和 兀的和，故選B.13. (2014揭陽一中高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明"n3+(n+1)3+(n +2)3(nC N*)能被

30、9整除”，要利用歸納假設(shè)證n= k+1時的情況，只需展開(A . (k+ 3)3C. (k+ 1)3B. (k+2)3D. (k+ 1)3+(k+ 2)3)答案A解析因為從n=k至U n=k+1的過渡，增加了(k+ 1)3,減少了 k3,故利用歸納假設(shè)，只需將 (k+ 3)3展開，證明余下的項 9k2+ 27k + 27能被9整除.14. (2014合肥一六八中高二期中)觀察下列各式：已知a+b=1, a2 + b2=3, a3+b3=4, a4 +b4=7, a5 + b5=11,，則歸納猜測 a7 + b7=(A. 26B.27C. 28D.29答案D解析 觀察發(fā)現(xiàn)，1 + 3 = 4,3+4 = 7,4+7=11,7+11=18,11+18 = 29, z. a7+b7=29.二、填空題15.用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 2n+1>n2+n + 2(nC N*)”時，第一步的驗證為答案當(dāng)n = 1時，左邊=4,右邊=4,左>右，不等式成立解析當(dāng)n= 1時，左 右，不等式成立， nC N*, .第一步的驗證為 n=1的情形.16,對任意nC N*，34n+2+a2n+1都能被14整除，則最小的自然數(shù) a=.答案5解析當(dāng)n= 1時，36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5,當(dāng)a= 3時