CGMO2015-2015第14屆中國(guó)數(shù)學(xué)女子奧林匹克試題及答案

1、2015中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克第一天2015年8月12日上午8:00 12:00廣東深圳深圳市高級(jí)中學(xué)OMFEDCBA1如圖，在銳角ABC中，AB > AC，O為外心，D為邊BC的中點(diǎn)以AD為直徑作圓及邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F過D作DMAO交EF于點(diǎn)M求證：EM = MF（鄭煥供題）2設(shè)，且求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，和中都至少有一個(gè)不小于（李勝宏供題）3把12×12的方格紙的每個(gè)單位方格染成黑色或白色，使得由方格線圍成的任意一個(gè)3×4或4×3的長(zhǎng)方形內(nèi)都至少有一個(gè)黑色單位方格試求黑色單位方格個(gè)數(shù)的最小值（梁應(yīng)德供題）4對(duì)每個(gè)正整數(shù)，記為及2015的最大公約數(shù)，求

2、滿足下列條件的有序三元數(shù)組的個(gè)數(shù)：1) ；2) 這七個(gè)數(shù)兩兩不同（王彬供題） 中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克第二天2015年8月13日上午8:00 12:00廣東深圳深圳市高級(jí)中學(xué)5有多少個(gè)不同的三邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，其面積值是周長(zhǎng)值的999倍？（全等的兩個(gè)三角形看作相同的）（林常供題）6如圖，兩圓外離，它們的一條外公切線及分別切于點(diǎn)，一條內(nèi)公切線及分別切于點(diǎn)設(shè)是直線的交點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過作的切線及線段的中垂線交于點(diǎn)，過作切于點(diǎn)求證：（付云皓供題）21MGFEDCBA7設(shè)，求證： （王新茂供題）8給定整數(shù)黑板上寫著個(gè)集合，然后進(jìn)行如下操作：選取黑板上兩個(gè)互相不包含的集合，擦掉它們，然后寫上和這稱為一次

3、操作如此操作下去，直到任意兩個(gè)集合中都有一個(gè)包含另一個(gè)為止對(duì)所有的初始狀態(tài)和操作方式，求操作次數(shù)的最大可能值（朱華偉供題）試題解答OMFCDBEAN圖11如圖，在銳角ABC中，AB > AC，O為外心，D為邊BC的中點(diǎn)以AD為直徑作圓及邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F 過D作DMAO交EF于點(diǎn)M求證：EM = MF證明 如圖，連接DE、DF，過O作ONAB交AB于點(diǎn)N 由題意可知，DEAB，DFAC 因此，ONDE 又因?yàn)镈MAO，所以EDM =AON因?yàn)镺為ABC外心，所以AON = ACB 從而EDM =ACB同理可得，F(xiàn)DM = ABC 在EDF中，有即EM = MF2設(shè)，且求證：對(duì)于

4、任意實(shí)數(shù)，和中都至少有一個(gè)不小于證明 由于，及皆為正數(shù)，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)，而又，故問題得證3把12×12的方格紙的每個(gè)單位方格染成黑色或白色，使得由方格線圍成的任何3×4和4×3長(zhǎng)方形內(nèi)都至少有一個(gè)黑格試求黑格個(gè)數(shù)的最小值解 所求黑格個(gè)數(shù)的最小值先證明由于12×12單位方格紙可劃分為個(gè)（除邊界外）互不相交的3×4方格長(zhǎng)方形由題設(shè)可知這些長(zhǎng)方形各至少有一個(gè)黑色方格，故至少要涂12個(gè)黑色方格要證明，只需構(gòu)作一個(gè)可行的例子，見下圖4對(duì)每個(gè)正整數(shù)，記為及2015的最大公約數(shù)，求滿足下列條件的有序三元數(shù)組的個(gè)數(shù)：1) ；2) 這七個(gè)數(shù)兩兩不同解 分解質(zhì)因數(shù)

5、是2015的約數(shù)，只有8種情況我們把滿足的叫做零型數(shù)，把滿足取或或的叫做一型數(shù)，把滿足取或或的叫做二型數(shù)我們使用下面兩個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)：對(duì)任意整數(shù)，因此本題可以看做在模2015意義下討論，即模2015同余的兩個(gè)數(shù)看成相同對(duì)素?cái)?shù)，若,兩者都成立則，若恰有一個(gè)成立則把滿足條件三元組對(duì)應(yīng)為七元組，我們考慮A的七個(gè)位置上的數(shù)的值的分布首先這七個(gè)值不能有2015，否則，若某個(gè)位置上的數(shù)是2015的倍數(shù)，則A中存在另外兩個(gè)位置上的數(shù)滿足或，這樣就有，矛盾所以七個(gè)值必須是1,各一個(gè)這樣A的七個(gè)位置必須是3個(gè)二型數(shù)、3個(gè)一型數(shù)、一個(gè)零型數(shù)我們關(guān)心三個(gè)二型數(shù)在哪三個(gè)位置上設(shè)是5,13,31的任意排列，若滿足，則有，

6、可得，同理有，因此當(dāng)確定A中的三個(gè)二型數(shù)的位置后，如果其它四個(gè)位置可以分別表示為的3個(gè)兩兩線性組合及三個(gè)數(shù)的線性組合(要求線性組合系數(shù)是)，我們就可斷定A中的七個(gè)位置的值互不相同，我們把這種可以線性組合成功表示的三個(gè)二型數(shù)的一組位置叫做合理位置在一組合理位置上，當(dāng)我們確定的取值(模2015意義下)后，七元組A也被唯一決定了在模2015意義下，滿足的恰好有個(gè)，滿足的恰好有個(gè)，滿足的恰好有個(gè)，此外的順序或者說的順序可以調(diào)換，因此每組合理位置下，的取值有種可能，也就恰好對(duì)應(yīng)8640個(gè)滿足條件的三元組我們關(guān)心哪組位置可能是合理的對(duì)素?cái)?shù)，七元組A中恰好有3個(gè)位置是的倍數(shù)，若這三個(gè)位置至少有兩個(gè)的倍數(shù)，不

7、妨設(shè)，則在此前提下并且，這時(shí)A中不能恰有3個(gè)位置是的倍數(shù)所以,的素因子個(gè)數(shù)總共不超過3，這三個(gè)位置上至多有一個(gè)二型數(shù)，也就是這四個(gè)位置上有2或3個(gè)二型數(shù)若中有三個(gè)二型數(shù)，二型數(shù)的位置有4種可能情況：若是三個(gè)二型數(shù)，則,是三個(gè)一型數(shù)，是零型數(shù)，位置合理若是二型數(shù)，則，位置合理同理其他兩種位置也是合理的若中恰有兩個(gè)二型數(shù)，我們分兩類考慮：第一類考慮兩個(gè)二型數(shù)都在中，不妨設(shè)和是二型數(shù)，則不可能是二型數(shù)，,之一是二型數(shù)，不妨設(shè)是二型數(shù)這時(shí)是三個(gè)二型數(shù)，位置合理這一類由對(duì)稱性共有6種情況是合理位置第二類考慮是二型數(shù)且之一是二型數(shù)，不妨設(shè)和是二型數(shù)，則不可能是二型數(shù)，,之一是二型數(shù)，不妨設(shè)是二型數(shù)這時(shí)是二

8、型數(shù)，則，位置合理這一類由對(duì)稱性共有6種情況是合理位置綜上，三個(gè)二型數(shù)的合理位置共有16種，(其他不合理位置都不可能使三元組滿足條件)所以滿足條件的三元組共有5有多少個(gè)不同的三邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，其面積值是周長(zhǎng)值的999倍？（全等的兩個(gè)三角形看作相同的）解法一 設(shè)內(nèi)切圓半徑為，故，代入得，不同的無序解給出不同的三角形，故所求三角形個(gè)數(shù)為本題，解法二 由勾股數(shù)公式，其中（三邊長(zhǎng)的最大公因數(shù)）為任意正整數(shù)，及互素，且及一奇一偶為奇數(shù)，因數(shù)2只能分給或，有兩種方式及互素，奇素因子分給只能是或，（），有種方式故由乘法原理，素因子的分配共有種方式，每種分配方式給出唯一的三角形因此共有42個(gè)所求三角形

9、評(píng)注 一般地，若倍數(shù)為（為不同的奇素?cái)?shù)），則所求三角形個(gè)數(shù)為21MGFEDCBA6. 如圖，兩圓外離，它們的一條外公切線及分別切于點(diǎn)，一條內(nèi)公切線及分別切于點(diǎn). 設(shè)是直線的交點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過作的切線及線段的中垂線交于點(diǎn)，過作切于點(diǎn). 求證：.證法一 設(shè)的圓心分別為，直線交于點(diǎn)，連. 設(shè)分別是線段的中點(diǎn)，連.由于是的切線，故平分，且. 同理，平分，且. 由于分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，故它們互相垂直，結(jié)合及知.由于直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，故. 考慮及以為圓心，0為半徑的圓，由知到這三個(gè)圓的冪相等，由知到這三個(gè)圓的冪也相等. 顯然是兩個(gè)不同的點(diǎn)，因此這三個(gè)圓必然有一條公共的根軸. 由于

10、在的中垂線上，所以，結(jié)合是的切線知在這三個(gè)圓的公共根軸上，又是的切線，故，證畢.KHJO2O121MGFEDCBA證法二 同證法一可得. 設(shè)的半徑分別為，則由勾股定理可知，同理有，. 因此，由平方差原理知，. 由于過平面上一點(diǎn)有且僅有一條直線及已知直線垂直，所以三點(diǎn)共線.由于，同理，由此可得，由平方差原理知，故，因此，結(jié)合得，故，證畢. 評(píng)注 事實(shí)上，點(diǎn)在直線上，兩個(gè)證法均證明了這一點(diǎn)，但這個(gè)結(jié)論在本題中作用不大.7設(shè)，求證：證法一：對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，由Cauchy不等式可得當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)和Cauchy不等式，得證法二：設(shè)，兩邊同乘以B，只需證明由Cauchy不等式，左邊故只需證明我們先

11、證明事實(shí)上，（這也可以用調(diào)整法或一次函數(shù)極值來證明）故證畢8給定整數(shù)黑板上寫著個(gè)集合，然后進(jìn)行如下操作：選取黑板上兩個(gè)互相不包含的集合，擦掉它們，然后寫上和這稱為一次操作如此操作下去，直到任意兩個(gè)集合中都有一個(gè)包含另一個(gè)為止對(duì)所有的初始狀態(tài)和操作方式，求操作次數(shù)的最大可能值解 首先我們證明操作次數(shù)不可能超過當(dāng)黑板上寫著個(gè)集合時(shí)，考慮成包含關(guān)系的集合對(duì)的數(shù)量，我們證明，每次操作后，這個(gè)數(shù)量至少增加1假設(shè)我們將變成和首先不是包含關(guān)系，而和是包含關(guān)系，故這里至少增加了一對(duì)成包含關(guān)系的集合對(duì)對(duì)于另一集合，若及之一成包含關(guān)系，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則，即至少及和之一成包含關(guān)系；若及均成包含關(guān)系，則由不成包含關(guān)系知或者，或者，若為前者，則，若為后者，則因此，在操作之后，其余成包含關(guān)系的集合對(duì)的數(shù)量不會(huì)減少，因此每次操作后，這個(gè)數(shù)量至少增加1由于此數(shù)量最少為0，最多為，故操作至多進(jìn)行次另一方面，我們給出操作次數(shù)達(dá)到的例子定義集合，我們證明由出發(fā)，可以進(jìn)行次操作使用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，可進(jìn)行次操作若結(jié)論對(duì)成立，考慮的