數(shù)學(xué)建模論文住房投資分析

1、房地產(chǎn)投資分析摘要房地產(chǎn)業(yè)發(fā)展涉及到國計(jì)民生的眾多行業(yè)，其受各種因素的多元化影響，對于房產(chǎn)業(yè)發(fā) 展相關(guān)問題的有效研究可以對國民經(jīng)濟(jì)的健康可持續(xù)發(fā)展產(chǎn)生積極的影響。雖然國家多次進(jìn)行宏觀調(diào)控，多次調(diào)整利率、存款準(zhǔn)備金率等，試圖對房地產(chǎn)市場進(jìn)行 調(diào)控，但自1998年實(shí)行房改以來，我國大部分城市的房價(jià)出現(xiàn)了普遍持續(xù)上漲情況。一方面,房價(jià)的上漲使得新進(jìn)入城市或需要購房者的生存成本大幅增加，導(dǎo)致許多中低收入人群買房 難，其它消費(fèi)也無法提升；另一方面，部分投資或投機(jī)者通過各種融資渠道買入房屋進(jìn)行出 租或空置，期望因房價(jià)上漲而獲得超高回報(bào)，導(dǎo)致房價(jià)居高不下。因此，如何分析影響房地 產(chǎn)市場的因素，從而進(jìn)行有效的

2、抑制房地產(chǎn)價(jià)格的過快上漲，同時(shí)能夠抑制房地產(chǎn)市場的投 機(jī)行為，是一個(gè)需要進(jìn)行全面而深入研究的問題，也是普羅大眾非常關(guān)心的社會(huì)問題。國家 為此出臺(tái)了多種政策或宏觀調(diào)控措施。關(guān)鍵字：SPSSGM (1,1)投資風(fēng)險(xiǎn) 出租 貸款 組合投資問題重述在缺乏可靠投資渠道的情況下，有的家庭選擇利用余錢或貸款購置房屋進(jìn)行投資。請根 據(jù)市場房屋價(jià)格的變化情況，綜合考慮家庭收入、租金收入、儲(chǔ)蓄及貸款利率、房屋折舊率、 房屋空置率等因素，建立數(shù)學(xué)模型，為家庭進(jìn)行住房投資做出決策。問題分析在當(dāng)前的房地產(chǎn)紅火以及政府宏觀調(diào)控的大形勢下，房屋價(jià)格很難有相當(dāng)明顯的下跌。 研究房價(jià)未來的發(fā)展趨勢，是住房投資的前提。購房后對于

3、房屋的租賃問題，有必須研究出 一套利潤最大化方案，確定房租價(jià)格。考慮到市場的潛在風(fēng)險(xiǎn)，需要研究出一套基于租一售 的最佳時(shí)機(jī)的模型，也就是在一定時(shí)期內(nèi)可以“以租養(yǎng)貸”，在另一時(shí)期內(nèi)即有特殊情況出現(xiàn) 時(shí)，可以將其售出，以達(dá)到盡可能規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)和實(shí)現(xiàn)利潤最優(yōu)化。對于低收入家庭而言，如何負(fù)擔(dān)第一套住房都存在一定困難，基本上可以不考慮其投資 第二套住房的情況。而對于高收入家庭而言，其擁有的資產(chǎn)數(shù)額龐大，投資領(lǐng)域多樣，對于 風(fēng)險(xiǎn)的承受力很大，研究價(jià)值不是很明顯。因此，焦點(diǎn)應(yīng)集中于占相當(dāng)比例的中等收入家庭， 其資金有限，抗風(fēng)險(xiǎn)能力差，使得建立一套模型來尋求利潤的最大化以及風(fēng)險(xiǎn)的最小化就顯 得尤為必要。同時(shí)，其購

4、置房產(chǎn)往往需要借貸，而其家庭收入決定了貸款額度以及年限，更 進(jìn)一步?jīng)Q定了其買入房屋的質(zhì)量、居住面積。所以，研究貸款的決策，是很必要的。在當(dāng)前的房地產(chǎn)紅火以及政府宏觀調(diào)控的大形勢下，房屋價(jià)格很難有相當(dāng)明顯的下跌， 由于房屋價(jià)格等相關(guān)因素有著十分明顯的地域性差異，為了使討論更為形象和直觀，本文主 要以重慶市為例進(jìn)行展開分析?；究梢栽趪鴥?nèi)二線城市進(jìn)行推廣應(yīng)用。模型假設(shè)(1)假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，房地產(chǎn)業(yè)在相關(guān)政策、市場供求等方面不會(huì)出現(xiàn)幅度十分巨大 的變化。(2)假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，模型中所購房屋的物業(yè)費(fèi)、貸款利率不會(huì)產(chǎn)生很大的波動(dòng)。(3)假設(shè)在一段時(shí)期內(nèi)，通貨膨脹率對住房投資不產(chǎn)生影響符號說明符號說明

5、單位A每月還貸數(shù)額元/年T貸款年限年C購房資金元貸款利率平均年租金盈利元/年平均年繳納物業(yè)費(fèi)元/年房屋折舊率房屋同比價(jià)格變化指數(shù)截止第t年盈利的累計(jì)值元交納住房貸款利息元投資所購房屋的面積房屋價(jià)格元/平米x房屋租金元/平米P (x)出租率模型的建立與求解模型一：商品房銷售價(jià)格與全市生產(chǎn)總值關(guān)系模型我們選取了房地產(chǎn)開發(fā)投資，商品房銷售價(jià)格與全市生產(chǎn)總值有著密切關(guān)系的指標(biāo)進(jìn)行 研究。我們采用多元線性回歸模型利用 SPS前計(jì)軟件分別對兩個(gè)指標(biāo)與全市生產(chǎn)總值進(jìn)行線 性回歸，得到線性回歸方程和相關(guān)系數(shù)。即y1=0.5819*x1+0.4181*x2-0.07RA2=0.843模型二：基于GM(1,(1)

6、 價(jià)的預(yù)測模型GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的一種預(yù)測模型，它以不確定性系統(tǒng)為研究對象，通過 對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的 正確描述和有效監(jiān)控，從而預(yù)測事物未來的發(fā)展?fàn)顩r。該模型是一種時(shí)間序列預(yù)測模型，它 能根據(jù)少量信息建模和預(yù)測，因而得到廣泛的應(yīng)用?；疑到y(tǒng)理論預(yù)測方法主要是 GM模型的建立和求解。GM模型一般對應(yīng)一個(gè)微分方程, 微分方程的求解形成一個(gè)預(yù)測模型的函數(shù)方程。GM(1,1)建模過程和機(jī)理如下： 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 =(X(0) (1), X(0) (2),，X(°)(n)其中，X(°)(k) >0, k=

7、1, 2,，nXtX做一次累加，生成數(shù)列X(1X=(X(1), X(2),，X(1) (n)k其中，X(k) =x(0)(i) , 1, 2，ni 1構(gòu)造數(shù)據(jù)系列B和數(shù)據(jù)向量Y:B=xxx(0)(n)確定參數(shù)a和bo采用最小二乘法對待定系數(shù)求解則有: T _T _1 T ，a=a,b B B B Y- dx小 白化萬程 +ax(1) = b的解為： dt(1)(1)a at , bx (t) = ( x (1) e +b aGM(1, 1)模型x(0) (k) az(k) b的時(shí)間相應(yīng)列為:還原值為：模型精度檢驗(yàn)：1)計(jì)算均方差比C:s2S1 J1(x(0)(k) x)2c= s1其中 nk

8、12)計(jì)算小誤差概率p：r統(tǒng)計(jì)酒足式子| (k)| 0.6745S (其中k=1,2，n)的e(k)的個(gè)數(shù)，若止匕數(shù)為r,則p 。n對于建立的模型是否優(yōu)良，一般要進(jìn)行均方差檢驗(yàn)和小概率誤差檢驗(yàn)。一般地，相對誤差越 小越好(因?yàn)镃值小，說明殘差方差小，樣本方差大)。而小誤差概率p越大越好(因?yàn)樵酱螅?說明殘差與殘差平均值之差平均值之差小于給定值0.6745S1的點(diǎn)越多)。對于已建立的GM1,1)模型是否有效，一般參考精度檢驗(yàn)表1.表1灰色系統(tǒng)預(yù)測精度檢驗(yàn)等級參照表精度等級均力差比值小誤差概率一級0.35r 0.95二級0.500.80三級0.65,r 0.70四級10.80二(x()(1)(10

9、(6D12計(jì)算過程-以2000 2010年商品價(jià)格作為依據(jù)(£為汽(唱嚴(yán)供)1 ，對重慶市商品放價(jià)格進(jìn)行預(yù)測。 建立20002010年重慶市商品房均價(jià)序列值：X(0)= (1740, 1831, 2162, 2283, 2738, 2539, 2691, 3157, 3906, 4126, 5548)對X（0）做一次累加，生成數(shù)列X（1）:X(1)= (1740, 3571, 5733, 8016, 10754, 13293, 15894, 19051, 22957, 27083,32631 )B和數(shù)據(jù)向量Y:dx(1)dt2655.5118314652121626874.51228

10、393851273812023.512539,Y=14593.51269117472.513157210041390625020141262985715548確定參數(shù)a和b:確定模型-0.1232 x(1)1801.9構(gòu)造數(shù)據(jù)系列B其時(shí)間相應(yīng)序列為：模型精度檢驗(yàn)：1）計(jì)算均方差比C:C s2 0.2194 0.35,精度為一級。 s12）計(jì)算小概率誤差：所以，p=1>0.95,精度為一級。參照灰色系統(tǒng)預(yù)測精度檢驗(yàn)等級（表 1）,灰色預(yù)測模型綜 合精度等級為一級，模型預(yù)測結(jié)果有效。因此，模型：Ax （k 1） 7644.778e0.1232k 6928.7778 ,可用于預(yù)測重慶市商品房價(jià)

11、格。根據(jù)上述預(yù)測模型，計(jì)算得到2011-2015年重慶市商品房價(jià)格的預(yù)測值表（表2）0年份20112012201320142015商品房價(jià)格（元/平方 米）677084801060013200164003）根據(jù)數(shù)據(jù)，用MATLA進(jìn)行擬合，圖形如下所示，對比計(jì)算出來的數(shù)據(jù)，基本吻合 3預(yù)測結(jié)果分析從預(yù)測的結(jié)果可以看出，今后五年重慶市商品房價(jià)格將呈現(xiàn)上漲趨勢。推動(dòng)重慶市商品房價(jià)格持續(xù)上漲的原因主要包括需求和供給兩個(gè)方面。從供給的角度看，在 供應(yīng)和需求一定的情況下，成本的上漲將推動(dòng)房地產(chǎn)價(jià)格的上漲。房地產(chǎn)開發(fā)成本主要由地 價(jià)和建筑材料價(jià)格組成，土地資源的不可再生性，決定了土地價(jià)格的總體上行趨勢。受鋼

12、材、 水泥等主要建筑材料價(jià)格和人工成本上漲的影響，建筑安裝工程的價(jià)格也逐年上漲，直接推 高了商品房價(jià)格。因此，不斷提高的房地產(chǎn)開發(fā)成本將成為客觀事實(shí)。從需求的角度看，隨著城鎮(zhèn)化水平的提高、城鎮(zhèn)人口和城鎮(zhèn)投資的增加、城鎮(zhèn)居民可支配收入和流動(dòng)性指標(biāo)的高速增長，需求量將會(huì)持續(xù)增長。4決策：通過對以上模型的分析，投資者如果想在重慶投資住房，那就得盡快買。重慶的房價(jià)存在較 大的上升空問。投資收益的利潤函數(shù)：假設(shè)投資所購住房面積為S,第t年該房價(jià)格xt元/ m2 ,需繳納住房貸款利息yt,S ,每年盈利為zo t,S ,累計(jì)盈利為z t,S ,房屋同比價(jià)格變化指數(shù)為t ,折舊率為，每年租金盈利為a元/m2

13、 ,物業(yè)費(fèi)為b元/m2 ,則有如下關(guān)系：該房實(shí)際價(jià)格：x t t x t 1 x t 1年盈利滿足：z0ts z t,S z t 1,S x t x t 1 a b S y t,S所以，此次投資的最終利潤為：模型三：租金收益模型由需求價(jià)格彈性可知，商品價(jià)格下跌，往往導(dǎo)致需求量增加；相反價(jià)格上漲，則會(huì)抑制 需求量甚至導(dǎo)致其下降。因此租金的定位，將直接關(guān)系到其成功租出的可能性（即租出率） ， 而與出租率相對應(yīng)的，是住房的空置率。房屋租出率隨價(jià)格變化表每平米價(jià)位/ 元1418222630出租率100%92%75%32%0據(jù)重慶房產(chǎn)網(wǎng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以重慶市為例，中等質(zhì)量住宅的平均出租價(jià)格x區(qū)間為1826元/

14、m2,不妨假設(shè)出租價(jià)格x 14元/m2時(shí)，租出率為1;出租價(jià)格x 30元/m2時(shí)，租出率為0。由此可設(shè)出租率隨出 租價(jià)格變化曲線近似可視為拋物線（如下圖）。出租率隨出租價(jià)格變化圖則有此變化函數(shù)為： y 0.00026 x3 0.02 x2 0.44 x 1.9其中x表示出租價(jià)格，p x為對應(yīng)的出租率。則每月出租收益期望額為：y期望x f（x）由此得其每月出租收益期望額分布圖如下：每月出租收益期望額隨價(jià)格變化圖結(jié)合x的取值區(qū)間x 14,30以及圖像發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x 20元/ m2時(shí)，計(jì)算得收益期望有最大值19.75元/ m2,因此該房每年的最大出租收益期望值為a 19.75元/m2 12 237元/

15、m2模型四：購房貸款決策假設(shè)現(xiàn)有貝房資金C萬元。其選擇等本金還貸方式，年限為 25年，根據(jù)2011年4月6 日起執(zhí)行的貸款利率政策，貸款利率為6.8%,考慮到國務(wù)院新政策出臺(tái)不久，忽略其影響.則 有關(guān)系式：總利潤=#值利潤+租金利潤-折舊損失-物業(yè)費(fèi)-還貸利息方案一：不貸款買房（貸款金額為零）。在此情況下，其可購得房屋面積 s為：其中x（0）指其購房時(shí)房屋每平米的價(jià)格。應(yīng)用利潤關(guān)系式，其第一年的收益為：方案二：貸款金額為買房總價(jià)的 40% （最大貸款額）。在此情況下，可以購得的住宅面積 S2為：S2x(0)'同樣應(yīng)用利潤關(guān)系式，其第一年的收益為：結(jié)合重慶市現(xiàn)有數(shù)據(jù)，可以賦值：C 600

16、000,1.9% （折舊率的計(jì)算公式為:1殘值使用壽命100%,而殘值規(guī)定為0.05,磚混結(jié)構(gòu)住宅壽命理論為50年），根據(jù)近期重慶市統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng)資料，內(nèi)五區(qū)商品房銷售均價(jià)為6165,所以取x（0） 6165 a 20 12 240, b 1.2 12 14.4, (1) 1.0575將數(shù)據(jù)分別代入4(1)以及Z2(1)中，計(jì)算得:顯然，z2(1) Z1(2)而在接下來的幾年中，本金還貸方案的還貸利息會(huì)逐年減少，利潤更豐，因此，在現(xiàn)有 的政策背景、房地產(chǎn)業(yè)界大環(huán)境和大趨勢下，選擇更高的貸款額，購買更大面積的住宅，往 往能夠獲得更高、更可觀的收益。購房面積的確定根據(jù)3.1中得出的結(jié)論，要盡可能多的獲

17、得收益，就需買較大面積的住宅，因此，做出 決策：在能力允許的范圍內(nèi)盡可能投資較大面積的房。故有：SC0.5 x 0C0.5 x 0r 11113601C0.5 x 0C 360x 0 360C 360x 0 360模型五：風(fēng)險(xiǎn)模糊評價(jià)模型本模型力圖采用多層次模糊評判模型對個(gè)人房產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)給予一個(gè)定性與定量相結(jié)合的 分析。、個(gè)人房產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)的定性分析一般來講，個(gè)人的房產(chǎn)投資行為而臨著如下的投資風(fēng)險(xiǎn)：1.1 金融風(fēng)險(xiǎn)：房貸利率變化風(fēng)險(xiǎn)、通貨膨脹、買方的支付風(fēng)險(xiǎn)。1.2 房產(chǎn)自身風(fēng)險(xiǎn)：房產(chǎn)所處的位置、環(huán)境，物業(yè)管理水平。1.3 政府行為風(fēng)險(xiǎn)：政府的政策風(fēng)險(xiǎn)。1.4 市場風(fēng)險(xiǎn)：開發(fā)商的資金風(fēng)險(xiǎn)、投機(jī)行

18、為、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、對未來的預(yù)期。二、個(gè)人房地產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)模糊綜合評判數(shù)學(xué)模型2.1建立評判對象的因素集U= (u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 )U為各評判因素組成的集合，即 U=(金融風(fēng)險(xiǎn)，政府風(fēng)險(xiǎn)，市場風(fēng)險(xiǎn)，房產(chǎn)自身風(fēng)險(xiǎn))每個(gè)一級指標(biāo)下設(shè)若干指標(biāo)，見表 1表1風(fēng)險(xiǎn)因素綜合評價(jià)體系風(fēng)險(xiǎn)因素U子準(zhǔn)層因素Uj強(qiáng)較強(qiáng)較弱弱金融風(fēng)險(xiǎn)U1房貸利率變化風(fēng)險(xiǎn)Un0.050.20.250.450.05通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)U120.050.450.350.10.05買方支付風(fēng)險(xiǎn)U13100.350.600.05政府風(fēng)險(xiǎn)U2政府對土地的規(guī)劃風(fēng)險(xiǎn)U210.30.550.10.050政府對開發(fā)商的監(jiān)管也0.10.60.10

19、.150.05；政府政策風(fēng)險(xiǎn)U220.250.550.10.10市場風(fēng)險(xiǎn)開發(fā)商的信用風(fēng)險(xiǎn)50.350.350.20.10對市場未來的預(yù)期U320.150.450.400市場投資行為風(fēng)險(xiǎn)U330.150.450.30.10流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)U34100.20.60.150.05房產(chǎn)自身風(fēng)險(xiǎn)U4房產(chǎn)所處的位置、環(huán)境U410.250.250.30.150.05物業(yè)管理U420.150.30.40.150房產(chǎn)結(jié)構(gòu)U310.20.30.450.050房產(chǎn)產(chǎn)權(quán)U440.250.150.40.150.052. 2建立評判集本論文對個(gè)人房產(chǎn)投資的評判集表達(dá)為:V=(V1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 )V=

20、(強(qiáng)、較強(qiáng)、一般、較弱、弱)表明個(gè)人對一項(xiàng)房產(chǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)越弱越好。本模型就目前的一項(xiàng)房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目進(jìn)行了打分，評分結(jié)果如表1。2.3確定模糊關(guān)系矩陣對于每一個(gè)被評判的風(fēng)險(xiǎn)，評價(jià)要素和評彳/T之間的關(guān)系，即從U到V的模糊關(guān)系1,可用 模糊評判矩陣加以描述，用R表示.其中,i為一級指標(biāo)數(shù)目，即U (i=1 ,2 ,3 ,4 ) ;n為底i個(gè)一級指標(biāo)下的二級指標(biāo)數(shù)目，m 為評語集中的評語數(shù)目.本文用如下算法：A = Wi - R得到模糊評價(jià)矩陣A (i=1 ,2 ,3 ,4 )，由A可以得到在A層的模糊評價(jià)A矩陣R A2A3A42.4計(jì)算評價(jià)對象一一個(gè)人房地產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)的模型評價(jià)矩陣A=w|r則，A

21、= (0.21 ,0.46 ,0.22 ,0.09 ,0.02)，計(jì)算結(jié)果表明，有22%的人認(rèn)為該項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)“強(qiáng)”，46%的人認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)“較強(qiáng)” ,22%的人認(rèn)為“一般”，只有9%口 2%勺人認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)“較 弱”和“弱”，由此可以看出，該項(xiàng)目的投資風(fēng)險(xiǎn)還是較大的.3結(jié)論(1)房地產(chǎn)市場可以說是一個(gè)存在著大量不對稱信息的市場，個(gè)人房地產(chǎn)投資者大多憑主觀的經(jīng)驗(yàn)、判斷來進(jìn)行投資，往往缺乏客觀的綜合評價(jià)指標(biāo)，模糊綜合評價(jià)方法適用性 強(qiáng)，應(yīng)用范圍較廣，特別適用于主觀指標(biāo)的綜合評價(jià)，評價(jià)效果優(yōu)于其他方法.減少了 個(gè)人房產(chǎn)投資中的盲目性.(2)在計(jì)算模糊矩陣中的時(shí)候用的是“加權(quán)平均型”的綜合評判方法該方法考慮了

22、各決定 因素對風(fēng)險(xiǎn)的影響，而不是只考慮影響最大的因素，這顯示了投資者的理性及投資決策 的周全性.模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：(1)住房投資是一個(gè)極其復(fù)雜的問題，其受多種因素的影響和制約。本模型將這些因素一一 析解，使復(fù)雜的房地產(chǎn)投資過程高度明了化，便于結(jié)合不同地區(qū)特點(diǎn)做出調(diào)整，進(jìn)行推廣。(2)針對不同家庭，本文對可能預(yù)選的各種方案均做出了詳細(xì)分析，通過深入的比較，最終 得出可供選擇的最優(yōu)方案，使得家庭住房投資方案選擇具有較高的完備性。(3)模型結(jié)論通俗易懂，便于普通家庭參考，輔助決策。(4)有些模型的構(gòu)建在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用性和可推廣性，能夠?yàn)椴煌臎Q策者提供決不足：(1)模型考慮的因素較多，導(dǎo)致過程

23、比較復(fù)雜，所列方程、公式較多，計(jì)算量大。(2)模型無法對重大政策調(diào)整進(jìn)行預(yù)見，故在較長期投資決策方面，會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)確度下降的問模型改進(jìn)：在建模預(yù)測的過程中，我們發(fā)現(xiàn)保有量的預(yù)測與人口的預(yù)測有相似之處，然而我們知道 隨著政府政策，家庭收入，投資傾向等因數(shù)對房地產(chǎn)的發(fā)展有著至關(guān)重要的作用 ，所以在本數(shù) 學(xué)模型的建立過程中，我們一直是假設(shè)發(fā)地產(chǎn)市場是健康的向前發(fā)展的。換言之，從結(jié)果中我們可以看出我們模型在對一定情況下的預(yù)測是準(zhǔn)確的，但是，由于上述原因，就不一定能準(zhǔn)確地預(yù)測長期的房地產(chǎn)發(fā)展問題.進(jìn)而有利于現(xiàn)有政策的調(diào)控了。所以我們可以把這種沖突看成在一定時(shí)期內(nèi)，該地區(qū)的增長趨勢是一定的。便可以借用Logistic模型4。為了能得到比較準(zhǔn)的影響房地產(chǎn)發(fā)展的因素，特別是使長期的預(yù)報(bào)符合實(shí) 際情況,我們就必須對上述模型做進(jìn)一步的改善，上面的基礎(chǔ)上引入常數(shù)Xn參考文獻(xiàn)1楊啟凡，數(shù)學(xué)建?！綧 .杭州：浙江大學(xué)出版社，2000.