利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索條件概率

1、利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索條件概率在課改后的新普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修23中含有“條件概率”的內(nèi)容，條件概率是比較難理解的概念。教科書利用“抽獎(jiǎng)”這一典型實(shí)例，以“無放回抽取獎(jiǎng)券”的方式，通過比較抽獎(jiǎng)前和在第一名同學(xué)沒有中獎(jiǎng)的條件下，最后一名同學(xué)中獎(jiǎng)的概率，從而引入條件概率的概念，給出兩種計(jì)算條件概率的方法，同時(shí)指出條件概率具有的性質(zhì)，并給出了條件概率的兩個(gè)性質(zhì)。以上編排對(duì)理解能力、抽象思維能力較強(qiáng)的學(xué)生是恰當(dāng)、高效的，但是對(duì)于大部分學(xué)生來說，依據(jù)課本上的推導(dǎo)、介紹來理解、接受條件概率的概念，并利用其性質(zhì)去解決實(shí)際問題，存在較大的困難。為了解決上述問題，使學(xué)生真正理解條件概率的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)條

2、件概率反映的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，運(yùn)用條件概率的性質(zhì)去解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)生活中遇到的與條件概率有關(guān)的實(shí)際問題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，實(shí)現(xiàn)普通高中數(shù)學(xué)課程中“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”的基本理念，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來探索條件概率能很好地解決問題，達(dá)成上述目的。為此，在學(xué)習(xí)了教材中條件概率的知識(shí)后，我在接下來的課堂教學(xué)中組織學(xué)生進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)課題利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索條件概率的概念和性質(zhì)課題背景條件概率是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)遇到的一種概率問題，它能為人們對(duì)某些問題進(jìn)行正確的判斷、選擇、決策提供依據(jù)

3、。高中數(shù)學(xué)中所學(xué)條件概率內(nèi)容雖只是初等定義和基本性質(zhì)，但在概率理論中占有十分重要的地位，對(duì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的概率問題也非常實(shí)用。但條件概率的概念和性質(zhì)都比較抽象，學(xué)生難于理解其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，在處理實(shí)際問題時(shí)理解不到位，無法區(qū)分在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)、事件B發(fā)生的概率P(B)、 事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)這三個(gè)概念。為此，我們可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，自主探索條件概率的概念和性質(zhì)，體驗(yàn)?zāi)男﹩栴}是條件概率問題，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果是如何利用條件概率的性質(zhì)計(jì)算出來的。實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)(1)知識(shí)目標(biāo)：通過實(shí)際條件概率問題的實(shí)驗(yàn)，理解條件概率的概念，并依據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果去探索并獲得

4、條件概率的性質(zhì)、計(jì)算公式。(2)能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的實(shí)踐能力，觀察、統(tǒng)計(jì)、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生自覺利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決身邊的實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。(3)情感目標(biāo)：使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，體驗(yàn)成功的樂趣；逐步學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)，感受團(tuán)結(jié)協(xié)作進(jìn)行學(xué)習(xí)的快樂。實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備1. 問題一：有一個(gè)電視娛樂節(jié)目：在一個(gè)有三個(gè)框的架子上，每個(gè)框格上有一扇完全相同的門，其中僅有一扇門后藏有100元現(xiàn)金；節(jié)目主持人請(qǐng)任一觀眾上臺(tái)選中一扇門，若所選門后藏有現(xiàn)金，則將其作為對(duì)該觀眾的獎(jiǎng)賞；一觀眾上臺(tái)后從三扇門中任意選定了一扇門，現(xiàn)主持人將未被選中的沒有藏現(xiàn)金的一

5、扇門打開，為了更大可能地獲得獎(jiǎng)金，請(qǐng)問該觀眾是否應(yīng)選擇另一扇門，為什么？問題二：假設(shè)一對(duì)夫婦生男生女的概率相同，現(xiàn)這個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中一個(gè)是男孩，請(qǐng)判斷另一個(gè)也是男孩的概率有多大？2. 組織學(xué)生對(duì)上述兩個(gè)問題進(jìn)行討論，分別得到如下的結(jié)論：?jiǎn)栴}一：（1）沒有必要選擇另一扇門，因?yàn)樗缮乳T，換不換獲獎(jiǎng)的概率都是1/2，持上述觀點(diǎn)的學(xué)生在全班48人中占31人；（2）應(yīng)換選另一扇門，因?yàn)椴粨Q選獲獎(jiǎng)的概率為1/3，換選后獲獎(jiǎng)的概率為2/3，持這種觀點(diǎn)的學(xué)生有11人；（3）應(yīng)換選另一扇門，因?yàn)椴粨Q選獲獎(jiǎng)的概率為1/3，換選后獲獎(jiǎng)的概率為1/2，持這種觀點(diǎn)的學(xué)生有6人；問題二：（1）另一個(gè)也是男

6、孩的概率為1/2，因?yàn)樯猩母怕氏嗤?，生物課上老師也講了一個(gè)小孩是否為男孩的概率始終是1/2，與第一個(gè)小孩的性別無關(guān)，持上述觀點(diǎn)的學(xué)生在全班48人中占34人；（2）另一個(gè)也是男孩的概率為1/4，因?yàn)榱硪粋€(gè)也是男孩即兩個(gè)都是男孩，其概率為1/4，持這種觀點(diǎn)的學(xué)生有5人；（3）另一個(gè)也是男孩的概率為1/3，因?yàn)榱硪粋€(gè)也是男孩是在已知有一個(gè)是男孩的條件下來判斷的，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式：P(B|A)=P(AB)÷P(A)=(1/4)÷(3/4)=1/3, 持這種觀點(diǎn)的學(xué)生有9人；3. 學(xué)生分組與分工：四人一組，每組準(zhǔn)備一付撲克牌，兩枚質(zhì)地均勻的一元硬幣；每組指定兩人配合進(jìn)行實(shí)

7、驗(yàn)，一人進(jìn)行監(jiān)督觀察，一人負(fù)責(zé)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行記錄；4. 教師導(dǎo)引：為了解決問題一又便于實(shí)驗(yàn)操作，我們可以用三張撲克牌表示三扇門，用大王表示獲獎(jiǎng)的一扇門進(jìn)行問題一的實(shí)驗(yàn)；為了解決問題二，我們可以用每次拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣來模擬問題二的實(shí)驗(yàn)，硬幣落下后正面向上表示男孩，反面向上表示女孩，實(shí)驗(yàn)中若兩枚硬幣均反面向上，則該次實(shí)驗(yàn)不符合題意，不作記錄；引導(dǎo)學(xué)生理解實(shí)驗(yàn)的含義，認(rèn)可實(shí)驗(yàn)與問題一、問題二相對(duì)應(yīng)，體會(huì)、掌握實(shí)驗(yàn)的操作過程。實(shí)驗(yàn)過程1、 教師進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)（學(xué)生觀察，以便掌握試驗(yàn)的操作、記錄方法）：（一） 拿三張背面完全一樣的撲克牌（其中一張為大王）撲放在講臺(tái)上，請(qǐng)一學(xué)生上臺(tái)選定一張，老師掀開不是

8、大王的一張，該學(xué)生不改變選擇，連續(xù)做十次，另一學(xué)生用畫“正”字的方法記錄試驗(yàn)總次數(shù)和學(xué)生是否選中大王的次數(shù)；同上面的操作方法，在老師掀開不是大王的一張后，該學(xué)生改變選擇，另一同學(xué)記錄結(jié)果；（二） 教師同時(shí)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣20次，讓一學(xué)生記錄有一枚正面朝上的次數(shù)（相當(dāng)于兩個(gè)小孩中有一個(gè)是男孩），記錄另一枚也正面朝上的次數(shù)（相當(dāng)于另一個(gè)小孩也是男孩）；2、 在教師的導(dǎo)引下學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)問題一要求每組對(duì)不改變選擇和改變選擇分別進(jìn)行100次以上的實(shí)驗(yàn)；對(duì)問題二要求每組得到符合要求的實(shí)驗(yàn)次數(shù)在100次以上。試驗(yàn)報(bào)告（事先打印好報(bào)告表格）問題一：試驗(yàn)次數(shù)中獎(jiǎng)次數(shù)中獎(jiǎng)概率原因分析改變選擇不改變選擇

9、問題二：試驗(yàn)總次數(shù)符合要求的試驗(yàn)次數(shù)（即其中有一枚正面向上）另一枚也正面向上次數(shù)另一枚也正面向上的概率原因分析各小組將實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別填入上述表格，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論，理解條件概率的概念，體會(huì)條件概率的性質(zhì)、計(jì)算方法。分析、歸納與總結(jié)最后，教師再組織學(xué)生將每六個(gè)小組的結(jié)果進(jìn)行累計(jì)，再將十二個(gè)小組的結(jié)果進(jìn)行累計(jì)，分別計(jì)算出相應(yīng)的概率，填入上述表格；引導(dǎo)全班學(xué)生對(duì)各小組所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果及三次累計(jì)所得結(jié)果進(jìn)行比較、分析、討論，進(jìn)一步體會(huì)概率問題中試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，且當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越大時(shí)，頻率將穩(wěn)定在概率處波動(dòng)。上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)施，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的情境中進(jìn)行認(rèn)知學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、探索問題和解決問題的樂趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，牢固掌握條件概率的概念和性質(zhì)、計(jì)算公式，就如“一個(gè)人只要學(xué)會(huì)了騎自行車，不論他多長時(shí)間不騎自行車，他也一輩子都會(huì)騎自行車”一樣，相信學(xué)生們通過親手進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)感知、發(fā)現(xiàn)、歸納所得的條件概率的有